1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Известия РАН. Механика жидкости и газа
  4. № 6, 2023

Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2023, № 6, стр. 67-74

ПРИСТЕННЫЕ ЛАМИНАРНЫЕ ЗАКРУЧЕННЫЕ СТРУИ

А. М. Гайфуллин a, *, А. С. Щеглов a, **

a Центральный аэрогидродинамический институт им. проф. Н.Е. Жуковского
Жуковский, Россия

* E-mail: gaifullin@tsagi.ru
** E-mail: shcheglov@phystech.edu

Поступила в редакцию 05.06.2023
После доработки 20.06.2023
Принята к публикации 25.06.2023

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассмотрена задача об определении характеристик пристенной ламинарной закрученной струи несжимаемой жидкости. Получены численные решения уравнений Навье–Стокса в стационарной и нестационарной постановках. Показано, что на больших расстояниях от источника струи характеристики струи подчиняются автомодельному закону, как и при истечении трехмерной ламинарной незакрученной струи, но распространение струи при этом происходит под некоторым углом к первоначальному направлению выдува струи. При большой закрутке потока в струе возникают области рециркуляционного течения, течение в струе становится нестационарным.

Ключевые слова: пристенная струя, затопленная струя, закрученная струя, автомодельное решение, рециркуляционное течение, уравнения Навье–Стокса

Пристенные струи – струи, распространяющиеся вдоль твердой поверхности. Несмотря на практическую важность изучения пристенных струй, исследованию течения в них посвящено небольшое количество публикаций. В основном это экспериментальные исследования турбулентных пристенных струй, которые можно условно разделить на плоские струи [1–4], трехмерные незакрученные струи [5–12], трехмерные закрученные струи [13]. Численные исследования плоских пристенных струй проводились в работах [14, 15], трехмерных пристенных незакрученных струй – в [16–19]; авторам не известны работы по численному исследованию трехмерных пристенных закрученных струй.

Для ламинарных пристенных струй теоретические и численные исследования проводились только для плоских и трехмерных незакрученных струй. Впервые задача о плоской ламинарной струе, вытекающей из тонкой щели параллельно твердой поверхности, была решена в рамках уравнений пограничного слоя [20] и через три года повторена в [21]. Успеху в решении задачи способствовал тот факт, что в плоском случае удалось найти инвариант, сохраняющий свое значение в любом поперечном сечении струи. Наличие инварианта позволило теоретически определить параметр автомодельности, отвечающий за изменение характеристик струи вдоль продольной координаты $x$, толщина струи растет пропорционально ${{x}^{{3{\text{/}}4}}}$, а продольная компонента скорости затухает как ${{x}^{{ - {\text{1/2}}}}}$.

В случае трехмерной пристенной струи, вытекающей из практически точечного источника параллельно твердой поверхности, течение можно описать с помощью параболизованных уравнений Навье–Стокса, в которых пренебрегают непорядковыми членами: продольным градиентом давления и вторыми производными вдоль продольной координаты в вязких членах уравнений. В [22] сделано предположение, что на больших расстояниях от источника струи решение должно выходить на автомодельный режим. Но для определения параметра автомодельности в [22] был применен закон сохранения момента импульса потока, который на самом деле не сохраняется. Значение параметра автомодельности и связанные с ним различные характеристики струи получены в работе [23]. Так как инвариантного решения для трехмерной пристенной струи на сегодняшний день не построено, параметр автомодельности можно определить только с помощью численного решения задачи [24], что и было сделано в [23]. Как правило, при отсутствии инварианта невозможно получить универсальные характеристики. Так, в случае трехмерной пристенной струи профили компонент скорости и давления будут меняться в зависимости от формы и высоты над плоскостью выходного отверстия струи, от профиля скорости в выходном сечении и от числа Рейнольдса. Но, как показано в [23], универсальные профили все же можно построить, если предположить, что инвариант, хоть и не найден, но существует и если имеется асимптотическое решение задачи в некоторых областях.

В данной статье рассмотрены трехмерные пристенные закрученные ламинарные струи. В результате исследований авторы попытались ответить на следующие вопросы. Подчиняются ли характеристики в дальнем поле струи автомодельным законам, и если да, то зависит ли параметр автомодельности от закрутки струи? Линия, вдоль которой происходит распространение струи при наличии закрутки, уже не будет прямой. Является ли в дальнем поле эта линия параллельной оси $x$, вдоль которой выдувается струя, наклонена ли к ней под некоторым углом? Решению этих и некоторых других вопросов посвящена данная статья.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим установившееся течение несжимаемой жидкости. Введем декартову систему координат ${{x}_{1}}$, ${{y}_{1}}$, ${{z}_{1}}$. Компоненты скорости V1 в этой системе координат обозначим через ${{u}_{1}}$, ${{{v}}_{1}}$, ${{w}_{1}}$. Плотность жидкости $\rho $, давление ${{p}_{1}}$, кинематический коэффициент вязкости ν. Бесконечная твердая плоскость определяется уравнением ${{y}_{1}} = 0$. Струя выдувается из круглой цилиндрической трубы радиуса $a$ параллельно твердой плоскости в направлении оси ${{x}_{1}}$ в затопленное пространство. Центр входного сечения трубы имеет координаты ${{x}_{1}} = 0$, ${{y}_{1}} = {{h}_{1}}$, ${{z}_{1}} = 0$. Аналогично [25] закрутка струе придается вращением внутренней поверхности трубы. Внешняя поверхность трубы не вращается. На выходном сечении трубы со стороны потока струя закручена по часовой стрелке.

Определим безразмерные координаты и переменные

$x = \frac{{{{x}_{1}}}}{a},\quad y = \frac{{{{y}_{1}}}}{a},\quad z = \frac{{{{z}_{1}}}}{a},\quad {\mathbf{V}} = \frac{{{{{\mathbf{V}}}_{1}}}}{{u_{{1*}}^{{}}}},\quad p = \frac{{{{p}_{1}} - {{p}_{{1\infty }}}}}{{\rho u_{{1*}}^{2}}},\quad \operatorname{Re} = \frac{{u_{{1*}}^{{}}a}}{{v}}$
где $u_{{1*}}^{{}}$ – среднерасходная продольная скорость жидкости в трубе.

Течение жидкости будем считать ламинарным, его характеристики удовлетворяют уравнениям Навье–Стокса

(1.1)
$div{\mathbf{V}} = 0,\quad \left( {{\mathbf{V}}\nabla } \right){\mathbf{V}} = - gradp + {{\operatorname{Re} }^{{ - 1}}}\Delta {\mathbf{V}}$

В [23] было также показано, что характеристики трехмерной пристенной струи при больших числах Рейнольдса можно определить в приближении параболизованных уравнений

(1.2)
$\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {v}}}{{\partial y}} + \frac{{\partial w}}{{\partial z}} = 0$
(1.3)
$u\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + {v}\frac{{\partial u}}{{\partial y}} + w\frac{{\partial u}}{{\partial z}} = \frac{1}{{\operatorname{Re} }}\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{y}^{2}}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{z}^{2}}}}} \right)$
(1.4)
$u\frac{{\partial {v}}}{{\partial x}} + {v}\frac{{\partial {v}}}{{\partial y}} + w\frac{{\partial v}}{{\partial z}} = - \frac{{\partial p}}{{\partial y}} + \frac{1}{{\operatorname{Re} }}\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}{v}}}{{\partial {{y}^{2}}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}{v}}}{{\partial {{z}^{2}}}}} \right)$
(1.5)
$u\frac{{\partial w}}{{\partial x}} + {v}\frac{{\partial w}}{{\partial y}} + w\frac{{\partial w}}{{\partial z}} = - \frac{{\partial p}}{{\partial z}} + \frac{1}{{\operatorname{Re} }}\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial {{y}^{2}}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial {{z}^{2}}}}} \right)$

В случае незакрученной трехмерной пристенной струи при больших $x$ решение уравнений (1.2)–(1.5) стремится к автомодельному с параметром автомодельности, равным $4{\text{/}}3$

$u\left( {x,y,z} \right) = R{{e}^{{5{\text{/}}3}}}{{x}^{{ - 5{\text{/}}3}}}U\left( {\eta ,\xi } \right)$
$v\left( {x,y,z} \right) = R{{e}^{{1{\text{/}}3}}}{{x}^{{ - 4{\text{/}}3}}}V\left( {\eta ,\xi } \right)$
$w\left( {x,y,z} \right) = R{{e}^{{1{\text{/}}3}}}{{x}^{{ - 4{\text{/}}3}}}W\left( {\eta ,\xi } \right)$
$p\left( {x,y,z} \right) = R{{e}^{{2{\text{/}}3}}}{{x}^{{ - 8{\text{/}}3}}}P\left( {\eta ,\xi } \right)$
$\eta = \frac{{yR{{e}^{{4{\text{/}}3}}}}}{{{{x}^{{4{\text{/}}3}}}}},\quad \xi = \frac{{zR{{e}^{{4{\text{/}}3}}}}}{{{{x}^{{4{\text{/}}3}}}}}$.

Таким образом, толщина и ширина трехмерной пристенной незакрученной ламинарной струи растут пропорционально ${{x}^{{4{\text{/}}3}}}$.

При заданной форме и высоте над поверхностью выходного сечения трубы характеристики пристенной закрученной ламинарной струи будут зависеть от нескольких начальных параметров, заданных в сечении истечения струи: расхода, закрутки, числа Рейнольдса. Определим недостающие параметры. Будем считать, что труба, из которой выдувается струя, достаточно длинная, чтобы в сечениях, не близких к выходному, установился профиль Пуазейля для продольной компоненты скорости и твердотельное вращение для азимутальной скорости ${{{v}}_{\varphi }}$

(1.6)
$u = 2\left( {1 - {{r}^{2}}} \right),\quad {{{v}}_{\varphi }} = \Omega r$

Здесь безразмерный радиус $r$ отсчитывается от оси трубы, ${{\Omega }_{1}} = (u_{{1*}}^{{}}{\text{/}}a)\Omega $ угловая скорость вращения жидкости в трубе, учтено то, что среднерасходная скорость ${{u}_{*}} = 1$, а максимальная скорость ${{u}_{{\max }}} = 2$. Под закруткой будем понимать величину $S = {{\Omega }_{1}}a{\text{/}}{{u}_{{1\max }}} = \Omega {\text{/}}2$.

На выходе из трубы струя обладает импульсом ${{J}_{x}}$ в направлении оси $x$ и близким к нулю импульсом ${{J}_{z}}$ в направлении оси $z$

${{J}_{x}} = \int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_0^\infty {{{u}^{2}}dydz} } ,\quad {{J}_{z}} = \int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_0^\infty {uwdydz} } $

Под действием сил трения жидкости о твердую поверхность продольный импульс струи с ростом $x$ будет уменьшаться, а поперечный импульс будет сначала приобретаться, а затем уже теряться. Из уравнений (1.3) и (1.5)

$\frac{{\partial {{J}_{x}}}}{{\partial x}} = - \frac{1}{{\operatorname{Re} }}{{\int\limits_{ - \infty }^\infty {\left. {\frac{{\partial u}}{{\partial y}}} \right|} }_{{y = 0}}}dz,\quad \frac{{\partial {{J}_{z}}}}{{\partial x}} = - \frac{1}{{\operatorname{Re} }}{{\int\limits_{ - \infty }^\infty {\left. {\frac{{\partial w}}{{\partial y}}} \right|} }_{{y = 0}}}dz.$

Выскажем гипотезу: на больших расстояниях от источника струи несимметрия в струе, вызванная вращением жидкости в выходном сечении, исчезнет; эволюция струи ничем не будет отличаться от эволюции незакрученной струи, но за счет приобретенного бокового импульса струя будет распространяться не вдоль оси $x$, а вдоль прямой линии, наклоненной к оси $x$ на некоторый угол $\theta $; параметр автомодельности для закрученной струи совпадет с параметром автомодельности для незакрученной струи, т.е. будет равен $4{\text{/}}3$.

2. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ

Численно с помощью метода конечных объемов решались уравнения Навье–Стокса (1.1). Аппроксимация конвективных членов проводилась по схеме второго порядка точности с разностями против потока, а диффузионных членов и давления – с помощью центральных разностей второго порядка точности. Уравнения импульсов и давления решаются совместно. Задача решается как псевдонестационарная методом установления с фиксированным шагом по псевдовремени.

Моделирование проводится на структурированной расчетной сетке с общим количеством ячеек $6 \times {{10}^{6}}$. На рис. 1 приведены параметры расчетной области и геометрические параметры трубы (поверхность трубы выделена серым цветом); пропорции между различными размерами на рис. 1 не соблюдаются. Расширяющаяся расчетная область позволяет сосредоточить бόльшую часть ячеек внутри ядра струи.

Рис. 1.

Система координат задачи и геометрия расчетной области.

На границах расчетной области были поставлены следующие граничные условия:

• В начальном сечении (5) заданы профили компонент скорости (1.6)

• На горизонтальной твердой поверхности (9) и на поверхностях (внутренней и внешней) трубы (6) задано условие прилипания

• На боковых (1), (2), верхней (3), передней (7, 8) и выходной (4) свободных границах поставлено условие

$\frac{{\partial u}}{{\partial n}} = \frac{{\partial {v}}}{{\partial n}} = \frac{{\partial w}}{{\partial n}} = 0$

Установление решения отслеживается по величине массового расхода через границу (4) расчетной области. При этом величина невязок по уравнению импульса не превосходит ${{10}^{{ - 6}}}$ .

3. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

Для определенности будем считать, что центр выходного сечения трубы расположен на высоте ${{h}_{1}} = 4\,a$ (рис. 1). Было проведено два расчета при Re = 77, $S = 0.56$ и $S = 0.33$.

Имеется некоторый произвол в выборе определения центра струи. В данной работе центром струи в сечении $x = const$ называется точка с координатами ${{y}_{c}}\left( x \right)$, ${{z}_{c}}\left( x \right)$, в которой имеет максимум составляющая скорости, параллельная твердой плоскости, т.е. функция $\sqrt {{{u}^{2}}(x,y,z) + {{w}^{2}}(x,y,z)} $ имеет максимум при фиксированном $x$. На рис. 2 представлены графики функций ${{y}_{c}}\left( x \right)$, ${{z}_{c}}\left( x \right)$, из которых следует, что действительно струя распространяется под некоторым углом к оси $x$. Очевидно, что этот угол зависит от начальной закрутки струи. При $S = 0.33$ и $S = 0.56$ эти углы соответственно равны 1.7° и 2.7°.

Рис. 2.

Графики ${{y}_{c}}\left( x \right)$, ${{z}_{c}}\left( x \right)$: 1, 2 – S = 0.56, 0.33.

Введем понятие линии тока поперечного течения в сечении $x = {{x}_{0}} = const$. Уравнение линий тока

$\frac{{dy}}{{{v}\left( {{{x}_{0}},y,z} \right)}} = \frac{{dz}}{{w\left( {{{x}_{0}},y,z} \right)}}$

На рис. 3а показаны линии тока поперечного течения при $x = 600$. Если вместо координат $x$, $y$, $z$ ввести повернутую на угол $\theta $ систему координат $\zeta $, $y$, $\tau $ (рис. 4), то в этой системе координат линии тока поперечного течения соответствуют показанным на рис. 3б. Линии тока на рис. 3б соответствуют аналогичным расчетам для незакрученной струи [23]. Определенный показатель автомодельности при распространении струи вдоль оси $\zeta $ соответствует значению $4{\text{/}}3$. Тем самым подтверждена гипотеза о соответствии в дальнем поле эволюции закрученной струи, повернутой на угол $\theta $, эволюции незакрученной струи.

Рис. 3.

