Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 499, № 1, стр. 13-16

ТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ РАЗМЕРНОСТИ АТТРАКТОРОВ ТРЕХМЕРНОЙ РЕГУЛЯРИЗИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ ЭЙЛЕРА С ДИССИПАЦИЕЙ

С. В. Зелик^2, 3, *, А. А. Ильин^1, **, А. Г. Костянко^3, ***

¹ Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН
Москва, Россия

² Department of Mathematics, University of Surrey
Guildford, United Kingdom

³ School of Mathematics and Statistics, Lanzhou University
Lanzhou, China

^* E-mail: s.zelik@surrey.ac.uk
^** E-mail: ilyin@keldysh.ru
^*** E-mail: anna.kostianko@surrey.ac.uk

Поступила в редакцию 14.05.2021
После доработки 04.06.2021
Принята к публикации 04.06.2021

DOI: 10.31857/S2686954321040160

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассматриваются регуляризированная система Эйлера с трением в двумерной и трехмерной постановке. Доказано существование глобального аттрактора и получены явные оценки его фрактальной размерности. В случае периодических краевых условий как в двумерном, так и в трехмерном случае доказывается, что полученные оценки сверху точны в пределе $\alpha \to {{0}^{ + }}$, где $\alpha $ – параметр, описывающий сглаживание векторного поля в нелинейном члене.

Ключевые слова: невязкая модель Эйлера–Бардины, аттракторы, фрактальная размерность, потоки Колмогорова

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ

В работе изучается асимптотическое поведение решений регуляризированной системы Эйлера [1]

(1)

$\begin{gathered} {{\partial }_{t}}u + (\bar {u},{{\nabla }_{x}})\bar {u} + \gamma u + {{\nabla }_{x}}p = g, \\ {\text{div}}\bar {u} = 0,\quad u(0) = {{u}_{0}},\quad u = (1 - \alpha {{\Delta }_{x}})\bar {u}, \\ \end{gathered} $

с правой частью g и диссипацией, описывающейся однородным трением $\gamma u$. Параметр α > 0, имеющий размерность квадрата длины, является малым параметром, так что $\bar {u}$ – это сглаженное векторное поле c отфильтрованными высокими гармониками по пространству.

С точки зрения аттракторов система (1) представляет интерес и в двумерном случае, поскольку при α = 0 в естественном энергетическом пространстве (2) решение существует, но его единственность неизвестна. Одна из возможных регуляризаций с помощью добавления в правую часть малой вязкой диссипации $\nu {{\Delta }_{x}}u$ была подробно рассмотрена в [2], где были получены точные оценки размерности аттрактора при $\nu \to {{0}^{ + }}$.

В размерности три система интересна прежде всего как подсеточная модель турбулентности и известна в литературе под названием невязкая модель Эйлера–Бардины [1]. Анализ асимптотического поведения решений и оценки числа степеней свободы для этой модели и очень близкой к ней системы Навье–Стокса–Войта содержится в работах [3, 4] (см. также цитированную там литературу).

В нашей работе система изучается в размерности d = 2 и d = 3. Каждый случай, в свою очередь, рассматривается для трех типов краевых условий.

1. Периодические краевые условия $x\, \in \,{{\mathbb{T}}^{d}}\, = \,{{[0,L]}^{d}}$. При этом налагается стандартное условие

$\int\limits_{{{\mathbb{T}}^{d}}} {(u,\bar {u},g)dx} $ = 0.

2. Во всем пространстве ${{\mathbb{R}}^{d}}$.

3. В ограниченной области $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{d}}$. Тогда $\bar {u}$ есть решение задачи Дирихле для оператора Стокса

$\begin{gathered} (1 - \alpha {{\Delta }_{x}})\bar {u} + {{\nabla }_{x}}q = u, \\ {\text{div}}\bar {u} = 0,\quad \bar {u}{{|}_{{\,\partial \Omega }}} = 0. \\ \end{gathered} $

Фазовое пространство по $\bar {u}$ есть пространство Соболева H¹ с условием бездивергентности, точнее

(2)

$\begin{gathered} \bar {u} \in {{{\mathbf{H}}}^{1}}: = \\ \,: = \left\{ \begin{gathered} \mathop {{\mathbf{\dot {H}}}}\nolimits^1 ({{\mathbb{T}}^{d}}),\quad x \in {{\mathbb{T}}^{d}},\quad \int\limits_{{{\mathbb{T}}^{d}}} {\bar {u}(x)dx} = 0, \hfill \\ {{{\mathbf{H}}}^{1}}({{\mathbb{R}}^{d}}),\quad x \in {{\mathbb{R}}^{d}}, \hfill \\ {\mathbf{H}}_{0}^{1}(\Omega ),\quad x \in \Omega , \hfill \\ \end{gathered} \right. \\ {\text{div}}\bar {u} = 0, \\ \end{gathered} $

а по $u$, соответственно, $u \in {{{\mathbf{H}}}^{{ - 1}}}: = (1 - {{\Delta }_{x}}){{{\mathbf{H}}}^{1}}$ = = ${{{\mathbf{H}}}^{{ - 1}}} \cap \{ {\text{div}}u = 0\} $.

Исключая давление, запишем систему (1) как эволюционное уравнение в ${{{\mathbf{H}}}^{1}}$:

(3)

$\begin{gathered} {{\partial }_{t}}\bar {u} + B(\bar {u},\bar {u}) + \gamma \bar {u} = \bar {g}, \\ {\text{div}}\bar {u} = 0,\quad \bar {u}(0) = \mathop {\bar {u}}\nolimits_0 ,\quad u = (1 - \alpha {{\Delta }_{x}})\bar {u}, \\ \end{gathered} $

где

$\begin{gathered} B(\bar {u},\bar {v}) = {{(1 - \alpha \Pi {{\Delta }_{x}})}^{{ - 1}}}((\bar {u},{{\nabla }_{x}})\bar {v}), \\ \bar {g} = {{(1 - \alpha \Pi {{\Delta }_{x}})}^{{ - 1}}}g, \\ \end{gathered} $

$\Pi $ – ортогональный проектор Гельмгольца–Лере, а $\Pi {{\Delta }_{x}}$ – оператор Стокса. Из эллиптической регулярности оператора Стокса и теорем вложения Соболева следует, что билинейный оператор B является ограниченным (сглаживающим) оператором в ${{{\mathbf{H}}}^{1}}$:

$\begin{gathered} B{\kern 1pt} :\;{{{\mathbf{H}}}^{1}} \times {{{\mathbf{H}}}^{1}} \to {{{\mathbf{H}}}^{{2 - \varepsilon }}},\quad \varepsilon > 0,\quad d = 2, \\ B{\kern 1pt} :\;{{{\mathbf{H}}}^{1}} \times {{{\mathbf{H}}}^{1}} \to {{{\mathbf{H}}}^{{3/2}}},\quad d = 3. \\ \end{gathered} $

Таким образом, уравнение (3) является эволюционным уравнением с ограниченным нелинейным оператором в гильбертовом пространстве, поэтому существование локального по времени решения следует из принципа сжимающих отображений, а глобальное по времени решение существует в силу следующей диссипативной оценки:

$\left\| {\bar {u}(t)} \right\|_{\alpha }^{2} \leqslant \left\| {\bar {u}(0)} \right\|_{\alpha }^{2}{{e}^{{ - \gamma t}}} + \frac{1}{{{{\gamma }^{2}}}}\left\| g \right\|_{{{{L}^{2}}}}^{2},$

где

$\left\| {\bar {u}} \right\|_{\alpha }^{2}: = \left\| {\bar {u}} \right\|_{{{{L}^{2}}}}^{2} + \alpha \left\| {{{\nabla }_{x}}\bar {u}} \right\|_{{{{L}^{2}}}}^{2}.$

Итак, уравнению (3) соответствует полугруппа разрешающих операторов $S(t){\kern 1pt} :\;{{{\mathbf{H}}}^{1}} \to {{{\mathbf{H}}}^{1}}$, $S(t){{\bar {u}}_{0}} = \bar {u}(t)$, где $\bar {u}(t)$ – решение уравнения (3).

Определение 1. Пусть $S(t)$, $t \geqslant 0$, – полугруппа непрерывных операторов в банаховом пространстве H. Множество $\mathcal{A} \subset H$ называется глобальным аттрактором $S(t)$, если:

1) множество $\mathcal{A}$ компактно в H;

2) оно строго инвариантно: $S(t)\mathcal{A} = \mathcal{A}$;

3) $\mathcal{A}$ притягивает ограниченные множества в H при $t \to \infty $, т.е. для любого ограниченного $B \subset H$ и любой окрестности $\mathcal{O}(\mathcal{A})$ множества $\mathcal{A}$ в H существует $T = T(B,\mathcal{O})$, для которого при $t \geqslant T$

$S(t)B \subseteq \mathcal{O}(\mathcal{A}).$

При этом аттрактор A имеет следующую структуру:

(4)

$\mathcal{A} = \mathcal{K}{{{\text{|}}}_{{t = 0}}},$

где $\mathcal{K} \subset {{L}^{\infty }}(\mathbb{R},H)$ есть семейство всех полных траекторий $u:\mathbb{R} \to H$ полугруппы $S(t)$, которые ограничены при всех $t \in \mathbb{R}$.

Сформулируем основной результат.

Теорема 1. Пусть d = 2. Для каждого из трех видов краевых условий система (1) обладает глобальным аттрактором $\mathcal{A}$, фрактальная размерность которого конечна и допускает следующую явную оценку сверху:

$\begin{gathered} di{{m}_{F}}\mathcal{A} \leqslant \frac{1}{{8\pi }} \times \\ \, \times \left\{ \begin{gathered} \frac{1}{{\alpha {{\gamma }^{4}}}}min\left( {\left\| {{\text{rot}}\,g} \right\|_{{{{L}^{2}}}}^{2},\frac{{\left\| g \right\|_{{{{L}^{2}}}}^{2}}}{{2\alpha }}} \right),\quad x \in {{\mathbb{T}}^{2}},\quad x \in {{\mathbb{R}}^{2}}, \hfill \\ \frac{{\left\| g \right\|_{{{{L}^{2}}}}^{2}}}{{2{{\alpha }^{2}}{{\gamma }^{4}}}},\quad x \in \Omega \subset {{\mathbb{R}}^{2}}. \hfill \\ \end{gathered} \right. \\ \end{gathered} $

В трехмерном случае d = 3 все три оценки формально выглядят одинаково:

$di{{m}_{F}}\mathcal{A} \leqslant \frac{1}{{12\pi }}\frac{{\left\| g \right\|_{{{{L}^{2}}}}^{2}}}{{{{\alpha }^{{5/2}}}{{\gamma }^{4}}}}.$

Наконец, для периодических краевых условий, как для ${{\mathbb{T}}^{2}}$, так и для ${{\mathbb{T}}^{3}}$, оценки сверху точны при $\alpha \to {{0}^{ + }}$.

Оценки сверху основаны на получении мажорант глобальных показателей Ляпунова [5, 6] в фазовом пространстве H¹ со скалярным произведением (10). Получение их в явном виде возможно благодаря неравенствам из теоремы 3.

2. ОЦЕНКИ СНИЗУ

Оценки снизу размерности аттракторов основаны на анализе неустойчивости обобщенных потоков Колмогорова. Пусть

(5)

$\begin{gathered} {{g}_{s}}({{x}_{2}}) = {{(\gamma \lambda (s)sins{{x}_{2}},0)}^{T}}, \\ {{g}_{s}}({{x}_{3}}) = {{(\gamma \lambda (s)sins{{x}_{3}},0,0)}^{T}} \\ \end{gathered} $

правые части в системе (1) на ${{\mathbb{T}}^{2}} = {{[0,2\pi ]}^{2}}$ и ${{\mathbb{T}}^{3}} = {{[0,2\pi ]}^{3}}$ соответственно. Здесь $s \in \mathbb{N}$, $s \gg 1$, а $\lambda $ – параметр, выбор которого указан ниже. Этим правым частям соответствуют стационарные решения

(6)

$\begin{gathered} {{u}_{s}}({{x}_{2}}) = {{(\lambda (s)sins{{x}_{2}},0)}^{T}}, \\ {{u}_{s}}({{x}_{3}}) = {{(\lambda (s)sins{{x}_{3}},0,0)}^{T}}. \\ \end{gathered} $

Теорема 2. При $\lambda \geqslant \lambda (s)$, где

(7)

$\lambda (s) = {{c}_{1}}\gamma \frac{{{{{(1 + \alpha {{s}^{2}})}}^{2}}}}{s},$

и где здесь и далее c_i – абсолютные эффективно вычисляемые постоянные, стационарные решения (6) неустойчивы, и размерность неустойчивого многообразия ${{\mathcal{M}}^{{{\text{un}}}}}$ около них не менее чем

(8)

$\begin{gathered} \dim {{\mathcal{M}}^{{{\text{un}}}}}({{u}_{s}}) \geqslant {{c}_{2}}{{s}^{2}},\quad d = 2; \\ \dim {{\mathcal{M}}^{{{\text{un}}}}}({{u}_{s}}) \geqslant {{c}_{3}}{{s}^{3}},\quad d = 3. \\ \end{gathered} $

Следствие 1. Пусть правая часть в системе (1) задана в (5), и $\lambda (s)$ определена в (7). Тогда размерность соответствующего аттрактора $\mathcal{A} = {{\mathcal{A}}_{s}}$ допускает следующую оценку снизу:

(9)

$di{{m}_{F}}\mathcal{A} \geqslant {{c}_{6}}\left\{ \begin{gathered} max\left( {\frac{{\left\| {{\text{rot}}\,{{g}_{s}}} \right\|_{{{{L}^{2}}}}^{2}}}{{\alpha {{\gamma }^{4}}}},\frac{{\left\| {{{g}_{s}}} \right\|_{{{{L}^{2}}}}^{2}}}{{{{\alpha }^{2}}{{\gamma }^{4}}}}} \right),\quad x \in {{\mathbb{T}}^{2}}, \hfill \\ \frac{{\left\| {{{g}_{s}}} \right\|_{{{{L}^{2}}}}^{2}}}{{{{\alpha }^{{5/2}}}{{\gamma }^{4}}}},\quad x \in {{\mathbb{T}}^{3}}. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Доказательство. Поскольку из представления глобального аттрактора (4) следует, что неустойчивое многообразие любого стационарного решения лежит в глобальном аттракторе [5, 6], то надо лишь выразить оценки (8) в терминах безразмерных чисел в правой части (9). Рассмотрим трехмерный случай. Система изучается при $\alpha \to {{0}^{ + }}$. Параметр s в нашем распоряжении, и мы полагаем

$s = \frac{1}{{\sqrt \alpha }}.$

Тогда $\lambda $ в (7) и $\left\| {{{g}_{s}}} \right\|_{{{{L}^{2}}}}^{2}$ в (5) становятся

$\lambda = {{c}_{4}}\gamma \sqrt \alpha ,\quad \left\| {{{g}_{s}}} \right\|_{{{{L}^{2}}}}^{2} = {{c}_{5}}{{\gamma }^{4}}\alpha ,$

и мы в результате получаем

$di{{m}_{F}}\mathcal{A} \geqslant {{c}_{3}}{{s}^{3}} = {{c}_{3}}\frac{1}{{{{\alpha }^{{3/2}}}}} = {{c}_{3}}\frac{{\alpha \left\| {{{g}_{s}}} \right\|_{{{{L}^{2}}}}^{2}}}{{{{\alpha }^{{5/2}}}\left\| {{{g}_{s}}} \right\|_{{{{L}^{2}}}}^{2}}} = {{c}_{3}}\frac{{\alpha \left\| {{{g}_{s}}} \right\|_{{{{L}^{2}}}}^{2}}}{{{{\alpha }^{{5/2}}}{{c}_{5}}\alpha {{\gamma }^{4}}}},$

что и доказывает оценку (9) для ${{\mathbb{T}}^{3}}$.

Для двумерного тора заметим, что $\lambda \sim \gamma \sqrt \alpha $ и $\left\| {{\text{rot}}\,{{g}_{s}}} \right\|_{{{{L}^{2}}}}^{2} \sim {{\gamma }^{4}}$ и, как и раньше, $\left\| {{{g}_{s}}} \right\|_{{{{L}^{2}}}}^{2} \sim {{\gamma }^{4}}\alpha $. Действуя аналогично, получаем (9) для ${{\mathbb{T}}^{2}}$.

3. НЕРАВЕНСТВА

Получение в явном виде оценок сверху размерности аттракторов основано на следующих неравенствах для бездивергентных вектор-функций с ортонормированными производными.

Теорема 3. Пусть система $\{ {{\bar {\theta }}_{j}}\} _{{j = 1}}^{n} \in {{{\mathbf{H}}}^{1}}$ ортонормирована в смысле скалярного произведения

(10)

${{({{\bar {\theta }}_{i}},{{\bar {\theta }}_{j}})}_{{{{L}^{2}}}}} + \alpha {{(\nabla {{\bar {\theta }}_{i}},\nabla {{\bar {\theta }}_{j}})}_{{{{L}^{2}}}}} = {{\delta }_{{ij}}}.$

Тогда функция

$\rho (x) = \sum\limits_{j = 1}^n \,{{\left| {{{{\bar {\theta }}}_{j}}(x)} \right|}^{2}}$

удовлетворяет неравенству

(11)

$\begin{gathered} {{\left\| \rho \right\|}_{{{{L}^{2}}}}} \leqslant \frac{1}{{2\sqrt \pi }}\frac{{{{n}^{{1/2}}}}}{{{{\alpha }^{{1/2}}}}},\quad d = 2, \\ {{\left\| \rho \right\|}_{{{{L}^{2}}}}} \leqslant \frac{1}{{2\sqrt \pi }}\frac{{{{n}^{{1/2}}}}}{{{{\alpha }^{{3/4}}}}},\quad d = 3. \\ \end{gathered} $

Замечание 1. Полученные оценки верны, разумеется, и для семейств скалярных функций $\{ {{\bar {\theta }}_{i}}\} _{{i = 1}}^{n} \in {{H}^{1}}$ с ортонормированными производными в смысле (10). А именно, функция ρ(x) = = $\sum\nolimits_{i = 1}^n \,\left| {{{{\bar {\theta }}}_{i}}(x)} \right|$ удовлетворяет оценкам

(12)

$\begin{gathered} {{\left\| \rho \right\|}_{{{{L}^{2}}}}} \leqslant \frac{1}{{2\sqrt \pi }}\frac{{{{n}^{{1/2}}}}}{{{{\alpha }^{{1/2}}}}},\quad d = 2, \\ {{\left\| \rho \right\|}_{{{{L}^{2}}}}} \leqslant \frac{1}{{\sqrt {8\pi } }}\frac{{{{n}^{{1/2}}}}}{{{{\alpha }^{{3/4}}}}},\quad d = 3, \\ \end{gathered} $

которые выполняются для всех трех типов краевых условий $\Omega = {{\mathbb{T}}^{d}}$ (с условием нулевого среднего), $\Omega = {{\mathbb{R}}^{d}}$ и $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{d}}$, где в последнем случае функции обращаются в ноль на границе области.

Неравенства (11) и (12) играют в оценке размерности аттракторов в задаче (1) ту же роль, что и неравенствами Либа–Тирринга [7] в теории аттракторов классических уравнений Навье–Стокса [5, 6].

Доказательство неравенств (11) состоит в обобщении метода и результатов работы [8] на бездивергентный векторный случай и (что более сложно технически) на случай тора ${{\mathbb{T}}^{d}}$. Для периодического случая основная техническая сложность заключается в получении точных оценок функции Грина оператора ${{( - {{\Delta }_{x}} + {{m}^{2}})}^{2}}$ на ${{\mathbb{T}}^{2}}$ и ${{\mathbb{T}}^{3}}$. Соответствующие ряды по ${{\mathbb{Z}}^{2}}$ и ${{\mathbb{Z}}^{3}}$ при этом точно оцениваются чисто аналитически без привлечения вычислений, что часто приходится делать в аналогичных случаях, как, например, в [9].

Подробные доказательства изложенных здесь результатов в двумерном периодическом случае содержатся в [10].

Список литературы

Bardina J., Ferziger J., Reynolds W. Improved subgrid scale models for large eddy simulation / Proc. 13th AIAA Conference on Fluid and Plasma Dynamics, 1980.
Ilyin A.A., Miranville A., Titi E.S. Small viscosity sharp estimates for the global attractor of the 2-D damped-driven Navier–Stokes equations // Commun. Math. Sci. 2004. V. 2. P. 403–426.
Cao Y., Lunasin E.M., Titi E.S. Global well-posedness of the three-dimensional viscous and inviscid simplified Bardina turbulence models // Commun. Math. Sci. 2006. V. 4. P. 823–848.
Kalantarov V.K., Titi E.S. Global attractors and determining modes for the 3D Navier–Stokes–Voight equations // Chin. Ann. Math. 2009. V. 30B. P. 697–714.
Бабин А.В., Вишик М.И. Аттракторы эволюционных уравнений. M.: Наука, 1989. 296 с.
Temam R. Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, 2nd ed. N.Y.: Springer-Verlag, 1997.
Lieb E., Thirring W. Inequalities for the moments of the eigenvalues of the Schrödinger Hamiltonian and their relation to Sobolev inequalities / Studies in Mathematical Physics. Essays in honor of Valentine Bargmann. Princeton NJ: Princeton University Press, 1976. P. 269–303.
Lieb E.H. An ${{L}^{p}}$ bound for the Riesz and Bessel potentials of orthonormal functions // J. Func. Anal. 1983. V. 51. P. 159–165.
Ильин А.А., Лаптев А.А. Магнитное неравенство Либа–Тирринга для периодических функций // УМН. 2020. Т. 75. Вып. 4. С. 89–90.
Ilyin A.A., Zelik S.V. Sharp dimension estimates of the attractor of the damped 2D Euler-Bardina equations / Partial Differential Equations, Spectral Theory, and Mathematical Physics. Berlin: EMS Press, 2021. P. 209–229.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал