Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 499, № 1, стр. 49-53

1. УПРАВЛЯЕМАЯ СИСТЕМА И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ВКЛЮЧЕНИЕ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА

На промежутке времени $[{{t}_{0}},\vartheta ]$, ${{t}_{0}} < \vartheta < \infty $, задана управляемая система

здесь t – время; $x \in {{\mathbb{R}}^{n}}$ – фазовый вектор системы (1); $u \in P \in {\text{comp}}({{\mathbb{R}}^{p}})$ – управляющее воздействие; $\alpha \in \mathcal{L}$ – параметр, $\mathcal{L}$ – компакт в метрическом пространстве $\mathbb{E}$ с метрикой $r(\alpha ,\beta )$, $\alpha $ и $\beta $ из $\mathbb{E}$; ${\text{comp}}({{\mathbb{R}}^{k}})$ – пространство компактов в ${{\mathbb{R}}^{k}}$ с хаусдорфовой метрикой $d({{X}_{*}},X{\kern 1pt} *) = max(h({{X}_{*}},X{\kern 1pt} *),$ $h(X{\kern 1pt} *,{{X}_{*}}))$, $h({{X}_{*}},X{\kern 1pt} *) = \mathop {max}\limits_{{{x}_{ * }} \in {{X}_{ * }}} \rho ({{x}_{*}},X{\kern 1pt} *)$ – хаусдорфово отклонение ${{X}_{*}}$ от X*, где $\rho ({{x}_{*}},X{\kern 1pt} *)$ = = $\mathop {min}\limits_{x{\kern 1pt} * \in X{\kern 1pt} *} \left\| {{{x}_{*}} - x{\kern 1pt} *} \right\|$.

Предполагается, что система (1) удовлетворяет условиям:

A. Функция ${{f}_{\alpha }}(t,x,u)$ определена на [t₀, ϑ] × × ${{\mathbb{R}}^{n}} \times P \times \mathcal{L}$ и для любой ограниченной и замкнутой области $D \subset [{{t}_{0}},\vartheta ] \times {{\mathbb{R}}^{n}}$ найдутся такие функция $\omega {\kern 1pt} {\text{*}}(\xi )$, $\xi \in (0,\infty )$ ($\omega {\kern 1pt} {\text{*}}(\xi ) \downarrow 0$, $\xi \downarrow 0$) и непрерывная функция $L(t) \in (0,\infty )$, $t \in [{{t}_{0}},\vartheta ]$, что

Б. Найдется такое $\gamma \in (0,\infty )$, что

Введем многозначное отображение на [t₀, ϑ] × ${{\mathbb{R}}^{n}}$

Отображение $(t,x) \mapsto {{F}_{\alpha }}(t,x) \in {\text{comp}}({{\mathbb{R}}^{n}})$ удовлетворяет условиям, индуцируемым условиями А, Б.

А*. Для любой ограниченной и замкнутой области $D \subset [{{t}_{0}},\vartheta ] \times {{\mathbb{R}}^{n}}$ и функций $\omega {\kern 1pt} *(r)$ и $L(t)$ выполняются соотношения

Б*. Справедливо неравенство

Введем дифференциальное включение (д.в.)

Пусть ${{t}_{*}}$ и t* из $[{{t}_{0}},\vartheta ]$ (${{t}_{0}} \leqslant {{t}_{*}} < t{\kern 1pt} * \leqslant \vartheta $) , ${{x}_{*}} \in {{\mathbb{R}}^{n}}$, ${{X}_{*}} \in {\text{comp}}({{\mathbb{R}}^{n}})$, $\alpha \in \mathcal{L}$. Полагаем

${{X}_{\alpha }}(t{\kern 1pt} *,{{t}_{*}},{{x}_{*}})$ – множество достижимости д.в. (4) в момент t* с начальной точкой $x({{t}_{*}}) = {{x}_{*}}$,

${{X}_{\alpha }}(t{\kern 1pt} *,{{t}_{*}},{{X}_{*}})$ – множество достижимости д.в. (4) в момент t* с начальным множеством ${{X}_{*}}$.

Известно, что ${{X}_{\alpha }}(t{\kern 1pt} *,{{t}_{*}},{{X}_{*}}) \in {\text{comp}}({{\mathbb{R}}^{n}})$, отображение $(t{\kern 1pt} *,{{t}_{*}},{{X}_{*}}) \mapsto {{X}_{\alpha }}(t{\kern 1pt} *,{{t}_{*}},{{X}_{*}})$ непрерывно по t* на $[{{t}_{*}},\vartheta ]$ при фиксированных $({{t}_{*}},{{X}_{*}})$ и непрерывно зависит от ${{X}_{*}}$ при фиксированных ${{t}_{*}}$, t*. Также отображение $\alpha \mapsto {{X}_{\alpha }}(t{\kern 1pt} *,{{t}_{*}},{{X}_{*}})$ непрерывно на $\mathcal{L}$.

2. О ЗАВИСИМОСТИ МНОЖЕСТВ ДОСТИЖИМОСТИ И ИНТЕГРАЛЬНЫХ ВОРОНОК ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ ОТ ПАРАМЕТРА

Уточним зависимость ${{X}_{\alpha }}(t{\kern 1pt} *,{{t}_{*}},{{X}_{*}})$ от α: оценим сверху величину

как функцию от $r(\alpha ,\beta )$.

Для этого введем разбиение Γ = {τ₀ = = ${{t}_{*}},{{\tau }_{1}},...,{{\tau }_{i}}$, ..., τ_N = t*} промежутка $[{{t}_{*}},t{\kern 1pt} *]$ (${{\tau }_{{i + 1}}} - {{\tau }_{i}} = {{\Delta }_{i}} = \Delta = \Delta (\Gamma )$ = ${{N}^{{ - 1}}}(t{\kern 1pt} {\text{*}} - \,{{t}_{*}})$) и систему множеств $\{ \tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{\tau }_{i}}):{{\tau }_{i}} \in \Gamma \} $, отвечающую этому разбиению:

где обозначено $\tilde {X}_{\alpha }^{{}}(\tau {\kern 1pt} *,{{\tau }_{*}},{{Y}_{*}})$ = {x* ∈ ${{\mathbb{R}}^{n}}:x{\kern 1pt} *$ = = ${{y}_{*}}\, + \,(\tau {\kern 1pt} *\, - \,{{\tau }_{*}}){{f}_{*}}$, ${{y}_{*}}\, \in \,{{Y}_{*}}$, ${{f}_{*}}\, \in \,{{F}_{\alpha }}({{\tau }_{*}},{{y}_{*}})\} $, ${{t}_{*}}\, \leqslant \,{{\tau }_{*}}$ < < $\tau {\kern 1pt} *\, \leqslant \,t{\kern 1pt} *$, ${{Y}_{*}} \in {\text{comp}}\,({{\mathbb{R}}^{n}})$.

Множества ${{X}_{\alpha }}(t{\kern 1pt} *,{{t}_{*}},{{X}_{*}})$ и $\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }(t{\kern 1pt} *) = \tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{\tau }_{N}})$ при условиях A*, B* стеснены равенством

здесь имеется в виду сходимость множеств в хаусдорфовой метрике.

Равенством (6) воспользуемся при выводе оценки величины (5). Учитывая условия, наложенные на систему (1), можем указать ограниченную и замкнутую область D в $[{{t}_{0}},\vartheta ] \times {{\mathbb{R}}^{n}}$, которая заключает в себе все множества, участвующие в последующих выкладках. Считаем, что в этих выкладках задействованы функции $\omega {\kern 1pt} {\text{*}}(r)$, $r \in (0,\infty )$ и $L(t)$, $t \in [{{t}_{0}},\vartheta ]$, отвечающие этой области.

Вывод оценки величины (5) сначала проведем для одноточечного множества ${{X}_{*}} = \{ {{x}_{*}}\} $, $({{t}_{ * }},{{x}_{ * }}) \in D$. При этом практикуем пошаговую схему рассуждений, продвигаясь в выводе оценки последовательно по шагам $[{{\tau }_{i}},{{\tau }_{{i + 1}}}]$ разбиения $\Gamma $.

На начальном шаге рассмотрим промежуток $[{{\tau }_{0}},{{\tau }_{1}}]$. Оценим сверху хаусдорфово отклонение $h(\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{\tau }_{1}}),\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{1}}))$, α и $\beta $ из $\mathcal{L}$; здесь $\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{\tau }_{1}})$ = = $\tilde {X}_{\alpha }^{{}}({{\tau }_{1}},{{\tau }_{0}},{{x}_{*}})$, $\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{1}}) = \tilde {X}_{\beta }^{{}}({{\tau }_{1}},{{\tau }_{0}},{{x}_{*}})$.

В $\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{\tau }_{1}})$ выберем точку $x({{\tau }_{1}})$, где ρ(x(τ₁), $\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{1}})) = h(\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{\tau }_{1}}),\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{1}}))$. Точка $x({{\tau }_{1}})$ представима в виде $x({{\tau }_{1}}) = {{x}_{*}} + \Delta {{f}_{\alpha }}({{\tau }_{0}})$, ${{f}_{\alpha }}({{\tau }_{0}}) \in {{F}_{\alpha }}({{\tau }_{0}},{{x}_{*}})$.

Вектор ${{f}_{\beta }}({{\tau }_{0}})$, ближайший к ${{f}_{\alpha }}({{\tau }_{0}})$ в ${{F}_{\beta }}({{\tau }_{0}},{{x}_{*}})$, удовлетворяет неравенству ||f_α(τ₀) – f_β(τ₀)|| ≤ ≤ h(F_α(τ₀, ${{x}_{*}}),{{F}_{\beta }}({{\tau }_{0}},{{x}_{*}})) \leqslant \omega {\kern 1pt} *(r(\alpha ,\beta ))$.

Точка $y({{\tau }_{1}}) = {{x}_{*}} + \Delta {{f}_{\beta }}({{\tau }_{0}}) \in \tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{1}})$ удовлетворяет неравенству $\left\| {x({{\tau }_{1}}) - y({{\tau }_{1}})} \right\| \leqslant \Delta \omega {\kern 1pt} *(r(\alpha ,\beta ))$. Из определения точки $x({{\tau }_{1}})$ и включения $y({{\tau }_{1}}) \in \tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{1}})$ следует

Обратимся теперь к промежутку $[{{\tau }_{1}},{{\tau }_{2}}]$ разбиения $\Gamma $ и множествам $\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{\tau }_{2}}) = \tilde {X}_{\alpha }^{{}}({{\tau }_{2}},{{\tau }_{1}},\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{\tau }_{1}}))$, $\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{2}}) = \tilde {X}_{\beta }^{{}}({{\tau }_{2}},{{\tau }_{1}},\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{1}}))$.

В $\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{\tau }_{2}})$ выберем точку $x({{\tau }_{2}})$, где

Справедливо представление для x(τ₂): x(τ₂) = =  ${{x}_{ * }}({{\tau }_{1}}) + \Delta {{f}_{\alpha }}({{\tau }_{1}})$, ${{x}_{ * }}({{\tau }_{1}}) \in \tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{\tau }_{1}})$, f_α(τ₁) ∈ F_α(τ₁, ${{x}_{ * }}({{\tau }_{1}}))$.

В $\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{1}})$ выберем точку ${{y}_{*}}({{\tau }_{1}})$, ближайшую к ${{x}_{*}}({{\tau }_{1}})$: $\left\| {{{x}_{*}}({{\tau }_{1}}) - {{y}_{*}}({{\tau }_{1}})} \right\| = \rho ({{x}_{*}}({{\tau }_{1}}),\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{1}}))$. Справедлива оценка

В ${{F}_{\beta }}({{\tau }_{1}},{{y}_{*}}({{\tau }_{1}}))$ выберем вектор ${{f}_{\beta }}({{\tau }_{1}})$, ближайший к ${{f}_{\alpha }}({{\tau }_{1}})$. Справедливо неравенство ||f_α(τ₁) – ‒ f_β(τ₁)|| ≤ $h({{F}_{\alpha }}({{\tau }_{1}},{{x}_{*}}({{\tau }_{1}})),{{F}_{\beta }}({{\tau }_{1}},{{y}_{*}}({{\tau }_{1}})))$ ≤ ω*(r(α, $\beta )) + L({{\tau }_{1}})h({{\tau }_{1}})$, согласно (2) и (3).

Введем точку $y({{\tau }_{2}})\, = \,{{y}_{*}}({{\tau }_{1}})\, + \,\Delta {{f}_{\beta }}({{\tau }_{1}})$, ${{y}_{*}}({{\tau }_{1}})$ ∈ ∈ $\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{1}})$, ${{f}_{\beta }}({{\tau }_{1}}) \in {{F}_{\beta }}({{\tau }_{1}},{{y}_{*}}({{\tau }_{1}}))$.

Точки x(τ₂) и $y({{\tau }_{2}})$ стеснены неравенством

Принимая во внимание (8) и включение $y({{\tau }_{2}})\, \in \,\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{2}})$, получаем

Из (10), (11) следует

Рассмотрим следующий промежуток $[{{\tau }_{2}},{{\tau }_{3}}]$ разбиения $\Gamma $ и множества $\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{\tau }_{3}})$ = $\tilde {X}_{\alpha }^{{}}({{\tau }_{3}},{{\tau }_{2}},\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{\tau }_{2}}))$, $\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{3}}) = \tilde {X}_{\beta }^{{}}({{\tau }_{3}},{{\tau }_{2}},\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{2}}))$.

Оценим сверху $h(\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }{{\tau }_{3}}),\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{3}}))$. Для этого выберем точку x(τ₃) в $\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{\tau }_{3}})$:

Точка $x({{\tau }_{3}})$ представима в виде

Выберем в $\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{2}})$ точку ${{y}_{*}}({{\tau }_{2}})$, ближайшую к ${{x}_{*}}({{\tau }_{2}})$:

Выполняется $\left\| {{{x}_{*}}({{\tau }_{2}})\, - \,{{y}_{*}}({{\tau }_{2}})} \right\|\, \leqslant \,h(\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{\tau }_{2}}),\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{2}}))$.

Выберем в ${{F}_{\beta }}({{\tau }_{2}},{{y}_{*}}({{\tau }_{2}}))$ вектор ${{f}_{\beta }}({{\tau }_{2}})$, ближайший к ${{f}_{\alpha }}({{\tau }_{2}})$, и получаем оценку

Рассмотрим точку y(τ₃) = ${{y}_{*}}({{\tau }_{2}})$ + Δf_β(τ₂) ∈ ∈ $\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{3}})$.

Точки $x({{\tau }_{3}})$ и $y({{\tau }_{3}})$ удовлетворяют неравенству

Учитывая (13) и $y({{\tau }_{3}}) \in \tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{3}})$, имеем

Из оценок (7), (14), (15) получаем

Анализируя оценки (12), (16), заключаем, что величина $h(\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{\tau }_{{i + 1}}}),\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{{i + 1}}}))$ стеснена неравенством

Оценка (17) обосновывается с помощью метода математической индукции.

Очевидно, что оценка сверху величины $h(\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }({{\tau }_{{i + 1}}}),\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{\tau }_{{i + 1}}}))$, $i = 0,1,...,N - 1$ аналогична оценке (17). Учитывая это, сформулируем утверждение.

Лемма 1. Пусть $[{{t}_{*}},t{\kern 1pt} *] \subset [{{t}_{0}},\vartheta ]$, ${{X}_{*}}\, \in \,{\text{comp}}({{\mathbb{R}}^{n}})$, $\Gamma = \{ {{\tau }_{0}} = {{t}_{*}},{{\tau }_{1}},...,{{\tau }_{i}},...,{{\tau }_{N}} = t{\kern 1pt} *\} $ (${{\tau }_{{i + 1}}} - {{\tau }_{i}}$ = Δ_i = Δ, $i = 0,1,...,N - 1$) и $\{ \tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }({{\tau }_{i}}):{{\tau }_{i}} \in \Gamma \} $ – система множеств (5), аппроксимирующая множество достижимости ${{X}_{\alpha }}(t{\kern 1pt} *,{{t}_{*}},{{X}_{*}})$, $\alpha \in L$ д.в. (4). Справедлива оценка

$\alpha $ и $\beta $ из $\mathcal{L}$, $i = 0,1,...,N - 1$.

Представим некоторые загрубления этой оценки, более простые по форме.

Заменив в (18) единицу и экспоненты ${{e}^{{\sum\limits_{k = r}^i \,L({{\tau }_{k}}){{\Delta }_{k}}}}}$, $r = 1,2,...,i$, большей экспонентой ${{e}^{{\sum\limits_{k = 0}^i \,L({{\tau }_{k}}){{\Delta }_{k}}}}}$, получаем оценку

В частности, справедлива оценка

Заменив в оценке (20) числа $L({{\tau }_{k}})$, k = = $0,...,N - 1$, каким-либо L, удовлетворяющим неравенству $\mathop {max}\limits_{t \in [{{t}_{0}},\vartheta ]} L(t) \leqslant L < \infty $, получаем более грубую оценку

Мы изучили случай, когда ${{X}_{*}}\, = \,\{ {{x}_{*}}\} $, $({{t}_{*}},{{x}_{*}})\, \in \,D$, и для него получили оценки (18)–(21). Эти оценки справедливы и в общем случае ${{X}_{*}} \in {\text{comp}}({{\mathbb{R}}^{n}})$, $({{t}_{*}},{{X}_{*}}) \subset D$.

В общем случае выделим из (18)–(21) для последующих выкладок оценку (20). Наряду с множествами $\tilde {X}_{\alpha }^{\Gamma }(t{\kern 1pt} *)$ и $\tilde {X}_{\beta }^{\Gamma }(t{\kern 1pt} *)$, входящими в (20), рассмотрим множества достижимости X_α(t*) = = ${{X}_{\alpha }}(t{\kern 1pt} *,{{t}_{*}},{{X}_{*}})$ и ${{X}_{\beta }}(t{\kern 1pt} *) = {{X}_{\beta }}(t{\kern 1pt} *,{{t}_{*}},{{X}_{*}})$ д.в. (4).

Можно показать, что справедливы оценки

здесь K = $max(\left\| {{{f}_{\alpha }}(t,x,u)} \right\|{\text{: }}(t,x,u,\alpha )\, \in \,D\, \times \,P\, \times \,\mathcal{L})\, < \,\infty $, $\Delta = \Delta (\Gamma )$.

Принимая во внимание (21), (22), получаем

Так как эта оценка имеет место при любых разбиениях Γ промежутка $[{{t}_{0}},\vartheta ]$, то устремив $\Delta = \Delta (\Gamma )$ к нулю, получаем

здесь $\int\limits_{{{t}_{ * }}}^{t{\kern 1pt} *} \,L(t)dt$ – интеграл Римана функции $L(t)$ на отрезке $[{{t}_{*}},t{\kern 1pt} *]$.

В результате справедливо следующее утверждение.

Лемма 2. Пусть $[{{t}_{*}},t{\kern 1pt} *]\, \subset \,[{{t}_{0}},\vartheta ]$, ${{X}_{*}} \in {\text{comp}}({{\mathbb{R}}^{n}})$ и L(t), $t \in [{{t}_{0}},\vartheta ]$ – функция, удовлетворяющая условию A. Тогда множество ${{X}_{\alpha }}(t{\kern 1pt} *) = {{X}_{\alpha }}(t{\kern 1pt} *,{{t}_{*}},{{X}_{*}})$ и ${{X}_{\beta }}(t{\kern 1pt} *)$ = ${{X}_{\beta }}(t{\kern 1pt} *,{{t}_{*}},{{X}_{*}})$, $\alpha $ и $\beta $ из $\mathcal{L}$ стеснены оценкой (23).

Обратимся теперь к промежутку $[{{t}_{0}},\vartheta ]$, на котором изначально рассматриваем систему (1) и д.в. (4). Полагая в предыдущих выкладках ${{t}_{*}} = {{t}_{0}}$, $t{\kern 1pt} * = t \in [{{t}_{0}},\vartheta ]$, ${{X}_{*}} = {{X}^{{(0)}}} \in {\text{comp}}({{\mathbb{R}}^{n}})$, $({{t}_{0}},{{X}^{{(0)}}}) \subset D$, получаем для множества достижимости X_α(t) = = ${{X}_{\alpha }}(t,{{t}_{0}},{{X}^{{(0)}}})$ и ${{X}_{\beta }}(t) = {{X}_{\beta }}(t,{{t}_{0}},{{X}^{{(0)}}})$ оценку

$t \in [{{t}_{0}},\vartheta ]$, α и β из $\mathcal{L}$.

Наряду с множествами достижимости ${{X}_{\alpha }}(t)$, $t \in [{{t}_{0}},\vartheta ]$, $\alpha \in \mathcal{L}$ рассмотрим интегральные воронки ${{X}_{\alpha }}({{t}_{0}},{{X}^{{(0)}}}) = \bigcup\limits_{t \in [{{t}_{0}},\vartheta ]} \,(t,{{X}_{\alpha }}(t))$, $\alpha \in \mathcal{L}$ д.в. (4).

Из определения интегральных воронок и оценки (24) следует