(a) Линии тока поперечного течения при $\operatorname{Re} = 77$ и $S = 0.56$ в сечении $x = 600$ в исходной системе координат. (б) Линии тока поперечного течения при $\operatorname{Re} = 77$ и $S = 0.56$ в сечении $x = 600$ в новой системе координат.

Рис. 4.

Прямоугольные декартовы системы координат $x$, $y$, $z$ и $\varsigma $, $y$, $\tau $. Пунктир соответствует линии $y = {{y}_{c}}(x)$, $z = {{z}_{c}}(x)$, точки – проекции пунктирной линии на плоскость $y = 0$. Ось $\varsigma $ направлена вдоль касательной к проекции пунктирной линии на плоскость $y = 0$ в точке $x = 200$.

4. ОТСУТСТВИЕ СТАЦИОНАРНОГО РЕШЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ S

Так же, как и в свободной струе, увеличение закрутки струи приводит к появлению в потоке областей рециркуляционного течения [26]. При появлении возвратного течения невязки при решении стационарных уравнений Навье–Стокса уже нельзя сделать меньше некоторой заданной величины. Этот факт указывает на необходимость решения задачи с помощью нестационарных уравнений Навье–Стокса.

Результаты расчетов представлены на рис. 5 и 6 в виде уже линий тока в сечении $z = 0$

$\frac{{dx}}{{u\left( {x,y,0} \right)}} = \frac{{dy}}{{{v}\left( {x,y,0} \right)}}$
Рис. 5.

Линии тока, соответствующие расчету при $S \approx 1.1$.

Рис. 6.

Линии тока, соответствующие расчету при $S \approx 2.2$.

При $S \approx 1.1$ нестационарность, хотя и присутствует, но картина линий тока слабо зависит от времени – рис. 5. Иное дело, когда закрутка струи становится еще больше, $S \approx 2.2$ – рис. 6. В этом случае в окрестности рециркуляционной области, геометрия которой сильно зависит от времени, образуются дополнительные вихри различного направления вращения. Течение становится периодическим. На рис. 6 представлено характерное изменение линий тока через равные промежутки времени в течение периода. Периодичность течения можно наблюдать и по изменению продольной компоненты скорости в заданной точке пространства. В качестве таковой выбрана точка на продолжении оси трубы, отстоящая на 4 радиуса от выходного сечения – рис. 7.

Рис. 7.

Изменение продольной компоненты скорости в фиксированной точке пространства вблизи выходного сечения трубы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Впервые определены важные особенности эволюции трехмерной закрученной ламинарной струи. Закрутка струи приводит к отклонению оси струи от первоначального направления. В дальней области струя распространяется под некоторым углом к этому первоначальному направлению. Закрученная трехмерная пристенная струя достаточно быстро теряет свою закрутку, и в повернутой системе координат ее поведение в дальней области слабо отличается от незакрученной струи. Соответственно, и параметр автомодельности оказывается таким же, как в незакрученной струе – $4{\text{/}}3$. Поперечные размеры струи растут пропорционально ${{\zeta }^{{4{\text{/}}3}}}$, продольная компонента скорости затухает по закону ${{\zeta }^{{ - 5{\text{/}}3}}}$, а поперечные компоненты пропорционально ${{\zeta }^{{ - 4{\text{/}}3}}}$.

При больших значениях закрутки в струе возникают области рециркуляционного течения. Течение становится нестационарным, периодическим.

Научное исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 23-11-00210, https://rscf.ru/project/23-11-00210/.

Список литературы

  1. Wygnanski I., Katz Y., Horev E. On the applicability of various scaling laws to the turbulent wall jet // J. Fluid Mech. 1992.

  2. Schneider M.E., Goldstein R.J. Laser Doppler measurement of turbulence parameters in a two-dimensional plane wall jet // Phys. Fluids. 1994. V. 6. P. 3116–3129.

  3. Eriksson J., Karlsson R., Persson J. An experimental study of a two-dimensional plane turbulent wall jet // Exp. Fluids. 1998.

  4. Eriksson J. Experimental studies of the plane turbulent wall jet: PhD thesis / Eriksson J. – Stockholm, Sweden: Royal Institute of Technology. Department of Mechanics. 2003.

  5. Sun H., Ewing D. Effect of initial and boundary conditions on development of three-dimensional wall jets // 40th AIAA ASME. 2002. P. 733.

  6. Agelin-Chaab M., Tachie M.F. Characteristics of turbulent three-dimensional wall jets // ASME. J. Fluids Eng. 2011. V. 133. № 2.

  7. Namgyal L., Hall J. Reynolds stress distribution and turbulence generated secondary flow in the turbulent three-dimensional wall jet // J. Fluid Mech. 2016. V. 800. P. 613–644.

  8. Inoue Y., Yano H., Yamashita S. Experimental study on a three-dimensional wall jet // JFST. 2007. V. 2. № 3. P. 655–664.

  9. Hall J.W., Ewing D. Three-dimensional turbulent wall jets issuing from moderate-aspect-ratio rectangular channels // AIAA J. 2007. V. 45. P. 1177–1186.

  10. Newman B., Patel R., Savage S., Tjio H. three-dimensional wall jet originating from a circular orifice // AEQ. 1972. V. 23. № 3. P. 188–200.

  11. Matsuda H., Iida S., Hayakawa M. Coherent structures in a three-dimensional wall jet // ASME. J. Fluids Eng. 1990. V. 112. № 4. P. 462–467.

  12. Padmanabham G., Lakshmana Gowda B.H. Mean and turbulence characteristics of a class of three-dimensional wall jets–Part 1: Mean flow characteristics // ASME. J. Fluids Eng. 1991. V. 113. № 4. P. 620–628.

  13. Pani B.S., Rajaratnam N. Swirling Circular Turbulent Wall Jets // JHR. 1976. V. 14. № 2. P. 145–154.

  14. Dejoan A., Leschziner M. Large eddy simulation of a plane turbulent wall jet // Phys. Fluids. 2005. V. 17.

  15. Naqavi I.Z., Tyacke J.C., Tucker P.G. Direct numerical simulation of a wall jet: flow physics // J. Fluid Mech. 2018. V. 852. P. 507–542.

  16. Гайфуллин А.М., Щеглов А.С. Структура течения в трехмерной пристенной турбулентной струе. // ПММ.2023. №2. С. 226–239.

  17. Craft T., Launder B. On the spreading mechanism of the three-dimensional turbulent wall jet. // J. Fluid Mech. 2001. V. 435. P. 305–326.

  18. Kakka P., Anupindi K. Flow and thermal characteristics of three-dimensional turbulent wall jet // Phys. Fluids. 2021. V. 33. № 2.

  19. Khosronejad A., Rennie C.D. Three-dimensional numerical modeling of unconfined and confined wall-jet flow with two different turbulence models // Can. J. Civ. Eng. 2010. V. 37. № 4. P. 576–587.

  20. Акатнов Н.И. Распространение плоской ламинарной струи вязкой жидкости вдоль твердой стенки // Труды ЛПИ. 1953. № 5. С. 24–31.

  21. Glauert M.B. The wall jet // J. Fluid Mech. 1956. V. 1. P. 625–643.

  22. Krechetnikov R., Lipatov I. Hidden invariances in problems of two-dimensional and three-dimensional wall jets for Newtonian and non-Newtonian fluids // SIAP. 2002. V. 62. № 6. P. 1837–1855.

  23. Бут И.И., Гайфуллин А.М., Жвик В.В. Дальнее поле трехмерной пристенной ламинарной струи // Изв. РАН. МЖГ. 2021. № 6. С. 51–61.

  24. Баренблатт Г.И. Автомодельные явления – анализ размерностей и скейлинг. – Долгопрудный: Интеллект, 2009.

  25. Гайфуллин А.М., Жвик В.В. Взаимодействие двух противоположно закрученных затопленных струй. // Изв. РАН МЖГ. № 3. 2019. С. 48–57.

  26. Жвик В.В. Инварианты и асимптотики осесимметричных закрученных затопленных струй // ПМТФ. 2020. Т. 61. № 2. С. 92–108.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Механика жидкости и газа

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал