1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Прикладная математика и механика
  4. T. 87, № 6, 2023

Прикладная математика и механика, 2023, T. 87, № 6, стр. 984-994

Движение изменяемого тела с неподвижной точкой в зависящем от времени силовом поле

А. А. Буров 1, *

1 ФИЦ ИУ РАН
Москва, Россия

* E-mail: jtm@narod.ru

Поступила в редакцию 30.05.2023
После доработки 30.09.2023
Принята к публикации 10.10.2023

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассматривается задача о движении вокруг неподвижной точки изменяемого тела в зависящем от времени силовом поле. Указываются условия, при которых уравнения движения сводятся к классическим уравнениям Эйлера–Пуассона, описывающем движения твердого тела в поле притяжения. Обсуждаются вопросы существования первых интегралов и устойчивости установившихся движений.

Ключевые слова: движение изменяемого тела с неподвижной точкой, зависящее от времени силовое поле, замена времени, замена переменных, существование интегрируемых случаев, неинтегрируемость уравнений движения, существование установившихся движений, бифуркационные диаграммы

1. Постановка задачи и уравнения движения. Пусть $O{{X}_{\alpha }}{{X}_{\beta }}{{X}_{\gamma }}$ – абсолютная система отсчета (АСО), $O{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}$ – подвижная прямоугольная декартова система отсчета (ПСО), оси которой могут свободно вращаться вокруг неподвижной точки $O$. Пусть тело образовано точками ${{P}_{1}}$, …, ${{P}_{n}}$ точки массами ${{m}_{1}}$, …, ${{m}_{n}}$. Положение этих точек задается векторами ${{\overrightarrow {OP} }_{k}}$, проекции которых на оси ПСО имеют вид

${{{\mathbf{x}}}_{k}} = {{\left( {{{x}_{{1k}}},{{x}_{{2k}}},{{x}_{{3k}}}} \right)}^{T}}$

Будем считать, что законы движения точек относительно ПСО заданы соотношениями

(1.1)
${{{\mathbf{x}}}_{k}} = {{{\mathbf{x}}}_{k}}\left( t \right),$
где ${{x}_{{1k}}}\left( t \right)$, ${{x}_{{2k}}}\left( t \right)$, ${{x}_{{3k}}}\left( t \right)$ – гладкие функции времени.

Пусть

${\mathbf{S}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{{\alpha }}}_{1}}}&{{{{{\alpha }}}_{2}}}&{{{{{\alpha }}}_{3}}} \\ {{{{{\beta }}}_{1}}}&{{{{{\beta }}}_{2}}}&{{{{{\beta }}}_{3}}} \\ {{{{{\gamma }}}_{1}}}&{{{{{\gamma }}}_{2}}}&{{{{{\gamma }}}_{3}}} \end{array}} \right) - $
ортогональная матрица, по строкам которой записаны единичные векторы α = = ${{({{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},{{\alpha }_{3}})}^{T}}$, ${\mathbf{\beta }} = {{({{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}},{{\beta }_{3}})}^{T}}$, ${\mathbf{\gamma }} = {{({{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}},{{\gamma }_{3}})}^{T}}$ АСО, заданные своими проекциями на оси ПСО (см., например, [1], стр. 56 и далее, а также [2]). Эта матрица зависит от времени ${\mathbf{S}} = {\mathbf{S}}\left( t \right)$, причем кососимметричная матрица
(1.2)
${\mathbf{\hat {\omega }}} = {{{\mathbf{S}}}^{{ - 1}}}\frac{{d{\mathbf{S}}}}{{dt}}\;\; \Leftrightarrow \;\;\frac{{d{\mathbf{S}}}}{{dt}} = {\mathbf{S\hat {\omega }}}~$
называется матрицей угловой скорости:

${\mathbf{\hat {\omega }}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - {{\omega }_{3}}}&{{{\omega }_{2}}} \\ {~{{\omega }_{3}}}&0&{ - {{\omega }_{1}}} \\ { - {{\omega }_{2}}}&{{{\omega }_{1}}}&0 \end{array}} \right)$

По ее компонентам определяется вектор угловой скорости ПСО относительно АСО

${\mathbf{\omega }} = {{({{\omega }_{1}},{{\omega }_{2}},{{\omega }_{3}})}^{T}},$
заданный в проекциях на оси ПСО.

При этом матричное равенство (1.2) можно записать в виде системы уравнений Пуассона

(1.3)
$\frac{{d{\mathbf{\alpha }}}}{{dt}} = {\mathbf{\alpha }} \times {\mathbf{\omega }},\quad \frac{{d{\mathbf{\beta }}}}{{dt}} = {\mathbf{\beta }} \times {\mathbf{\omega }},\quad \frac{{d{\mathbf{\gamma }}}}{{dt}} = {\mathbf{\gamma }} \times {\mathbf{\omega }}$

Согласно формуле Эйлера скорость точки ${{P}_{k}}$ в момент времени $t$ определяется соотношением

${{v}_{k}}\left( t \right) = {{{\mathbf{\dot {x}}}}_{k}}\left( t \right) + {\mathbf{\omega }} \times {{{\mathbf{x}}}_{k}}\left( t \right)$

Тогда кинетическая энергия системы в целом определяется как

$\begin{gathered} T = \frac{1}{2}\left( {{{m}_{1}}\left( {{{{\mathbf{v}}}_{1}},{{{\mathbf{v}}}_{1}}} \right) + \ldots + {{m}_{n}}\left( {{{{\mathbf{v}}}_{n}},{{{\mathbf{v}}}_{n}}} \right)} \right) = \\ = \frac{1}{2}\mathop \sum \limits_{k = 1}^n {{m}_{k}}\left( {{{{{\mathbf{\dot {x}}}}}_{k}}\left( t \right) + {\mathbf{\omega }} \times {{{\mathbf{x}}}_{k}}\left( t \right),{{{{\mathbf{\dot {x}}}}}_{k}}\left( t \right) + {\mathbf{\omega }} \times {{{\mathbf{x}}}_{k}}\left( t \right)} \right) \equiv \\ \equiv \frac{1}{2}\left( {{\mathbf{I}}\left( t \right){\mathbf{\omega }},{\mathbf{\omega }}} \right) + \left( {{\mathbf{K}}\left( t \right),{\mathbf{\omega }}} \right) + {{T}_{0}}\left( t \right), \\ \end{gathered} $
где

${\mathbf{I}}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sum {{m}_{k}}\left( {x_{{2k}}^{2}\left( t \right) + x_{{3k}}^{2}\left( t \right)} \right)}&{ - \sum {{m}_{k}}{{x}_{{1k}}}\left( t \right){{x}_{{2k}}}\left( t \right)}&{ - \sum {{m}_{k}}{{x}_{{1k}}}\left( t \right){{x}_{{3k}}}\left( t \right)} \\ { - \sum {{m}_{k}}{{x}_{{1k}}}\left( t \right){{x}_{{2k}}}\left( t \right)}&{\sum {{m}_{k}}\left( {x_{{3k}}^{2}\left( t \right) + x_{{1k}}^{2}\left( t \right)} \right)}&{ - \sum {{m}_{k}}{{x}_{{2k}}}\left( t \right){{x}_{{3k}}}\left( t \right)} \\ { - \sum {{m}_{k}}{{x}_{{1k}}}\left( t \right){{x}_{{3k}}}\left( t \right)}&{ - \sum {{m}_{k}}{{x}_{{2k}}}\left( t \right){{x}_{{3k}}}\left( t \right)}&{\sum {{m}_{k}}\left( {x_{{1k}}^{2}\left( t \right) + x_{{2k}}^{2}\left( t \right)} \right)} \end{array}} \right)$
${\mathbf{K}}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sum {{m}_{k}}\left( {{{x}_{{2k}}}\left( t \right){{{\dot {x}}}_{{3k}}}\left( t \right) - {{x}_{{3k}}}\left( t \right){{{\dot {x}}}_{{2k}}}\left( t \right)} \right)} \\ {\sum {{m}_{k}}\left( {{{x}_{{3k}}}\left( t \right){{{\dot {x}}}_{{1k}}}\left( t \right) - {{x}_{{1k}}}\left( t \right){{{\dot {x}}}_{{3k}}}\left( t \right)} \right)} \\ {\sum {{m}_{k}}\left( {{{x}_{{1k}}}\left( t \right){{{\dot {x}}}_{{2k}}}\left( t \right) - {{x}_{{2k}}}\left( t \right){{{\dot {x}}}_{{1k}}}\left( t \right)} \right)} \end{array}} \right)$

Здесь суммирование осуществляется по всем точкам: индекс $k$ пробегает значения от 1 до $n$. Функция ${{T}_{0}}\left( t \right)$ зависит только от времени и при дальнейшем составлении уравнений движения роли не играет.

Согласно теореме об изменении момента количеств движения уравнения движения имеют вид

(1.4)
$\begin{gathered} \frac{d}{{dt}}\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial {\mathbf{\omega }}}}} \right) = \frac{{\partial T}}{{\partial {\mathbf{\omega }}}} \times {\mathbf{\omega }} + {\mathbf{Q}}\left( {t,{\mathbf{\alpha }},{\mathbf{\beta }},{\mathbf{\gamma }}} \right) \Leftrightarrow \frac{d}{{dt}}\left( {{\mathbf{I}}\left( t \right){\mathbf{\omega }} + {\mathbf{K}}\left( t \right)} \right)\;\; \Leftrightarrow \\ \left( {{\mathbf{I}}\left( t \right){\mathbf{\omega }} + {\mathbf{K}}\left( t \right)} \right) \times {\mathbf{\omega }} + {\mathbf{Q}}\left( {t,{\mathbf{\alpha }},{\mathbf{\beta }},{\mathbf{\gamma }}} \right), \\ \end{gathered} $
где ${\mathbf{Q}} = {\mathbf{Q}}\left( {t,{\mathbf{\alpha }},{\mathbf{\beta }},{\mathbf{\gamma }}} \right)$ – момент внешних сил.

Замечание 1. Уравнения (1.4) совместно с уравнениями Пуассона (1.3) описывают движения гиростата с переменным тензором инерции и переменным гиростатическим моментом. Известны различные постановки задачи о движении тел с осесимметричными роторами (см., напр., [3, 4]). Движению гиростата с переменным гиростатическим моментам посвящена монография [5].

Утверждение 1. Если существует функция $f\left( t \right) > 0$ $\forall t$, такая, что

(1.5)
${\mathbf{I}}\left( t \right) = f\left( t \right){{{\mathbf{I}}}_{ \star }},\quad {\mathbf{K}}\left( t \right) = {{{\mathbf{K}}}_{ \star }},\quad f\left( t \right){\mathbf{Q}}\left( {t,{\mathbf{\alpha }},{\mathbf{\beta }},{\mathbf{\gamma }}} \right) = {{{\mathbf{Q}}}_{*}}\left( {{\mathbf{\alpha }},{\mathbf{\beta }},{\mathbf{\gamma }}} \right),$
где тензор ${{{\mathbf{I}}}_{ \star }}$ и вектор ${{{\mathbf{K}}}_{ \star }}$ постоянны в осях ПСО, а вектор ${\mathbf{Q}}_{*}^{{}}\left( {{\mathbf{\alpha }},{\mathbf{\beta }},{\mathbf{\gamma }}} \right)$ не зависит явно от времени, то заменой независимой переменной $t \to {{t}_{ \star }}:$
(1.6)
$f\left( t \right)\frac{d}{{dt}} = \frac{d}{{d{{t}_{ \star }}}}$
и переменной ${\mathbf{\omega }}$:
(1.7)
${{{\mathbf{\omega }}}_{ \star }} = f\left( t \right){\mathbf{\omega }}$
уравнения (1.4), (1.3) приводимы к виду

(1.8)
$\frac{d}{{d{{t}_{ \star }}}}\left( {{{{\mathbf{I}}}_{ \star }}{{{\mathbf{\omega }}}_{ \star }} + {{{\mathbf{K}}}_{ \star }}} \right) = \left( {{{{\mathbf{I}}}_{ \star }}{{{\mathbf{\omega }}}_{ \star }} + {{{\mathbf{K}}}_{ \star }}} \right) \times {{{\mathbf{\omega }}}_{ \star }} + {{{\mathbf{Q}}}_{ \star }}\left( {{\mathbf{\alpha }},{\mathbf{\beta }},{\mathbf{\gamma }}} \right)$
(1.9)
$\frac{{d{\mathbf{\alpha }}}}{{d{{t}_{ \star }}}} = {\mathbf{\alpha }} \times {{{\mathbf{\omega }}}_{ \star }},\quad \frac{{d{\mathbf{\beta }}}}{{d{{t}_{ \star }}}} = {\mathbf{\beta }} \times {{{\mathbf{\omega }}}_{ \star }},\quad \frac{{d{\mathbf{\gamma }}}}{{d{{t}_{ \star }}}} = {\mathbf{\gamma }} \times {{{\mathbf{\omega }}}_{ \star }}$

Правые части уравнений (1.8), (1.9) не зависят явно от времени и имеют вид уравнений движения гиростата под действием не зависящего явно от времени крутящего момента.

Доказательство. Подставим условия (1.5) в уравнения (1.4)

$\frac{d}{{dt}}\left( {f\left( t \right){{{\mathbf{I}}}_{ \star }}{\mathbf{\omega }} + {{{\mathbf{K}}}_{ \star }}} \right) = \left( {f\left( t \right){{{\mathbf{I}}}_{ \star }}{\mathbf{\omega }} + {{{\mathbf{K}}}_{ \star }}} \right) \times {\mathbf{\omega }} + {{f}^{{ - 1}}}\left( t \right){{{\mathbf{Q}}}_{ \star }}\left( {{\mathbf{\alpha }},{\mathbf{\beta }},{\mathbf{\gamma }}} \right)$
и домножим левую и правую части этого уравнения на $f\left( t \right)$

(1.10)
$f\left( t \right)\frac{d}{{dt}}\left( {f\left( t \right){{{\mathbf{I}}}_{ \star }}{\mathbf{\omega }} + {{{\mathbf{K}}}_{ \star }}} \right) = f\left( t \right)\left( {f\left( t \right){{{\mathbf{I}}}_{ \star }}{\mathbf{\omega }} + {{{\mathbf{K}}}_{ \star }}} \right) \times {\mathbf{\omega }} + f\left( t \right){{f}^{{ - 1}}}\left( t \right){{{\mathbf{Q}}}_{ \star }}\left( {{\mathbf{\alpha }},{\mathbf{\beta }},{\mathbf{\gamma }}} \right)$

Применение к уравнениям (1.10) соотношений (1.6) и (1.7) приводит их к виду (1.8), что и требовалось.

Что касается уравнений Пуассона (1.3), то также домножая левую и правую части на $f{\kern 1pt} \left( t \right)$ и, используя замену переменных (1.7), получаем уравнения

$\frac{{d{\mathbf{\alpha }}}}{{d{{t}_{ \star }}}} = {\mathbf{\alpha }} \times {{{\mathbf{\omega }}}_{ \star }},\quad \frac{{d{\mathbf{\beta }}}}{{d{{t}_{ \star }}}} = {\mathbf{\beta }} \times {{{\mathbf{\omega }}}_{ \star }},\quad \frac{{d{\mathbf{\gamma }}}}{{d{{t}_{ \star }}}} = {\mathbf{\gamma }} \times {{{\mathbf{\omega }}}_{ \star }}$
отличающиеся от уравнений (1.3) лишь обозначениями.

Замечание 2. В постановке задачи предполагается, что точки ${{P}_{1}}$, ${{P}_{2}}$, …, ${{P}_{n}}$ совершают наперед заданное движение относительно подвижной системы отсчета, описываемое соотношениями (1.1). Понятно, что для обеспечения такого относительного движения к этим точкам надо приложить некоторые управляющие воздействия – силы ${{{\mathbf{u}}}_{1}}$, ${{{\mathbf{u}}}_{2}}$, …, ${{{\mathbf{u}}}_{n}}$. После того, как то или иное вращательное движение системы, определяемое уравнениями (1.3), (1.4) найдено, управляющие силы ${{{\mathbf{u}}}_{1}}$, ${{{\mathbf{u}}}_{2}}$, …, ${{{\mathbf{u}}}_{n}}$ могут быть найдены из уравнений

${{m}_{k}}\frac{d}{{d{{t}_{ \star }}}}\left( {{{{{\mathbf{\dot {x}}}}}_{k}} + {\mathbf{\omega }} \times {{{\mathbf{x}}}_{k}}} \right) = {{m}_{k}}\left( {{{{{\mathbf{\dot {x}}}}}_{k}} + {\mathbf{\omega }} \times {{{\mathbf{x}}}_{k}}} \right) \times {\mathbf{\omega }} + {{{\mathbf{F}}}_{k}} + {{u}_{k}};\quad k = 1, \ldots ,n,$
где ${{{\mathbf{F}}}_{k}}$ – активные силы, действующие на точки ${{P}_{1}}$, ${{P}_{2}}$, …, ${{P}_{n}}$.

2. Случай потенциальности внешних сил. Предположим, что система совершает движение в потенциальном поле внешних сил с потенциалом

(2.1)
$U = U\left( {t,{\mathbf{\alpha }},{\mathbf{\beta }},{\mathbf{\gamma }}} \right),$
выражающим зависимость от времени и от ориентации тела. При этом момент внешних сил, как известно, записывается как

(2.2)
${\mathbf{Q}}\left( {t,{\mathbf{\alpha }},{\mathbf{\beta }},{\mathbf{\gamma }}} \right) = {\mathbf{\alpha }} \times \frac{{\partial U}}{{\partial {\mathbf{\alpha }}}} + {\mathbf{\beta }} \times \frac{{\partial U}}{{\partial {\mathbf{\beta }}}} + {\mathbf{\gamma }} \times \frac{{\partial U}}{{\partial {\mathbf{\gamma }}}}$

Утверждение 2. Если потенциал (2.1) имеет вид

(2.3)
$f\left( t \right)U\left( {t,{\mathbf{\alpha }},{\mathbf{\beta }},{\mathbf{\gamma }}} \right) = U_{*}^{{}}\left( {{\mathbf{\alpha }},{\mathbf{\beta }},{\mathbf{\gamma }}} \right),$
то уравнения движения сводятся к не зависящим от времени уравнениям Эйлера–Пуассона, описывающим вращение тела в трехмерном евклидовом пространстве.

Доказательство сводится к непосредственной подстановке условий (2.3) в соотношение для момента (2.2).

Рассмотрим некоторые известные специальные случаи такого потенциала, для которых предлагаемая замена переменных и времени приводит к классическим задачам механики твердого тела.

3. Движение тела в однородном переменном поле. Пусть поле, в котором совершает движение система, однородно, но, в отличие от привычного поля силы тяжести, меняется со временем. Для определенности можно считать, что это поле направлено вдоль оси $O{{X}_{\gamma }}$. Тогда потенциал в общем случае записывается как

$U\left( {t,\gamma } \right) = \left( {{\mathbf{a}}\left( t \right),{\mathbf{\gamma }}} \right)$

При этом условие теоремы записывается как

(3.1)
$f\left( t \right) \cdot {\mathbf{a}}\left( t \right) = {{{\mathbf{a}}}_{ \star }},$
где ${{{\mathbf{a}}}_{ \star }}$ – постоянный вектор.

Замечание 3. В случае, когда речь идет об однородном, но переменном поле силы тяжести с ускорением ${\mathbf{g}}\left( t \right)$, направленным в сторону, противоположную вектору ${\mathbf{\gamma }}$, вектор ${\mathbf{a}}\left( t \right)$ можно представить в виде

${\mathbf{a}}\left( t \right) = - m{\mathbf{g}}\left( t \right)\ell \left( t \right),$
где $m = {{m}_{1}} + \ldots + {{m}_{n}}$ – масса системы, $\ell \left( t \right) = {\mathbf{OC}}\left( t \right)$ – вектор, определяющий положение центра масс системы – точку $C$.

Утверждение 3. Пусть выполнено условие (3.1).

− При ${{{\mathbf{K}}}_{ \star }} = 0$ уравнения (1.8), (1.3), а вместе с ними – и уравнения (1.4), (1.2), вполне интегрируемы во всех случаях, известных из механики тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. Речь идет о случаях Эйлера, Лагранжа, Ковалевской и Горячева–Чаплыгина. Также при выполнении указанных условий имеют место многочисленные случаи существования частных интегралов, включая случай Гесса (см. детали, напр., в [1, 6–8]). В общем случае уравнения движения системы оказываются неинтегрируемыми (см. [9–11]).

− При ${{{\mathbf{K}}}_{ \star }} \ne 0$ и уравнения (1.8), (1.3), а вместе с ними – и уравнения (1.4), (1.2), вполне интегрируемы во всех случаях, известных из механики тяжелого гиростата. Речь идет о случае Жуковского–Вольтерра, случае динамической симметрии, а также случаях Ковалевской–Яхья [12, 13] и Сретенского [14]. Также при выполнении указанных условий имеют место случаи существования частных интегралов и решений, включая случай Сретенского, аналогичный случаю Гесса (также см. [15]). В общем случае уравнения движения системы также оказываются неинтегрируемыми (см. [16]).

Замечание 4. В рассматриваемый класс систем не попадают тела с переменным гироскопическим моментам (см., напр., [5]).

Утверждение 4. При выполнении условия (3.1) установившимся движениям системы (1.8), (1.9) – положениям равновесия и равномерным вращениям – единственным образом ставятся в соответствие движения системы (1.4), (1.3). При этом движение, равномерное в новом времени, в исходном времени таковым не будет. Также сохраняются вид и свойства бифуркационных диаграмм (см., в частности, [17–22]) относительно тяжелого твердого тела и [23–26] относительно тяжелого гиростата.

Замечание 5. Устойчивость записанных в исходном времени движений из утверждения 4 в общем случае требует отдельного обсуждения.

Замечание 6. Одним из наиболее естественных источников зависимости однородного поля от времени является колебания точки подвеса (см., напр., [27]).

4. Движение тела в линейном переменном поле. Предположим теперь, что закон движения точек организован таким образом, что центр масс совпадает с неподвижной точкой. Тогда в квадратичном приближении поле притяжения со стороны распределенных притягивающих центров определяется потенциалом вида (см., напр., [28])

$U = \frac{1}{2}\left( {{{\mu }_{\alpha }}\left( {{\mathbf{I}}\left( t \right){\mathbf{\alpha }},{\mathbf{\alpha }}} \right) + {{\mu }_{\beta }}\left( {{\mathbf{I}}\left( t \right){\mathbf{\beta }},{\mathbf{\beta }}} \right) + {{\mu }_{\gamma }}\left( {{\mathbf{I}}\left( t \right){\mathbf{\gamma }},{\mathbf{\gamma }}} \right)} \right)$

Утверждение 5. Если коэффициенты ${{\mu }_{\alpha }}\left( t \right)$, ${{\mu }_{\beta }}\left( t \right)$, ${{\mu }_{\gamma }}\left( t \right)$ таковы, что

${{f}^{2}}\left( t \right){{\mu }_{\alpha }}\left( t \right) = {{\mu }_{{\alpha \star }}},\quad {{f}^{2}}\left( t \right){{\mu }_{\beta }}\left( t \right) = {{\mu }_{{\beta \star }}},\quad {{f}^{2}}\left( t \right){{\mu }_{\gamma }}\left( t \right) = {{\mu }_{{\gamma \star }}},$
где ${{\mu }_{{\alpha \star }}}$, ${{\mu }_{{\beta \star }}}$ и ${{\mu }_{{\gamma \star }}}$ – постоянные, то условие (2.3) утверждения 2 оказываются выполненными, а сами уравнения (1.8), (1.3) при ${{{\mathbf{K}}}_{ \star }} = 0$ являются вполне интегрируемыми [28] (см. также [29–31]).

Замечание 7. Инвариантные многообразия в упомянутом интегрируемом случае изучались в [32].

Замечание 8. Изучаемые уравнения посредством преобразования Лежандра в общем случае приводятся к виду

${\mathbf{\dot {M}}} = {\mathbf{M}} \times \frac{{\partial H}}{{\partial {\mathbf{M}}}} + {\mathbf{\alpha }} \times \frac{{\partial H}}{{\partial {\mathbf{\alpha }}}} + {\mathbf{\beta }} \times \frac{{\partial H}}{{\partial {\mathbf{\beta }}}} + {\mathbf{\gamma }} \times \frac{{\partial H}}{{\partial {\mathbf{\gamma }}}}$
${\mathbf{\dot {\alpha }}} = {\mathbf{\alpha }} \times \frac{{\partial H}}{{\partial {\mathbf{M}}}},\quad {\mathbf{\dot {\beta }}} = {\mathbf{\beta }} \times \frac{{\partial H}}{{\partial {\mathbf{M}}}},\quad {\mathbf{\dot {\gamma }}} = {\mathbf{\gamma }} \times \frac{{\partial H}}{{\partial {\mathbf{M}}}}$
с функцией Гамильтона

$H\left( {{\mathbf{M}},{\mathbf{\alpha }},{\mathbf{\beta }},{\mathbf{\gamma }},t} \right) = f\left( t \right)H\left( {{\mathbf{M}},{\mathbf{\alpha }},{\mathbf{\beta }},{\mathbf{\gamma }}} \right)$

Для таких систем замена независимой переменной $t \mapsto {{t}_{ \star }}$ вида (1.6) выглядит вполне естественной и очевидной.

5. Краткие исторические замечания и возможные направления дальнейших исследований. Системы подобно-деформируемых тел, исследование движения которых восходит к публикации Д.Н. Зейлигера [33], при соответствующем выборе относятся к системам рассматриваемого класса.

Исследования таких систем, продолженные Н.Г. Четаевым [34] (см. также [35]), получили развитие в ряде работ, посвященных решению задач теории групп, дифференциальной геометрии и математической физики [36–39].

Исследования применимости моментов инерции, зависящих от времени, к управлению ориентацией спутников восходят, вероятно, к публикациям [40, 41]. Примеры использования особенностей динамики тел с моментами инерции, зависящими от времени, применительно к задачам орбитальной динамики обсуждаются в [42].

Для аффинно-деформируемых тел рассматриваемого класса характерно изменение со временем тензора инерции. Вместе с тем, как видно из формулировки утверждения 1, вопрос о распространении полученных результатов на случай зависящего от времени гиростатического момента остается открытым. Исследования таких систем, восходящие, вероятно, к публикации [43], посвященной перманентным вращениям уравновешенного неавтономного гиростата, ведутся довольно интенсивно. Так изучались [44] маятниковые вращения тяжелого гиростата с переменным гиростатическим моментом, регулярные прецессии гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил [45–47], инвариантные соотношения уравнений движения такого гиростата [48]. Полученные результаты были изложены в труднодоступной монографии [5]. Дальнейшие исследования были сосредоточены на разработке подходов к исследованию гиростатов с переменным гироскопическим моментом [49] и на изучении различных частных решений их уравнений движения [50–54].

Также заметим, что в вышеприведенных рассуждениях молчаливо предполагается неизменность массы изучаемой системы. Между тем, задачи о движении тела переменной массы также заслуживают внимания (см., напр., [55, 56]). При этом источниками изменения массы и формы могут быть, например, как испарение и сублимация, так и налипание пыли. Общие подходы к исследованию таких систем предложены в [57].

Список литературы

  1. Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика твердого тела. Гамильтоновы методы, интегрируемость, хаос. М.; Ижевск: Ин-т компьют. исслед., 2005. 576 с.

  2. Burov A.A., Chevallier D.P. On motion of a rigid body about a fixed point with respect to a rotating frame // R&C Dyn. 1998. V. 3. № 1. P. 66–76. DOI: RD1998v003n01ABEH000061

  3. Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики. Т. 2. Ч. 2. Динамика систем с конечным числом степеней свободы. М.: Изд-во иностр. лит., 1951. 544 с.

  4. Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел. М.: Мир, 1980. 294 с.

  5. Горр Г.В., Мазнев А.В., Котов Г.А. Движение гиростата с переменным гиростатическим моментом. Донецк: Изд-е ГУ Ин-т прикл. матем. и мех., 2017. 250 с.

  6. Голубев В.В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки. М.: ГИТТЛ, 1953. 288 с.

  7. Гашененко И.Н., Горр Г.В., Ковалёв А.М. Классические задачи динамики твердого тела. Киев: Наук. думка, 2012. 402 с.

  8. Yehia H.M. Rigid BODY DYNAMICS. A Lagrangian Approach. Switzerland AG: Springer Nature, 2022. 460 p.

  9. Козлов В.В. Расщепление сепаратрис возмущенной задачи Эйлера–Пуансо // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Мат., мех. 1976. № 6. С. 99–104.

  10. Зиглин С.Л. Расщепление сепаратрис, ветвление, решение и несуществование интеграла в динамике твердого тела // Тр. ММО. 1980. Т. 41. С. 287–303.

  11. Козлов В.В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике // УМН. 1983. Т. 38 (229). Вып. 1. С. 3–67.

  12. Yehia H.M. New integrable cases in dynamics of rigid bodies // Mech. Res. Com. 1986. V. 13. Iss. 3. P. 169–172.

  13. Яхья Х.М. Новые интегрируемые случаи задачи о движении гиростата // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Мат., мех. 1987. № 4. С. 88–90.

  14. Сретенский Л.Н. О некоторых случаях интегрируемости уравнений движения гиростата // Докл. АН СССР. 1963. Т. 149. Вып. 2. С. 292–294.

  15. Сретенский Л.Н. О некоторых случаях движения тяжелого твердого тела с гироскопом // Вест. Моск. ун-та. 1963. № 3. С. 60–71.

  16. Gavrilov L. Non-integrability of the equations of heavy gyrostat // Compos. Math. 1992. T. 82. № 3. P. 275–291.

  17. Каток С.Б. Бифуркационные множества и интегральные многообразия в задаче о движении тяжелого твердого тела // УМН. 1972. Т. 27. Вып. 2. С. 126–132.

  18. Рубановский В.Н. О бифуркации и устойчивости перманентных вращений тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой // Теор. и приложна мех. София. 1974. Т. 5. № 4. С. 55–70.

  19. Рубановский В.Н. О бифуркации и устойчивости стационарных движений в некоторых задачах динамики твердого тела // ПММ. 1974. Т. 38. Вып. 4. С. 616–627.

  20. Татаринов Я.В. Портреты классических интегралов задачи о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Мат., мех. 1974. № 6. С. 99–105.

  21. Gashenenko I.N., Richter P.H. Enveloping surfaces and admissible velocities of heavy rigid bodies // Int. J. Bifur. & Chaos. 2004. V. 14. № 08. P. 2525–2553.

  22. Карапетян А.В. Инвариантные множества в задаче Горячева–Чаплыгина: существование, устойчивость и ветвление // ПММ. 2006. Т. 70. Вып. 2. С. 221–224.

  23. Анчев А. О перманентных вращениях тяжелого гиростата, имеющего неподвижную точку // ПММ. 1967. Т. 31. Вып. 1. С. 49–58.

  24. Elipe A., Arribas M., Riaguas A. Complete analysis of bifurcations in the axial gyrostat problem // J. Phys. A: Math. Gen. 1997. V. 30. P. 587–601. https://doi.org/ 10.1088/0305-4470/30/2/021

  25. Гашененко И.Н. Бифуркации интегральных многообразий в задаче о движении тяжелого гиростата // Нелин. дин. 2005. Т. 1. № 1. С. 33–52. https://doi.org/ 10.20537/nd0501003

  26. Iñarrea M., Lanchares V., Pascual A.I., Elipe A. On the stability of a class of permanent rotations of a heavy asymmetric gyrostat // R&C Dyn. 2017. V. 22. P. 824–839. https://doi.org/ 10.1134/S156035471707005X

  27. Холостова О.В. Задачи динамики твердых тел с вибрирующим подвесом. Ижевск: ИКИ, 2016. 308 с.

  28. Bogoyavlensky O.I. New integrable problem of classical mechanics // Comm. in Math. Phys. 1984. V. 94. P. 255–269. https://doi.org/ 10.1007/BF01209304

  29. Brun F. Rotation kring fix punkt // Ofversigt at Kongl. Svenska Vetenskaps Akad. Forhadl. Stokholm. 1893. V. 7. P. 455–468.

  30. Brun F. Rotation kring fix punkt. II // Ark. Mat. Ast. Fys. 1907. V. 4. № 4. S. 1–4.

  31. Brun F. Rotation kring fix punkt. III // Ark. Mat. Ast. Fys. 1910. V.6. № 5. S. 1–10.

  32. Карапетян А.В. Инвариантные множества в задаче Клебша–Тиссерана: существование и устойчивость // ПММ. 2006. Т. 70. Вып. 6. С. 959–964.

  33. Зейлигер Д.Н. Теория движения подобно-изменяемого тела. Казань: тип. Казанского Императорского ун-та, 1892. 105 с.

  34. Четаев Н.Г. Об уравнениях движения подобно-изменяемого тела // Учен. зап. Казан. ун-та. 1954. V. 114. Казань: Казанский гос. ун-т. С. 5–7.

  35. Четаев Н.Г. Теоретическая механика. М.: Наука, 1987. 368 с.

  36. Sławianowski J.J. The mechanics of the homogeneously-deformable body. Dynamical models with high symmetries // ZAMM. 1982. V. 62. № 6. P. 229–240. https://doi.org/ 10.1002/zamm.19820620604

  37. Sławianowski J.J. Affinely rigid body and Hamiltonian systems on ${\mathbf{GL}}\left( {n{\mathbf{R}}} \right)$ // Rep. on Math. Phys. 1988. V. 26. Iss. 1. P. 73–119. https://doi.org/ 10.1016/0034-4877(88)90006-7 10.1016/0034-4877(88)90006-7

  38. Sławianowski J.J., Kovalchuk V., Gołubowska B., Martens A., Rożko E.E. Mechanics of affine bodies. Towards affine dynamical symmetry // J. Math. Anal. & Appl. 2017. V. 446. Iss. 1. P. 493–520. https://doi.org/ 10.1016/j.jmaa.2016.08.042

  39. Burov A.A., Chevallier D.P. Dynamics of affinely deformable bodies from the standpoint of theoretical mechanics and differential geometry // Rep. on Math. Phys. 2008. V. 62. Iss. 3. P. 283–321. https://doi.org/ 10.1016/S0034-4877(09)00003-2

  40. Iñarrea M., Lanchares V. Chaos in the reorientation process of a dual-spin spacecraft with time-dependent moments of inertia // Int. J. Bifur.&Chaos. 2000. V. 10. № 05. P. 997–1018. https://doi.org/ 10.1142/S0218127400000712

  41. Iñarrea M., Lanchares V., Rothos V.M., Salas J.P. Chaotic rotations of an asymmetric body with time-dependent moments of inertia and viscous drag // Int. J. Bifur.&Chaos. 2003. V. 13. № 02. P. 393–409. https://doi.org/ 10.1142/S0218127403006613

  42. Burov A., Guerman A., Kosenko I. Satellite with periodical mass redistribution: relative equilibria and their stability // Celest. Mech. & Dyn. Astron. 2019. V. 131. Art № 1. https://doi.org/ 10.1007/s10569-018-9874-0

  43. Дружинин Э.И. О перманентных вращениях уравновешенного неавтономного гиростата // ПММ. 1999. Т. 63. Вып. 5. С. 875–876.

  44. Волкова О.С., Гашененко И.Н. Маятниковые вращения тяжелого гиростата с переменным гиростатическим моментом // Мех. твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. 2009. Вып. 39. С. 42–49.

  45. Мазнев А.В. Прецессионные движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил // Мех. твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. 2010. Вып. 40. С. 91–104.

  46. Мазнев А.В. Регулярные прецессии гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил // Докл. НАНУ. 2011. № 8. С. 66–72.

  47. Горр Г.В., Мазнев А.В. О движении симметричного гиростата с переменным гиростатическим моментом в двух задачах динамики // Нелин. дин. 2012. Т. 8. № 2. С. 369–376. https://doi.org/ 10.20537/nd1202011

  48. Горр Г.В., Мазнев А.В. О двух линейных инвариантных соотношениях уравнений движения гиростата в случае переменного гиростатического момента // Дин. сист. 2012. Т. 2 (30). № 1; 2. С. 23–32.

  49. Горр Г.В. Об одном подходе в исследовании движения гиростата с переменным гиростатическим моментом // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. 2021. Т. 31. Вып. 1. С. 102–115. https://doi.org/ 10.35634/vm210108

  50. Горр Г.В., Белоконь Т.В. О решениях уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом // ПММ. 2021. Т. 85. Вып. 2. С. 139–151. https://doi.org/ 10.31857/S0032823521020053

  51. Ткаченко Д.Н. Новое решение уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил // Мех. твердого тела. 2021. Вып. 51. С. 34–43.

  52. Данилюк Д.А. Об одном решении уравнений Кирхгофа–Пуассона в задаче о движении гиростата с переменным гиростатическим моментом // Мех. твердого тела. 2021. Вып. 51. С. 44–56.

  53. Данилюк Д.А., Ткаченко Д.Н. Новое решение уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим под действием потенциальных и гироскопических сил // Ж. теоретич. и прикл. мех. 2022. № 1 (78). С. 5–15. https://doi.org/ 10.24412/0136-4545-2022-1-5-15

  54. Горр Г.В. Об одном классе полурегулярных прецессий гиростата с переменным гиростатическим моментом // Изв. РАН. МТТ. 2023. № 2. С. 115–124. https://doi.org/ 10.31857/S0572329922600414

  55. Cveticanin L. Dynamics of Machines with Variable Mass (Stability and Control: Theory, Methods and Applications) Routledge. 1998. 252 p. https://doi.org/ 10.1201/9780203759066

  56. Ong J.J., O’Reilly O.M. On the equations of motion for rigid bodies with surface growth // Int. J. Engng Sci. 2004. V. 42. Iss. 19–20. P. 2159–2174. https://doi.org/ 10.1016/j.ijengsci.2004.07.010

  57. Irschik H., Humer A. A rational treatment of the relations of balance for mechanical systems with a time-variable mass and other non-classical supplies // in: Dyn. Mech. Syst. with Variable Mass. Int. Centre for Mech. Sci. Courses and Lectures. 2014. V. 557. P. 1–50.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Прикладная математика и механика

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал