1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Прикладная математика и механика
  4. T. 87, № 3, 2023

Прикладная математика и механика, 2023, T. 87, № 3, стр. 454-460

Степенные эллиптические тела минимального сопротивления в газовом потоке

В. Л. Нгуен 1, *

1 Московсий физико-технический институт (НИУ)
Долгопрудный, Россия

* E-mail: lamvqtc1990@gmail.com

Поступила в редакцию 15.03.2023
После доработки 13.04.2023
Принята к публикации 24.04.2023

Полный текст (PDF)

Аннотация

Для степенного эллиптического тела вычисляется сила сопротивления в высокоскоростном потоке разреженного газа на основе нескольких локальных моделей. Решением вариационной задачи определяется показатель степени в образующей тела минимального сопротивления разного удлинения в зависимости от коэффициента эллиптичности.

Ключевые слова: эллиптические тела, гипергеометрическая функция, коэффициент сопротивления, коэффициент эллиптичности

1. Введение. Проблема оптимального сопротивления в высокоскоростном потоке разреженного газа летательного аппарата до сих пор остается одним из самых важных вопросов в авиационно-космической промышленности и ракетной технике. Существует несколько подходов к решению таких задач. Для оценочных расчетов сил, действующих на тело при его высокоскоростном движении в газе, широкое распространение получили формулы, найденные из локальных моделей. В основе этих моделей лежит предположение, что каждый элемент поверхности тела взаимодействует со средой независимо от других участков тела и сила, действующая на него, зависит лишь от ориентации элемента относительно направления движения. Классическая задача построения тела минимального сопротивления с использованием формулы Ньютона решалась во многих работах [1–3]. В связи с развитием космической техники появился интерес к оптимальным задачам высокоскоростной аэродинамики на больших высотах в разреженном газе [4]. Дальнейшее упрощение таких задач связано с использованием целевых функций разного вида зависящих от некоторого количества параметров, по которым и осуществится оптимизация [5, 6]. В частности, широкое распространение получила степенная целевая функция [7, 8].

В настоящей работе строится форма эллиптического тела минимального сопротивления со степенной образующей в высокоскоростном потоке разреженного газа на основе модели Ньютона и свободномолекулярной модели газа.

2. Уравнение эллиптического тела со степенной функцией. С использованием коэффициента эллиптичности уравнения эллипса

(2.1)
$\frac{{{{x}^{2}}}}{{{{a}^{2}}}} + \frac{{{{y}^{2}}}}{{{{b}^{2}}}} = 1,$
имеет вид ($a = kb$, k – коэффициент эллиптичности):

(2.2)
$\frac{{{{x}^{2}}}}{{{{k}^{2}}}} + {{y}^{2}} = {{b}^{2}}$

Пусть $b$ – степенная функция $b = R{{\left( {z{\text{/}}L} \right)}^{\alpha }}$, $R$ – размер посадочного узла, L – длина тела, $\alpha $ – показатель степени. Уравнение такого эллиптического тела будет (рис. 1)

(2.3)
$\frac{{{{x}^{2}}}}{{{{k}^{2}}}} + {{y}^{2}} = {{\left( {\frac{z}{\lambda }} \right)}^{{2\alpha }}},$
где $\lambda = L{\text{/}}R$ – удлинение эллиптического тела.

Рис. 1.

Геометрия тела ($k = 2$, $\alpha = 3{\text{/}}4$, $\lambda = 5$).

Уравнение (2.3) можно переписать в виде

(2.4)
$z = \lambda {{\left( {\frac{{{{x}^{2}}}}{{{{k}^{2}}}} + {{y}^{2}}} \right)}^{{\frac{1}{{2\alpha }}}}};\quad - {\kern 1pt} k \leqslant x \leqslant k,\quad - {\kern 1pt} 1 \leqslant y \leqslant 1,\quad 0 < z \leqslant \lambda $

Ставится задача: найти такую величину α при которой достигается минимальное сопротивление эллиптического тела (2.4) при заданном значении удлинения $\lambda $ и фиксированном коэффициенте эллиптичности $k$ в случае “редкого” газа Ньютона и в свободномолекулярном случае.

