Прикладная математика и механика, 2023, T. 87, № 6, стр. 1037-1048

1. Введение. В зимний период многие реки, озера и водоемы Крайнего Севера, Сибири и Дальнего Востока покрываются ледяным покровом. Создаются условия для организации на них ледовых дорог и переправ для доставки по ним грузов. Одна из самых известных ледовых дорог была создана во время Великой Отечественной войны на Ладожском озере для доставки по ней грузов в осажденный Ленинград. Группа ученых под руководством Кобеко П.П., проведя серию экспериментов, разработала рекомендации по движению транспортных средств по ледяному покрову [1]. Ими была предписана определенная скорость движения автомобилей, чтобы избежать явления резонанса, вызванного изгибно-гравитационной волной.

На северо-западе Канады находится одна из самых опасных зимних дорог мира – Tuktoyaktuk Winter Road или Mackenzie Ice Road. Она пролегает частично по замерзшему руслу реки Маккензи, частично по замерзшему морю Бофорта. Самый длинный в мире автозимник находится в Чукотском автономном округе. Он проложен по льду Восточно-Сибирского моря и соединяет город Певек с селом Айон. Протяженность его составляет 120 км.

С другой стороны необходимость продления навигации на замерзающих водных путях ставит задачу разрушения ледяного покрова. Для этих целей используются суда на воздушной подушке, которые, двигаясь с определенной скоростью, создают условия для разрушения ледяного покрова. К одним из первых работ, посвященных этой проблеме, можно отнести работы [2, 3]. Дальнейшие исследования в этом направлении были продолжены Козиным В.М. и его учениками [4–6].

Исследования плавающего ледяного покрова при движении по нему различного рода нагрузок строятся в зависимости от того, является ли разрушение льда желательным или нежелательным. Возникает необходимость исследований поведения ледяного покрова при движении по нему источника возмущений. Важно знать поведение ледяного покрова в зависимости от скорости перемещения нагрузки, знать критические скорости, при которых возможно разрушение ледяного покрова.

Первый систематический подход, посвященный исследованию реакций бесконечной пластины, плавающей на поверхности жидкости конечной глубины Н, от воздействий на нее различного рода нагрузок, принадлежит Хейсину Д.Е. [7]. Он проанализировал прогибы пластины, вызванные равномерно движущейся нагрузкой, и показал, что в случае плоской деформации существует две критические скорости.

Дальнейшее исследование трехмерных изгибно-гравитационных волн, вызванных движущимися возмущениями, нашло свое отражение в работах [8–11] и многих других.

Одними из первых зарубежных работ, посвященных исследованию изгибных волн в плавающих ледяных покровах, вызванных движущимися нагрузками, были работы Wilson J.T. [12, 13]. В коллективной монографии [14] приводится анализ и библиография основных работ зарубежных авторов вплоть до 1995 года, посвященных перемещению грузов по ледяному покрову. Среди последних исследований по этой теме можно отметить работы: [15–22].

Исследованию колебаний сплошного ледяного покрова при воздействии на него изгибно-гравитационных волн от движущихся погруженных тел посвящены работы [23–30]. В монографии [23] проанализирована возможность использования подводных судов для разрушения ледяного покрова. Приводятся результаты экспериментальных исследований. Изучено [24] влияние скорости движения погруженного тела, толщины плавающего льда, сжимающих и растягивающих усилий на распределение прогибов в ледяном покрове. Исследован [25] докритический режим движения диполя (сферы), при котором ледяной покров не совершает колебательные движения. Рассмотрена [26] плоская задача о движении диполя в жидкости с плавающим ледяным покровом при движении его со сверхкритическими скоростями. Монография [27] посвящена экспериментальным исследованиям разрушения ледяного покрова изгибно-гравитационными волнами от движения подводных судов. Эксперименты проводились в опытовом ледовом бассейне Приамурского государственного университета им. Шолом-Алейхема. Экспериментально и теоретически исследовалось [28] влияние глубины опытового бассейна на прогибы ледяного покрова при движении модели под ним. При проведении экспериментов ледяной покров получался путем замораживания поверхностного слоя воды, либо использовался резиновый лист, плавающий на поверхности жидкости. В монографии [29] кроме экспериментальных исследований изложены результаты численного и теоретического моделирования движения погруженного тела в приповерхностной водной среде, как для свободной поверхности, так и при наличии ледяного покрова. Изучено [30] движение сферы в жидкости бесконечной глубины под плавающим ледяным покровом при неравномерном его сжатии. Анализируется величина прогиба льда в зависимости от его толщины, скорости движения и глубины его погружения, а также направления движения.

Настоящая работа посвящена исследованию влияния скорости перемещения источника возмущений, сил сжатия и растяжений, а также толщины ледяного покрова на амплитуды трехмерных изгибно-гравитационных волн. Проведено [31] исследование в случае отсутствия сил сжатия и растяжения.

2. Постановка задачи. На поверхности идеальной несжимаемой жидкости конечной глубины плавает ледяной покров, который моделируется тонкой упругой изотропной пластиной, по поверхности которой перемещается источник возмущений вида:

В горизонтальных направлениях пластина и жидкость не ограничены. Считая движение жидкости потенциальным, а скорости движения частиц и прогиб пластины малыми, в системе координат x₁, y, связанной с движущейся областью давлений (2.1), задача сводится к решению уравнения Лапласа для потенциала скорости φ

с граничными условиями: где ${{D}_{1}} = \frac{D}{{\rho g}}$, ${{Q}_{1}} = \frac{Q}{{\rho g}}$, ${{\chi }_{1}} = \frac{{{{\rho }_{1}}h}}{{\rho g}}$, $D = \frac{{E{{h}^{3}}}}{{12(1 - {{\mu }^{2}})}}$, ${{p}_{1}} = \frac{{{{p}_{0}}}}{{\rho g}}$, ${{\nabla }^{4}} = \Delta _{l}^{2}$, ${{\Delta }_{l}} = \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{x}^{2}}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{y}^{2}}}}$, ρ – плотность жидкости, E, h, ρ₁, μ – модуль нормальной упругости, толщина, плотность и коэффициент Пуассона пластинки, Q – сжимающее усилие, ζ – возвышение поверхности пластина–жидкость. Здесь и далее у х₁ опущен индекс 1.

3. Аналитическое решение задачи. Применяя для решения задачи (2.2)–(2.3) интегральное преобразование Фурье по горизонтальным координатам, получим следующее интегральное представление для прогиба пластинки – возвышения поверхности пластина-жидкость:

где $\tau = {{((1 - {{Q}_{1}}{{r}^{2}} + {{D}_{1}}{{r}^{4}})M(r))}^{{1/2}}}$, $M(r) = rg{{(1 + {{\chi }_{1}}rg\operatorname{th} rH)}^{{ - 1}}}\operatorname{th} rH$, $r = {{({{m}^{2}} + {{n}^{2}})}^{{1/2}}}$, $R = {{({{x}^{2}} + {{y}^{2}})}^{{1/2}}}$, $m = r\cos \theta $, $n = r\sin \theta $, $x = R\cos \gamma $, $y = R\sin \gamma $, ${{k}_{0}} = r{v}\cos \theta - \tau $, $f{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (r)$ – трансформанта Фурье функции $f(R)$.

Рассмотрим случай, когда сжимающие усилие удовлетворяют условию ${{Q}_{1}} < {{Q}_{0}}$, где ${{Q}_{0}} = {{q}_{1}}({{r}_{4}})$, ${{r}_{4}}$ – положительный корень уравнения $q_{1}^{'}(r) = 0$, а ${{q}_{1}}$ имеет вид:

Для ${{Q}_{0}} < {{Q}_{1}} < 2\sqrt {{{D}_{1}}} $ существенно меняется структура волнового движения. За источником возмущений происходит наложение волн [32].

Заменим путь интегрирования во втором интеграле (3.1) на контур L, идущий по действительной оси от $\theta = - {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 2}} \right. \kern-0em} 2}$ до $\theta = {{3\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{3\pi } 2}} \right. \kern-0em} 2}$ с обходом полюсов $\theta = {{\theta }_{1}}$ и $\theta = {{\theta }_{2}}$ в комплексной плоскости $\theta $ по малым полуокружностям снизу и сверху соответственно, что обеспечивает выполнение условия излучения для прогиба ледяного покрова ζ и потенциала скорости течения жидкости φ. Здесь ${{\theta }_{{1,2}}} = \mp \arccos {{\tau }_{0}}$,${{\tau }_{0}} = {{(r{v})}^{{ - 1}}}\tau $. Так как подынтегральное выражение в (3.1) на отрезках $[0,{{r}_{1}}]$ и $[{{r}_{2}},\infty ]$ не имеет особенностей, то, применяя последовательно метод стационарной фазы и интегрирование по частям, получим:

здесь r₁ и r₂ – вещественные корни уравнения $\tau _{0}^{'}(r) = 1$.

Вычислим контурный интеграл (3.3) с учетом знаков выражения $\operatorname{Re} (i\cos (\theta - \gamma ))$ на малых полуокружностях, обходящих точки $\theta = {{\theta }_{{1,2}}}$, и подставим в (3.2). Затем, применяя для вычисления интеграла (3.2) метод стационарной фазы, получим, что в зависимости от скорости перемещения нагрузки на границе раздела пластина-жидкость образуется от одной до трех систем изгибно-гравитационных волн с амплитудой затухания как R^–1/2:

где ${{\zeta }_{k}} = {{R}^{{ - 1/2}}}{{\psi }_{j}}({{\alpha }_{k}})\cos (R{{\Phi }_{j}}({{\alpha }_{k}},\gamma ) - {{( - 1)}^{k}}\pi {\text{/4}})$, $k = 1,2,3$, $j = 1,2$, $f{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (r) = (b{\text{/}}r){{J}_{1}}(rb)$, ${{J}_{1}}$ – функция Бесселя, b – радиус круга, по площади которого равномерно распределена нагрузка, ${{\alpha }_{k}}$ – действительные корни уравнения $\operatorname{tg} \gamma = {{\tau }_{2}}(r)$, ${{\tau }_{2}} = (r{{\tau }_{0}}){\kern 1pt} '{\kern 1pt} \sqrt {1 - \tau _{0}^{2}} {{(1 - {{\tau }_{0}}(r{{\tau }_{0}}){\kern 1pt} ')}^{{ - 1}}}$.

Здесь ${{{v}}_{0}} = {{\tau ({{r}_{0}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{\tau ({{r}_{0}})} {{{r}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{r}_{0}}}}$, ${{r}_{0}}$ – единственный положительный корень уравнения $\tau _{0}^{'}(r) = 0$, ${{{v}}_{1}} = {{\tau }_{3}}({{r}_{3}})$, ${{\tau }_{3}} = {{({{(\tau {\text{/}}r)}^{2}} - (\tau {\kern 1pt} '{{(r\tau {\kern 1pt} '\; - \tau )}^{2}}{\text{/}}{{r}^{3}}\tau {\kern 1pt} ''))}^{{1/2}}}$, r₃ – действительный корень уравнения $\tau _{3}^{'}(r) = 0$, ${{r}_{3}} < {{r}_{0}}$, где ${{{v}}_{0}}$ – минимальное значение фазовой скорости изгибно-гравитационной волны, ${{{v}}_{1}}$ – скорость, при которой совпадают фазовые скорости изгибно-гравитационной, упругой и гравитационной волн, $\sqrt {gH} $ – максимальное значение фазовой скорости гравитационной волны.

В табл. 1 приведены значения критических скоростей ${{{v}}_{0}}$ и ${{{v}}_{1}}$, при которых меняется характер волнового возмущения. Здесь и далее для количественной оценки численные расчеты проводились для следующих параметров ледяного покрова и жидкости: $E = 3 \times {{10}^{9}}$ Н/м², $\mu = 0.34$, $\rho = 870$ кг/м³, ${{\rho }_{1}} = {{10}^{3}}$ кг/м³, h = 0.2 м, Н = 100 м, b = 2 м.

Таким образом:

Здесь ${{\gamma }_{1}}$, ${{\gamma }_{2}}$, ${{\gamma }_{3}}$ – значения угловых зон, в которых распространяются волны, находятся по следующим формулам:

${{\alpha }_{4}}$, ${{\alpha }_{5}}$ – действительные корни уравнения $\tau _{2}^{'}(r) = 0$, ${{\alpha }_{1}} < {{\alpha }_{4}} < {{\alpha }_{2}} < {{\alpha }_{5}} < {{\alpha }_{3}}$, α₁ = α₄ = = ${{\alpha }_{2}}$, при $\gamma = {{\gamma }_{1}}$, ${{\alpha }_{2}} = {{\alpha }_{5}} = {{\alpha }_{3}}$, при $\gamma = {{\gamma }_{2}}$.

4. Анализ полученных результатов. На рис. 1–7 приведено распределение амплитуд изгибно-гравитационных волн. Шкала делений по осям координат х и у дана в метрах. Отклонение изолиний амплитуд волнового движения дано в миллиметрах.

При ${v} < {{{v}}_{0}}$ волны с амплитудой затухания как R^–1/2 не образуются – (3.4). Отклонение не волнообразно и напоминает статический прогиб как при стационарной нагрузке.

При ${{{v}}_{0}} < {v} < {{{v}}_{1}}$ образуется изгибно-гравитационная волна ${{\zeta }_{3}}$ – (3.5). На рис. 1–2 представлено распределение амплитуды этой волны для сил растяжения и сжатия соответственно. Волны, распространяющиеся впереди источника, более короткие и их амплитуда меньше амплитуды более длинных волн, распространяющихся за источником. При движении источника со скоростью близкой к ${{{v}}_{0}}$ максимум амплитуды находится по трассе движения (рис. 1). При увеличении скорости максимум смещается от трассы (рис. 2), и при ${v} = {{{v}}_{1}}$ максимальное значение амплитуды будет на лучах $\gamma = {{\gamma }_{1}} = {{\gamma }_{2}}$ и $\gamma = - {{\gamma }_{1}} = - {{\gamma }_{2}}$. Увеличение сил растяжения увеличивает амплитуду волны ${{\zeta }_{3}}$, а увеличение сил сжатия и толщины ледяного покрова уменьшает ее.

При ${{{v}}_{1}} < {v} < \sqrt {gH} $ образуются три системы изгибно-гравитационных волн – ${{\zeta }_{1}}$, ${{\zeta }_{2}}$, ${{\zeta }_{3}}$ (3.6). Волны ${{\zeta }_{3}}$ распространяются впереди источника, а ${{\zeta }_{1}}$ и ${{\zeta }_{2}}$ за источником возмущений внутри угловых зон $ - {{\gamma }_{1}} \leqslant \gamma \leqslant {{\gamma }_{1}}$ и ${{\gamma }_{2}} \leqslant \left| \gamma \right| \leqslant {{\gamma }_{1}}$ соответственно. Упругая волна ${{\zeta }_{3}}$ распространяется в угловой зоне ${{\gamma }_{2}} \leqslant \gamma \leqslant 2\pi - {{\gamma }_{2}}$.

На рис. 3–5 приведены амплитуды поперечной волны ${{\zeta }_{1}}$ (рис. 3), продольной ${{\zeta }_{2}}$ (рис. 4) и упругой волны ${{\zeta }_{3}}$ (рис. 5).

Амплитуда поперечной волны ${{\zeta }_{1}}$ меньше амплитуды продольной ${{\zeta }_{2}}$ и упругой ${{\zeta }_{3}}$ волн. Силы сжатия и растяжения существенного влияния на амплитуды волн ${{\zeta }_{1}}$ и ${{\zeta }_{2}}$ не оказывают. При увеличении сжимающих усилий амплитуда упругой волны ${{\zeta }_{3}}$ увеличивается и уменьшается при увеличении сил растяжения. Увеличение толщины ледяного покрова уменьшает амплитуды волн ${{\zeta }_{2}}$, ${{\zeta }_{3}}$ и не оказывает существенного влияния на амплитуду волны ${{\zeta }_{1}}$. Наибольшее влияние на амплитуды волн оказывает скорость перемещения нагрузки. Увеличение скорости уменьшает амплитуды всех трех волн.

При ${v} > \sqrt {gH} $ образуются две системы волн – продольные ${{\zeta }_{2}}$ и упругие ${{\zeta }_{3}}$ – (3.7). На рис. 6 и 7 приведены амплитуды продольной ${{\zeta }_{2}}$ и упругой ${{\zeta }_{3}}$ волн соответственно.

Продольные волны ${{\zeta }_{2}}$ распространяются за источником возмущений в угловой зоне ${{\gamma }_{2}} \leqslant \left| \gamma \right| \leqslant {{\gamma }_{3}}$, а упругие волны ${{\zeta }_{3}}$ впереди источника возмущений в области ${{\gamma }_{3}} \leqslant \left| \gamma \right| \leqslant \pi $. Увеличение сил сжатия, растяжения и толщины ледяного покрова на амплитуду волны ${{\zeta }_{2}}$ существенного влияния не оказывает. Амплитуда упругой волны уменьшается при увеличении сил растяжения и толщины ледяного покрова. При увеличении сил сжатия амплитуда волны ${{\zeta }_{3}}$ увеличивается. С увеличением скорости движения источника возмущений, амплитуды волн ${{\zeta }_{2}}$ и ${{\zeta }_{3}}$, как и при ${{{v}}_{1}} < {v} < \sqrt {gH} $, уменьшаются.

Заключение. Наибольший интерес для практических целей имеют критические скорости ${{{v}}_{0}}$ и ${{{v}}_{1}}$. Транспортное средство при перемещении по ледяному покрову должно двигаться со скоростью либо меньше ${{{v}}_{0}}$, либо больше ${{{v}}_{1}}$, чтобы избежать разрушения льда. С другой стороны для разрушения ледяного покрова судно на воздушной подушке должно двигаться с критической скоростью ${{{v}}_{0}}$ или ${{{v}}_{1}}$. Амплитуды образующихся волн уменьшаются при движении со скоростью ${v} > {{{v}}_{1}}$. При движении с критической скоростью равной $\sqrt {gH} $ происходит изменение характера волнового возмущения, но на амплитуды образующихся волн существенного влияния это не оказывает. Амплитуды образующихся волн уменьшаются при движении со скоростью ${v} > {{{v}}_{1}}$.

При уменьшении толщины ледяного покрова и глубины жидкости уменьшаются значения критических скоростей ${{{v}}_{0}}$ и ${{{v}}_{1}}$. С уменьшением глубины жидкости уменьшается разница между значениями критических скоростей. Таким образом, для разрушения ледяного покрова судно на воздушной подушке может двигаться с меньшей критической скоростью.

Силы растяжения увеличивают значения критических скоростей ${{{v}}_{0}}$ и ${{{v}}_{1}}$, а силы сжатия уменьшают. Однако, при Q₁ > Q₀ значение критической скорости ${{{v}}_{1}}$ увеличивается, а значение ${{{v}}_{0}}$ продолжает уменьшаться, стремясь к нулю при ${{Q}_{1}} \to 2\sqrt {{{D}_{1}}} $.

Силы сжатия и растяжения оказывают существенное влияние на амплитуду упругой волны ${{\zeta }_{3}}$ и не оказывают существенного влияния на амплитуды волн ${{\zeta }_{1}}$ и ${{\zeta }_{2}}$, имеющих характер поперечной и продольной корабельных волн соответственно.