Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2021, № 6, стр. 62-65

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим плоское установившееся течение несжимаемой жидкости около тонкого тела, установленного под нулевым углом атаки к однородному набегающему потоку.

Пусть $\ell x$, $\ell y$ − оси прямоугольной декартовой системы координат с началом в малой окрестности передней критической точки; ${{u}_{\infty }}\,u$, ${{u}_{\infty }}{v}$ − соответствующие проекции вектора скорости; ${{p}_{\infty }} + \rho u_{\infty }^{2}p$ − давление; $\ell {{u}_{\infty }}\psi $ − функция тока; $\operatorname{Re} = {{u}_{\infty }}\ell {\text{/}}\nu $ − число Рейнольдса. Здесь $\ell $ − продольный размер тела; ${{u}_{\infty }}$ и ${{p}_{\infty }}$ − абсолютная величина вектора скорости и давление в набегающем потоке, направленном вдоль оси $Ox$; $\rho $ − плотность, $\nu $ − кинематический коэффициент вязкости.

Обозначим через $\tau $ малый параметр, определяющий толщину тела: $\tau = \tau (\operatorname{Re} ) \to 0$ при Re → ∞. Тогда в масштабах тела ($x = O(1)$, $y = O(1)$) согласно теории малых возмущений (см. [1, 3])

и относительно искомых функций известно, что где ${{f}_{1}}(z)$ – аналитическая функция комплексного переменного. (В силу симметрии речь всюду идет о течении в верхней полуплоскости.)

Пусть $y = \tau F(x)$, $0 < x < 1$ и $F(x)$ определяет форму обтекаемой поверхности. Если параметр $\tau $ не слишком мал, то течение сопровождается отрывом потока. Основополагающие результаты исследования для таких течений при гладких $F(x)$, $F(0) = F(1)$ = 0 были получены в [4]. (О последующих работах в этом направлении см. в [5].)

Предположим, что передняя кромка имеет степенную форму

при $x \to + 0$, ${{a}_{0}} > 0$ и $0 < \alpha < 1$. В работах [4, 6] основное внимание было уделено изучению течений при $\alpha = 1{\text{/}}2$.

Известно [3], что при $z \to 0$:

Нетрудно видеть, что асимптотическое представление (1.1), согласно (1.4), теряет равномерную пригодность при $z = O({{\tau }^{{ - 1/\beta }}})$. Для рассмотрения течения в этой области следует ввести внутренние переменные

Решение здесь на основании (1.1), (1.4) может быть представлено в виде

В дальнейшем речь будет идти о течении для предельного случая, когда в (1.3) значение α = 0. (Прямоугольная передняя кромка.) При этом в (1.4) постоянная${{A}_{1}} = {{a}_{0}}{\text{/}}\pi $ и в (1.5) $\beta = - 1$.

Для искомых функций из (1.6), при условии, что $\tau \operatorname{Re} \to \infty $ при $\operatorname{Re} \to \infty $ и в соответствии с (1.2), приходим к уравнениям, описывающим потенциальное течение идеальной жидкости

Здесь W(Z) − комплексный потенциал, $\Psi (X,Y)$ − функция тока, $\Phi (X,Y)$ − потенциал для течения в этой области и также выписано условие сращивания с разложением (1.1).

Предположим, что в рассматриваемой области течение описывается решением Рэнкина [7]. Это решение есть сумма комплексных потенциалов для однородного потока и источника, помещенного, скажем, в точку Z = 0:

Дадим краткое описание этого решения. В плоскости симметрии лежит точка торможения

Из (1.7), (1.8) следует, что

Линия тока, проходящая через точку торможения, в которой $\theta = \pi $ и $Y = 0$, есть

Пусть эта кривая есть контур обтекаемого тела, и она определена функцией $Y = G(x)$:

Параметрическое представление кривой, согласно (1.10), (1.9), имеет вид

Наконец из (1.7)–(1.10) следует (см. [8]), что скорость ${{U}_{0}}(t)$ вдоль линии тока $\Psi = {{Q}_{0}}{\text{/}}2$ выражается следующей формулой:

При $X \to \infty $, согласно (1.11), $G \to {{Q}_{0}}{\text{/}}2$, т.е. ${{a}_{0}} = {{Q}_{0}}{\text{/}}2$ (см. (1.7), (1.8)).

Заметим, что замена

в (1.8) позволяет исключить Q₀. Изменение этого параметра приводит лишь к изменению масштаба течения в целом. Поэтому будем полагать ${{Q}_{0}} = 1$.

График функции $G(X)$, построенный в [7], представлен на рис. 1. На рис. 2 дана функция ${{u}_{e}}(s) = {{U}_{0}}(t)$ из (1.13), где $s$ – длина дуги, отсчитываемая от точки торможения вдоль контура тела

2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

Рассмотрим течение в пограничном слое, который развивается вдоль поверхности обтекаемого тела в области $z = O(\tau )$ при $R = \tau \operatorname{Re} \to \infty ,R$ − локальное число Рейнольдса. Введем здесь ($Z = O(1)$) ортогональную криволинейную систему координат s, $n$, связанную с этой поверхностью, и на которой $\Psi = {{Q}_{0}}{\text{/}}2$, $\psi = \tau \Psi $. В пограничном слое, как обычно [3]

Для ${{\Psi }_{0}}(s,N)$ приходим к уравнению Прандтля

Здесь также приведены краевые условия, обеспечивающие прилипание на поверхности и сращивание с решением во внешней области, где $Z = O(1)$.

В результате численного решения задачи (2.1) было найдено распределение поверхностного трения ${{\tau }_{W}}(s) = {{\left. {\partial {{\Psi }_{0}}{\text{/}}\partial N} \right|}_{{N = 0}}}$ (рис. 2). Оказалось, что действие заданного неблагоприятного градиента давления, связанного с уменьшением скорости на внешней границе пограничного слоя (см. рис. 2), не приводит к появлению точки нулевого поверхностного трения. Функция ${{\tau }_{W}}(s)$ всюду положительна, а $s = 1.77$ и $s = 3.63$ являются для нее точками слабо выраженных минимума и максимума. При $s = \to \infty $ решение имеет автомодельную асимптотику Прандтля–Блазиуса: ${{\tau }_{W}} = O({{s}^{{ - 1/2}}})$.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенный анализ показал, что при обтекании сильно затупленных тонких тел в малой окрестности их передней части возможно безотрывное течение. Такой вывод соответствует сказанному в [4] (с. 157) относительно решения при $0 < \alpha < 1{\text{/}}2$ (см. 1.3)). В то же время, как было установлено в [6], при этом возможно и течение с развитой областью возвратных токов, где точка отрыва находится вблизи передней кромки.