3. Степенные эллиптические тела минимального сопротивления. Формула Ньютона. Эллиптическое тело обтекается газом плотностью $\rho $ и скоростью $V$. Коэффициент лобового сопротивления, действующий на степенные эллиптические тела (2.4) вдоль оси $Oz$, запишется [8]

(3.1)
${{c}_{z}} = \iint\limits_{(S)} {\left( {{{c}_{p}}\cos \theta + {{c}_{\tau }}\sin \theta } \right)}\frac{{dS}}{{{{S}_{b}}}},$
где ${{c}_{p}},{{c}_{\tau }}$ – нормальная и касательная силы действующие на элемент поверхности $dS$, деленные на площадь этого элемента и величину скоростного напора $\rho {{V}^{2}}{\text{/}}2$, $\theta $ – угол между внутренней нормалью к поверхности и вектором скорости газа, ${{S}_{b}} = \pi {{R}^{2}}$ – площадь посадочного узла.

Для формулы Ньютона:

(3.2)
${{c}_{p}} = 2{{\cos }^{2}}\theta ,\quad {{c}_{\tau }} = 0$

Коэффициент лобового сопротивления равен

(3.3)
${{c}_{z}} = \frac{1}{\pi }\iint\limits_{(S)} {2{{{\cos }}^{3}}\theta \sqrt {{{{\left( {\tfrac{{\partial z}}{{\partial x}}} \right)}}^{2}} + {{{\left( {\tfrac{{\partial z}}{{\partial y}}} \right)}}^{2}} + 1} }{\text{d}}xdy,$
$S$ – площадь поверхности тела.

Отметим, что

(3.4)
$\cos \theta = {{\left( {{{{\left( {\frac{{\partial z}}{{\partial x}}} \right)}}^{2}} + {{{\left( {\frac{{\partial z}}{{\partial y}}} \right)}}^{2}} + 1} \right)}^{{ - 1{\text{/}}2}}}$

Тогда

(3.5)
${{c}_{z}} = \frac{2}{\pi }\iint\limits_{(S)} {{{{\left[ {\frac{{{{\lambda }^{2}}}}{{{{\alpha }^{2}}}}{{{\left( {\tfrac{{{{x}^{2}}}}{{{{k}^{2}}}} + {{y}^{2}}} \right)}}^{{\tfrac{{1 - 2\alpha }}{\alpha }}}}\left( {\tfrac{{{{x}^{2}}}}{{{{k}^{4}}}} + {{y}^{2}}} \right) + 1} \right]}}^{{ - 1}}}dxdy}$

Переходя в (3.5) к полярной системе координат вида

(3.6)
$\begin{gathered} x = kr\cos \varphi ;\quad y = r\sin \varphi ;\quad dxdy = krdrd\varphi \\ r \in [0,1],\quad \varphi \in [0,2\pi ] \\ \end{gathered} $

Запишем коэффициент лобового сопротивления в виде интеграла от гипергеометрической функции $F[a,b,c,d]$

(3.7)
${{c}_{z}} = \frac{k}{\pi }\int\limits_0^{2\pi } {F\left( {1,\frac{\alpha }{{1 - \alpha }},\frac{1}{{1 - \alpha }}, - \frac{{{{\lambda }^{2}}}}{{{{k}^{2}}{{\alpha }^{2}}}}\left( {1 + \left( {{{k}^{2}} - 1} \right){{{\sin }}^{2}}\varphi } \right)} \right)} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{d}}\varphi $

В табл. 1 показаны значения величины $\alpha $ и ${{c}_{z}}$ в зависимости от удлинения $\lambda $ при фиксированном значении коэффициента эллиптичности k, а на рис. 2 – зависимость коэффициента минимального сопротивления семейства степенных эллиптических тел от удлинения $\lambda $ для разных значений коэффициента эллиптичности k.

Таблица 1.
$k = 1$ $k = 1.5$ $k = 2$ $k = 2.5$ $k = 3$
$\lambda $ $\alpha $ ${{c}_{z}}$ $\alpha $ ${{c}_{z}}$ $\alpha $ ${{c}_{z}}$ $\alpha $ ${{c}_{z}}$ $\alpha $ ${{c}_{z}}$
1 0.462427 0.802824 0.4021 1.41773 0.371661 2.05021 0.355773 2.68638 0.34745 3.32169
2 0.649528 0.330489 0.60852 0.66124 0.577199 1.03863 0.555555 1.43864 0.54125 1.84922
3 0.701653 0.166968 0.678587 0.352722 0.656538 0.581961 0.637858 0.839475 0.623089 1.11469
4 0.72157 0.0986344 0.707131 0.213577 0.691684 0.361847 0.676932 0.535341 0.663828 0.727205
5 0.731228 0.0646288 0.721355 0.141747 0.710103 0.243783 0.698557 0.366374 0.687499 0.505357
6 0.736651 0.04547 0.729465 0.100466 0.720948 0.174367 0.711801 0.264703 0.702591 0.368927
7 0.74000 0.0336733 0.734536 0.074745 0.727877 0.130491 0.720503 0.199433 0.712819 0.27997
8 0.742233 0.0259156 0.737923 0.057702 0.732577 0.101139 0.726528 0.155298 0.720068 0.219138
9 0.743786 0.02055 0.7403 0.045853 0.735915 0.080598 0.730872 0.124174 0.72539 0.175883
10 0.744913 0.016688 0.742035 0.037295 0.738372 0.065689 0.734109 0.101458 0.729409 0.144114
15 0.747661 0.0074628 0.746298 0.01674 0.744506 0.029634 0.742346 0.046055 0.739876 0.065894
Рис. 2.

Зависимость cz  от удлинения λ для разных значений коэффициента эллиптичности k.

Видно, что коэффициент минимального сопротивления степенных эллиптических тел уменьшается с удлинением $\lambda $, а для данного удлинения $\lambda $ коэффициент сопротивления ${{c}_{z}}$ возрастает вместе с коэффициентом эллиптичности $k$. Наименьшее сопротивление эллиптического тела реализуется при $k = 1$, т.е. когда наибольшее сечение эллиптического тела является кругом. Кроме того, для разных значений коэффициента эллиптичности k и с ростом удлинения $\lambda $ показатель степени $\alpha $ стремится к значению $\alpha = 0.75$, что хорошо согласуется с результатами [8].

4. Степенные эллиптические тела минимального сопротивления. Свободномолекулярная модель. Для свободномолекулярной модели в гиперзвуковом потоке течения газа можно записать коэффициенты давления и трения следующим образом [9]

(4.1)
${{c}_{p}} = 2{{\cos }^{2}}\theta + \bar {z}\cos \theta ,\quad \bar {z} = \sqrt {\pi {{t}_{w}}(\gamma - 1){\text{/}}\gamma } ,\quad {{c}_{\tau }} = 2\sin \theta \cos \theta ,$
где γ – показатель адиабаты; ${{t}_{w}}$ – температурный фактор; θ – угол между вектором скорости газа и внутренней нормалью к поверхности тела.

Подставляя выражение (4.1) в (3.1), получаем формулу коэффициента сопротивления степенных эллиптических тел:

(4.2)
${{c}_{z}} = \frac{1}{\pi }\iint\limits_{(S)} {\left( {2 + \bar {z}\cos \theta } \right)}\,{\text{d}}xdy$

Тогда

(4.3)
${{c}_{z}} = \frac{1}{\pi }\iint\limits_{(S)} {\left( {2 + \frac{{\bar {z}}}{{\sqrt {\tfrac{{{{\lambda }^{2}}}}{{{{\alpha }^{2}}}}{{{\left( {\tfrac{{{{x}^{2}}}}{{{{k}^{2}}}} + {{y}^{2}}} \right)}}^{{\tfrac{{1 - 2\alpha }}{\alpha }}}}\left( {\tfrac{{{{x}^{2}}}}{{{{k}^{4}}}} + {{y}^{2}}} \right) + 1} }}} \right)}\,{\text{d}}xdy$

Переходя в (4.3) к полярной системе координат (3.6), получим выражение для коэффициента лобового сопротивления тела

(4.4)
${{c}_{z}} = 2k + \frac{{k\bar {z}}}{{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {F\left( {\frac{1}{2},\frac{\alpha }{{1 - \alpha }},\frac{1}{{1 - \alpha }}, - \frac{{{{\lambda }^{2}}}}{{{{\alpha }^{2}}{{k}^{2}}}}\left( {{{{\cos }}^{2}}\varphi + k{{{\sin }}^{2}}\varphi } \right)} \right)} \,{\text{d}}\varphi $

В табл. 2 для значений параметров ${{t}_{w}} = 0.1$ и $\gamma = 1.4$ представлены зависимости показателя степени α и коэффициента сопротивления ${{c}_{z}}$ от удлинения $\lambda $ при фиксированном коэффициенте эллиптичности $k$. Приведенные на рис. 3 зависимости величин минимального сопротивления семейства степенных эллиптических тел ${{c}_{z}}$ от удлинения $\lambda $, ясно показывают монотонное уменьшение коэффициента минимального сопротивления степенных эллиптических тел при заданном удлинении и фиксированном коэффициенте эллиптичности k.

Таблица 2
$k = 1$ $k = 1.5$ $k = 2$ $k = 2.5$ $k = 3$
$\lambda $ $\alpha $ ${{c}_{z}}$ $\alpha $ ${{c}_{z}}$ $\alpha $ ${{c}_{z}}$ $\alpha $ ${{c}_{z}}$ $\alpha $ ${{c}_{z}}$
1 0.34872 2.18155 0.30149 3.29559 0.297104 4.4104 0.267613 5.52516 0.261547 6.63966
2 0.529225 2.11683 0.48669 3.20106 0.459546 4.28877 0.442651 5.37776 0.432184 6.46716
3 0.59469 2.08334 0.56736 3.14706 0.546076 4.21541 0.530454 5.38607 0.519314 6.35788
4 0.62238 2.06417 0.604217 3.11456 0.58843 4.16959 0.575531 5.22731 0.565368 6.2866
5 0.636492 2.05200 0.62311 3.09339 0.611671 4.13909 0.601213 5.18749 0.592386 6.23762
6 0.644676 2.04364 0.635049 3.07866 0.625747 4.11759 0.61721 5.15908 0.609647 6.20232
7 0.649868 2.03757 0.642379 3.06786 0.634932 4.1017 0.627869 5.13792 0.621389 6.17584
8 0.653381 2.03297 0.647372 3.05964 0.641273 4.08952 0.635345 5.12162 0.629762 6.15532
9 0.655875 2.02936 0.650937 3.05317 0.645844 4.07991 0.640802 5.10869 0.635957 6.13899
10 0.657714 2.02646 0.653577 3.04796 0.649255 4.07213 0.644915 5.09821 0.640678 6.08484
15 0.662337 2.0177 0.660266 3.03214 0.658019 4.04845 0.655665 5.06611 0.653259 6.06391
Рис. 3.

Зависимость ${{c}_{z}}$ от удлинения λ для различных значений k при ${{t}_{w}} = 0.1$, $\gamma = 1.4$.

Кроме того, в согласии с [8] при различных значениях коэффициента эллиптичности $k$ с увеличением удлинения $\lambda $ показатель степени $\alpha $ стремится к значению $\alpha = 0.666$. Следует отметить, что наименьший коэффициент лобового минимального сопротивления эллиптического тела реализуется при $k = 1$, то есть наибольшее сечение степенного эллиптического тела представляет собой круг, а обтекаемые тела – тела вращения (как в случае формулы Ньютона).

Заключение. На основе нескольких локальных моделей в определеные параметры семейства степенных эллиптических тел соответствующие минимальной величине силы сопротивления в высокоскоростном потоке разреженного газа. Рассмотрены две модели газа: модель “редкого” газа Ньютона и свободномолекулярная модель. Решением вариационной задачи для тела минимального сопротивления при фиксированном коэффициенте эллиптичности k рассчитаны зависимости показателя степени образующей эллиптического тела от удлинения $\lambda $.

Для обоих моделей наблюдается монотонное уменьшение сопротивления с возрастанием удлинения $\lambda $. При этом наименьшим сопротивлением обладает тело с коэффициентом эллиптичности $k = 1$, т.е. тело вращения.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 20-08-00790 и стипендии Социалистической Республики Вьетнам.

Список литературы

  1. Миеле А. Теория оптимальных аэродинамических форм. М.: Мир, 1969. 508 с.

  2. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. М.: Наука, 1989. 688 с.

  3. Черный Г.Г. Течение газа с большой сверхзвуковой скоростью. М.: Физматгиз, 1959. 220 с.

  4. Бунимович А.И., Якунина Г.Е. Исследование форм поперечного контура конического пространственного тела минимального сопротивления, движущегося в разреженном газе // Изв. АН СССР. МЖГ. 1986. № 5. С. 112–117.

  5. Якунина Г.Е. К построению оптимальных пространственных форм в рамках модели локального взаимодействия // ПММ. 2000. № 64. Вып. 2. С. 199–310.

  6. Таковицкий С.А. Аналитическое решение задачи минимизации волнового сопротивления осесимметричной носовой части в рамках локальной линеаризации // ПММ. 2018. Т. 82. Вып. 6. С. 775–782.

  7. Благосклонов В.И., Гродзовский Г.Л. Осесимметричное обтекание тел вращения степенной формы при сверхзвуковых скоростях набегающего потока // Уч. зап. ЦАГИ. 1974. Т. V. № 6. С. 6–22.

  8. Горелов С.Л., Нгуен Ван Лам. Тело вращения минимального аэродинамического сопротивления в гиперзвуковом потоке разреженного газа // Тр. МАИ. 2020. № 113. https://doi.org/10.34759/trd-2020-113-4

  9. Галкин В.С., Ерофеев А.И., Толстых А.И. Приближенный метод расчета аэродинамических характеристик тел в гиперзвуковом потоке разреженного газа // Тр. ЦАГИ. 1977. Вып. 1833. С. 6–10.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Прикладная математика и механика

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал