1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления
  4. T. 494, № 1, 2020

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 494, № 1, стр. 53-55

ОБ ОТСУТСТВИИ ГЛОБАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОГО ЭВОЛЮЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ ТИПА ШРЁДИНГЕРА

Ш. М. Насибов 1, *

1 Институт прикладной математики Бакинского государственного университета
Баку, Азербайджан

* E-mail: nasibov_sharif@mail.ru

Поступила в редакцию 22.06.2020
После доработки 22.06.2020
Принята к публикации 28.07.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

Исследуется вопрос об отсутствии глобальных периодических решений нелинейного эволюционного уравнения типа Шрёдингера с демпфированным линейным членом. Доказывается, что когда коэффициент демпфирования неотрицательный, исследуемая задача не имеет глобальных периодических решений при любых начальных данных, а когда отрицательный – сказанное остается в силе при “достаточно больших значениях” начальных данных.

Ключевые слова: нелинейное эволюционное уравнение, уравнение Шрёдингера, периодическое решение, глобальное решение, отсутствие периодических глобальных решений

1. Пусть T – одномерный тор. Рассмотрим следующую задачу:

(1)
$\begin{gathered} {{u}_{t}} = i\theta {{u}_{{xx}}} + f\left( u \right) + \omega u,\quad x \in T,\quad t > 0, \\ u\left( {x,0} \right) = {{u}_{0}}\left( x \right), \\ \end{gathered} $
u0(x) – периодическая функция с периодом $L > 0$,

(2)
${{u}_{0}}\left( {x + L} \right) = {{u}_{0}}\left( x \right).$

Здесь

(3)
$f\left( u \right) = \left( {\eta + i\mu } \right){{\left| u \right|}^{{\rho + 1}}},$
где η, μ, ω –действительные числа, $\theta \ne 0$, $\rho > 0$, ω – коэффициент демпфирования.

Уравнение (1) встречается в различных разделах прикладной физики, в нелинейной квантовой механике, в теории распространения световых волн в нелинейных средах (см. например, [1–3]). Локальная корректность задачи (1)–(3) исследовалась в работе [4]. При $\theta = - 1$, $\omega = 0$ задача Коши в Rn для уравнения (1) с нелинейным членом f(u) = = $ - i{\text{|}}u{{{\text{|}}}^{2}}u$ исследовалась в работе [5]. При ω = 0 смешанная задача для уравнения (1) с нелинейным членом (3) в $n$-мерной области $\Omega \subset {{R}^{n}}$ исследовалась в работах [6, 7]. Смешанная задача для уравнения (1) при $\omega = 0$, $f\left( {u,\nabla u} \right) = {{\omega }_{1}}{{\left| u \right|}^{{1 + \gamma }}} + {{\omega }_{2}}{{\left| u \right|}^{{1 + \mu }}}$, ${{\omega }_{1}}$, ${{\omega }_{2}}$, γ, μ – положительные числа, исследовалась в n-мерной области $\Omega \subset {{R}^{n}}$ в работе [8]. Смешанная задача для уравнения (1) при ω = 0 в $\Omega \subset {{R}^{2}}$ с нелинейным членом $f\left( u \right) = {{\left| u \right|}^{\rho }}u$, ρ > 0 исследовалась в работе [9]. Смешанная задача в $\Omega \subset {{R}^{n}}$ для уравнения (1) при θ = 1, ω = 0 с нелинейным членом $f(u)$ = $\beta {{\left| u \right|}^{q}}u + i\alpha {{\left| u \right|}^{p}}u$, $q > 0$, $p > 0$, $\alpha \ne 0$, $\beta \ne 0$, исследовалась в работе [10].

Вопрос о разрушении решений задачи Коши в ${{R}^{n}}$ для уравнения (1) с нелинейным членом f(u) = = $ - i{{\left| u \right|}^{\rho }}u$, ρ > 0, при ω = 0 исследовался в работах [10–15]. Исследование вопроса об отсутствии глобальных периодических решений задачи (1)–(3) также представляет научный интерес и является актуальным.

2. Полученные результаты сформулируем в виде следующих теорем.

Теорема 1. Пусть μ > 0, ω > 0. Пусть u0(x) удовлетворяет условию

${{y}_{0}} = \frac{1}{L}\int\limits_0^L {\operatorname{Im} {{u}_{0}}\left( x \right)dx} > 0.$

Тогда максимальное время существования гладких периодических решений задачи (1)–(3) оценивается сверху числом t0, ${{t}_{{\max }}} \leqslant {{t}_{0}}$, где

${{t}_{0}} = \frac{1}{{\omega \rho }}\ln \left( {\frac{{\mu y_{0}^{\rho } + \omega }}{{\mu y_{0}^{\rho }}}} \right).$

При ω < 0 сказанное остается в силе, если только

${{t}_{0}} = \frac{1}{{\left| \omega \right|\rho }}\ln \left( {\frac{{\mu y_{0}^{\rho }}}{{\mu y_{0}^{\rho } - \left| \omega \right|}}} \right)$
при условии, что

${{y}_{0}} > {{\left( {\frac{{\left| \omega \right|}}{\mu }} \right)}^{{1/\rho }}}.$

