Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2022, № 1, стр. 39-46

1. ОБЪЕКТЫ И СХЕМА ИСПЫТАНИЙ

Экспериментально исследовалась диссипация энергии при колебаниях в жидкости пластин с двоякопериодической структурой ребер жесткости. Две одинаковые пластины, чтобы обеспечить симметричность обтекания, соединялись по их плоской части в сборку. Колебания совершались параллельно срединной плоскости сборок перпендикулярно ребрам жесткости. Выбор габаритных размеров пластин ограничивался имеющейся емкостью для проведения испытаний. Принималось во внимание, что число ячеек, образованных на пластине ребрами жесткости, не должно быть слишком малым, чтобы в первом приближении исключить влияние краевых эффектов. Общий вид сборки пластин показан на рис. 1, на котором приведены обозначения характерных размеров. Линейные размеры сборок пластин определяются количеством ячеек, образованных ребрами жесткости на каждой из пластин.

Начальным отклонением от положения равновесия задавались вертикальные затухающие колебания сборки пластин на упругом подвесе в емкости с водой. В качестве емкости использовался цилиндрический бак со сферическим днищем, который до самого верха заполнялся технической водой. Сборка пластин располагалась в центре бака на достаточном удалении от его стенок, днища и свободной поверхности жидкости. В испытаниях сборок 1 и 2 величина $L{\text{/}}H \approx 8$, где $L$ – минимальное расстояние от краев сборок пластин до полюса днища и свободной поверхности жидкости, в испытаниях сборки 3 – отношение $L{\text{/}}H$ в 2 раза больше. Диаметр цилиндрического бака в 1.8 раза превышал максимальный поперечный размер сборок пластин. Контролировалось отсутствие образования волн на свободной поверхности воды при колебаниях сборки пластин. Диссипация энергии за период колебаний определялась по затуханию свободных колебаний сборки пластин.

На рис. 2 показана принципиальная схема испытаний. Затухающие колебания сборки пластин измерялись лазерным виброметром PSV-500-H [13].

2. МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ

Уравнение свободных колебаний сборки пластин в жидкости

где $x$ – вертикальное перемещение от статического положения равновесия; ${{m}_{0}}$ – обобщенная масса при колебаниях сборки пластин в воздушной среде; $k$ – коэффициент жесткости пружины упругой подвески; ${{\beta }_{0}}$ – коэффициент демпфирования, определяющий рассеяние энергии колебаний в упругой подвеске; $F$ – гидродинамическая сила, действующая на сборку пластин.

Гидродинамическая сила $F$ определяется зависимостью [6]

где $\rho $ – плотность жидкости, $R$ – характерный линейный размер. Коэффициенты сопротивления ${{C}_{d}}$ и присоединенной массы ${{C}_{m}}$ зависят от числа Келегана–Карпентера или относительной амплитуды колебаний и числа Рейнольдса. Поперечные размеры тяги, которая соединяет сборку пластин с подвеской, весьма малы, поэтому изменением силы Архимеда при колебаниях пренебрегается.

Уравнения колебаний сборки пластин в жидкости приводятся к требуемому для анализа экспериментальных данных виду

В общем случае коэффициенты этого уравнения

зависят от амплитуды колебаний и числа Рейнольдса, а коэффициент $\beta $ также и от частоты колебаний.

Измеряемые в испытаниях частоты свободных колебаний зависят от величины демпфирования. При выполнении условия $\beta {\text{/}}\omega \leqslant 0.2$ можно пренебрегать отличием частоты свободных колебаний от частоты собственных колебаний $\omega $, определяемой жесткостью подвески $k$ и обобщенной массой $m$ сборки пластин вместе с подвеской и присоединенной массой жидкости μ = = $\rho {{C}_{m}}{{R}^{3}}$. Коэффициент жесткости пружин подвески $k$ определяется по испытаниям в воздухе методом добавочных масс

где ${{\omega }_{ * }}$ − частота свободных колебаний сборки пластин с испытательной оснасткой, ${{\omega }_{i}}$ – частота свободных колебаний с дополнительной добавочной массой $\Delta {{m}_{i}}$. При испытаниях в воздухе определялись также и коэффициенты демпфирования ${{\beta }_{ * }}$ колебаний сборок пластин на упругой подвеске. Во всех этих испытаниях значения логарифмических декрементов колебаний ${{\delta }_{ * }} = \pi {{\beta }_{ * }}{\text{/}}{{\omega }_{ * }}$ не превышали 0.003.

Диссипация энергии за период колебаний зависит от плотности жидкости $\rho $, амплитуды скорости ${\text{v}}$, частоты колебаний $\omega $, характерного линейного размера ${{R}_{ * }}$, кинематической вязкости жидкости $\nu $. В качестве характерного линейного размера принимается величина ${{R}_{ * }} = {{({{b}_{1}}{{b}_{2}})}^{{1/2}}}$. Так как ${{b}_{1}}$, ${{b}_{2}}$ – стороны ячейки, образованной ребрами жесткости, то $R_{ * }^{2}$ – ее площадь.

Основных единиц измерений механических величин три, поэтому согласно $\pi $-теореме подобия [14] из пяти параметров, характеризующих процесс диссипации энергии, можно составить две безразмерные комбинации, являющиеся критериями подобия – относительная амплитуда колебаний сборки пластин $a = {v}{\text{/}}(\omega {{R}_{ * }})$ и число Рейнольдса $\operatorname{Re} = \omega R_{ * }^{2}{\text{/}}\nu $. Диссипация энергии зависит также от безразмерных геометрических параметров $h{\text{/}}{{R}_{ * }}$, ${{b}_{1}}{\text{/}}{{b}_{2}}$, ${{\tau }_{1}}{\text{/}}{{R}_{ * }}$, ${{\tau }_{2}}{\text{/}}{{R}_{ * }}$, состав которых обозначим одной переменной $\tau $. Кроме того, безразмерный параметр $H{\text{/}}{{R}_{ * }}$ и число ячеек ребер жесткости отражают влияние краевых эффектов на диссипацию энергии колебаний сборки пластин в жидкости. Учитывая это, выражение для диссипации энергии за период колебаний можно представить в виде

где N – число ячеек ребер жесткости на одной стороне сборки пластин. Принимается, что при немалом количестве ячеек энергия диссипации линейно зависит от их числа. Функция $f(a,\operatorname{Re} ,\tau )$ в (2.1) определена без учета краевых эффектов, поэтому она характеризует поверхностную плотность диссипации энергии на бесконечной плоской стенке с ребрами жесткости, обтекаемой периодическим потоком жидкости.

В испытаниях сборок пластин 1, 2, 3 в жидкости значения логарифмических декрементов $\delta = \pi \beta {\text{/}}\omega $ в диапазоне относительных амплитуд колебаний $0.5 < a < 2.5$ находились в диапазоне 0.18–0.26. Эти значения намного больше величины логарифмического декремента колебаний сборок пластин в воздухе 0.003, поэтому диссипацией энергии в подвеске можно пренебрегать. При испытаниях в том же диапазоне относительных амплитуд колебаний сборки пластин 4 в жидкости значения логарифмических декрементов находились в диапазоне 0.03–0.05. В этом случае погрешность результатов, связанная с влиянием диссипации энергии в подвеске, не превышает 10%.

По результатам записи свободных затухающих колебаний сборок пластин в жидкости находится коэффициент поглощения энергии за период колебаний ${{\psi }_{i}} = \Delta {{E}_{i}}{\text{/}}{{E}_{i}} = ({{E}_{i}} - {{E}_{{i + 1}}}){\text{/}}{{E}_{i}}$, где ${{E}_{i}}$ и ${{E}_{{i + 1}}}$ − полная энергия колебаний в начале и конце соответствующего периода колебаний. Полная энергия в начале соответствующего периода колебаний ${{E}_{i}} = m{v}_{i}^{2}{\text{/}}2$ определяется по обобщенной массе $m$ и амплитуде скорости ${{{v}}_{i}}$. Так как амплитуда скорости и амплитуда перемещения связаны зависимостью ${{{v}}_{i}} = \omega {{R}_{ * }}{{a}_{i}}$, то коэффициент поглощения энергии может быть выражен либо через амплитуды скорости, либо через безразмерные амплитуды перемещения ψ_i = 1 – ${v}_{{i + 1}}^{2}{\text{/}}{v}_{i}^{2} = 1 - a_{{i + 1}}^{2}{\text{/}}a_{i}^{2}$.

При слабом демпфировании коэффициент поглощения ${{\psi }_{i}}$ связан с логарифмическим декрементом колебаний ${{\delta }_{i}} = \ln ({{a}_{i}}{\text{/}}{{a}_{{i + 1}}})$ зависимостью ${{\psi }_{i}} = 2{{\delta }_{i}}$. Индексом i отмечается зависимость коэффициента поглощения энергии ${{\psi }_{i}}$ и декремента колебаний ${{\delta }_{i}}$ от амплитуды на соответствующем периоде колебаний.

Так как $\Delta {{E}_{i}} = {{\psi }_{i}}{{E}_{i}} = {{\psi }_{i}}m{v}_{i}^{2}{\text{/}}2$, то из (2.1), следует

где $S = NR_{ * }^{2}$ – площадь плоской части одной из пластин сборки. В (2.2) коэффициенты поглощения энергии ${{\psi }_{i}}$ вычисляются по записи свободных затухающих колебаний сборки пластин, а обобщенная масса – по измеренной частоте свободных колебаний и коэффициенту жесткости упругой подвески $k$. Функция $f(a,\operatorname{Re} ,\tau )$ определяется с погрешностью, так как в ней не учитывается влияние краевых эффектов.

Зависимость функции $f(a,\operatorname{Re} ,\tau )$ от числа Рейнольдса можно получить изменением жесткости пружин упругой подвески или массы груза на ней. В более широком диапазоне чисел Рейнольдса эту зависимость проще получить, испытывая сборки пластин с геометрически подобными ячейками, образованными ребрами жесткости.

Если функция $f(a,\operatorname{Re} ,\tau )$ экспериментально определена, то диссипация энергии за период колебаний на единице площади пластины, принимая во внимание зависимость (2.1), находится по формуле

Заметим, что зависимость (2.3) приближенно выполняется и для неравномерного обтекания жидкостью стенки с ребрами жесткости, если скорость порождающего вихревое движение жидкости потока мало изменяется на расстоянии характерного размера ${{R}_{ * }}$.

3. РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ

Проводились испытания сборок пластин, для которых ${{b}_{2}}{\text{/}}{{b}_{1}} = 0.975$, т.е. с почти квадратной формой ячеек, образованных ребрами жесткости. Исследовалась зависимость функции $f(a,{\text{Re}},\tau )$ от безразмерной амплитуды колебаний a и числа Рейнольдса $\operatorname{Re} $. В испытаниях разных сборок пластин частоты свободных колебаний находились в диапазоне 0.365–0.425 Гц при постоянной жесткости упругой подвески. Изменение частоты свободных колебаний связано с изменением массы сборок пластин, изменением присоединенной массы жидкости в разных сборках и необходимостью размещения сборок в центре емкости с жидкостью.

На рис. 3 данные 1 соответствуют результатам экспериментального определения функции $f(a,{\text{Re}},\tau )$ при испытаниях сборки 1 пластин с характерными безразмерными параметрами: $H{\text{/}}{{R}_{ * }}$ = 0.455, $h{\text{/}}{{R}_{ * }} = 0.18$, ${{\tau }_{1}}{\text{/}}{{R}_{ * }} = {{\tau }_{2}}{\text{/}}{{R}_{ * }} = 0.03$. Количество ячеек ребер жесткости на пластине с одной стороны сборки $N = 4 \times 6$, как показано на рис. 1.

Демпфирование колебаний сборки пластин на упругой подвеске в жидкости достаточно высокое, так что реализуется малое число периодов колебаний с амплитудами, сравнимыми с характерным линейным размером ячеек ребер жесткости. Поэтому проводилась неоднократная запись свободных затухающих колебаний с разными начальными отклонениями от положения равновесия. Экспериментальные точки, показанные на рис. 3, получены при различных начальных отклонениях сборки пластин от положения равновесия.

Зависимость функции $f(a,{\text{Re}},\tau )$ от амплитуды колебаний имеет весьма характерный вид. До величины $a = 0.2$ функция резко возрастает, достигая значения 0.24. Далее до амплитуды $a = 1.0$ происходит относительно медленное возрастание, а в интервале амплитуд $1.0 < a < 2.5$ функция практически не изменяется, сохраняя значение около 0.32. Таким образом, в интересном для некоторых практических приложений диапазоне амплитуд, связанных с колебаниями жидкости в баках с вафельными стенками, эта функция принимает почти постоянное значение.

На рис. 3 данные 2 показывают результаты экспериментального определения функции $f(a,{\text{Re}},\tau )$ при испытаниях сборки 2 пластин с характерными безразмерными параметрами: $h{\text{/}}{{R}_{ * }}$ = 0.2, ${{\tau }_{1}}{\text{/}}{{R}_{ * }} = 0.022$, ${{\tau }_{2}}{\text{/}}{{R}_{ * }} = 0.02$. Остальные размеры сохранились. По сравнению со сборкой 1 примерно в полтора раза уменьшилась толщина ребер жесткости и немного увеличилась высота ребер жесткости, но, как видно, зависимость функции $f(a,{\text{Re}},\tau )$ от амплитуды колебаний почти не изменилась.

Для определения зависимости диссипации энергии от числа Рейнольдса проводились испытания двух сборок, которые собирались из пластин, выполненных с ячейками ребер жесткости в масштабе М 1:2 и М 1:5 к ячейкам ребер жесткости в пластинах сборки 1. Результаты экспериментального определения зависимости функции $f(a,{\text{Re}},\tau )$ от амплитуды колебаний при испытаниях сборки 3 показаны на рис. 3 данными 3. Характерный размер ${{R}_{ * }}$ в этой сборке пластин изменился в два раза, а число Рейнольдса изменилось не в четыре раза, а несколько меньше из-за небольшого увеличения частоты колебаний. Безразмерные геометрические параметры не изменились и такие же, как в сборке пластин 1. Габаритные линейные размеры этой сборки также не изменились. Количество ячеек ребер жесткости на пластине с одной стороны сборки $N = 8 \times 12$.

Зависимость функции $f(a,{\text{Re}},\tau )$ от амплитуды колебаний несколько изменилась. До амплитуды, равной характерному размеру ${{R}_{ * }}$, безразмерная величина которой $a = 1.0$, функция плавно возрастает, достигая значения 0.35. При амплитудах колебаний, превышающих характерный размер ${{R}_{ * }}$, функция от амплитуды практически не зависит. В этом диапазоне амплитуд уменьшение числа Рейнольдса в 3.7 раза привело к незначительному увеличению функции $f(a,{\text{Re,}}\tau )$ приблизительно от значения 0.32 до 0.35. Представляется вероятным, что при некоторой амплитуде периодического потока жидкости наступает насыщение вихревого движения в ячейках ребер жесткости, и дальнейший рост потерь энергии с увеличением амплитуды сильно замедляется.

Результаты экспериментального определения зависимости функции $f(a,{\text{Re}},\tau )$ от амплитуды колебаний при испытаниях сборки 4 показаны на рис. 3 данными 4. Характерный линейный размер ${{R}_{ * }}$ ячеек ребер жесткости по сравнению с пластинами в сборке 1 уменьшился в пять раз. Безразмерная толщина ребер жесткости ${{\tau }_{1}}{\text{/}}{{R}_{ * }} = {{\tau }_{2}}{\text{/}}{{R}_{ * }} = 0.046$ увеличилась примерно в полтора раза из-за сложности изготовления пластин с ребрами жесткости весьма малой толщины. Геометрическое подобие по остальным параметрам сохранилось. Линейные габаритные размеры этой сборки пластин изменились. Количество ячеек ребер жесткости на пластине с одной стороны сборки $N = 20 \times 12$.

Как видно, существенно изменилась зависимость функции $f(a,{\text{Re}},\tau )$ от амплитуды колебаний. Наблюдается плавное возрастание функции приблизительно до значения 0.46 на безразмерной амплитуде $a \approx 2$, что примерно в 1.5 раза выше, чем при испытаниях сборки пластин 1 с той же безразмерной амплитудой колебаний. Числа Рейнольдса в этих испытаниях отличаются в 23 раза. Заметим, что при колебаниях в своей плоскости гладкой пластинки характерная толщина периодического пограничного слоя $\delta = {{(2\nu {\text{/}}\omega )}^{{1/2}}}$ [15]. Высота ребер жесткости в пластинах сборки 4 всего в четыре раза превышала эту величину, т.е. сравнима с толщиной пограничного слоя, что может объяснять изменение вида зависимости функции $f(a,{\text{Re}},\tau )$ от амплитуды колебаний.

Движение жидкости в ячейках, примыкающих к краям сборок пластин, несколько иное, чем в ячейках, удаленных от краев, и зависит от параметра $H{\text{/}}{{R}_{ * }}$. Подобие по параметру $H{\text{/}}{{R}_{ * }}$ во всех испытаниях выполнялось. Следовательно, одинаковым должно быть и обусловленное этим параметром влияние. При испытаниях сборок пластин 1, 2 с числом ячеек $4 \times 6$ и сборок пластин 3 с числом ячеек 8 × 12 предельные значения функции $f(a,{\text{Re}},\tau )$ отличаются весьма незначительно. Габаритные размеры пластин в этих сборках были одинаковые. С увеличением числа ячеек ребер жесткости влияние краевых эффектов уменьшается, а точность определения функции $f(a,{\text{Re}},\tau )$ повышается. Представляется, что числа ячеек 8 × 12 достаточно для установления характера зависимости функции $f(a,{\text{Re}},\tau )$ от амплитуды колебаний.

Диссипация энергии в существенно большей степени зависит от числа поперечных ребер жесткости, перпендикулярных направлению колебаний. В сборке пластин 3 с числом ячеек $8 \times 12$ и в сборке пластин 4 с числом ячеек $20 \times 12$ число поперечных ребер жесткости одинаково и равно 12, а характер зависимости функции $f(a,{\text{Re}},\tau )$ от амплитуды колебаний существенно изменился. Так как подобие по параметру $H{\text{/}}{{R}_{ * }}$ выполняется, то влиянием краевых эффектов невозможно объяснить изменение характера зависимости функции $f(a,{\text{Re}},\tau )$ от амплитуды колебаний при уменьшении числа Рейнольдса до величины $\operatorname{Re} = 1245$.

Таким образом, при отношении высоты ребер жесткости к характерному линейному размеру ячеек ребер жесткости $h{\text{/}}{{R}_{ * }} \approx 0.18$ зависимость функции $f(a,{\text{Re}},\tau )$ исследована в широком диапазоне амплитуд колебаний и чисел Рейнольдса. Безразмерная амплитуда колебаний $a$ определена отношением амплитуды к характерному линейному размеру ячеек ребер жесткости. Число Рейнольдса $\operatorname{Re} $ определено по круговой частоте колебаний, характерному линейному размеру ячеек ребер жесткости и кинематической вязкости жидкости. Переменной $\tau $ в функции обозначается совокупность всех безразмерных геометрических параметров ячеек ребер жесткости.

Из полученных результатов следует, что при больших числах Рейнольдса и амплитудах колебаний, сравнимых по порядку величины с характерным линейным размером ячеек ребер жесткости ${{R}_{ * }}$, функция $f(a,{\text{Re}},\tau )$ почти не зависит от безразмерных амплитуд колебаний и типичных малых размеров толщины ребер жесткости. Следовательно, принимая во внимание зависимость (2.3), диссипация энергии на единицу площади за период колебаний при этом пропорциональна линейному масштабу ячеек ребер жесткости и квадрату амплитуды колебаний скорости.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведено экспериментальное исследование диссипации энергии при колебаниях пластин с двоякопериодической структурой ребер жесткости в жидкости. Исследована зависимость диссипации энергии за период колебаний от безразмерной амплитуды колебаний и числа Рейнольдса, которые являются критериями подобия. Установлено, что при больших числах Рейнольдса и амплитудах колебаний, сравнимых по порядку величины с линейным размером ячеек ребер жесткости, диссипация энергии на единицу площади за период колебаний пропорциональна квадрату амплитуды скорости и линейному масштабу ячеек ребер жесткости.