Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 494, № 1, стр. 48-52

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ζ(2n + 1) И СВЯЗАННЫХ С НИМИ ЧИСЕЛ В ВИДЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ И БЫСТРО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

К. А. Мирзоев^1, *, Т. А. Сафонова^2, **

¹ Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Москва, Россия

² Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В. Ломоносова
Архангельск, Россия

^* E-mail: mirzoev.karahan@mail.ru
^** E-mail: t.Safonova@narfu.ru

Поступила в редакцию 14.07.2020
После доработки 14.07.2020
Принята к публикации 28.07.2020

DOI: 10.31857/S2686954320050380

Полный текст (PDF)

Аннотация

Пусть ζ(s) и β(s) – дзета-функция Римана и бета-функция Дирихле. Формулы для вычисления значений $\zeta (2m)$ и $\beta (2m - 1)$ ($m = 1,2, \ldots $) являются классическими и хорошо известны. Наша цель – представление $\zeta (2m + 1)$, β(2m) и родственных с ними чисел в виде определенных интегралов от элементарных функций и быстро сходящихся числовых рядов, содержащих ζ(2m). Метод настоящей работы, с одной стороны, позволяет единообразно доказать как формулы, уже ставшие классическими, так и формулы, полученные сравнительно недавно другими авторами, а с другой стороны – получить многочисленные новые.

Ключевые слова: интегральное представление сумм рядов, значения дзета-функции Римана в нечетных точках, значения бета-функции Дирихле в четных точках, постоянные Каталана и Апери

1. Пусть, как обычно, ζ(s) – дзета-функция Римана. Следуя [1, гл. 23], символами β(s), λ(s) и η(s) обозначим родственные с ζ(s) функции, определяемыми равенствами

$\begin{gathered} \beta (s) = \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\frac{{{{{( - 1)}}^{{k - 1}}}}}{{{{{(2k - 1)}}^{s}}}}} ,\quad \lambda (s) = \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{{{{(2k - 1)}}^{s}}}}} ,{\mkern 1mu} \\ {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \eta (s) = \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\frac{{{{{( - 1)}}^{{k - 1}}}}}{{{{k}^{s}}}}} \\ \end{gathered} $

соответственно. Хорошо известно, что эти функции аналитически продолжаются на всю комплексную плоскость за возможным исключением точки s = 1 и

$\begin{gathered} \zeta (0) = - \frac{1}{2},\quad \lambda (s) = (1 - {{2}^{{ - s}}})\zeta (s), \\ \eta (s) = (1 - {{2}^{{1 - s}}})\zeta (s). \\ \end{gathered} $

Функцию $\beta (s)$ называют бета-функцией Дирихле, а числа $\beta (2)( = G)$ и ζ(3) – постоянными Каталана и Апери соответственно (см., например, [2, гл. 1, п.п. 1.7 и 1.6]).

Объект исследования настоящей работы – это различные представления значений функций β(s), λ(s), η(s) и ζ(s) при натуральных значениях аргумента. Формулы для вычисления значений λ(s), η(s) и ζ(s) при $s = 2m$ ($m = 1,2, \ldots $) и формула для β(s) при $s = 2m + 1$ ($m = 0,1, \ldots $) являются классическими и хорошо известны (см., например, [1, гл. 23, формулы 23.2.16, 23.2.19, 23.2.20 и 23.2.22], а также [3, гл. 25]). Из этих формул немедленно следует, что числа $\beta (2m + 1)$, $\lambda (2m)$, $\eta (2m)$ и $\zeta (2m)$ являются трансцендентными. С другой стороны, интегральные представления для чисел $\beta (2m)$ и $\zeta (2m + 1)$, уже ставшие классическими (в терминах многочленов Бернулли ${{B}_{n}}(x)$ и Эйлера ${{E}_{n}}(x)$, определяемых ниже в п. 2)

(1)

$\begin{gathered} \beta (2m) = \frac{{{{{( - 1)}}^{m}}{{\pi }^{{2m}}}}}{{4(2m - 1)!}}\int\limits_0^1 {\frac{{{{E}_{{2m - 1}}}(x)}}{{\cos (\pi x)}}} dx,{\mkern 1mu} \\ \zeta (2m + 1) = \frac{{{{{( - 1)}}^{{m + 1}}}{{{(2\pi )}}^{{2m + 1}}}}}{{2(2m + 1)!}}\int\limits_0^1 {{{B}_{{2m + 1}}}(x){\text{ctg}}(\pi x)} dx \\ \end{gathered} $

(см., например, [1, гл. 23, формулы 23.2.17 и 23.2.23]), и сравнительно недавние для чисел $\lambda (2m + 1)$ и $\eta (2m - 1)$

(2)

$\begin{gathered} \lambda (2m + 1) = \frac{{{{{( - 1)}}^{m}}{{\pi }^{{2m + 1}}}}}{{2(2m)!}}\int\limits_0^{1/2} {\frac{{{{E}_{{2m}}}(x)}}{{\sin (\pi x)}}\,} dx, \\ {\mkern 1mu} \eta (2m - 1) = \frac{{{{{( - 1)}}^{m}}{{{(2\pi )}}^{{2m - 1}}}}}{{(2m - 1)!}}\int\limits_0^{1/2} {{{B}_{{2m - 1}}}(x){\text{tg}}(\pi x)} \,dx \\ \end{gathered} $

(см. [4, теорема 1]) не позволяют судить об их арифметической природе, и об этом мало что известно (см. [5] и список цитированной литературы в ней). В частности, по этой причине отыскание различных представлений этих чисел в виде интегралов или быстро сходящихся рядов представляет особый интерес, а литература, посвященная этой тематике, весьма обширна (см. обзорную работу [6] и список литературы в ней).

Метод, предложенный авторами в работах [7–9], позволяет получить новые интегральные представления производящих функций для чисел $\beta (2m)$, $\lambda (2m + 1)$, $\eta (2m - 1)$ и $\zeta (2m + 1)$ ($m = 1,2 \ldots $), а именно, доказать справедливость следующей теоремы.

Теорема 1. Пусть $ - 1 < a < 1$. Тогда справедливы равенства

(3)

$\sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\frac{{{{{( - 1)}}^{{k - 1}}}}}{{{{{(2k - 1)}}^{2}} - {{a}^{2}}}}} = \frac{1}{{2a\cos (a\pi {\text{/}}2)}}\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{\sin ax}}{{\sin x}}} \,dx,$

(4)

$\begin{gathered} \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{(2k - 1)({{{(2k - 1)}}^{2}} - {{a}^{2}})}}} = \\ = \;\frac{1}{{2{{a}^{2}}}}\left( {{\text{tg}}(a\pi {\text{/}}2)\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{\sin ax}}{{\sin x}}\,} dx - \int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{1 - \cos ax}}{{\sin x}}} \,dx} \right), \\ \end{gathered} $

(5)

$\sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\frac{{{{{( - 1)}}^{{k - 1}}}k}}{{{{k}^{2}} - {{a}^{2}}}}} = \frac{1}{{a\sin a\pi }}\int\limits_0^{\pi /2} {{{{\left( {\frac{{\sin ax}}{{\sin x}}} \right)}}^{2}}} dx,$

(6)

$\begin{gathered} \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{k({{k}^{2}} - {{a}^{2}})}}} = \frac{{\ln 2}}{{{{a}^{2}}}} + \frac{1}{{{{a}^{2}}}} \times \\ \times \;\left( {\int\limits_0^{\pi /2} {\left( {\frac{{\sin 2ax}}{{2a}} - x} \right)} \frac{{dx}}{{{{{\sin }}^{2}}x}} - \frac{{{\text{сtg}}a\pi }}{a}\int\limits_0^{\pi /2} {{{{\left( {\frac{{\sin ax}}{{\sin x}}} \right)}}^{2}}} dx} \right). \\ \end{gathered} $

Если $a$ является правильной положительной рациональной дробью, то интегралы, стоящие в правых частях равенств (3)–(6), можно вычислить в терминах элементарных функций. Таким образом, из теоремы 1 следует, что значения производящих функций в рациональных точках для интересующих нас чисел явно вычисляются. При этом получаются аналоги и еще одно доказательство известной теоремы Гаусса о значениях дигамма-функции Эйлера в рациональных точках (см., например, [3, гл. 5, формула 5.4.19], а также [10, приложения II .2]).

