Микроэлектроника, 2021, T. 50, № 6, стр. 428-434

1. Методика моделирования

Рис. 1 иллюстрирует трехмерное представление анализируемой приборной структуры, где на кремниевой пластине (Si) расположен слой оксида кремния (SiO₂), на верхней грани которого помещена транзисторная структура. Она включает исток (поз. 1), сток (поз. 2) и рабочую область (поз. 3). Координатная ось z направлена вдоль рабочей области от истока к стоку. Внутренние края истока (поз. 1) и стока (поз. 2) расположены в z = 0 и z = L_g соответственно, где L_g – длина рабочей области и длина затвора транзистора.

Выше показано, что для расчета электрических характеристик рассматриваемого устройства следует использовать трехмерное моделирование. Однако, такой подход приводит к немыслимым вычислительным затратам, а при некорректном разбиении транзисторной структуры к возрастанию погрешности или к неверному результату. Одним из направлений эффективного моделирования является построение математической модели сформулированной на физических обоснованных приближениях процессов протекающих в транзисторе. В таком случае допускаем, что транспорт носителей в наноразмерном транзисторе совершается через одномерные поддиапазоны общей энергетической зоны проводимости. Это следует из того, что волновые функции каждого поддиапазона ограничены поперечным сечением прибора [4, 5]. Для ультра тонких структур можно моделировать электронный транспорт при нормальных условиях, используя либо квазиклассическое мульти зонное уравнение переноса Больцмана [6], либо квантово-механический неравновесный формализм функции Грина (ФФР) [7, 8]. Есть несколько причин рассматривать мульти зонный подход транспортного уравнения Больцмана (ТУБ) вместо ФФР, когда длина рабочей области транзистора L_g не меньше 10 нм [4, 5, 9]. Во-первых, ФФР требует достаточно больших вычислительных ресурсов, так как требует детальной информации о распространении электронного волнового пакета, инжектируемого в устройство. Кроме того, микроскопические механизмы рассеяния, отличные от электрон-фононных взаимодействий [10], трудно включить в ФФР, поскольку соответствующие энергетические члены обычно являются нелокальными функциями пространственной координаты [9]. Наконец, основные явления квантового переноса в устройствах с параметрами близкими к границе масштабирования – туннелирование от истока к стоку и флуктуация проводимости, вызванная квантовой интерференцией, становятся значимыми только тогда, когда длина L_gстановится меньше 10 нм [11]. Поэтому для более длинных устройств квазиклассические формулировки, основанные на 1D мульти зонном TУБ, позволяют получить достоверные транзисторные характеристики, когда уравнение Больцмана решается самосогласованно с 3D уравнением Пуассона и 2D уравнением Шредингера для получения самосогласованных потенциалов и энергий поддиапазонов и волновых функций. Квази аналитическое решение 3D уравнения Пуассона на основе метода разделения переменных подробно рассмотрено [12]. Там же показано, что такой подход практические не снижает точность решения относительно прямых численных методов вычисления потенциала. Метод разделения переменных положен в основу решения 2D уравнения Шредингера, которое детально представлено в [13], и там же сделаны оценки погрешности вычисления волновых функций. Однако, решение ТУБ требует самых значительных вычислительных ресурсов в основном из-за наличия микроскопических процессов рассеяния, которые связывают функцию распределения в разных поддиапазонах и энергиях [14]. Для достижения этой цели мы упрощаем модель рассеяния, используя приближение времени релаксации, которое аналогично подходу Бюттикена [15] в формализме ФФР, где последний вводится для феноменологического учета эффектов рассеяния [8]. Линеаризация по времени релаксации позволяет нам получить прямое решение 1D ТУБ очень эффективным способом. Этот подход включает все существенные особенности квазибаллистического переноса в декананометровом масштабе, где рассеяние не является ни незначительным, ни столь же важным, как в длинно-канальных устройствах [16]. Кроме того, ТУБ в данном приближении по-прежнему превосходит макроскопические транспортные модели, поскольку они также требуют введения дополнительных аппроксимаций [5, 9]. Из-за этих упрощений макроскопические транспортные модели не всегда дают правильных результатов для наноразмерных транзисторов с полностью охватывающим затвором [17].

Мы использовали приближение эффективной массы, предполагающее обычную эллипсоидальную зонную структура, поскольку установлено, что зонные эффекты, вызванные непараболичностью полосы [18], не изменяют ток транзистора значительно даже для самых малых радиусов рабочей области, вплоть до 1 нм [5]. Поскольку зонные эффекты структуры становятся менее важными по мере увеличения радиуса, аппроксимация эффективной массы дает возможность обосновать транзисторные характеристики в широком диапазоне тонких структур.

Очень удобно, что время релаксации связано с эффективной подвижностью $\mu $ простым соотношением вида $\frac{1}{{{{\tau }^{{(\nu )}}}}} = \frac{q}{{m_{{eff}}^{{(\nu )}}}}\frac{1}{\mu }$, где q и m – заряд и эффективная масса носителя в поддиапазоне $\nu $ [6, 8]. Здесь $\mu $ рассматривается как корректирующийся параметр, который может отличаться от низко-полевой подвижности. Это примерно усредненная подвижность во всей рабочей области, которая обычно меньше, чем низко-полевая подвижность. Такая связь необходима, поскольку в математических выражениях удобнее использовать $\tau $, а при анализе электро-физических характеристик параметр $\mu $.

Отметим, что в отличии от ультра коротких транзисторных структур где рассеяние фононов и туннелирование от источника к стоку довольно значительны, однако их влияние по мере увеличения длины рабочей области становится менее значимым и при продольных размерах не ниже 10 нм не существенными [3]. Поэтому, и квантовые явления переноса представляются незначительными, а использование ТУБ является вполне обоснованным.

2. Численное моделирование и обсуждение результатов

Компьютерное моделирование выполнено для транзисторных структур с различными геометрическими размерами рабочей области. В расчетах длина рабочей области L_g изменяется в диапазоне 11–25 нм, радиус от 1.5 до 5 нм. Фиксированы размеры стока/истока, длина которых составляла 25 нм, ширина и высота составляют 50 нм. Они равномерно легированы с концентрацией 0.5 × 10²¹ см^–3. Кремниевая рабочая область полагается нелегированной с собственной концентрацией носителей 1 × 10¹³ см^–3. Границы примыкания рабочей области и к истоку/стоку являются резкими. Нет перекрытия между затвором и областями истока и стока. Толщина подзатворного диэлектрика (t_ox) составляет 1.0 нм. Дальнейшее масштабирование будет ограничено чрезмерным туннельным током утечки затвора [19]. Для зоны проводимости рассмотрим три пары вырожденных долин с анизотропной эффективной массой (m_l, m_t, m_t), (m_t, m_l, m_t) и (m_t, m_t, m_l). Здесь m_l = 0.916m₀ и m_t = = 0.19m₀ являются продольной и поперечной эффективной массой соответственно и m₀ – масса свободного электрона. В расчетах учитывается проникновение волновой функции в подзатворный диэлектрик, который обеспечивает высоту потенциального барьера 3.15 эВ. При этом эффективная масса носителей изотропна и соответствует 0.5m₀. При моделировании полагаем, что температура решетки постоянна и равна 300 К.

Первоначально мы изучили электростатическую устойчивость исследуемой транзисторной архитектуры к проявлению коротко-канальных эффектов (ККЭ). В нашем случае, при фиксированном t_ox, радиус R будет самым важным параметром, контролирующим влияния ККЭ. Для получения требуемой устойчивости, мы используем известное понятие электростатической длины масштабирования L_E (характеристическая длина) которая несет информацию об электростатической связи между смещением стока и потенциалом внутри канала [1, 20 ] . Для частного случая транзистора с полностью охватывающим затвором, параметр L_E можно получить из неявного уравнения [16]:

где ${{\varepsilon }_{r}} = {{{{\varepsilon }_{{\text{S}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\varepsilon }_{{\text{S}}}}} {\varepsilon {}_{{{\text{ox}}}}}}} \right. \kern-0em} {\varepsilon {}_{{{\text{ox}}}}}}$ ε_S and ε_ox – диэлектрическая проницаемость кремния и оксида кремния соответственно, $R{\kern 1pt} ' = R + t{}_{{{\text{ox}}}}$, J₀(x) и J₁(x) – функции Бесселя и Y₀(x) и Y₁(x) – функции Неймана.

На рис. 2 представлены результаты расчетов, выполненные при помощи (1). Из них можно определить диапазон параметров R и t_ox для заданного значения L_g при которых выполняется условие полного подавления ККЭ: L_g < 2L_E [4].

На рис. 3 приведено, полученное при помощи метода представленного [12], распределение поверхностного потенциала прототипа с минимально рассматриваемые размерами рабочей области L_g = 11 нм и R = 1.5 нм.

Для дальнейших расчетов нужно выбрать разумное время релаксации. В настоящей работе мы корректируем время релаксации с помощью метода ФФР. В данном случае параметр $\mu $ рассматривается как корректирующийся табличный параметр, величина которого может отличаться от значения низко-полевой подвижности в кремнии. На рис. 4 приведены численно-рассчитанные ВАХ трех различных прототипов при µ =320 см²/(В ⋅ с).

Сопоставление результатов моделирования дает достаточно точный ток стока (I_ds) по сравнению с данными по методу ФФР. Поскольку подгонка выполняется в области насыщения, наша модель немного занижает ток стока в линейной области. Это ожидаемо, потому что низко-полевая подвижность электронов для всех прототипов, полученная из метода ФФР, составляет около 600 см²/(В ⋅ с).

На следующем рис. 5 представлены результаты моделирования ВАХ прототипа 1.

Следует отметить, что соотношение между током стока и подвижностью в нашей модели отличается от того, что обычно предполагается в дрейфово-диффузионных моделях (ДДМ), где ток стока, как известно, прямо пропорционален подвижности [1]. Вместо этого ток стока, полученный при помощи разработанной модели, характеризуется относительно слабой зависимостью от подвижности, поскольку она (модель) также содержит баллистическую составляющую, которая доминирует в деконаноразмерных структурах. Поэтому традиционные модели, предполагающие полностью диффузионный перенос, не могут дать точного значения данного тока в этом режиме. С другой стороны, феноменологические модели подвижности для сильного электрического поля, широко используемые в ДДМ, не могут быть использованы в нашем случае, поскольку они в сильных полях в значительной степени переоценивают деградацию подвижности в коротко-канальных устройствах [3, 16].

На рис 6 приведены экстрагированные из численно рассчитанных ВАХ I_ds(U_g) во всем рассматриваемом диапазоне длин и радиусов рабочей области транзистора при постоянном значение подвижности μ = 320 см²/(В ⋅ с) крутизны подпороговой характеристики SS.

Экстракция показывает, что SS улучшается по мере уменьшения радиуса рабочей области. Однако, и пороговое напряжение синхронно увеличивается с уменьшением радиуса. При этом оно становится более чувствительным к изменению радиуса при его малых значениях. Такой быстрый рост порогового напряжения обусловлен квантово-механическими эффектами [10]. Это следует если рассмотреть цилиндрическую квантовую яму (потенциал равен нулю внутри кремния и бесконечности снаружи). Для нее собственное значение энергии представляется в виде ${{E}_{{nm}}} = \frac{{{{\hbar }^{2}}J_{{nm}}^{2}}}{{2m{\text{*}}{{R}^{2}}}}$, где J_nm – нуль функции Бесселя порядка m [9]. Поэтому небольшие изменения величины радиуса могут привести к существенному скачку порогового напряжения. Это характерно для диапазона маленьких значений радиусов, при условии $\frac{{\partial {{E}_{{nm}}}}}{{\partial R}} \propto {{R}^{{ - 3}}}$ [16].

Существенно, что радиус лучше характеризует свойства масштабирования, чем характеристическая длина, что может быть связано с квантовыми эффектами [11]. При анализе свойств масштабирования следует в большей степени опираться на радиус, который в данном случае выступает лучшим характеризатором проявления ККЭ. Действительно, что для того, чтобы транзистор был электростатически устойчивым (т.е. с SS < 80 мВ/дек), радиус кремниевой рабочей области должен быть меньше 1/3 длины затвора.

На рис. 7 показаны зависимости I_ds(L_g, R) в диапазоне длины затвора 11–25 нм.

Одним из интересных результатов является зависимость максимального тока от длины рабочей области I_ds_max(L_g). Если рассматривать степенную зависимость между L_g и I_ds в виде ${{I}_{{ds}}} \propto L_{g}^{{ - \beta }}$, где параметр β – эмпирический, то для рассматриваемого диапазона L_g 11–25 нм, эти зависимости практически линейны при любых разумных значениях подвижности. При этом β естественно изменяется от 0 до 1. Поскольку ток стока почти не зависит от длины затвора в чисто баллистическом пределе, тогда как β равен 1 в диффузионном пределе. На рис. 8 представлены модельные зависимости для разных подвижностей. Так для µ = 300 см²/(В ⋅ с) β принимает значение приблизительно равное 0.5, тогда как для µ = 200 см²/(В ⋅ с) значение β составляет 0.6. Следует отметить, что аналогичный результат β = 0.5 был получен при помощи метода ФФР для µ = 300 см²/(В ⋅ с).

Мы рассмотрели наиболее значимые электро-физические характеристики ультра тонких кремниевых полевых транзисторов с полностью охватывающим затвором, топологические параметры которых близки к границе масштабирования. Полученные расчетные характеристики определяют высокую практическую значимость исследуемой нанотранзисторной архитектуры для разработки электронных устройств, предназначенных для эффективного решения разнонаправленных прикладных задач.

Следует отметить, что аномальное поведение порогового напряжения в диапазоне малых радиусов и рассеяние на шероховатости могут стать важными факторами в ограничении масштабирования рассматриваемой транзисторной архитектуры. Данная проблема характерна для всех транзисторных устройств с ультратонкими рабочими областями [2, 16].

Внедрение ультра тонких транзисторных архитектур с полностью охватывающим затвором также связано с успешным решением задачи разработка масштабируемой измерительной платформы для определения физико-химических и электрических параметров наноразмерных объектов физической, химической и биологической природы, поскольку анализируемая транзисторная структура обладает исключительной чувствительностью к изменению электрического потенциала вблизи поверхности канала [21]. Такая платформа для определения физических параметров наноразмерных биологических объектов в конечном итоге будет способствовать прорывному развитию биоинформатики.