При ω = 0  t0вычисляется по формуле

${{t}_{0}} = \frac{1}{{y_{0}^{\rho }\mu \rho }}.$

Теорема 2. Пусть $\eta > 0$, ω > 0. Пусть u0(x) удовлетворяет условию

${{y}_{0}} = \frac{1}{L}\int\limits_0^L {\operatorname{Re} {{u}_{0}}\left( x \right)dx} > 0.$

Тогда максимальное время существования гладких периодических решений задачи (1)–(3) оценивается числом ${{t}_{0}}$, ${{t}_{{\max }}} \leqslant {{t}_{0}}$, где

${{t}_{0}} = \frac{1}{{\omega \rho }}\ln \left( {\frac{{\mu y_{0}^{\rho } + \omega }}{{\mu y_{0}^{\rho }}}} \right).$

При ω < 0 сказанное остается в силе, если только

${{t}_{0}} = \frac{1}{{\left| \omega \right|\rho }}\ln \left( {\frac{{\eta y_{0}^{\rho }}}{{\mu y_{0}^{\rho } - \left| \omega \right|}}} \right)$
при условии, что

${{y}_{0}} > {{\left( {\frac{{\left| \omega \right|}}{\eta }} \right)}^{{1/\rho }}}.$

При ω = 0  ${{t}_{0}}$  вычисляется по формуле

${{t}_{0}} = \frac{1}{{y_{0}^{\rho }\eta \rho }}.$

3. Приведем схему доказательства теорем 1 и 2. Справедливы следующие леммы.

Лемма 1. Пусть $\mu > 0$, $u\left( {x,t} \right)$ – гладкое решение задачи (1)–(3). Далее пусть

$\int\limits_0^L {\operatorname{Im} {{u}_{0}}\left( x \right)dx} > 0.$

Тогда функция

$y\left( t \right) = \frac{{{{e}^{{ - \omega t}}}}}{L}\int\limits_0^L {\operatorname{Im} u\left( {x,t} \right)dx} $
при любом $t \in \left[ {0,{{t}_{{\max }}}} \right)$ удовлетворяет следующему нелинейному дифференциальному неравенству первого порядка:
$\frac{{dy}}{{dt}} \geqslant \mu {{e}^{{\omega \rho t}}}{{y}^{{\rho + 1}}}\left( t \right),\quad {{y}_{0}} = \frac{1}{L}\int\limits_0^L {\operatorname{Im} {{u}_{0}}\left( x \right)dx} ,$
благодаря которому доказывается теорема 1.

Лемма 2. Пусть $\eta > 0$, $u\left( {x,t} \right)$ – гладкое решение задачи (1)–(3). Далее пусть

$\int\limits_0^L {\operatorname{Re} {{u}_{0}}\left( x \right)dx} > 0.$

Тогда функция

$y\left( t \right) = \frac{{{{e}^{{ - \omega t}}}}}{L}\int\limits_0^L {\operatorname{Re} u\left( {x,t} \right)dx} $
при любом $t \in \left[ {0,{{t}_{{\max }}}} \right)$ удовлетворяет следующему нелинейному дифференциальному неравенству первого порядка:
$\frac{{dy}}{{dt}} \geqslant \eta {{e}^{{\omega \rho t}}}{{y}^{{\rho + 1}}}\left( t \right),\quad {{y}_{0}} = \frac{1}{L}\int\limits_0^L {\operatorname{Re} {{u}_{0}}\left( x \right)dx} ,$
благодаря которому доказывается теорема 2.

Список литературы

  1. Rypdal K., Rasmussen J.J. // Phys. Scr. I. II. 1986. V. 33. P. 481–504.

  2. Захаров В.Е., Шабат А.Б. // ЖЭТФ. 1971. Т. 61. № 1. С. 118–134.

  3. Луговой В.Н., Прохоров А.М. // УФН. 1973. Т. 11. № 11. С. 203–247.

  4. Bourgain J. // Geom. Funct. Anal. 1993. V. 3. P. 157–178.

  5. Шабат А.Б. / В кн.: Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1969. В. 1. С. 180–194.

  6. Насибов Ш.М. // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. № 8. С. 1087–1091.

  7. Nasibov Sh.M. // J. Appl. Math. 2004. V. 1. P. 23–35.

  8. Насибов Ш.М. // ТМФ. 2018. Т. 195. № 2. С. 190–196.

  9. Насибов Ш.М. // ТМФ. 2019. Т. 201. № 1. С. 118–125.

  10. Насибов Ш.М. // ДАН. 1989. Т. 304. № 2. С. 285–289.

  11. Насибов Ш.М. // ДАН. 1985. Т. 285. № 4. С. 807–811.

  12. Насибов Ш.М. // ДАН. 1989. Т. 307. № 3. С. 538–542.

  13. Кудряшов О.И. // Сиб. мат. журн. 1975. Т. 16. № 4. С. 866–868.

  14. Weinstein M. // Communs Partial and Different. Equats. 1986. V. 11. P. 545–565.

  15. Nawa H. // Communs Pure and Appl. Math. 1999. V. 52. № 2. P. 193–270.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал