Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 499, № 1, стр. 8-12
НОВЫЙ КЛАСС ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ВЫРОЖДЕННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ p-РЕГУЛЯРНОСТИ
Академик РАН Ю. Г. Евтушенко 1, 2, *, А. А. Третьяков 1, 3, 4, **
1 Вычислительный центр им. А.А. Дородницына Федерального исследовательского центра “Информатика и управление”
Российской академии наук
Москва, Россия
2 Московский физико-технический институт (государственный университет)
Долгопрудный, Московская область, Россия
3 System Research Institute, Polish Academy of Sciences
Warsaw, Poland
4 Siedlce University, Faculty of Sciences
Siedlce, Poland
* E-mail: yuri-evtushenko@yandex.ru
** E-mail: prof.tretyakov@gmail.com
Поступила в редакцию 22.04.2021
После доработки 22.04.2021
Принята к публикации 08.06.2021
Аннотация
Предлагается новый подход для исследования на устойчивость динамических систем в случае, когда традиционные функции Ляпунова не эффективны или вообще не применимы для исследования. Основное аппаратное средство, которое используется для анализа вырожденных систем, это так называемая p-фактор функция Ляпунова, позволяющая сводить исходную задачу к новой на основе конструкций теории p-регулярности. Приводится пример содержательного применения рассматриваемого в статье метода.
Рассматривается автономная система обыкновенных дифференциальных уравнений вида
где вектор-функция $f \in {{C}^{{p + 1}}}({{\mathbb{R}}^{n}})$. При этом начальное условие $x({{t}_{0}}) = {{x}_{0}}$ определяет единственное решение системы (1). Предполагаем, что $f(0) = 0$, т.е. точка решения $x{\text{*}}(t) \equiv 0$ является положением равновесия системы (1), и будем изучать вопрос асимптотической устойчивости этого решения, а также возможность модификации системы (1) в случае неусточивости таким образом, чтобы получить новую систему с тем же положением равновесия, но уже устойчивого.Опpеделение 1. Будем говорить, что решение $x{\text{*}}(t) \equiv 0$ системы (1) устойчиво, или устойчиво по Ляпунову, если $\forall \varepsilon > 0$ $\exists \delta = \delta (\varepsilon )$ такое, что $\left\| {x({{x}_{0}}(t))} \right\| \leqslant \varepsilon $ $\forall t \geqslant {{t}_{0}}$ при $\left\| {{{x}_{0}}} \right\| \leqslant \delta $.
Опpеделение 2. Будем говорить, что решение $x{\text{*}}(t) = 0$ системы (1) является асимтотически устойчивым в окрестности $U(x*)$, если оно устойчиво по Ляпунову и
Для изучения вопроса устойчивости является весьма эффективным аппарат функций Ляпунова (см., например, [1–11, 13]). Далее для простоты считаем ${{t}_{0}} = 0$.
Опpеделение 3. Непрерывно дифференцируемая функция $\nu (x)$ называется функцией Ляпунова, если $\nu (x)$ > 0 и $\tfrac{{d\nu (x)}}{{dt}} < 0$ $\forall x \in U(x*){{\backslash \{ }}x*{\text{\} }}$, $\nu (x*) = 0$.
Для анализа устойчивости системы (1) применима классическая теорема Ляпунова [13], которую мы сформулируем в следующем виде.
Теоpема 1 (Ляпунова). Если для системы (1) существует функция Ляпунова, то тривиальное решение $x{\text{*}}(t) = 0$ асимптотически устойчиво.
Традиционно используются следующие функции Ляпунова:
Если матрица $f\,{\text{'}}(x*)$ отрицательно определена, то очевидно $\tfrac{{d\nu (x)}}{{dt}} < 0$, $x \in U(x*){{\backslash \{ }}x*{\text{\} }}$.
Существует обширный класс систем вида (1), в которых отображение $f(x)$ вырождено в точке $x* = 0$, т.е. f '(x*) вырождено, и строить функцию Ляпунова затруднительно. Например, для систем вида $\dot {x} = {{x}^{{2p}}}$, $p \geqslant 1$, $p \in \mathbb{N}$, $x \in \mathbb{R}$ или $\mathop {\dot {x}}\nolimits_1 = {{x}_{1}} + {{x}_{1}}{{x}_{2}}$, $\mathop {\dot {x}}\nolimits_2 = x_{1}^{2} + x_{2}^{3}$, $x \in {{\mathbb{R}}^{2}}$ и т.д. В этом случае матрица $f\,{\text{'}}(x*)$ вырождена в точке x* = 0 и применить классическую функцию Ляпунова типа (3) невозможно. Оказывается, для вырожденных систем (1) эффективным методом исследования устойчивости является аппарат теории p-регулярности, описание и основные конструкции которого можно найти, например, в [12].
1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ p-РЕГУЛЯРНОСТИ
Пусть отображение $f( \cdot )\,{\text{:}}\,X \to Y$ достаточно гладкое (по крайней мере до порядка p + 1), X, $Y$ – банаховы пространства. Считаем при этом в точке $x* \in X$, $f(x*) = 0$. Для нас интересен случай вырождения $f( \cdot )$ в точке $x{\text{*}}$, т.е. ${\text{Im}}\,f\,{\text{'}}(x*) \ne Y$. Пусть пространство Y разложимо в прямую сумму подпространств
где ${{Y}_{1}} = \overline {{\text{Im}}\,f\,{\text{'}}(x*)} $, ${{Z}_{1}} = Y$ и пусть ${{Z}_{2}}$ – замкнутое дополнение пространства ${{Y}_{1}}$ до Y (мы предполагаем, что такое существует). Обозначим через ${{P}_{{{{Z}_{2}}}}}{\text{:}}\,\,Y \to {{Z}_{2}}$ оператор проектирования на ${{Z}_{2}}$ параллельно ${{Y}_{1}}$. Тогда через ${{Y}_{2}}$ обозначим замыкание линейной оболочки образа квадратичной формы ${{P}_{{{{Z}_{2}}}}}{{f}^{{(2)}}}(x*){{[ \cdot ]}^{2}}$. Далее определим индуктивно(5)
${{f}_{i}}(x) = {{P}_{{{{Y}_{i}}}}}f(x)\,{\text{:}}\,\,X \to {{Y}_{i}},\quad i = 1,\; \ldots ,\;p,$Опpеделение 4. Линейный оператор ${{\Psi }_{p}}(x,h) \in L(X,{{Y}_{1}} \oplus \; \ldots \; \oplus {{Y}_{p}})$, $h \in X$, $\left\| h \right\| \ne 0$,
(6)
${{\Psi }_{p}}(x,h) = f_{1}^{'}(x) + f_{2}^{{''}}(x)h + \; \ldots \; + f_{p}^{{(p)}}(x){{[h]}^{{p - 1}}}$Опpеделение 5. Будем говорить, что отображение $f( \cdot )$ $p$-регулярно в точке x* на элементе $h$, если матрица ${{\Psi }_{p}}(x*,h)$ не вырождена, т.е. ${\text{Im}}{{\Psi }_{p}}(x*,h)$ = Y.
Пусть ${\text{Ke}}{{{\text{r}}}^{k}}f_{k}^{{(k)}}(x*)$ есть k-ядро k-формы $f_{k}^{{(k)}}(x*)$, т.е.
Через ${{H}_{p}}(x*)$ обозначим
Hp(x*) = $\bigcap\limits_{k = 1}^p {{\text{Ke}}{{{\text{r}}}^{k}}f_{k}^{{(k)}}(x*)} $.
Одним из основных результатов теории p-регулярности является теорема о неявной функции в вырожденном случае, которую мы представим в следующем виде [14].
Теоpема 2. Пусть $g(u,x) \in {{C}^{{p + 1}}}(U,X)$, $g{\text{:}}U \times X \to Z$, $U$, $X$ и $Z$ – банаховы пространства и отображения ${{g}_{i}}(u,x)$, $i = 1,\; \ldots ,\;p$, определены в соответствии с (5). Предположим, что $g(u*,x*) = 0$ и $g$ – $p$-регулярна по переменной $x$ на элементе $h \in \bigcap\limits_{k = 1}^p {\mathop {{\text{Ker}}}\nolimits^k } g_{k}^{{(k)}}(u*,x*)$, $h = (\bar {u},0)$, $\bar {u} \ne 0$, т.е.
Тогда существует независимая константа $c > 0$, достаточно малое $\varepsilon > 0$ и отображение φ(u) = = $x{\text{*}} + \omega (u)$ такие, что для $\alpha \in [0,\varepsilon ]$ и u = u* + + $\alpha \bar {u}$ имеем $g(u,\varphi (u))$ = 0, $\left\| {\omega (u)} \right\| = o(\alpha )$ и
||φ(u) – x*|| ≤ $c\sum\limits_{k = 1}^p {{{{\left\| {{{g}_{k}}(u,x*)} \right\|}}^{{1/k}}}} $.
2. $p$-ФАКТОР ФУНКЦИЯ ЛЯПУНОВА И УСТОЙЧИВОСТЬ ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ
Рассмотрим систему (1), в которой отображение $f{\kern 1pt} (x)$ вырождено в точке равновесия $x* = 0$, т.е. $detf{\kern 1pt} {\text{'}}(x*) = 0$.
Система (1) в этом случае может и не быть устойчива, и построение на основе системы (1) новой системы, но уже устойчивой и с тем же положением равновесия x*, является весьма важной проблемой. В свою очередь, ответ на вопрос об устойчивости решения x* системы (1) с использованием обычной функций Ляпунова вида (3) не всегда возможен, см., например, случай, когда $f(x) = {{x}^{2}}$, и др.
Покажем, как можно с использованием результатов теории p-регулярности построить на основе системы (1) новую систему, но уже асимптотически устойчивую по отношению к тому же решению $x{\text{*}} = 0$. Введем так называемую p-фактор функцию Ляпунова.
Опpеделение 6. Функцию νp(x, h) = = ${{\left\| {{{\Phi }_{p}}(x,h)} \right\|}^{2}}$, где
Теоpема 3. Пусть $f \in {{C}^{{p + 1}}}({{\mathbb{R}}^{n}})$ и существует такой элемент $h \in {{\mathbb{R}}^{n}}$, $h \ne 0$, что матрица ${{\Psi }_{p}}(x*,h) < 0$ отрицательно опредена.
Тогда система
будет асимптотически устойчива в окрестности $U(x*)$.Доказательство. Доказательство данной теоремы аналогично доказательству теоремы 1 с использованием p-фактор функции Ляпунова ${{\nu }_{p}}(x,h)$ и с учетом того, что
При этом ${{\Phi }_{p}}(x,h) \ne 0$ $\forall x \in U(x*){{\backslash \{ }}x*{\text{\} }}$. Поэтому выполняются условия теоремы 1, из которой следует нужный результат.
Пример 1. Рассмотрим пример, когда p = 2
Очевидно, что условия теоремы 1 для классической функции Ляпунова ${v}(x) = {{\left\| {f(x)} \right\|}^{2}} = {{x}^{4}}$ не выполнены.
Однако из теоремы 3 следует, что модифицированная система
с 2-фактор функцией Ляпунова ${{\nu }_{2}}(x,h) = {{(2xh)}^{2}}$ будет асимптотически устойчива при $h = - 1$. Здесь ${{P}_{1}} = 0$, ${{P}_{2}} = 1$.Что касается асиптотической устойчивости исходной системы (1), то в случае вырождения $f\,{\text{'}}(x*)$ ситуация может быть различная. Однако при предположении так называемой сильной p-регулярности отображения $f( \cdot )$ в точке x* будет верен результат, приводимый ниже в теореме 4.
Замечание 1. В силу того, что ${{P}_{1}}f{\kern 1pt} {\text{'}}(x*)$ = = f '(x*), мы также будем использовать модификацию p-фактор функции Ляпунова при
и модификацию p-фактор функции ${{\Psi }_{p}}(x*,h)$.
Опpеделение 7. Будем говорить, что отображение $f \in {{C}^{{p + 1}}}({{\mathbb{R}}^{n}})$ удовлетворяет условию сильной p-регулярности в точке $x{\text{*}}$, если $\forall x \in {{U}_{\delta }}(x*){{\backslash \{ }}x*{\text{\} }}$ $\exists h \in {{\mathbb{R}}^{n}}$, $\left\| h \right\| \leqslant 1$ такие, что выполнено неравенство
где $\delta > 0$ – достаточно малое.Пример 1 (продолжение). Для функции $f(x) = {{x}^{2}}$ условие сильной 2-регулярности в точке $x* = 0$ выполнено. Действительно, здесь $p = 2$, $x* = 0$, ${{P}_{1}} = 0$, ${{P}_{2}} = 1$ и
Теоpема 4. Пусть $f \in {{C}^{{p + 1}}}({{\mathbb{R}}^{n}})$.
Тогда если отображение $f$ – сильно $p$-регулярно в точке x*, то тривиальное решение $x{\text{*}}$ системы (1) асимптотически устойчиво.
Доказательство. Покажем, что p-фактор функция Ляпунова ${{\nu }_{p}}(x,h) = {{\left\| {{{{\bar {\Phi }}}_{p}}(x,h)} \right\|}^{2}}$ является искомой функцией Ляпунова для применения теоремы 1 при $x \in {{U}_{\delta }}(x*){{\backslash \{ }}x*{\text{\} }}$ и $\delta > 0$ достаточно малом. Имеем
Последнее выражение согласно (9) отрицательно $\forall x \in {{U}_{\delta }}(x*){{\backslash }}(0)$. При этом $\left\| {{{{\bar {\Phi }}}_{p}}(x,h)} \right\| \leqslant c$ равномерно по $h$, так как $\left\| h \right\| \leqslant 1$ $\forall x \in {{U}_{\delta }}(x*)$. Поэтому доказательство теоремы 1 не изменится (см., например, [13]), при использовании функции ${{\nu }_{p}}(x,h)$ на траектории решений уравнения (1), хотя в некоторых точках траектории $x(t)$ векторы $h$, вообще говоря, могут быть разные и зависеть от $x$, но это не влияет на анализ устойчивости.
Однако при исследовании на устойчивость в общем случае ситуация зависит от начальной точки $x(0) = {{x}_{0}}$ и при различных точках ${{x}_{0}}$ траектория $x({{x}_{0}},t)$ может как сходиться к x*, так и не сходиться к x*. Ответ на этот вопрос весьма сложен и связан с существованием решения краевых задач. Поясним это.
Заменим переменные $u = \tfrac{1}{t}$ и пусть в точке $t = + \infty $ соответственно $u = 0$. Тогда система (1) перепишется следующим образом:
Обозначив $g(u,x) = \dot {x}{{u}^{2}} - f(x)$, можем исследовать, при каких начальных значениях x0 уравнение $g(u,x) = 0$ имеет в окрестности точки $(0,\;0)$ решение $x = x(u)$. Частично ответ на этот вопрос может дать теорема 2, которая гарантирует существование устойчивого решения, если при начальных значениях x0 выполняется условие p-регулярности отображения $g(u,x)$ на элементе $h = (0,{{x}_{0}})$, а значит, существование решения $x(u) \to 0$ при $u \to 0$ (или соответственно $t \to \infty $).
Пример 1 (продолжение). Таким образом, из теоремы 4 следует асимптотическая устойчивость системы (8) с использованием модификации $2$-фактор-функции Ляпунова
Отметим также, что для системы (8) применение модифицированной $2$-фактор функции $\mathop {\bar {\Phi }}\nolimits_2 (x,h)$ в теореме 3 также дает новую устойчивую динамическую систему
Список литературы
Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983. 384 с.
Барбашин Е.А., Красовский Н.Н. Об устойчивости движения в целом // ДАН СССР. 1952. Т. 86. № 3. С. 453–456.
LaSalle J.P., Lefschetz S. Stability by Liapunov’s direct method. Academic Press, 1961.
Chellaboina V.S., Haddad W.M. Nonlinear dynamical systems and control: A Lyapunov-based approach. Princeton University Press, 2008.
Teschl G. Ordinary differential equations and dynamical systems. Providence: American Mathematical Society, 2012. V. 140.
Поляк Б.Т., Хлебников М.В., Рапопорт Л.Б. Математическая теория автоматического управления. М.: ЛЕНАНД, 2019.
Absil P.A., Kurdyka K. On the stable equilibrium points of gradient systems // Systems & control letters. 2006. V. 55. № 7. P. 573–577.
Гладилина Р.И. Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости импульсных систем // Динамические системы. 2009. № 26. С. 25–30.
Бибиков Ю.Н., Плисс В.А., Трушина Н.В. Об устойчивости нулевого решения существенно нелинейного дифференциального уравнения второго порядка в случае центра // Вестн. Санкт-Петербургского ун-та. Математика. Механика. Астрономия. 2017. Т. 4. № 3.
Stamova I.M., Stamov G.T. Stability analysis of differential equations with maximum // Mathematica Slovaca. 2013. V. 63. № 6. P. 1291–1302.
Ismayilova K.E. Stability analysis for first-order nonlinear differential equations with three-point boundary conditions // e-Journal of Analysis and Applied Mathematics. 2020. V. 2020. № 1. P. 40–52.
Tret’yakov A., Marsden J.E. Factor analysis of nonlinear mappings: p-regularity theory // Communications on Pure & Applied Analysis. 2003. V. 2. № 4. P. 425.
Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982. 432 с.
Brezhneva O.A., Tret’yakov A.A. Implicit function theorems for nonregular mappings in Banach spaces. Exit from singularity // Banach Spaces and Their Applications in Analysis. 2007. P. 285–302.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления
Пн.-пт.: 10.00-19.00