1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Прикладная математика и механика
  4. T. 87, № 6, 2023

Прикладная математика и механика, 2023, T. 87, № 6, стр. 915-953

Кватернионная регуляризация особенностей моделей астродинамики, порождаемых гравитационными силами (обзор)

Ю. Н. Челноков 1, *

1 Институт проблем точной механики и управления РАН
Саратов, Россия

* E-mail: ChelnokovYuN@gmail.com

Поступила в редакцию 04.09.2023
После доработки 11.10.2023
Принята к публикации 15.10.2023

Аннотация

Излагается регуляризация особенностей дифференциальных уравнений возмущенной пространственной задачи двух тел, порождаемых гравитационными силами, с использованием четырехмерных переменных и матриц Кустаанхеймо–Штифеля, а также кватернионная регуляризация уравнений этой задачи, предложенная автором и имеющая ряд преимуществ перед матричной регуляризацией Кустаанхеймо–Штифеля. Дается аналитический обзор работ, посвященных кватернионной регуляризации указанных особенностей с использованием переменных Кустаанхеймо–Штифеля, которая уникальна в совместной регуляризации, линеаризации и увеличении размерности для трехмерных кеплеровских систем. Рассмотрен предложенный автором новый метод регуляризации уравнений возмущенной пространственной задачи двух тел, основанный на использовании идеальных прямоугольных координат Ганзена, переменных Леви-Чивита и параметров Эйлера (Родрига–Гамильтона), а также на использовании в качестве дополнительных переменных кеплеровской энергии и реального времени и новой независимой переменной Зундмана. Приведены регулярные кватернионные уравнения в переменных Леви-Чивита и параметрах Эйлера этой задачи, которые имеют не только хорошо известные достоинства матричных уравнений в переменных Кустаанхеймо–Штифеля, но и обладают своими дополнительными достоинствами.

Ключевые слова: механика космического полета (астродинамика), возмущенная пространственная задача двух тел, регуляризация особенностей, порождаемых гравитационными силами, идеальная система координат, уравнения орбитального движения, переменные Кустаанхеймо–Штифеля, параметры Эйлера (Родрига–Гамильтона), координаты Ганзена, переменные Леви-Чивита, кватернион

Список литературы

  1. Челноков Ю.Н. Кватернионные и бикватернионные методы и регулярные модели аналитической механики (обзор) // ПММ. 2023. Т. 87. № 4. С. 519–556.

  2. Levi-Civita T. Sur la regularization du probleme des trois corps // Acta Math. 1920. V. 42. P. 99–144. https://doi.org/10.1007/BF02418577

  3. Штифель Е., Шейфеле Г. Линейная и регулярная небесная механика. M.: Наука, 1975. 303 с.

  4. Aarseth S.J., Zare K.A. Regularization of the three-body problem // Celest. Mech. 1974. V. 10. P. 185–205.

  5. Aarseth S.J. Gravitational N-Body Simulations. Cambridge: Univ. Press, 2003. 408 p.

  6. Hopf H. Uber die Abbildung der dreidimensionalen Sphare auf die Kugelflache // Math. Ann. 1931. V. 104. P. 637–665.

  7. Hurwitz A. Mathematische Werke. Vol. 2. Basel: Birkhauser, 1933.

  8. Челноков Ю.Н. Кватернионная регуляризация в небесной механике и астродинамике и управление траекторным движением. II // Космич. исслед. 2014. Т. 52. № 4. С. 322–336. https://doi.org/10.7868/S0023420614030029

  9. Deprit A. Ideal frames for perturbed keplerian motions // Celest. Mech. 1976. V. 13. № 2. P. 253–263.

  10. Sundman K.F. Memoire sur le probleme des trois crops // Acta Math. 1912. V. 36. P. 105–179.

  11. Velte W. Concerning the regularizing KS-transformation // Celest. Mech. 1978. V. 17. P. 395–403.

  12. Vivarelli M.D. The KS-transformation in hypercomplex form // Celest. Mech. 1983. V. 29. P. 45–50.

  13. Vivarelli M.D. Geometrical and physical outlook on the cross product of two quaternions // Celest. Mech. 1988. V. 41. P. 359–370.

  14. Vivarelli M.D. On the connection among three classical mechanical problems via the hypercomplex KS-transformation // Celest. Mech.&Dyn. Astron. 1991. V. 50. P. 109–124.

  15. Shagov O.B. On two types of equations of motion of an artificial Earth satellite in oscillatory form // Mech. Solids. 1990. № 2. P. 3–8.

  16. Deprit A., Elipe A., Ferrer S. Linearization: Laplace vs. Stiefel // Celest. Mech.&Dyn. Astron., 1994. V. 58. P. 151–201.

  17. Vrbik J. Celestial mechanics via quaternions // Canad. J. Phys. 1994. V. 72. P. 141–146.

  18. Vrbik J. Perturbed Kepler problem in quaternionic form // J. Phys. A: Math.&General., 1995. V. 28. P. 193–198.

  19. Waldvogel J. Quaternions and the perturbed Kepler problem // Celest. Mech.&Dyn. Astr. 2006. V. 95. P. 201–212.

  20. Waldvogel J. Quaternions for regularizing Celestial Mechanics: the right way // Celest. Mech.&Dyn. Astr. 2008. V. 102. № 1. P. 149–162.

  21. Saha P. Interpreting the Kustaanheimo-Stiefel transform in gravitational dynamics // Monthly Notices Roy. Astron. Soc. 2009. V. 400. P. 228–231. https://doi.org/10.1111/j.1365-2966.2009.15437.x.arXiv:0803.4441

  22. Zhao L. Kustaanheimo–Stiefel regularization and the quadrupolar conjugacy // R.&C. Dyn., 2015. V. 20. № 1. P. 19–36. https://doi.org/10.1134/S1560354715010025

  23. Roa J., Urrutxua H., Pelaez J. Stability and chaos in Kustaanheimo-Stiefel space induced by the Hopf fibration // Monthly Notices Roy. Astron. Soc. 2016. V. 459. № 3. P. 2444–2454. https://doi.org/10.1093/mnras/stw780.arXiv:1604.06673

  24. Roa J., Pelaez J. The theory of asynchronous relative motion II: universal and regular solutions // Celest. Mech.&Dyn. Astron. 2017. V. 127. pp. 343–368.

  25. Breiter S., Langner K. Kustaanheimo–Stiefel transformation with an arbitrary defining vector // Celest. Mech.&Dyn. Astron. 2017. V. 128. P. 323–342.

  26. Breiter S., Langner K. The extended Lissajous–Levi-Civita transformation // Celest. Mech.&Dyn. Astron. 2018. V. 130. Art. № 68. https://doi.org/10.1007/s10569-018-9862-4

  27. Breiter S., Langner K. The Lissajous–Kustaanheimo–Stiefel transformation // Celest. Mech.&Dyn. Astron. 2019. V. 131. Art. № 9. https://doi.org/10.1007/s10569-018-9862-4

  28. Ferrer S., Crespo F. Alternative angle-based approach to the KS-Map. An interpretation through symmetry // J. Geom. Mech. 2018. V. 10. № 3. P. 359–372.

  29. Челноков Ю.Н. К регуляризации уравнений пространственной задачи двух тел // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. № 6. С. 12–21.

  30. Челноков Ю.Н. О регулярных уравнениях пространственной задачи двух тел // Изв. АН СССР. МТТ. 1984. № 1. С. 151–158.

  31. Челноков Ю.Н. Кватернионные методы в задачах возмущенного центрального движения материальной точки. Ч. 1: Общая теория. Приложения к задаче регуляризации и к задаче о движении ИСЗ. М.: 1985. 36 с. Деп. в ВИНИТИ 13.12.85. № 218628-В.

  32. Челноков Ю.Н. Кватернионные методы в задачах возмущенного центрального движения материальной точки. Ч. 2: Пространственная задача невозмущенного центрального движения. Задача с начальными условиями. М.: 1985. 18 с. Деп. в ВИНИТИ 13.22.85. № 8629-В.

  33. Челноков Ю.Н. Применение кватернионов в теории орбитального движения искусственного спутника. I // Космич. исслед. 1992. Т. 30. Вып. 6. С. 759–770.

  34. Челноков Ю.Н. Применение кватернионов в теории орбитального движения искусственного спутника. II // Космич. исслед. 1993. Т. 31. Вып. 3. С. 3–15.

  35. Челноков Ю.Н. Кватернионная регуляризация и стабилизация возмущенного центрального движения. Ч. 1 // Изв. РАН. МТТ. 1993. № 1. С. 20–30.

  36. Челноков Ю.Н. Кватернионная регуляризация и стабилизация возмущенного центрального движения. Ч. 2 // Изв. РАН. МТТ. 1993. № 2. С. 3–11.

  37. Челноков Ю.Н. Анализ оптимального управления движением точки в гравитационном поле с использованием кватернионов // Изв. РАН. ТиСУ. 2007. № 5. С. 18–44.

  38. Челноков Ю.Н. Кватернионная регуляризация в небесной механике и астродинамике и управление траекторным движением. I // Космич. исслед. 2013. Т. 51. № 5. С. 389–401. https://doi.org/10.7868/S0023420613050026

  39. Челноков Ю.Н. Кватернионная регуляризация в небесной механике и астродинамике и управление траекторным движением. III // Космич. исслед. 2015. Т. 53. № 5. С. 430–446. https://doi.org/10.7868/S0023420615050040

  40. Челноков Ю.Н. Возмущенная пространственная задача двух тел: регулярные кватернионные уравнения относительного движения // ПММ. 2018. Т. 82. № 6. С. 721–733. https://doi.org/10.31857/S003282350002736-9

  41. Челноков Ю.Н. Кватернионные уравнения возмущенного движения искусственного спутника Земли // Космич. исслед. 2019. Т. 57. № 2. С. 117–131. https://doi.org/10.1134/S002342061902002X

  42. Chelnokov Yu.N. Quaternion methods and models of regular celestial mechanics and astrodynamics // Appl. Math.&Mech. 2022. V. 43. № 1. P. 21–80. https://doi.org/10.1007/s10483-021-2797-9

  43. Бордовицына Т.В. Современные численные методы в задачах небесной механики. М.: Наука, 1984. 136 с.

  44. Бордовицына Т.В., Авдюшев В.А. Теория движения искусственных спутников Земли. Аналитические и численные методы. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2007. 178 с.

  45. Fukushima T. Efficient orbit integration by linear transformation for Kustaanheimo–Stiefel regularization // Astron. J. 2005. V. 129. № 5. Art. № 2496. https://doi.org/10.1086/429546

  46. Fukushima T. Numerical comparison of two-body regularizations // Astron. J. 2007. V. 133. № 6. Art. № 2815.

  47. Pelaez J., Hedo J.M., Rodriguez P.A. A special perturbation method in orbital dynamics // Celest. Mech.&Dyn. Astron. 2007. V. 97. P. 131–150. https://doi.org/10.1007/s10569-006-9056-3

  48. Bau G., Bombardelli C., Pelaez J., Lorenzini E. Non-singular orbital elements for special perturbations in the two-body problem // Monthly Notices Roy. Astron. Soc. 2015. V. 454. P. 2890–2908.

  49. Amato D., Bombardelli C., Bau G., Morand V., Rosengren A.J. Non-averaged regularized formulations as an alternative to semi-analytical orbit propagation methods // Celest. Mech.&Dyn. Astron. 2019. V. 131. Art. № 21. https://doi.org/10.1007/s10569-019-9897-1

  50. Bau G., Roa J. Uniform formulation for orbit computation: the intermediate elements // Celest. Mech.&Dyn. Astron. 2020. V. 132. Art. № 10. https://doi.org/10.1007/s10569-020-9952-y

  51. Челноков Ю.Н., Логинов М.Ю. Новые кватернионные модели регулярной механики космического полета и их приложения в задачах прогноза движения космических тел и инерциальной навигации в космосе // Сб. матер.: XXVIII С.-Петербургская межд. конф. по интегрированным навигационным системам. С.-Петербург, 2021. С. 292–295.

  52. Челноков Ю.Н., Сапунков Я.Г., Логинов М.Ю., Щекутьев А.Ф. Прогноз и коррекция орбитального движения космического аппарата с использованием регулярных кватернионных уравнений и их решений в переменных Кустаанхеймо–Штифеля и изохронных производных // ПММ. 2023. Т. 87. Вып. 2. С. 124–156.

  53. Челноков Ю.Н. Кватернионная регуляризация уравнений возмущенной пространственной ограниченной задачи трех тел. I // Изв. РАН. МТТ. 2017. № 6. С. 24–54.

  54. Euler L. De motu rectilineo trium corporum se mutuo attrahentium // Nov. Comm. Petrop. 1765. V. 11. P. 144–151.

  55. Levi-Civita T. Traettorie singolari ed urbi nel problema ristretto dei tre corpi // Ann. Mat. Pura Appl. 1904. V. 9. P. 1–32.

  56. Levi-Civita T. Sur la resolution qualitative du probleme restreint des trois corps // Opere Math. 1956. № 2. P. 411–417.

  57. Kustaanheimo P. Spinor regularization of the Kepler motion // Ann. Univ. Turku. 1964. V. 73. P. 3–7. https://doi.org/10.1086/518165

  58. Kustaanheimo P., Stiefel E. Perturbation theory of Kepler motion based on spinor regularization // J. Reine Anqew. Math. 1965. V. 218. P. 204–219.

  59. Hopf H. Uber die Abbildung der dreidimensionalen Sphare auf die Kugelflache // Math. Ann. 1931. V. 104. P. 637–665.

  60. Volk O. Concerning the derivation of the KS-transformation // Celest. Mech. 1973. V. 8. P. 297–305.

  61. Лидов М.Л. Увеличение размерности гамильтоновых систем. KS-преобразование, использование частных интегралов // Космич. исслед. 1982. Т. 20. № 2. С. 163–176.

  62. Лидов М.Л. Метод построения семейств пространственных периодических орбит в задаче Хилла // Космич. исслед. 1982. Т. 20. № 6. С. 787–807.

  63. Лидов М.Л., Ляхова В.А. Семейства пространственных периодических орбит задачи Хилла и их устойчивость // Космич. исслед. 1983. Т. 21. № 1. С. 3–11.

  64. Полещиков С.М. Регуляризация канонических уравнений задачи двух тел с помощью обобщенной KS-матрицы // Космич. исслед. 1999. Т. 37. № 3. С. 322–328.

  65. Stiefel E.L., Waldvogel J. Generalisation de la regularisation de Birkhoff pour le mouvement du mobile dans l’espace a trois dimensions // Comptes Rendus Hebdomadaires des Seances de Lacademie des Sciences. 1965, Paris.

  66. Stiefel E., Rossler M., Waldvogel J., Burdet C.A. Methods of regularization for computing orbits in celestial mechanics // NASA Contractor Rep. NASA CR-769. 1967. P. 88–115.

  67. Birkhoff G.D. The restricted problem of three bodies // Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (1884–1940). 1915. V. 39 (1). P. 265–334.

  68. Waldvogel J. Die Verallgemeinerung der Birkhoff-Regularisierung fur das raumliche Dreikorperproblem // Bull. Astron. Ser. 3. 1967. V. 2. № 2. P. 295–341.

  69. Andoyer H. Cours de Mecanigue Celeste. Paris: Gauthier-Vilars, 1923.

  70. Musen P. Application of Hansen’s theory to the motion of an artificial satellite in the gravitational field of the Earth // J. Geoph. Res. 1959. V. 64. P. 2271–2279.

  71. Брумберг В.А. Аналитические алгоритмы небесной механики. М.: Наука, 1980. 208 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Прикладная математика и механика

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал