Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 499, № 1, стр. 5-7

Полиномы и рациональные функции играют важную роль в различных областях математики. Тем удивительнее наличие нерешенных задач для этих классов функций, формулируемых простым и естественным образом. К такого рода задачам относятся, например, знаменитые гипотезы Сендова о расположении нулей и критических точек комплексного полинома и Смейла об отношении критического значения полинома к соответствующей его критической точке (гипотеза о среднем значении) (см. [1]). Класс рациональных функций, наиболее близких по своей структуре к полиномам степени $n$, составляют конечные произведения Бляшке той же степени:

где $\left| \alpha \right| = 1$ и комплексные числа ${{z}_{1}},\; \ldots ,\;{{z}_{n}}$ лежат в единичном круге $U$. Такие произведения и их приложения изучались многими авторами (см., например, работы [2–5] и библиографию в них). В то же время задачи, связанные с критическими значениями произведений Бляшке, мало изучены [1, 4]. Справедлива следующая

Теорема 1. Пусть B – конечное произведение Бляшке степени $n\, \geqslant \,2$, $B(0) = 0$, $\left| {B{\text{'}}(0)} \right| = c$, $0 < c$ < 1. Тогда

где

Нетрудно видеть, что функция B₁ является произведением Бляшке. Критические точки B₁ заданы уравнением

а критические значения ${{B}_{1}}(\zeta )$, реализующие минимум в правой части (1), расположены на одинаковом расстоянии от начала координат симметричным образом. Из теоремы 1 легко вытекает соответствующее утверждение о критических значениях комплексных полиномов вида $P(z) = {{z}^{n}}$ + ... + cz [6]: где $P{\text{*}}(z) = {{z}^{n}} - cz$. Последнее неравенство дает ответ на один из вопросов Смейла (см. [7, с. 3; 6]). Заметим, что полином P* является также экстремальным и в знаменитой гипотезе Смейла о среднем значении, согласно которой предполагается существование критической точки $\zeta $, удовлетворяющей неравенству [7, с. 33]. Шейл–Смолл поднял вопрос о получении аналогичной (3) оценки, где полином P заменяется на конечное произведение Бляшке $B$, $B(0) = 0$, $B{\text{'}}(0) = c$ [1, с. 366]. Некоторый прогресс в этом направлении достигнут в работе Нг и Жанга [4]. Учитывая вышесказанное, естественно предположить, что экстремальным произведением Бляшке в гипотезе, аналогичной (3), будет функция ${{B}_{1}}$ из теоремы 1.

При доказательстве теоремы 1 существенно используется симметрия римановой поверхности R₁ функции, обратной произведению ${{B}_{1}}$. Эту поверхность можно представить следующим образом. Пусть $\sigma $ – модуль наименьшего критического значения функции ${{B}_{1}}$ и пусть λ_k = [σexp(2πi(k – – 1)${\text{/}}(n - 1))$, $\exp \left( {2\pi i(k - 1){\text{/}}(n - 1)} \right)]$, $k = 1,\; \ldots ,\;n - 1$ U₀ = $\left\{ {w{\text{:}}\;\left| w \right| < 1,\;w \notin \bigcup\limits_{k = 1}^{n - 1} {{{\lambda }_{k}}} } \right\}.$ Поверхность R₁ получается приклеиванием ”крест-накрест” к области U₀ листов ${{U}_{k}} = \left\{ {w{\text{:}}\;\left| w \right| < 1,\;w \notin {{\lambda }_{k}}} \right\}$ по берегам совпадающих разрезов единичного круга, $k = 1, \ldots ,n - 1$. Следуя методике [6], мы рассматриваем симметричный конденсатор, заданный на поверхности R₁ [8], который затем преобразуется в конденсатор меньшей емкости, расположенный на поверхности функции, обратной исходному произведению $B$ из теоремы 1. Ключевую роль в этом преобразовании играет диссимметризация вещественнозначных функций [8].

В решении ряда задач экстремальной функцией является так называемое произведение Чебышева–Бляшке [3]. Нас интересует функция ${{B}_{2}}$, которая с точностью до дробно-линейной замены аргумента совпадает с таким произведением. Для фиксированного целого $n\, \geqslant \,2$ и вещественного $\kappa $, $0 < \kappa < 1$, рассмотрим рациональную функцию $Z \equiv {{Z}_{n}}\left( {\zeta ;\kappa } \right)$, заданную параметрически:

где модуль $k$ определяется равенством $K( \cdot )$ и $K{\text{'}}( \cdot )$ – полные эллиптические интегралы первого рода [9]. Функцию $Z$, а также суперпозиции этой функции с дробно-линейными отображениями как в области определения, так и в области значений, принято называть дробями Золотарева [10]. Хорошо известна роль дробей Золотарева в теории рациональной аппроксимации и некоторых вопросах электротехнических расчетов [9]. Конечное произведение Бляшке ${{B}_{2}}$ определяется следующим образом: где $\beta $ – наибольший корень уравнения $Z(\zeta ) = \frac{{\sqrt \tau + 1}}{{1 - \sqrt \tau }}$. Функция ${{B}_{2}}$ отображает единичный круг $\left| z \right| < 1$ на риманову поверхность R₂, расположенную над кругом $\left| w \right| < 1$ и допускающую следующее геометрическое представление. Пусть ${{H}_{1}}$ есть круг $\left| w \right| < 1$ с разрезом вдоль отрезка ${{h}^{ - }}: = [ - 1, - 1{\text{/}}\sqrt \tau ]$, и пусть ${{H}_{2}},\; \ldots ,\;{{H}_{n}}$ – копии круга $\left| w \right| < 1$ с разрезами вдоль отрезков ${{h}^{ - }}$ и ${{h}^{ + }}: = [1{\text{/}}\sqrt \tau ,\;1]$. Наконец, обозначим через ${{H}_{n}}$ круг $\left| w \right| < 1$ с разрезом ${{h}^{ - }}$, если $n$ четное и ${{h}^{ + }}$ в противном случае. Поверхность R₂ получается склеиванием областей ${{H}_{k}}$, $k = 1,\; \ldots ,\;n$. Область ${{H}_{1}}$ приклеена к области ${{H}_{2}}$ “крест-накрест” по берегам ${{h}^{ - }}$-разрезов. Область ${{H}_{2}}$ приклеена к ${{H}_{3}}$ по берегам ${{h}^{ + }}$-разрезов и т.д. Область ${{H}_{{n - 1}}}$ приклеена к области ${{H}_{n}}$ по берегам ${{h}^{ - }}$-разрезов, если $n$ четное, и по берегам ${{h}^{ + }}$-разрезов, если $n$ нечетное.

Теорема 2. В условиях теоремы 1 справедливо неравенство

где $\tau $ – единственный корень уравнения ${\text{|}}B_{2}^{'}(0){\text{|}} = c$ на промежутке $1 < \tau < \infty $.

Как следствие из теоремы 2, заключаем, что при всех t, $0 < t < 1{\text{/}}\sqrt \tau $, лемниската $\left\{ {z{\text{:}}\;\left| {B(z)} \right| = t} \right\}$ не является связным множеством.

Доказательство теоремы 2 опирается на метод симметризации [11], при котором результат симметризации расположен на римановой поверхности функции, обратной полиному Чебышева первого рода.