1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Известия РАН. Механика жидкости и газа
  4. № 6, 2023

Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2023, № 6, стр. 132-143

ТУРБУЛЕНТНЫЕ ЧИСЛА ШМИДТА И ПРАНДТЛЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ НА СТЕНКЕ С ЗАВЕСНЫМ ОХЛАЖДЕНИЕМ ПРИ ВДУВЕ ИНОРОДНОГО ГАЗА ЧЕРЕЗ ПОРИСТУЮ ВСТАВКУ

В. Г. Лущик a, *, М. С. Макарова a, **, С. С. Попович a, ***

a МГУ им. М.В. Ломоносова, Научно-исследовательский институт механики
Москва, Россия

* E-mail: vgl_41@mail.ru
** E-mail: april27_86@mail.ru
*** E-mail: pss@imec.msu.ru

Поступила в редакцию 24.05.2023
После доработки 04.07.2023
Принята к публикации 01.08.2023

Полный текст (PDF)

Аннотация

С использованием трехпараметрической RANS-модели турбулентности, дополненной уравнениями переноса для турбулентных потоков тепла и массы, проведено численное исследование изменения турбулентных чисел Шмидта и Прандтля в пограничном слое на стенке с завесным охлаждением при вдуве гелия в поток ксенона через пористую вставку. Проведено сравнение полученных результатов с расчетными данными для постоянных значений турбулентных чисел Шмидта и Прандтля.

Ключевые слова: RANS-модель турбулентности, уравнения переноса для турбулентных потоков тепла и массы, вдув газа, турбулентное число Прандтля, турбулентное число Шмидта

Экспериментальные данные по турбулентному числу Прандтля Prt проанализированы в обзоре [1] для развитого течения в круглой трубе, плоском канале и для двумерного пограничного слоя с постоянными физическими свойствами. В [1] показано, что в общем случае турбулентное число Прандтля является функцией молекулярного числа Прандтля Pr, числа Рейнольдса Re и расстояния от стенки y+.

Для газовых смесей водорода, гелия, аргона, ксенона с молекулярным числом Прандтля 0.18 < Pr < 0.7 при числах Рейнольдса 3 × 104 < Re < 1 × 105 в [2] рассмотрен ряд моделей для установления зависимости Prt(y+, Pr, Re). Анализ результатов расчетных исследований величины Prt показывает, что они носят противоречивый характер, особенно в пристеночной области при y+ < 10. Путем прямого численного моделирования (DNS), проведенного для турбулентного течения в канале и трубе с непроницаемыми стенками в работах [3–5], установлено, что величина турбулентного числа Прандтля при низких числах Рейнольдса для Pr ≥ 0.2 практически не зависит от значения молекулярного числа Прандтля. В [6] также путем DNS проведено численное моделирование турбулентного пограничного слоя на плоской пластине с транспирационным охлаждением.

Большой разброс значений Prt в экспериментах, приведенных в [7], по-видимому, объясняется невысокой точностью измерения входящих в выражение для турбулентного числа Прандтля (см. ниже) величин $\left\langle {u{\kern 1pt} '{v}{\kern 1pt} '} \right\rangle $ и $\left\langle {{v}{\kern 1pt} 'T{\kern 1pt} '} \right\rangle $ и большой погрешностью при дифференцировании измеренных профилей скорости $\partial u{\text{/}}\partial y$ и температуры $\partial T{\text{/}}\partial y$ в широком диапазоне расстояний от стенки до оси трубы.

В [8] был проведен анализ более 20 измеренных профилей температуры в пристенных турбулентных течениях различных жидкостей (при 0.02 ≤ Pr ≤ 100) при условии, что профили температуры имели достаточно широкий участок, хорошо описывающийся логарифмической формулой. Определенные в [8] по логарифмическому участку значения Prt практически не зависят от Pr и группируются около среднего значения Prt = 0.85.

В [9, 10] с использованием дифференциальной RANS-модели турбулентности [11], дополненной уравнением переноса для турбулентного потока тепла [12], проведено численное исследование зависимости турбулентного числа Прандтля от молекулярного числа Прандтля, интенсивности вдува (отсоса) газа через проницаемую стенку и параметра ускорения (торможения) набегающего потока. В качестве газовых теплоносителей рассмотрены воздух и смеси гелия с ксеноном и с аргоном, а в качестве жидкостных – ртуть, вода и трансформаторное масло. Полученные результаты расчетов согласуются с имеющимися экспериментальными данными для турбулентного числа Прандтля и величинами, входящими в его определение.

В ряде работ (см., например, [13–15]) выполнены расчеты в предположении постоянства турбулентных чисел Прандтля и Шмидта. Так, в [14] для сверхзвуковой пристеночной струи в спутном сверхзвуковом потоке удовлетворительное согласие расчета с экспериментом [16] получено для значений турбулентных чисел Прандтля Prt = 0.85 и Шмидта Sct = 0.7.

Следует отметить, что экспериментальные данные для турбулентного числа Шмидта, ввиду трудностей измерения корреляций $\left\langle {{v}{\kern 1pt} 'C{\kern 1pt} '} \right\rangle $, практически отсутствуют. Расчетных исследований величины Sct немного (см., например, обзор в [17]). В [17] также путем прямого численного моделирования (DNS), проведенного для турбулентного пограничного слоя на стенке с щелевым завесным охлаждением, получено распределение турбулентных чисел Прандтля и Шмидта в области завесы. Показано, что турбулентные числа Прандтля и Шмидта примерно равны в области смешения щелевой завесы с набегающим сверхзвуковым потоком, оба не являются постоянными и уменьшаются от значений ~1.2 на входе до ~0.8 дальше по течению. Поведение Prt и Sct сопоставимо в основной части области смешения, а значительные градиенты чисел Prt и Sct имеют место вблизи стенки и внешней границы набегающего потока. Численное исследование [13] установило, что для точного прогнозирования характеристик завесного охлаждения предположение о постоянных турбулентных числах Прандтля или Шмидта является недостаточным.

В работе [18] оценены адекватность и точность предположения о постоянном числе Шмидта при прогнозировании турбулентных скалярных полей в поперечных потоках струй. Круглая струя, впрыскиваемая в замкнутый поперечный поток в прямоугольном канале, была смоделирована с использованием усредненных по Рейнольдсу уравнений Навье–Стокса со стандартной k–ε моделью турбулентности. Установлено, что для наилучшего согласования расчетов с экспериментальными данными рекомендуется использовать значение турбулентного числа Шмидта Sct = 0.2.

Как отмечено в [19], применение RANS-модели к турбулентным течениям с переносом массы обычно предполагает использование гипотезы градиентной диффузии, которая требует определения турбулентного числа Шмидта Sct. Однако универсальное значение Sct не установлено, и в различных исследованиях использовались эмпирические значения. В [19] рассматриваются исследования, связанные с применением оптимальных значений Sct, имеющих отношение к атмосферному массообмену. Оптимальные значения Sct широко распространены в диапазоне 0.2–1.3, и конкретное выбранное значение оказывает существенное влияние на результаты прогнозирования. На основании результатов проведенного в [19] исследования, поскольку оптимальные значения Sct в значительной степени зависят от местных характеристик потока, рекомендуется определять Sct с учетом доминирующей структуры потока в каждом случае.

Таким образом, из рассмотрения упомянутых выше публикаций следует, что при проведении расчетов с использованием предположения о постоянстве турбулентных чисел Прандтля и Шмидта выбор их значений зависит от конкретной задачи, для которой проводится расчет.

Целью настоящей работы является демонстрация эволюции турбулентных чисел Прандтля и Шмидта в пограничном слое на стенке на примере переменных по длине граничных условий – с завесным охлаждением через пористую вставку при вдуве гелия в поток ксенона и сравнение полученных результатов с расчетными данными для постоянных значений турбулентных чисел Шмидта и Прандтля.

Отметим, что выбор задачи численного исследования обусловлен актуальностью тематики использования газовых смесей с низким значением молекулярного числа Прандтля при завесном охлаждении в эффективных теплообменных устройствах наземного и космического базирования.

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТУРБУЛЕНТНЫХ ЧИСЕЛ ПРАНДТЛЯ И ШМИДТА

Уравнения неразрывности, движения, энергии и бинарной диффузии, описывающие дозвуковое безградиентное течение в пограничном слое на плоской пластине имеют вид [20]

(1.1)
$\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\rho u} \right) + \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\rho {v}} \right) = 0$
(1.2)
$\rho u\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + \rho {v}\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = \frac{\partial }{{\partial y}}\left[ {\eta \frac{{\partial u}}{{\partial y}} + \rho \tau } \right]$
(1.3)
${{c}_{p}}\left( {\rho u\frac{{\partial T}}{{\partial x}} + \rho {v}\frac{{\partial T}}{{\partial y}}} \right) = \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\frac{\eta }{{\Pr }}\frac{{\partial T}}{{\partial y}} + \rho {{q}_{t}}} \right)$
(1.4)
$\rho u\frac{{\partial c}}{{\partial x}} + \rho {v}\frac{{\partial c}}{{\partial y}} = \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\frac{\eta }{{Sc}}\frac{{\partial c}}{{\partial y}} + \rho {{j}_{t}}} \right)$

Здесь x – направление вдоль пластины, y – координата, отсчитываемая по нормали к пластине, u и ${v}$ – компоненты скорости вдоль осей x и y, соответственно, T – термодинамическая температура газа, с – относительная массовая концентрация газа завесы (концентрация газа основного потока равна 1–с), $\rho \tau = - \rho \left\langle {u{\kern 1pt} '{v}{\kern 1pt} '} \right\rangle $ – турбулентное трение, $\rho {{q}_{t}} = - \rho {{c}_{p}}\left\langle {{v}{\kern 1pt} 'T{\kern 1pt} '} \right\rangle $ – турбулентный поток тепла, $\rho {{j}_{t}} = - \rho \left\langle {{v}{\kern 1pt} 'c{\kern 1pt} '} \right\rangle $ – турбулентный поток массы, $\Pr = \eta {{c}_{p}}{\text{/}}\lambda $, ${\text{Sc}} = \eta {\text{/}}\rho D$ – молекулярные числа Прандтля и Шмидта, соответственно, ρ – плотность, η – динамическая вязкость, cp – изобарная теплоемкость, λ – теплопроводность, D – коэффициент бинарной диффузии газа.

Для величин ρτ, ρqt и ρjt обычно используются гипотезы вида

(1.5)
$\rho \tau = - \rho \left\langle {u{\kern 1pt} '{v}{\kern 1pt} '} \right\rangle = \rho {{\varepsilon }_{t}}\frac{{\partial u}}{{\partial y}}$
(1.6)
$\rho {{q}_{t}} = {{c}_{p}}\frac{{\rho {{\varepsilon }_{t}}}}{{{{{\Pr }}_{t}}}}\frac{{\partial T}}{{\partial y}}$
(1.7)
$\rho {{j}_{t}} = \frac{{\rho {{\varepsilon }_{t}}}}{{{\text{S}}{{{\text{c}}}_{t}}}}\frac{{\partial c}}{{\partial y}}$

Здесь εt – коэффициент турбулентного переноса количества движения (турбулентная вязкость), Prt и Sct – турбулентные числа Прандтля и Шмидта, соответственно, которые обычно принимаются равными и постоянными по толщине пограничного слоя.

Для определения величины турбулентной вязкости εt в инженерной практике широко используется гипотеза пути смешения Прандтля ${{\varepsilon }_{t}} = {{l}^{2}}{\text{|}}\partial u{\text{/}}\partial y{\text{|}}$. Для пути смешения $l$ в литературе (см., например в [21]) предложено большое количество эмпирических функций расстояния до стенки, подобранных для каждого конкретного эксперимента, расчет которого требуется провести.

В случае использования уравнений переноса для турбулентных потоков импульса $\rho \tau = - \rho \left\langle {u{\kern 1pt} '{v}{\kern 1pt} '} \right\rangle $, тепла $\rho {{q}_{t}} = - \rho {{c}_{p}}\left\langle {{v}{\kern 1pt} 'T{\kern 1pt} '} \right\rangle $ и массы $\rho {{j}_{t}} = - \rho \left\langle {{v}{\kern 1pt} 'c{\kern 1pt} '} \right\rangle $ турбулентные числа Прандтля и Шмидта могут быть рассчитаны по соотношениям вида

(1.8)
${{\Pr }_{t}} = {{c}_{p}}\frac{{\rho \tau \partial T{\text{/}}\partial y}}{{\rho {{q}_{t}}\partial u{\text{/}}\partial y}}$
(1.9)
${\text{S}}{{{\text{c}}}_{t}} = \frac{{\rho \tau \partial c{\text{/}}\partial y}}{{\rho {{j}_{t}}\partial u{\text{/}}\partial y}}$

2. МОДЕЛЬ ТУРБУЛЕНТНОСТИ. УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА ДЛЯ ТУРБУЛЕНТНЫХ ПОТОКОВ ТЕПЛА И МАССЫ

Для вычисления величины напряжения сдвига $\tau $, входящей в определение турбулентных чисел Прандтля (1.8) и Шмидта (1.9), использована трехпараметрическая RANS-модель турбулентности [11], обобщенная на течение с теплообменом, в которой уравнения переноса записываются для энергии турбулентности $E = 0.5\sum {\langle u_{i}^{{'2}}\rangle } $, величины напряжения сдвига $\tau = - \left\langle {u{\kern 1pt} '{v}{\kern 1pt} '} \right\rangle $ и предложенного А.Н. Колмогоровым параметра – квадрата частоты турбулентности $\omega = E{\text{/}}{{L}^{2}}$ ($L = \sqrt {E{\text{/}}\omega } $ – поперечный интегральный масштаб турбулентности)

(2.1)
$\rho u\frac{{\partial E}}{{\partial x}} + \rho {v}\frac{{\partial E}}{{\partial y}} = - ({{c}_{0}}\rho \sqrt E L + {{c}_{1}}\eta )\frac{E}{{{{L}^{2}}}} + \rho \tau \frac{{\partial u}}{{\partial y}} + \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {{{D}_{E}}\frac{{\partial E}}{{\partial y}}} \right)$
(2.2)
$\rho u\frac{{\partial \tau }}{{\partial x}} + \rho {v}\frac{{\partial \tau }}{{\partial y}} = - \,(3{{c}_{0}}\rho \sqrt E L + 9{{c}_{1}}\eta )\frac{\tau }{{{{L}^{2}}}} + {{c}_{2}}\rho E\frac{{\partial u}}{{\partial y}} + \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {{{D}_{\tau }}\frac{{\partial \tau }}{{\partial y}}} \right)$
(2.3)
$\rho u\frac{{\partial \omega }}{{\partial x}} + \rho {v}\frac{{\partial \omega }}{{\partial y}} = - \,(2{{c}_{0}}\rho \sqrt E L + 1.4{{c}_{1}}\eta {{f}_{\omega }})\frac{\omega }{{{{L}^{2}}}} + \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {{{D}_{\omega }}\frac{{\partial \omega }}{{\partial y}}} \right) + \left[ {\frac{\tau }{E} - 2{{c}_{3}}sign\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial y}}} \right)} \right]\rho \omega \frac{{\partial u}}{{\partial y}}$

Для вычисления величины ${{q}_{t}}$, входящей в определение турбулентного числа Прандтля (1.8), в [12] получено уравнение переноса для величины ${{q}_{t}} = - {{c}_{p}}\left\langle {{v}{\kern 1pt} 'T{\kern 1pt} '} \right\rangle $

(2.4)
$\rho u\frac{{\partial {{q}_{t}}}}{{\partial x}} + \rho {v}\frac{{\partial {{q}_{t}}}}{{\partial y}} = - \left[ {3{{c}_{0}}\rho \sqrt E L + 9{{c}_{1}}\eta f(\Pr )} \right]\frac{{{{q}_{t}}}}{{{{L}^{2}}}} + {{c}_{4}}{{c}_{p}}\rho E\frac{{\partial T}}{{\partial y}} + \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {{{D}_{q}}\frac{{\partial {{q}_{t}}}}{{\partial y}}} \right)$

Полагая, согласно [22, 23], концентрацию, как и температуру, пассивной примесью, что весьма точно выполняется в случае массопереноса, для величины ${{j}_{t}} = - \left\langle {{v}{\kern 1pt} 'c{\kern 1pt} '} \right\rangle $, входящей в определение турбулентного числа Шмидта (1.9), уравнение переноса может быть получено аналогично уравнению переноса для величины ${{q}_{t}} = - {{c}_{p}}\left\langle {{v}{\kern 1pt} 'T{\kern 1pt} '} \right\rangle $ [12] и будет иметь вид

(2.5)
$\rho u\frac{{\partial {{j}_{t}}}}{{\partial x}} + \rho {v}\frac{{\partial {{j}_{t}}}}{{\partial y}} = - \left[ {3{{c}_{0}}\rho \sqrt E L + 9{{c}_{1}}\eta f({\text{Sc}})} \right]\frac{{{{j}_{t}}}}{{{{L}^{2}}}} + {{c}_{4}}{{c}_{p}}\rho E\frac{{\partial c}}{{\partial y}} + \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {{{D}_{j}}\frac{{\partial {{j}_{t}}}}{{\partial y}}} \right)$

Значения констант в уравнениях (2.1)–(2.5) [9–12]

${{c}_{0}} = 0.3;\quad {{c}_{1}} = 5\pi {\text{/}}4;\quad {{c}_{2}} = 0.2;\quad {{c}_{3}} = 0.04;\quad {{c}_{4}} = 0.222;\quad {{c}_{5}} = 0.25;\quad {{a}_{E}} = {{a}_{\omega }} = 0.06$
(2.6)
$\begin{gathered} {{a}_{\tau }} = {{a}_{q}} = {{a}_{j}} = 3{{a}_{E}} = 0.18;\quad {{\alpha }_{E}} = {{\alpha }_{\tau }} = 1;\quad {{\alpha }_{\omega }} = 1.4;\quad {{\alpha }_{q}} = f(\Pr );\quad {{\alpha }_{j}} = f(Sc) \\ {{D}_{\varphi }} = {{a}_{\varphi }}\rho \sqrt E L + {{\alpha }_{\varphi }}\eta \quad (\varphi = E,\;\tau ,\;\omega ,\;q,\;j) \\ \end{gathered} $
${{f}_{\omega }} = 1 - \frac{1}{{2{{c}_{1}}}}{{\left( {\frac{L}{E}\frac{{\partial E}}{{\partial y}}} \right)}^{2}},\quad f(\Pr ) = \frac{{1 + {{c}_{5}}}}{2}\frac{{\sqrt {\Pr } + 1{\text{/}}\sqrt {\Pr } }}{{1 + {{c}_{5}}\sqrt {\Pr } }},\quad f({\text{Sc}}) = \frac{{1 + {{c}_{5}}}}{2}\frac{{\sqrt {{\text{Sc}}} + 1{\text{/}}\sqrt {{\text{Sc}}} }}{{1 + {{c}_{5}}\sqrt {{\text{Sc}}} }}$

3. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ РАСЧЕТА. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

Расчет пограничного слоя на стенке с завесным охлаждением через пористую вставку при вдуве инородного газа выполнен с использованием уравнений (1.1)–(1.4) и (2.1)–(2.5) с константами (2.6) и граничными условиями на непроницаемой теплоизолированной стенке (3.1) и стенке со вдувом (3.2) [13]

$y = 0{\text{:}}\,\,\,u = 0,\quad E = \frac{{\partial E}}{{\partial y}} = \tau = {{q}_{t}} = {{j}_{t}} = 0$
(3.1)
${{{v}}_{w}} = 0,\quad {{c}_{w}} = 0,\quad {{q}_{w}} = {{\left( {{{c}_{p}}\frac{\eta }{{\Pr }}\frac{{\partial T}}{{\partial y}}} \right)}_{w}} = 0$
(3.2)
${{j}_{w}} = {{(\rho {v})}_{w}},\quad {{j}_{w}}({{c}_{w}} - 1) = {{\left( {\frac{\eta }{{{\text{Sc}}}}\frac{{\partial c}}{{\partial y}}} \right)}_{w}},\quad j_{w}^{o} = {{j}_{w}}{\text{/}}{{(\rho u)}_{e}}$

Здесь ${{j}_{w}} = {{(\rho {v})}_{w}}$ – массовая скорость вдуваемого газа, Tw – температура стенки, Tj – температура вдуваемого газа, cw – концентрация вдуваемого газа на стенке, qw – тепловой поток в стенку. Граничное условие ∂E/∂y = 0 позволяет определить величину ωw(x), которая заранее неизвестна.

Граничные условия на внешней границе расчетной области (y = h), которая превосходит переменную по длине толщину пограничного слоя δ(x), где u = 0.99ue, имеют вид

(3.3)
$u = {{u}_{e}},\quad T = {{T}_{e}},\quad c = 0,\quad E = {{E}_{e}}(x),\quad \omega = {{\omega }_{e}},\quad \tau = {{q}_{t}} = {{j}_{t}} = 0$

В (3.3) ue, Te – величины скорости, температуры для течения в набегающем потоке, а функции Ee(x) и ωe описывают вырождение турбулентности в этом течении. Индексы “w” и “e” в граничных условиях и далее относятся, соответственно, к условиям на стенке и в набегающем потоке.

В начальном (x = 0) сечении профиль скорости u(y) определялся из автомодельного решения Блазиуса, профиль температуры T(y) принимался подобным профилю скорости, профили функций E(y), τ(y), ω(y), задавались как в [13].

Начальный масштаб турбулентности L0 принимался таким (ReL = ${{L}_{0}}{{(\rho u{\text{/}}\eta )}_{1}} = 0.2 \times {{10}^{5}})$, чтобы интенсивность турбулентности набегающего потока $e = \sqrt E {\text{/}}{{u}_{e}}$, уменьшающаяся вследствие вырождения ее на расчетной длине, не более, чем в два раза отличалась от начальной величины ${{e}_{0}} = \sqrt {{{E}_{0}}} {\text{/}}{{u}_{1}} = 0.03$.

Теплофизические свойства и числа Pr и Sc задавались в табличном виде в зависимости от давления, температуры и концентрации. Для смеси газов теплофизические свойства рассчитывались по полуэмпирическим формулам для многокомпонентной смеси газов, приведенным в [24], а плотность – по уравнению состояния идеального газа.

4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

Расчеты проводились в следующей постановке (см. рис. 1). Пластина обтекалась набегающим потоком газа с постоянной скоростью ue = 20 м/с при давлении pe = 2 МПа. Параметрами задачи являются числа Рейнольдса по длине (рис. 1), отсчитываемые от входа ${{\operatorname{Re} }_{x}} = x{{(\rho u{\text{/}}\eta )}_{e}}$, либо от начала участка со вдувом ${{\operatorname{Re} }_{{x1}}} = {{x}_{1}}{{(\rho u{\text{/}}\eta )}_{e}}$ при значениях теплофизических параметров, определенных по температуре и давлению в набегающем потоке.

Рис. 1.

Расчетная схема.

Участок пластины длиной x0 = 100 мм полагался непроницаемым и теплоизолированным. Далее по потоку между сечениями 1 и 2 на длине Lp = 50 мм осуществлялся вдув, интенсивность которого $j_{w}^{o} = {{j}_{w}}{\text{/}}{{(\rho u)}_{e}}$ линейно нарастала на небольшой длине и далее оставалась постоянной по длине проницаемой пластины и равной величине $j_{w}^{o} = 0.001$. Область газовой завесы находилась за сечением 2 (Rex > 1.5 × 106), где пластина полагалась непроницаемой и теплоизолированной.

Длина входного участка x0 (рис. 1) была выбрана так, что начало вдува находилось за областью перехода в пограничном слое от ламинарного режима течения к турбулентному (Rex > 106).

В качестве газа набегающего потока рассматривались ксенон (Xe) при температуре Te = 1000 K, а вдуваемого газа – гелий (He) при температуре Tj = 300 K. Молекулярные числа Шмидта Sc и Прандтля Pr для смеси гелий-ксенон в зависимости от массовой концентрации гелия с приведены на рис. 2.

Рис. 2.

Молекулярные числа Шмидта Sc (1) и Прандтля Pr (2) в зависимости от массовой концентрации гелия c в смеси гелий-ксенон.

Характер изменения режима течения по длине пластины иллюстрирует рис. 3, где представлена расчетная зависимость коэффициента трения cf от числа Рейнольдса Rex.

Рис. 3.

Изменение коэффициента трения сf по длине пластины Rex; 1 – результаты расчета; 2 – ламинарный режим течения; 3 – турбулентный режим течения; 4 – сечения, для которых приведены данные на рис. 4–7.

Как видно из рис. 3, расчетная зависимость (линия 1) при Rex < 105 близка к закону Блазиуса [25] cf = 0.664 · ${\text{Re}}_{x}^{{ - 1/2}}$ (линия 2) для ламинарного режима течения, а при Rex > 2 × 105 (за исключением области вдува 106 < Rex < 1.5 × 106), где коэффициент трения существенно снижается, близка к зависимости [26] ${{c}_{f}} = 0.0567 \cdot {\text{Re}}_{x}^{{ - 1/5}}$ (линия 3) для турбулентного режима течения. Точками 4 на рис. 3 отмечены сечения, в которых на рис. 4–7 приведены профили скорости, концентрации, температуры и характеристик турбулентности.

Рис. 4.

Профили скорости (а), массовой концентрации (б) вдуваемого газа (гелия) в смеси с газом основного потока (ксенона) и температуры (в) в ряде сечений по длине пластины x.

Рис. 5.

Профили турбулентных характеристик ${{\tau }^{o}}$ (а), $j_{t}^{o}$ (б), $q_{t}^{o}$ (в) в ряде сечений по длине пластины x.

Рис. 6.

Профили молекулярных чисел Шмидта Sc (1) и Прандтля Pr (2) в смеси гелия с ксеноном в ряде сечений по длине пластины x.

Рис. 7.

Профили турбулентных чисел Шмидта Sct (1) и Прандтля Prt (2) в ряде сечений по длине пластины x: 3 – Sct = Prt = 0.85.

Система уравнений (1.1)–(1.4) и (2.1)–(2.5) с граничными условиями (3.1)–(3.3) позволяет определить поля скоростей u, температур T, концентраций вдуваемого газа c и характеристик турбулентности: τ, qt, jt и с использованием соотношений (1.8), (1.9) найти распределение турбулентных чисел Шмидта и Прандтля по толщине пограничного слоя y/δ.

На рис. 4 приведены профили относительных величин скорости u/ue (а), массовой концентрации c (б) вдуваемого газа (гелия) в смеси с газом основного потока (ксенона) и температуры T/Te (в) в ряде сечений по длине пластины x.

Как видно из рис. 4, профиль относительной скорости u/ue (рис. 4а) слабо изменяется по длине пластины от менее заполненного в области вдува (x = 100–150 мм) до более заполненного в области завесы (x > 150 мм).

Массовая концентрация вдуваемого газа (гелия) c (рис. 4б) в области вдува возрастает до величины c = 0.85, при которой относительный коэффициент трения ${{c}_{f}}{\text{/}}{{c}_{{f0}}} \approx 0.14$ (см. рис. 3), что близко к величине критического вдува. В области завесы (x > 150 мм) величина c существенно уменьшается. Профили относительной температуры T/Te (рис. 4в) в области вдува также существенно изменяются по толщине пограничного слоя y/δ и слабо изменяются в области завесы.

На рис. 5 представлено распределение в пограничном слое безразмерных величин и турбулентного трения ${{\tau }^{o}} = - \left\langle {u{\kern 1pt} '{v}{\kern 1pt} '} \right\rangle {\text{/}}u_{e}^{2}$ (а), турбулентного потока массы $j_{t}^{o} = - \left\langle {{v}{\kern 1pt} 'c{\kern 1pt} '} \right\rangle {\text{/}}{{u}_{e}}({{c}_{w}} - {{c}_{e}})$ (б) и турбулентного потока тепла $q_{t}^{o} = - \left\langle {{v}{\kern 1pt} 'T{\kern 1pt} '} \right\rangle {\text{/}}{{u}_{e}}({{T}_{e}} - {{T}_{w}})$ (в).

Как видно из рис. 5, характер зависимостей турбулентных потоков массы $j_{t}^{o}$ (б) и тепла $q_{t}^{o}$ (в) в пограничном слое существенно меняется при переходе из области вдува (x = 100–150 мм) в область завесы (x > 150 мм) при менее существенном изменении турбулентного трения ${{\tau }^{o}}$ (а).

Профили молекулярных чисел Шмидта Sc и Прандтля Pr в смеси гелия с ксеноном для значений массовой концентрации гелия (рис. 4в) в ряде сечений по длине пластины x приведены на рис. 6. Как видно, профили молекулярных чисел Шмидта и Прандтля, как и профили массовой концентрации гелия (рис. 4в), существенно меняются при переходе из области вдува (x = 100–150 мм) в область завесы (x > 150 мм).

На рис. 7 представлено изменение по толщине пограничного слоя y/δ турбулентных чисел Шмидта Sct и Прандтля Prt, определенных по соотношениям (1.8), (1.9), с использованием расчетных профилей скорости, массовой концентрации вдуваемого газа и температуры (рис. 4), а также характеристик турбулентности τ, jt и qt (рис. 5).

Как видно из рис. 7, зависимости Sct(y/δ) и Prt(y/δ) в области вдува (x = 100–150 мм) далеки от постоянных значений Sct = Prt = 0.85 (штриховые линии) и лишь в области завесы (x > 150 мм) при y/δ > 0.1 близки к упомянутому постоянному значению. В пристеночной области зависимости Sct(y/δ) и Prt(y/δ) в особенности очень сильно меняются.

На рис. 8 приведены изменения от числа Рейнольдса, ${{\operatorname{Re} }_{{x1}}} = {{x}_{1}}{{(\rho u{\text{/}}\eta )}_{e}}$, определенного по длине x1 от начала вдува (см. рис. 1) массовой концентрации гелия cw (а) и температуры стенки Tw (б) для двух вариантов расчета: 1 – с использованием модели турбулентности (2.1)–(2.3) с уравнениями переноса для турбулентных потоков тепла (2.4) и массы (2.5) и 2 – без уравнений (2.4), (2.5) и с соотношениями для турбулентных потоков тепла (1.6) и массы (1.7) для постоянных турбулентных чисел Шмидта и Прандтля Sct = Prt = 0.85.

Рис. 8.

Сравнение расчетного изменения по длине Rex1 (а) массовой концентрации гелия cw на стенке и (б) температуры стенки Tw: 1 – использование уравнений переноса для турбулентных потоков массы и тепла; 2 – расчет для постоянных турбулентных чисел Шмидта и Прандтля Sct = Prt = 0.85.

Как видно из рис. 8, в области вдува (Rex1 < 5 × 105) переменность турбулентного числа Шмидта слабо сказывается на изменении по длине массовой концентрации гелия на стенке СHew (рис. 8а), в то время как переменность турбулентного числа Прандтля заметно сказывается на изменении по длине температуры стенки Tw (рис. 8б). В области завесы (Rex1 > 105), где турбулентные числа Шмидта и Прандтля близки к постоянным (см. рис. 7), значения величин cw и Tw для двух вариантов расчета практически совпадают.

В результате проведенного численного исследования установлено, что величина турбулентного числа Шмидта более консервативна по сравнению с величиной турбулентного числа Прандтля, изменение которого, как показано в [9, 10] для пограничного слоя со вдувом, заметно влияет на тепловые характеристики пограничного слоя.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

С использованием трехпараметрической RANS-модели турбулентности, дополненной уравнениями переноса для турбулентных потоков тепла и массы, проведено численное исследование пограничного слоя на стенке с завесным охлаждением через пористую вставку при вдуве гелия в поток ксенона.

Получены расчетные значения полей скорости, температуры, массовой концентрации вдуваемого газа, турбулентного трения и турбулентных потоков тепла и массы, с использованием которых рассчитано распределение турбулентных чисел Шмидта и Прандтля по толщине пограничного слоя в сравнении с постоянными значениями турбулентных чисел Шмидта и Прандтля.

Показано, что профиль скорости слабо изменяется по длине пластины от менее заполненного в области вдува до более заполненного в области завесы. Массовая концентрация вдуваемого газа (гелия) в области вдува возрастает до величины, при которой относительный коэффициент трения близок к величине, соответствующей критическому вдуву. Профили температуры в области вдува также существенно изменяются по толщине пограничного слоя и слабо изменяются в области завесы. Характер зависимостей турбулентных потоков массы и тепла в пограничном слое существенно меняется при переходе из области вдува в область завесы при менее существенном изменении турбулентного трения.

Показано, что зависимости турбулентных чисел Прандтля и Шмидта по толщине пограничного слоя y/δ в области вдува далеки от постоянных значений Sct = Prt = 0.85 и лишь в области завесы при y/δ > 0.1 близки к упомянутому постоянному значению. В пристеночной области зависимости Sct(y/δ) и Prt(y/δ) (в особенности) очень сильно меняются, что связано с немонотонным изменением в области вдува характеристик турбулентности и молекулярных чисел Прандтля и Шмидта.

Проведено исследование влияния переменности турбулентных чисел Прандтля и Шмидта на характеристики тепло- и массообмена, в частности, на температуру стенки и массовую концентрацию вдуваемого газа (гелия) на стенке по длине пластины. Показано, что в области вдува переменность турбулентного числа Шмидта слабо сказывается на изменении по длине массовой концентрации гелия на стенке, в то время как переменность турбулентного числа Прандтля заметно сказывается на изменении по длине температуры стенки. В области завесы турбулентные числа Шмидта и Прандтля близки к постоянной величине ~0.85.

Таким образом, предположение о постоянстве турбулентных чисел Шмидта и Прандтля (в особенности) во всей области течения нельзя считать оправданным, если требуется высокая точность определения характеристик тепло- и массообмена.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (грант № 19-19-00234).

Список литературы

  1. Kays W.M. Turbulent Prandtl number – where are we? // Trans. ASME. J. Heat Transf. 1994. V. 116. P. 284–295.

  2. McEligot D.M., Taylor M.F. The turbulent Prandtl number in the near–wall region for low–Prandtl–number gas mixture // Int. J. Heat Mass Transf. 1996. V. 39. P. 1287–1295.

  3. Redjem-Saad L., Ould-Rouiss M., Lauriat G. Direct numerical simulation of turbulent heat transfer in pipe flows: Effect of Prandtl number // Int. J. Heat Fluid Flow. 2007. V. 28. № 5. P. 847–861.

  4. Kawamura H., Ohsaka K., Abe H., Yamamoto K. DNS of turbulent heat transfer in channel flow with low to medium-high Prandtl number fluid // Int. J. Heat Fluid Flow. 1998. V. 19. № 5. P. 482–491.

  5. Kawamura H., Abe H., Matsuo Y. DNS of turbulent heat transfer in channel flow with respect to Reynolds and Prandtl number effects // Int. J. Heat Fluid Flow. 1999. V. 20. № 3. P. 196–207.

  6. Christopher N., Peter J.M.F., Kloker M.J., Hickey J.P. DNS of turbulent flat-plate flow with transpiration cooling // Int. J. Heat Mass Transf. 2020. V. 157. 119972.

  7. Moffat R.J., Kays W.M. A Review of Turbulent–Boundary–Layer Heat Transfer Research at Stanford, 1958–1983 // Adv. Heat Transf. 1984. V. 16. P. 241–365.

  8. Kader B.A., Yaglom A.M. Heat and mass transfer laws for fully turbulent wall flows // Int. J. Heat Mass Transf. 1972. V. 15. P. 2329–2351.

  9. Лущик В.Г., Макарова М.С. Турбулентное число Прандтля в пограничном слое на пластине: влияние молекулярного числа Прандтля, вдува (отсоса) и продольного градиента давления // Теплофизика и аэромеханика. 2018. Т. 25. № 2. С. 177–190.

  10. Leontiev A.I., Lushchik V.G., Makarova M.S. Study of effect of molecular prandtl number, transpiration, and longitudinal pressure gradient on flow and heat transfer characteristics in boundary layers // Comput. Therm. Sci. 2019. V. 11. P. 41–49.

  11. Лущик В.Г., Павельев А.А., Якубенко А.Е. Трехпараметрическая модель сдвиговой турбулентности // Изв. АН СССР. МЖГ. 1978. № 3. С. 13–25.

  12. Лущик В.Г., Павельев А.А., Якубенко А.Е. Уравнение переноса для турбулентного потока тепла. Расчет теплообмена в трубе // Изв. АН СССР. МЖГ. 1988. № 6. С. 42–50.

  13. Леонтьев А.И., Лущик В.Г., Якубенко А.Е. Особенности теплообмена в области газовой завесы при вдуве инородного газа // Изв. РАН. МЖГ. 2010. № 4. С. 52–59.

  14. Лущик В.Г., Якубенко А.Е. Пристенная щелевая завеса на пластине в сверхзвуковом потоке. Сравнение расчета с экспериментом // Изв. РАН. МЖГ. 2001. № 6. С. 83–91.

  15. Лущик В.Г., Макарова М.С. Особенности теплообмена на проницаемой поверхности в сверхзвуковом потоке при вдуве инородного газа // Изв. РАН. МЖГ. 2020. № 5. С. 61–64.

  16. Абрамович Г.Н., Кузьмич В.Б., Секундов А.Н., Смирнова И.П. Экспериментальное и расчетное исследование сверхзвуковой пристеночной струи в спутном сверхзвуковом потоке // Изв. АН СССР. МЖГ. 1972. № 4. С. 25–32.

  17. Peter J.M.F., Kloker M.J. Direct numerical simulation of supersonic turbulent flow with film cooling by wall-parallel blowing // Phys. Fluids. 2022. V. 34. 025125.

  18. He G., Guo Ya., Hsu A.T. The effect of Schmidt number on turbulent scalar mixing in a jet-in-crossflow // Int. J. Heat Mass Transf. 1999. V. 42. P. 3727–3738.

  19. Tominaga Yo, Stathopoulos T. Turbulent Schmidt numbers for CFD analysis with various types of flow field // Atmos. Environ. 2007. V. 41. P. 8091–8099.

  20. Иевлев В.М. Турбулентное движение высокотемпературных сплошных сред. М.: Наука, 1975. 256 с.

  21. Kays W.M. Convective Heat and Mass Transfer. McGraw-Hill Education; 4th edition, 2004. 512 c.

  22. Кадер Б.А., Яглом А.М. Законы подобия для пристенных турбулентных течений // Итоги науки и техники. Сер. Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ. 1980. Т. 15. С. 81–155.

  23. Шервуд Т., Пигфорд Р., Уилки Ч. Массопередача. М.: Химия, 1982. 696 с.

  24. Рид Р., Праусниц Дж., Шервуд Т. Свойства газов и жидкостей. Л.: Химия, 1982. 593 с.

  25. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М: Наука, 1974. 711 с.

  26. Кутателадзе С.С., Леонтьев А.И. Тепломассообмен и трение в турбулентном пограничном слое. М.: Энергоатомиздат, 1985. 319 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Механика жидкости и газа

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал