Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2021, № 2, стр. 63-71

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматривается слой идеальной несжимаемой весомой жидкости толщиной $H$, который занимает область $\left| x \right| < \infty $, ${\text{|}}y{\text{|}} < \infty $, $ - H \leqslant z \leqslant 0$, где $x$ и $y$ – горизонтальные координаты, а $z$ – вертикальная координата, направленная вверх. Плавающая на верхней границе жидкости тонкая упругая пластина описывается моделью Кирхгофа–Лява с учетом продольных, поперечных и сдвиговых сжимающих усилий [7, 8]. Первоначально жидкость и пластина покоятся, но начиная с момента времени $t = 0$ на пластину действует нестационарное внешнее давление $P(x,y,t)$, которое является заданным. Возникающее течение жидкости полагается потенциальным, а скорость частиц жидкости и прогиб пластины – малыми. Предполагается, что во все моменты времени жидкость находится в контакте с пластиной.

Задача о поведении пластины и жидкости сводится к решению уравнения Лапласа для потенциала скоростей частиц жидкости $\varphi (x,y,z,t)$

с граничными условиями и начальными условиями

Здесь $w(x,y,t)$ – нормальный прогиб упругой пластины, $D = Eh_{1}^{3}{\text{/}}[12(1 - {{\nu }^{2}})]$, $M = {{\rho }_{1}}h$; E, ${{\rho }_{1}}$, $h$, $\nu $ – модуль Юнга, плотность, толщина и коэффициент Пуассона пластины, ${{Q}_{x}}$${{Q}_{y}}$, ${{Q}_{{xy}}}$ – продольные, поперечные и сдвиговые напряжения (сжатие при положительных значениях и растяжение при отрицательных значениях) по соответствующим направлениям, $\rho $ – плотность жидкости, $g$ – ускорение свободного падения. Далее будет рассматриваться действие только сжимающих усилий, т.е. ${{Q}_{x}},{{Q}_{y}},{{Q}_{{xy}}} \geqslant 0$.

Предполагается для простоты, что давление $P(x,y,t)$ в (1.2) имеет вид

где $a$ – множитель, имеющий размерность длины, а безразмерные функции $f(r)$ и $Z(t)$ являются заданными.

Для решения задачи (1.1)–(1.4) используется двойное преобразование Фурье

Функция $W(\lambda ,\mu ,t)$ удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

с нулевыми начальными условиями. Здесь точкой обозначена производная по времени $t$, функция $F(k)$ – двойное преобразование Фурье функции $f(r)$${{J}_{0}}( \cdot )$ – функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Функция $\Omega (k,\theta )$ представляет собой дисперсионное соотношение для ИГВ, возникающих в системе жидкость – упругая пластина [7, 8].

После выполнения обратных преобразований Фурье получим

где ${{W}_{ \pm }}(k,\theta ,t)$ – решения уравнения (1.6) соответственно при Q = ${{Q}_{ \pm }} \equiv {{Q}_{x}}{\text{co}}{{{\text{s}}}^{2}}\theta + {{Q}_{y}}{\text{si}}{{{\text{n}}}^{2}}\theta $ ± ± Q_xysin(2θ). Далее остановимся подробнее на свойствах дисперсионного соотношения для ИГВ при наличии сжимающих усилий.

2. ДИСПЕРСИОННОЕ СООТНОШЕНИЕ

Зависимость $\Omega (k,\theta )$ в (1.7) устанавливает связь между волновым числом k и частотой Ω при различных значениях угловой координаты θ. Согласно (1.8) при отсутствии сдвиговых сжимающих усилий (${{Q}_{{xy}}} = 0$) достаточно рассмотреть диапазон $0 \leqslant \theta \leqslant \pi {\text{/}}2$, а при ${{Q}_{{xy}}} \ne 0$ – диапазон $0 \leqslant \theta \leqslant \pi $.

В безразмерных переменных

соотношение (1.7) примет вид

Для существования вещественного значения частоты $\bar {\Omega }$ необходимо, чтобы при всех возможных значениях $\theta $ подкоренное выражение в (2.1) было неотрицательным. Это условие гарантирует устойчивость плавающей упругой пластины и выполняется при $\bar {Q} \leqslant {{Q}_{ * }} \equiv 2\sqrt {\bar {D}} $ [9]. При наличии сжимающих усилий существует также значение ${{Q}_{0}} < {{Q}_{ * }}$ такое, что при $\bar {Q} < {{Q}_{0}}$ групповая скорость ИГВ ${{c}_{g}} = d\bar {\Omega }{\text{/}}d\bar {k}$ положительна для всех волновых чисел $\bar {k} \geqslant 0$ во всем диапазоне значений угловой координаты $\theta $ [4, 8]. Этот случай назовем нормальной дисперсией в отличие от случая аномальной дисперсии при ${{Q}_{0}} < \bar {Q}(\theta ) < {{Q}_{ * }}$, который характеризуется наличием для некоторых значений $\theta $ области волновых чисел, при которых групповая скорость ИГВ становится отрицательной. Значение Q₀ и соответствующее ему волновое число k₀ определяются из совместного решения двух уравнений ${{c}_{g}}({{k}_{0}}) = 0$ и ${{\left. {d{{c}_{g}}(\bar {k}){\text{/}}d\bar {k}} \right|}_{{\bar {k} = {{k}_{0}}}}} = 0$. Для дисперсионного соотношения (2.1) это сводится к определению вещественного корня трансцендентного уравнения

где

После определения k₀ значение Q₀ вычисляется из соотношения (2.3) при $\bar {k} = {{k}_{0}}$. В случае бесконечно глубокой жидкости соотношения (2.2) и (2.3) существенно упрощаются и приведены в работе [10].

В табл. 1 даны значения k₀ и ${{q}_{0}} \equiv {{Q}_{0}}{\text{/}}\sqrt {\bar {D}} $ для различных значений толщины упругой пластины $h = 0.5$, 1, 2 м и глубины жидкости $H = 40,100,350$ м, а также бесконечно глубокой жидкости. Исходные параметры имеют следующие значения

Из табл. 1 видно, что с увеличением толщины пластины $h$ существенно уменьшается значение волнового числа k₀, однако коэффициент q₀ меняется слабо. При глубине жидкости $H = 350$ м значения ${{k}_{0}}$ и ${{q}_{0}}$ полностью совпали со случаем бесконечно глубокой жидкости $H = \infty $.

На рис. 1 представлены дисперсионные зависимости $\bar {\Omega }(\bar {k},\theta )$ при ${{q}_{1}} = {{q}_{2}} = 1.5$, ${{q}_{3}} = 0.5$, где ${{q}_{i}} = {{\bar {Q}}_{i}}{\text{/}}\sqrt {\bar {D}} $ ($i = 1,2,3$) для различных значений угловой координаты $\theta $ в диапазоне $0 \leqslant \theta \leqslant \pi $ с шагом $\pi {\text{/}}12$. Использованы параметры (2.4), глубина жидкости составляет $H = 100$ м, а толщина упругой пластины $h = 2$ м. В силу равенства значений ${{q}_{1}}$ и ${{q}_{2}}$ при $0 \leqslant \theta \leqslant \pi {\text{/}}2$ выполняется $\bar {\Omega }(\bar {k},\theta ) = \bar {\Omega }(\bar {k}$, π/2 – θ), а при $\pi {\text{/}}2 \leqslant \theta \leqslant \pi $ – $\bar {\Omega }(\bar {k},\theta ) = \bar {\Omega }(\bar {k},3\pi {\text{/}}2 - \theta )$. Кривые 5–7 соответствуют нормальной дисперсии, так как для них значение $q \equiv \bar {Q}{\text{/}}\sqrt {\bar {D}} < {{q}_{0}}$, а кривые 1–4, для которых $q > {{q}_{0}}$, – аномальной дисперсии. В этом случае имеется область значений частоты $\bar {\Omega }$, при которой возникают ИГВ с отрицательной групповой скоростью. Из рис. 1 следует, что в случае нормальной дисперсии для каждого значения частоты $\Omega $ существует единственное значение волнового числа k, характеризующего пространственное распределение ИГВ заданной частоты. При аномальной дисперсии для некоторых значений угла $\theta $ возможно существование трех различных вещественных положительных корней уравнения $\Omega (k,\theta ) = 0$, что означает генерацию при заданной частоте трех волн с различными волновыми числами.

Согласно условию устойчивости упругой пластины все значения q_i ($i = 1,\;2,\;3$) не должны превышать 2. На рис. 2а представлены кривые для ряда значений ${{q}_{3}} = 0.25(j - 1)$ при $j = 1, \ldots ,8$, которые ограничивают область устойчивости упругой пластины, т.е. для значений q₁ и q₂ ниже этих кривых при указанном q₃ величина $maxq(\theta ) < 2$ при всех значениях $0 \leqslant \theta \leqslant \pi $, где q(θ) = = ${{q}_{1}}{\text{co}}{{{\text{s}}}^{2}}(\theta ) + {{q}_{2}}{\text{si}}{{{\text{n}}}^{2}}(\theta )$ + q₃sin(2θ). Рисунок 2б показывает области значений q₁ и q₂ при указанном q₃, которые ограничивают области ИГВ с нормальной дисперсией. Рассмотрен случай бесконечно глубокой жидкости, толщина упругой пластины равна h = 2 м. Согласно табл. 1 в этом случае ${{q}_{0}} = 1.472$ и, следовательно, для значений ${{q}_{1}}$ и ${{q}_{2}}$, попадающих в область ниже кривой для заданной величины q₃, $maxq(\theta ) < {{q}_{0}}$ при всех значениях $0 \leqslant \theta \leqslant \pi $. При ${{q}_{3}} > {{q}_{0}}$ для всех допустимых значений ${{q}_{1}}$ и ${{q}_{2}}$ возбуждаются волны с аномальной дисперсией.

3. ДЕЙСТВИЕ НЕСТАЦИОНАРНОЙ НАГРУЗКИ

Рассмотрено два типа нагрузки: периодическая и импульсная. Для обоих типов нагрузки функция $f(r)$ в (1.5) имеет вид

Двойное преобразование Фурье для этой функции в (1.9) равно

Результаты численных расчетов, представленные ниже, выполнены при h = 2 м, $H = 100$ м, $L = 25$ м.

Для периодической нагрузки в (1.5) используется зависимость $Z(t) = sin(\omega t)$. Вертикальные прогибы упругой пластины определяются выражением (1.10), в котором

Особенность, которая возникает при интегрировании (1.10), в случае $\Omega \to \omega $ легко устраняется, так как

Результаты численных расчетов для периодической нагрузки представлены на рис. 3, 4. На рис. 3а–в показаны безразмерные значения прогиба ледяного покрова $\bar {w} = w{\text{/}}a$ в центре области давления r = 0 в зависимости от безразмерного времени $\bar {t} = t\sqrt {g{\text{/}}a} $ соответственно для трех значений частоты колебания нагрузки $\omega = 0.25,\;0.5,\;0.75$ с^–1. Этим значениям частоты соответствуют следующие значения периода колебаний $T = 2\pi {\text{/}}\omega $: 25.13 с (17.60), 12.57 с (8.801), 8.378 с (5.867). В скобках указаны безразмерные значения периода $\bar {T} = T\sqrt {g{\text{/}}a} $. Рассмотрены следующие значения параметров сжатия: ${{q}_{1}} = {{q}_{2}} = 1.5$, ${{q}_{3}} = 0.5$ (кривая 1), ${{q}_{1}} = 1$, ${{q}_{2}} = 0$, ${{q}_{3}} = 0.5$ (кривая 2), ${{q}_{1}} = {{q}_{2}} = {{q}_{3}} = 0$ (кривая 3). Видно, что колебания пластины достаточно быстро (примерно через 2–3 периода) выходят на установившийся периодический режим при всех сочетаниях параметров сжатия. Наибольшие прогибы возникают при низкочастотных колебаниях для ${{q}_{1}} = {{q}_{2}} = 1.5$, ${{q}_{3}} = 0.5$. С увеличением частоты внешней нагрузки амплитуды колебаний пластины уменьшаются и слабо зависят от параметров сжатия.

Для рис. 4 использованы значения $\omega = 0.25$ с^–1 и ${{q}_{1}} = {{q}_{2}} = 1.5$, ${{q}_{3}} = 0.5$. На рис. 4а показаны зависимости от времени безразмерного прогиба ледяного покрова, вычисленного в различных точках на окружности $r = 2L$ при значениях угла $\theta {{(}^{ \circ }}) = 0,\;15,\;45,\;105,\;135$ (кривые 1–5). Видно, что периодическое поведение по времени устанавливается также достаточно быстро и амплитуды вертикальных прогибов существенно зависят от угла $\theta $. Зависимость прогибов пластины от расстояния до центра пятна давления представлена на рис. 4б для различных значений угла $\theta {{(}^{ \circ }}) = 0,\;15,\;45$ (кривые 1–3) при $\bar {t} = 60$. Видно, что с ростом расстояния $r$ значения прогибов уменьшаются, но зависимость $w(r,\theta )$ не имеет выраженного периода по переменной r, так как используемые значения параметров сжатия согласно рис. 2 находятся в области, соответствующей аномальной дисперсии.

Для исследования импульсного воздействия на ледовый покров в выражении (1.5) функция $Z(t)$ имеет вид

Вертикальные прогибы ледяного покрова для импульсного возмущения определяются соотношением (1.10), в котором

Поведение вязкоупругой пластины под действием треугольного импульса (3.1), равномерно распределенного по круговой области, без учета сжимающих усилий в пластине рассмотрено в [3].

Результаты для импульсной нагрузки представлены на рис. 5–7 при $b = 0.5$ с или в безразмерных переменных $\bar {b} = b\sqrt {g{\text{/}}a} = 0.35$. На рис. 5 показаны вертикальные прогибы пластины в центре пятна давления в зависимости от времени при различных параметрах сжатия: ${{q}_{1}} = {{q}_{2}} = 1.5$, ${{q}_{3}} = 0.5$; ${{q}_{1}} = 1$; ${{q}_{2}} = 0$, ${{q}_{3}} = 0.5$; ${{q}_{1}} = {{q}_{2}} = {{q}_{3}} = 0$ (кривые 1–3). Видно, что наличие сжатия влияет как на максимальный прогиб упругой пластины, так и на скорость затухания колебаний после окончания действия нагрузки ($\bar {t} > 2\bar {b} = 0.7$). Наиболее быстрое восстановление начального невозмущенного положения пластины происходит при отсутствии сжимающих усилий.

На рис. 6 показаны прогибы пластины в зависимости от времени в различных точках окружности $r = 2L$ при ${{q}_{1}} = {{q}_{2}} = 1.5$, ${{q}_{3}} = 0.5$. Кривые 1–5 соответствуют следующим значениям угла $\theta {{(}^{ \circ }}) = 0,\;15,\;45,\;105,\;135$. Видно, что в первые моменты времени картина волнового движения близка к осесимметричной, но с ростом времени осевая симметрия нарушается.

Поведение вертикальных прогибов пластины при фиксированном значении времени $\bar {t} = 10$ в зависимости от расстояния до центра области давления показано на рис. 7 при ${{q}_{1}} = {{q}_{2}} = 1.5$, ${{q}_{3}} = 0.5$. К указанному моменту времени внешнее воздействие уже прекратилось и происходит затухание волновых возмущений как по времени, так и по пространству. Однако в отличие от периодического поверхностного давления (ср. рис. 4) поведение функции $w(r,\theta )$ носит характер затухающих колебаний, амплитуда и период которых зависят от угла $\theta $.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследовано влияние неравномерных сжимающих усилий (продольных, поперечных и сдвиговых) в плавающей на поверхности жидкости упругой пластине на ее поведение при нестационарной внешней нагрузке. На основе анализа дисперсионного соотношения для изгибно-гравитационных волн определены границы параметров сжатия, которые обеспечивают устойчивые колебания упругой пластины и гарантируют отсутствие волновых движений с аномальной дисперсией, т.е. с отрицательными значениями групповой скорости. Рассмотрены случаи периодического и импульсного воздействия поверхностного давления. Показано, что при осесимметричной внешней нагрузке наличие неравномерного сжатия приводит к неосесимметричному поведению волнового движения.