С другой стороны, эти же интегралы можно вычислить (уже при любом допустимом $a$), используя теорию гипергеометрических функций, и тем самым получить формулы для производящих функций перечисленных выше чисел в виде гипергеометрических рядов, содержащих $a$ в качестве параметра.

В работе авторов [11] приведена формулировка части теоремы 1, а именно, сформулированы тождества (3) и (5) этой теоремы и приведен краткий обзор результатов, полученных для них указанными выше способами.

Левые части равенств (3)–(6) являются аналитическими функциями внутри единичного круга и производящими функциями для $\beta (2m)$, $\lambda (2m + 1)$, $\eta (2m - 1)$ и $\zeta (2m + 1)$ ($m = 1,2 \ldots $), а точка a = 0, очевидно, является устранимой особой точкой правых частей этих равенств, и если их значения в этой точке трактовать как соответствующие пределы при $a \to 0$, то они также становятся регулярными аналитическими функциями внутри единичного круга. В данной работе, раскладывая левые и правые части равенств (3)–(6) из теоремы 1 в ряды Тейлора по степеням a и приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях, получены представления чисел $\beta (2m)$, $\lambda (2m + 1)$, $\eta (2m - 1)$ и $\zeta (2m + 1)$ в виде определенных интегралов от некоторых элементарных функций. Из этих формул, в частности, следует, что их можно представить в виде быстро сходящихся рядов

(7)

${{\pi }^{{\nu (m)}}}\sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {{{A}_{{mk}}}} \zeta (2k),$

где $\nu (m)$ – некоторое натуральное число, а ${{A}_{{mk}}}$ – некоторые рациональные числа, зависящие от m и k (см. теорему 3).

Отметим также, что метод данной работы, основанный на применении теоремы 1, позволяет единообразно доказать как уже многочисленные известные формулы, полученные другими авторами, так и получить новые.

2. Напомним, что многочлены Бернулли ${{B}_{n}}(x)$ и Эйлера ${{E}_{n}}(x)$ определяются из разложений

$\frac{{t{{e}^{{tx}}}}}{{{{e}^{t}} - 1}} = \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {{{B}_{n}}} (x)\frac{{{{t}^{n}}}}{{n!}},{\mkern 1mu} \quad \frac{{2{{e}^{{tx}}}}}{{{{e}^{t}} + 1}} = \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {{{E}_{n}}} (x)\frac{{{{t}^{n}}}}{{n!}},$

первое из которых справедливо при $\left| t \right| < 2\pi $, а второе – при $\left| t \right| < \pi $, числа Бернулли B_n и числа Эйлера E_n определяются равенствами

${{B}_{n}} = {{B}_{n}}(0)\quad {\text{и}}\quad {{E}_{n}} = {{2}^{n}}{{E}_{n}}\left( {\frac{1}{2}} \right),\quad n = 0,\;1,\; \ldots $

соответственно (см., например, [1, п. 23, формулы 23.1.1 и 23.1.2]).

Из теоремы 1 можно извлечь, что справедливы следующие утверждения.

Следствие 1. При $m = 1,\;2, \ldots $ справедливы следующие равенства:

(8)

$\begin{gathered} \beta (2m) = {{( - 1)}^{m}}\left( {\sum\limits_{k = 1}^{m - 1} {{{{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}}^{{2(m - k)}}}} } \right.\frac{{{{{( - 1)}}^{{k - 1}}}\beta (2k)}}{{(2m - 2k)!}} - \\ - \;\frac{1}{{2(2m - 1)!}}\left. {\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{{{x}^{{2m - 1}}}}}{{\sin x}}} \,dx} \right), \\ \end{gathered} $

(9)

$\begin{gathered} \lambda (2m + 1) = {{( - 1)}^{m}}\left( {\sum\limits_{k = 1}^m {{{{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}}^{{2(m - k) + 1}}}} } \right. \times \\ \times \;\frac{{{{{( - 1)}}^{k}}\beta (2k)}}{{(2m - 2k + 1)!}} + \frac{1}{{2(2m)!}}\left. {\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{{{x}^{{2m}}}}}{{\sin x}}} \,dx} \right), \\ \end{gathered} $

(10)

$\begin{gathered} \eta (2m - 1) = \frac{{{{{( - 1)}}^{m}}}}{\pi }\left( {\sum\limits_{k = 1}^{m - 1} {\frac{{{{{( - 1)}}^{{k - 1}}}{{\pi }^{{2(m - k) + 1}}}\eta (2k - 1)}}{{(2m - 2k + 1)!}}} } \right. - \\ - \;\left. {\frac{{{{2}^{{2m}}}}}{{2(2m)!}}\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{{{x}^{{2m}}}}}{{{{{\sin }}^{2}}x}}} \,dx} \right), \\ \end{gathered} $

(11)

$\begin{gathered} \zeta (2m + 1) = \frac{{{{{( - 1)}}^{m}}{{2}^{{2m}}}}}{{{{2}^{{2m + 1}}} - 1}} \times \\ \times \;\left( {\sum\limits_{k = 0}^{m - 1} {\frac{{{{{( - 1)}}^{{k - 1}}}{{\pi }^{{2(m - k)}}}\eta (2k\, + \,1)}}{{(2m - 2k)!}}} \, + \,\frac{{{{2}^{{2m}}}}}{{(2m\, + \,1)!}}\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{{{x}^{{2m + 1}}}}}{{{\text{si}}{{{\text{n}}}^{2}}x}}} \,dx} \right), \\ \end{gathered} $

где суммы по пустому множеству считаются равными нулю.

Следствие 2. При $m = 1,2, \ldots $ справедливы следующие равенства:

(12)

$\beta (2m) = \frac{{{{{( - 1)}}^{m}}{{\pi }^{{2m - 1}}}}}{{2(2m - 1)!}}\int\limits_0^{\pi /2} {{{E}_{{2m - 1}}}\left( {\frac{1}{2} - \frac{x}{\pi }} \right)\frac{{dx}}{{\sin x}}} ,$

(13)

$\lambda (2m + 1) = \frac{{{{{( - 1)}}^{m}}{{\pi }^{{2m}}}}}{{2(2m)!}}\int\limits_0^{\pi /2} {{{E}_{{2m}}}\left( {\frac{x}{\pi }} \right)\frac{{dx}}{{\sin x}}} ,$

(14)

$\begin{gathered} \eta (2m - 1) = \frac{{{{{( - 1)}}^{{m - 1}}}{{{(2\pi )}}^{{2m - 1}}}}}{{(2m)!}} \times \\ \times \;\int\limits_0^{\pi /2} {\left( {{{B}_{{2m}}}\left( {\frac{1}{2} - \frac{x}{\pi }} \right) - {{B}_{{2m}}}\left( {\frac{1}{2}} \right)} \right)\frac{{dx}}{{{{{\sin }}^{2}}x}}} , \\ \end{gathered} $

(15)

$\begin{gathered} \zeta (2m + 1) = \frac{{{{{( - 1)}}^{{m - 1}}}{{{(2\pi )}}^{{2m + 1}}}}}{{(2m + 2)!}} \times \\ \times \;\int\limits_0^{\pi /2} {\left( {{{B}_{{2m + 2}}}\left( {\frac{x}{\pi }} \right) - {{B}_{{2m + 2}}}} \right)\frac{{dx}}{{{{{\sin }}^{2}}x}}.} \\ \end{gathered} $

Отметим, что формулы (8) и (9) можно извлечь также из одного тождества Рамануджана (см. [12, entry 14, p. 261]), а формулы (10) и (11), за исключением формул для $\eta (1)$ и $\eta (3)$ (см. ниже), насколько нам известно, являются новыми, и, напротив, формулы (12)–(15) в несколько иной формулировке, а именно, в виде (1) и (2), являются известными.

Интересно заметить, что формулы для представления интегралов

(16)

$\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{{{x}^{m}}}}{{{{{\sin }}^{\sigma }}x}}\,} dx,{\mkern 1mu} \quad \sigma = 1,2;\quad m = \sigma ,\;\sigma + 1,\;\sigma + 2,\; \ldots $

в виде сходящихся рядов (7), где $\nu (m) = m + 1 - \sigma $, A_mk – некоторые рациональные числа, хорошо известны (см., например, [10, гл. 2, п. 2.5.4, формулы 4 и 6]), а формулы (8)–(11) следствия 1 показывают, что эти же интегралы можно представить в виде линейной комбинации последовательностей $\beta (2k)$, $\lambda (2k + 1)$ и $\eta (2k - 1)$.

Приведем список формул, которые получаются из следствий 1 и 2 при m = 1, а для $\eta (2m - 1)$ и при m = 2

$\begin{gathered} G = \beta (2) = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{x}{{\sin x}}} \,dx, \\ \lambda (3) = \frac{1}{4}\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{x(\pi - x)}}{{\sin x}}} \,dx = \frac{\pi }{2}\beta (2) - \frac{1}{4}\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{{{x}^{2}}}}{{\sin x}}} \,dx, \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} \eta (1) = \ln 2 = \frac{1}{\pi }\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{{{x}^{2}}}}{{{{{\sin }}^{2}}x}}} \,dx, \\ \eta (3) = \frac{1}{{6\pi }}\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{{{x}^{2}}({{\pi }^{2}} - 2{{x}^{2}})}}{{{\text{si}}{{{\text{n}}}^{2}}x}}} \,dx = \frac{{{{\pi }^{2}}}}{6}{\text{ln}}2 - \frac{1}{{3\pi }}\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{{{x}^{4}}}}{{{\text{si}}{{{\text{n}}}^{2}}x}}} \,dx, \\ \end{gathered} $

$\zeta (3) = \frac{1}{{3\pi }}\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{{{x}^{2}}{{{(\pi - x)}}^{2}}}}{{{{{\sin }}^{2}}x}}} \,dx = \frac{{2{{\pi }^{2}}}}{7}\ln 2 - \frac{8}{{21}}\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{{{x}^{3}}}}{{{{{\sin }}^{2}}x}}} \,dx.$

Большинство из этих формул хорошо известны и, как правило, приводятся в различных монографиях и справочниках. Например, формулы для $\beta (2)$, $\eta (1)$ и $\eta (3)$ приведены в [10, гл. 2, п. 2.5.4, формулы 5 и 7], а формула для $\lambda (3)$ следует из формулы Рамануджана, упомянутой выше. Однако, как мы уже отмечали выше, у нас все они получаются единообразно, а вторая часть формулы для $\zeta (3)$, по-видимому, является новой. Заметим также, что из формул для $\eta (3)$ и $\zeta (3)$ следует справедливость следующего интересного равенства:

$\int\limits_0^1 {\frac{{{{x}^{3}}(12 - 7x)}}{{1 - \cos \pi x}}} dx = \frac{{16\ln 2}}{{{{\pi }^{2}}}}.$

Кроме того, формула (9), очевидно, позволяет представить значение $\zeta (2m + 1)$ в виде линейной комбинации чисел $\beta (2),\; \ldots ,$ $\beta (2m)$ и интеграла вида (16) с заменой числа m на 2m и σ = 1. Таким образом, формула (9) является обобщением хорошо известной формулы

$2\pi \beta (2) - \frac{7}{2}\zeta (3) = \int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{{{x}^{2}}}}{{\sin x}}} \,dx$

(см. вторую формулу из приведенного выше списка).

3. Как известно (см., например, [3, формулы 4.19.4 и 4.19.6]), при $\left| x \right| < \pi $ справедливы разложения

$\frac{x}{{\sin x}} = \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{{{{{( - 1)}}^{{n - 1}}}({{2}^{{2n}}} - 2){{B}_{{2n}}}}}{{(2n)!}}} {{x}^{{2n}}}$

${\text{и}}\quad {{\left( {\frac{x}{{\sin x}}} \right)}^{2}} = \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{{{{{( - 1)}}^{{n - 1}}}(2n - 1){{2}^{{2n}}}{{B}_{{2n}}}}}{{(2n)!}}} {{x}^{{2n}}}.$

Учитывая эти равенства в интегральных представлениях (8)–(15) из следствий 1 и 2, можно доказать справедливость следующих теорем.

Теорема 2. При $m = 1,2, \ldots $ справедливы равенства

(17)

$\begin{gathered} \beta (2m) = {{( - 1)}^{m}}{{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^{{2m - 1}}}\left( {\sum\limits_{k = 1}^{m - 1} {{{{\left( {\frac{2}{\pi }} \right)}}^{{2k - 1}}}} } \right. \times \\ \times \;\frac{{{{{( - 1)}}^{{k - 1}}}\beta (2k)}}{{(2m - 2k)!}} - \frac{1}{{(2m - 1)!}}\left. {\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{{({{2}^{{2n}}} - 2)\zeta (2n)}}{{{{4}^{{2n}}}(2n + 2m - 1)}}} } \right), \\ \end{gathered} $

(18)

$\begin{gathered} \lambda (2m + 1) = {{( - 1)}^{m}}{{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^{{2m}}}\left( {\sum\limits_{k = 1}^m {{{{\left( {\frac{2}{\pi }} \right)}}^{{2k - 1}}}} } \right. \times \\ \times \;\frac{{{{{( - 1)}}^{k}}\beta (2k)}}{{(2m - 2k + 1)!}} + \frac{1}{{(2m)!}}\left. {\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{{({{2}^{{2n - 1}}} - 1)\zeta (2n)}}{{{{4}^{{2n}}}(n + m)}}} } \right), \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} \eta (2m - 1) = {{( - 1)}^{m}}{{\pi }^{{2(m - 1)}}}\left( {\sum\limits_{k = 1}^{m - 1} {\frac{{{{{( - 1)}}^{{k - 1}}}\eta (2k - 1)}}{{{{\pi }^{{2(k - 1)}}}(2m - 2k + 1)!}}} } \right. + \\ + \;\frac{2}{{(2m - 1)!}}\left. {\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{{\zeta (2n)}}{{{{2}^{{2n}}}(2n + 2m - 1)}}} } \right), \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} \zeta (2m + 1) = \frac{{{{{( - 1)}}^{{m - 1}}}{{{(2\pi )}}^{{2m}}}}}{{({{2}^{{2m + 1}}} - 1)}}\left( {\frac{{\ln 2}}{{(2m)!}}} \right. + \\ + \;\sum\limits_{k = 1}^{m - 1} {\frac{{{{{( - 1)}}^{k}}({{2}^{{2k}}} - 1)\zeta (2k + 1)}}{{{{{(2\pi )}}^{{2k}}}(2m - 2k)!}}} + \frac{1}{{(2m)!}}\left. {\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{{\zeta (2n)}}{{{{2}^{{2n}}}(n + m)}}} } \right). \\ \end{gathered} $

Теорема 3. При $m = 1,2, \ldots $ справедливы равенства

$\begin{gathered} \beta (2m) = \frac{{{{{( - 1)}}^{{m - 1}}}4}}{{(2m)!}}{{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^{{2m - 1}}} \times \\ \times \;\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{{{{2}^{{2n - 1}}} - 1}}{{{{4}^{{2n}}}}}} \left( {\sum\limits_{k = 1}^m {\frac{{kC_{{2m}}^{{2k}}{{E}_{{2(m - k)}}}}}{{2n + 2k - 1}}} } \right)\zeta (2n), \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} \lambda (2m + 1) = \frac{{{{{( - 1)}}^{m}}{{\pi }^{{2m}}}}}{{(2m)!}}\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{{({{2}^{{2n - 1}}} - 1)}}{{{{4}^{{2n}}}}}} \times \\ \times \;\left( {\frac{1}{{{{2}^{{2m}}}(n + m)}} - \sum\limits_{k = 0}^{m - 1} {\frac{{C_{{2m}}^{{2k}}({{2}^{{2(m - k) + 1}}} - 2){{B}_{{2(m - k)}}}}}{{{{2}^{{2k}}}(2k + 1)(2n + 2k + 1)}}} } \right)\zeta (2n), \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} \eta (2m - 1) = \frac{{{{{( - 1)}}^{{m - 1}}}4{{\pi }^{{2m - 2}}}}}{{(2m)!}} \times \\ \times \;\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{1}{{{{2}^{{2n}}}}}} \left( {\sum\limits_{k = 1}^m {\frac{{kC_{{2m}}^{{2k}}({{2}^{{2(m - k)}}} - 2){{B}_{{2(m - k)}}}}}{{2n + 2k - 1}}} } \right)\zeta (2n), \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} \zeta (2m + 1) = \frac{{{{{( - 1)}}^{{m - 1}}}{{{(2\pi )}}^{{2m}}}}}{{(2m)!}}\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{1}{{{{2}^{{2n}}}}}} \times \\ \times \;\left( {\frac{1}{{{{2}^{{2m}}}(n + m)}} - \sum\limits_{k = 0}^m {\frac{{2C_{{2m}}^{{2k}}{{B}_{{2(m - k)}}}}}{{{{2}^{{2k}}}(2k + 1)(2n + 2k + 1)}}} } \right)\zeta (2n). \\ \end{gathered} $

Часть результатов, сформулированных нами в этих теоремах, были получены ранее другими авторами, например, формулы для $\zeta (2m + 1)$ и $\eta (2m - 1)$ теоремы 2 другими методами были установлены в [13] (см. также [6, формулы 58 и 59]), а формула для $\zeta (2m + 1)$ теоремы 3 – в [14] (см. также [6, формула 40]). Литература, посвященная этой тематике, как мы уже отмечали выше, весьма обширна, и более полное сравнение полученных ранее результатов (см. обзорную работу [6]) с изложенными здесь, по-видимому, требует скрупулезного исследования и является темой отдельной работы. Отметим лишь, что, насколько нам известно, формулы для $\beta (2m)$ и $\lambda (2m + 1)$ в теореме 2 и формулы для $\beta (2m)$, $\lambda (2m + 1)$ и $\eta (2m - 1)$ в теореме 3 являются новыми.

4. В заключение приведем небольшой список формул, которые получаются из теорем 2 и 3 при малых значениях m. При этом сначала перечислим те из них, которые известны также из работ других авторов:

(19)

$\eta (1) = \ln 2 = - 2\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{{\zeta (2n)}}{{{{4}^{n}}(2n + 1)}}} ,$

(20)

$\begin{gathered} \zeta (3) = \frac{{2{{\pi }^{2}}}}{9}\ln 2 + \frac{{4{{\pi }^{2}}}}{9}\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{{\zeta (2n)}}{{{{4}^{n}}(2n + 3)}}} = \\ = \;\frac{{2{{\pi }^{2}}}}{7}\ln 2 + \frac{{2{{\pi }^{2}}}}{7}\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{{\zeta (2n)}}{{{{4}^{n}}(n + 1)}}} , \\ \end{gathered} $

(21)

$\begin{gathered} \zeta (5) = - \frac{{2{{\pi }^{4}}}}{{225}}\ln 2 + \frac{{2{{\pi }^{2}}}}{{15}}\zeta (3) - \frac{{4{{\pi }^{4}}}}{{225}}\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{{\zeta (2n)}}{{{{4}^{n}}(2n + 5)}}} = \\ = \; - \frac{{2{{\pi }^{4}}}}{{93}}\ln 2 + \frac{{6{{\pi }^{2}}}}{{31}}\zeta (3) - \frac{{2{{\pi }^{4}}}}{{93}}\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{{\zeta (2n)}}{{{{4}^{n}}(n + 2)}}} . \\ \end{gathered} $

Формулы (19) и (20) приведены, например, в [6] (см. формулы 62, 60 и 9).

Далее, полагая m = 1 и m = 2 в формуле (17) и используя равенства (19) и (20), после некоторых элементарных преобразований получим, что

(22)

$\begin{gathered} \beta (2) = \pi \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\left( {\frac{1}{{{{2}^{{2n + 1}}}}} - \frac{1}{{{{2}^{{4n}}}}}} \right)} \frac{{\zeta (2n)}}{{2n + 1}} = \\ = \; - \frac{\pi }{4}\ln 2 - \pi \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{{\zeta (2n)}}{{{{{16}}^{n}}(2n + 1)}}} , \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} \beta (4) = \frac{{{{\pi }^{2}}}}{8}\beta (2) - \frac{{{{\pi }^{3}}}}{{24}}\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\left( {\frac{1}{{{{2}^{{2n + 1}}}}} - \frac{1}{{{{2}^{{4n}}}}}} \right)} \frac{{\zeta (2n)}}{{2n + 3}} = \\ = \;\frac{{{{\pi }^{3}}}}{{96}}\ln 2 + \frac{{{{\pi }^{2}}}}{8}\beta (2) - \frac{{3\pi }}{{64}}\zeta (3) + \frac{{{{\pi }^{3}}}}{{24}}\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{{\zeta (2n)}}{{{{{16}}^{n}}(2n + 3)}}} . \\ \end{gathered} $

Кроме того, при m = 1 из формулы (18) следует, что

$\lambda (3) = \frac{\pi }{2}\beta (2) - \frac{{{{\pi }^{2}}}}{8}\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\left( {\frac{1}{{{{2}^{{2n + 1}}}}} - \frac{1}{{{{2}^{{4n}}}}}} \right)} \frac{{\zeta (2n)}}{{n + 1}}.$

Из этого соотношения и формулы (20) можно извлечь, что

(23)

$2\pi \beta (2) - \frac{{35}}{8}\zeta (3) = - \frac{{{{\pi }^{2}}}}{4}\ln 2 - \frac{{{{\pi }^{2}}}}{2}\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{{\zeta (2n)}}{{{{{16}}^{n}}(n + 1)}}} .$

Интересно отметить, что сравнение этой формулы с известной формулой Рамануджана (см. [12, example (ii), p. 269]) приводит к следующему удивительному соотношению:

$\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{{{{2}^{{n + 1}}}{{{(n!)}}^{2}}}}{{(2n + 1)!{{{(n + 1)}}^{2}}}}} + \frac{{{{\pi }^{2}}}}{2}\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{{\zeta (2n)}}{{{{{16}}^{n}}(n + 1)}}} = 0.$

Если же положить m = 2 в формуле (18) и использовать равенства (21)–(23), то можно установить, что

$\begin{gathered} 64\pi \beta (4) - \frac{{527}}{4}\zeta (5) = - \frac{{29{{\pi }^{4}}}}{{70}}\ln 2 - \\ - \;\frac{{{{\pi }^{4}}}}{{35}}\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{{(58{{n}^{2}} + 203n + 139)\zeta (2n)}}{{{{{16}}^{n}}(2n + 1)(n + 1)(n + 2)}}} . \\ \end{gathered} $

Формула (23) является первой, а последнее соотношение – второй из бесконечной серии формул, связывающих β(2k), ζ(2k + 1) и суммы рядов вида (7), причем благодаря наличию множителя 16^–n в общем члене эти ряды довольно быстро сходятся.

Список литературы

Abramowitz M., Stegun I.A. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. N.Y.: Dover, 1972. 1046 p.
Finch S.R. Mathematical constants. N.Y.: Cambridge University Press, 2003. 602 p.
NIST Handbook of Mathematcal Functuios. N.Y.: Cambridge, 2010. 951 p.
Cvijovic D., Klinowski J. Integral Representations of the Riemann Zeta Function for Odd-Integer Arguments // J. Computational and Applied Mathematics. 2002. V. 142. P. 435–439.
Зудилин В.В. Об иррациональности значений дзета-функции Римана // Известия РАН. Серия матем. 2002. Т. 66. Вып. 3. С. 49–102.
Srivastava H.M. The Zeta and Related Functions: Recent Developments // J. Advanced Engineering and Computation. 2019. V. 3. № 1. P. 329–354.
Мирзоев К.А., Сафонова Т.А. Функция Грина обыкновенных дифференциальных операторов и интегральное представление сумм некоторых степенных рядов // ДАН. 2018. Т. 482. № 5. С. 500–503.
Мирзоев К.А.,Сафонова Т.А. Об интегральном представлении сумм некоторых степенных рядов // Матем. заметки. 2019. Т. 106. № 3. С. 470–475.
Мирзоев К.А., Сафонова Т.А. Обыкновенные дифференциальные операторы и интегральное представление сумм некоторых степенных рядов // Тр. ММО. 2019. Т. 80. Вып. 2. С. 157–177.
Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Физматлит, 2002. Т. 1. 632 с.
Мирзоев К.А., Сафонова Т.А. Интегральное представление сумм некоторых рядов, связанных со специальными функциями // Матем. заметки. 2020. Т. 108. № 2. С. 632–637.
Berndt B.C. Ramanujan’s Notebooks: Part I. N.Y.: Springer Verlag, 1985. 357 p.
Srivastava H.M., Glasser M.L., Adamchik V.S. Some Definite Integrals Associated with the Riemann Zeta Function // J. for Analysis and its Applications. 2000. V. 19. № 3. P. 831–846.
Cvijovic D., Klinowski J. New Rapidly Convergent Series Representations for $\zeta (2n + 1)$ // Proc. Amer. Math. Society. 1997. V. 125. № 5. P. 1263–1271.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал