1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Известия РАН. Механика твердого тела
  4. № 6, 2021

Известия РАН. Механика твердого тела, 2021, № 6, стр. 55-56

О ДВИЖЕНИИ УПРУГОГО НЕРАСТЯЖИМОГО КОЛЬЦА

Д. М. Климов a, *

a Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
Москва, Россия

* E-mail: klimov@ipmnet.ru

Поступила в редакцию 29.07.2021
После доработки 04.08.2021
Принята к публикации 05.08.2021

Полный текст (PDF)

Аннотация

При изучении динамики волнового твердотельного гироскопа широко используются различные приближенные методы. В настоящей статье излагается способ получения решения уравнения колебаний тонкого нерастяжимого кольца, вращающегося с произвольно изменяющейся угловой скоростью. Полученное решение может быть использовано для оценки точности приближенных методов.

Ключевые слова: твердотельный гироскоп, нерастяжимое кольцо, приближенные методы

Для исследования динамики кольца будем использовать следующее уравнение из публикации [1]

(1)
$\begin{gathered} \frac{{{{\partial }^{4}}w\left( {\varphi ,\tau } \right)}}{{\partial {{\tau }^{2}}\partial {{\varphi }^{2}}}} - \frac{{{{\partial }^{2}}w\left( {\varphi ,\tau } \right)}}{{\partial {{\tau }^{2}}}} + 4\omega \left( \tau \right)\frac{{{{\partial }^{2}}w\left( {\varphi ,\tau } \right)}}{{\partial \tau \partial \varphi }} + 2\frac{{d\omega \left( \tau \right)}}{{d\tau }}\frac{{\partial w\left( {\varphi ,\tau } \right)}}{{\partial \varphi }} + \frac{{{{\partial }^{6}}w\left( {\varphi ,\tau } \right)}}{{\partial {{\varphi }^{6}}}} + \\ + \;2\frac{{{{\partial }^{4}}w\left( {\varphi ,\tau } \right)}}{{\partial {{\varphi }^{4}}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}w\left( {\varphi ,\tau } \right)}}{{\partial {{\varphi }^{2}}}} - {{\omega }^{2}}\left( \tau \right)\left( {\frac{{{{\partial }^{4}}w\left( {\varphi ,\tau } \right)}}{{\partial {{\varphi }^{4}}}} + 3\frac{{{{\partial }^{2}}w\left( {\varphi ,\tau } \right)}}{{\partial {{\varphi }^{2}}}}} \right) = 0 \\ \end{gathered} $

Здесь w – перемещение точек кольца по радиусу, $\varphi $ – угол точки на кольце, $\tau $ –нормированное время, $\omega $ – угловая скорость кольца.

Будем искать решение в виде

(2)
$w\left( {\varphi ,\tau } \right) = a\left( \tau \right)\sin \left[ {k\varphi + \psi \left( \tau \right)} \right]\cos \left( {n\tau } \right) - b\left( \tau \right)\cos \left[ {k\varphi + \psi \left( \tau \right)} \right]\sin \left( {n\tau } \right)$

Здесь $a\left( \tau \right)$, $b\left( \tau \right)$, $\psi \left( \tau \right)$, n считаются неизвестными, $k$ – целое число. Далее положим k = 2, для других $k$ выкладки проводятся аналогичным образом.

На производную

(3)
$\begin{gathered} \frac{{\partial w\left( {\varphi ,\tau } \right)}}{{\partial \tau }} = \frac{{da\left( \tau \right)}}{{d\tau }}\sin \left[ {2\varphi + \psi \left( \tau \right)} \right]\cos \left( {n\tau } \right) + \\ + \;a\left( \tau \right)\cos \left[ {2\varphi + \psi \left( \tau \right)} \right]\frac{{d\psi \left( \tau \right)}}{{d\tau }}\cos \left( {n\tau } \right) - \\ - \;a\left( \tau \right)\sin \left[ {2\varphi + \psi \left( \tau \right)} \right]n\sin \left( {n\tau } \right) - \frac{{db\left( \tau \right)}}{{d\tau }}\cos \left[ {2\varphi + \psi \left( \tau \right)} \right]\sin \left( {n\tau } \right) + \\ + \;b\left( \tau \right)\sin \left[ {2\varphi + \psi \left( \tau \right)} \right]\frac{{d\psi \left( \tau \right)}}{{d\tau }}\sin \left( {n\tau } \right) - b\left( \tau \right)\cos \left[ {2\varphi + \psi \left( \tau \right)} \right]n\cos \left( {n\tau } \right) \\ \end{gathered} $
наложим условие

(4)
$\begin{gathered} \frac{{da\left( \tau \right)}}{{d\tau }}\sin \left[ {2\varphi + \psi \left( \tau \right)} \right]\cos \left( {n\tau } \right) + a\left( \tau \right)\cos \left[ {2\varphi + \psi \left( \tau \right)} \right]\frac{{d\psi \left( \tau \right)}}{{d\tau }}\cos \left( {n\tau } \right) - \\ - \;\frac{{db\left( \tau \right)}}{{d\tau }}\cos \left[ {2\varphi + \psi \left( \tau \right)} \right]\sin \left( {n\tau } \right) + b\left( \tau \right)\sin \left[ {2\varphi + \psi \left( \tau \right)} \right]\frac{{d\psi \left( \tau \right)}}{{d\tau }}\sin \left( {n\tau } \right) = 0 \\ \end{gathered} $

Уравнение (1) с учетом соотношений (2)–(4) переписывается в виде

(5)
$\begin{gathered} 5\frac{{da\left( \tau \right)}}{{d\tau }}\sin \left[ {2\varphi + \psi \left( \tau \right)} \right]n\sin \left( {n\tau } \right) + 5a\left( \tau \right)\cos \left[ {2\varphi + \psi \left( \tau \right)} \right]\frac{{d\psi \left( \tau \right)}}{{d\tau }}n\sin \left( {n\tau } \right) + \\ + \;5a\left( \tau \right)\sin \left[ {2\varphi + \psi \left( \tau \right)} \right]{{n}^{2}}\cos \left( {n\tau } \right) + 5\frac{{db\left( \tau \right)}}{{d\tau }}\cos \left[ {2\varphi + \psi \left( \tau \right)} \right]n\cos \left( {n\tau } \right) - \\ - \;5b\left( \tau \right)\sin \left[ {2\varphi + \psi \left( \tau \right)} \right]\frac{{d\psi \left( \tau \right)}}{{d\tau }}n\cos \left( {n\tau } \right) - 5b\left( \tau \right)\cos \left[ {2\varphi + \psi \left( \tau \right)} \right]{{n}^{2}}\sin \left( {n\tau } \right) + \\ + \;8\omega \left( \tau \right)\left[ { - a\left( \tau \right)\cos \left[ {2\varphi + \psi \left( \tau \right)} \right]n\sin \left( {n\tau } \right) + b\left( \tau \right)\sin \left[ {2\varphi + \psi \left( \tau \right)} \right]n\cos \left( {n\tau } \right)} \right] + \\ + \;4\frac{{d\omega \left( \tau \right)}}{{d\tau }}\left[ {a\left( \tau \right)\cos \left[ {2\varphi + \psi \left( \tau \right)} \right]\cos \left( {n\tau } \right) + b\left( \tau \right)\sin \left[ {2\varphi + \psi \left( \tau \right)} \right]\sin \left( {n\tau } \right)} \right] - \\ - \;36a\left( \tau \right)\sin \left[ {2\varphi + \psi \left( \tau \right)} \right]\cos \left( {n\tau } \right) + 36b\left( \tau \right)\cos \left[ {2\varphi + \psi \left( \tau \right)} \right]\sin \left( {n\tau } \right) - \\ - \;4{{\omega }^{2}}\left( \tau \right)\left[ {a\left( \tau \right)\sin \left[ {2\varphi + \psi \left( \tau \right)} \right]\cos \left( {n\tau } \right) - b\left( \tau \right)\cos \left[ {2\varphi + \psi \left( \tau \right)} \right]\sin \left( {n\tau } \right)} \right] = 0 \\ \end{gathered} $

Из уравнения (5) находим систему двух уравнений при множителях sin(nτ)cos[2φ + + $\psi (\tau )]$ и $\cos \left( {n\tau } \right)\sin \left[ {2\varphi + \psi \left( \tau \right)} \right]$

$5a\left( \tau \right)\frac{{d\psi \left( \tau \right)}}{{d\tau }}n - 5b\left( \tau \right){{n}^{2}} - 8\omega \left( \tau \right)a\left( \tau \right)n + 36b\left( \tau \right) + 4{{\omega }^{2}}\left( \tau \right)b\left( \tau \right) = 0$
$5a\left( \tau \right){{n}^{2}} - 5b\left( \tau \right)\frac{{d\psi \left( \tau \right)}}{{d\tau }}n + 8\omega \left( \tau \right)b\left( \tau \right)n - 36a\left( \tau \right) - 4{{\omega }^{2}}\left( \tau \right)a\left( \tau \right) = 0$

Эта система имеет решение

$n = \sqrt {{{z}_{{1,2}}}} ,\quad \frac{{d\psi (\tau )}}{{d\tau }} = \frac{8}{5}\omega (\tau )$
где ${{z}_{{1,2}}}$ являются корнями уравнения $5{{z}^{2}} - 4{{\omega }^{2}}(\tau ) - 36 = 0$. Аналогично система уравнений из коэффициентов при $\sin \left( {n\tau } \right)\sin \left[ {2\varphi + \psi \left( \tau \right)} \right]$, $\cos \left( {n\tau } \right)\cos \left[ {2\varphi + \psi \left( \tau \right)} \right]$
$5\frac{{da\left( \tau \right)}}{{d\tau }} + 4\frac{{d\omega \left( \tau \right)}}{{d\tau }}b\left( \tau \right) = 0$
$5\frac{{db\left( \tau \right)}}{{d\tau }} + 4\frac{{d\omega \left( \tau \right)}}{{d\tau }}a\left( \tau \right) = 0$
имеет решение
$a(\tau ) = {{C}_{1}}{\text{sh}}\left( {\frac{4}{5}\frac{{\omega (\tau )}}{n}} \right) + {{C}_{2}}{\text{ch}}\left( {\frac{4}{5}\frac{{\omega (\tau )}}{n}} \right)$
$b(\tau ) = - {{C}_{1}}{\text{ch}}\left( {\frac{4}{5}\frac{{\omega (\tau )}}{n}} \right) - {{C}_{2}}{\text{sh}}\left( {\frac{4}{5}\frac{{\omega (\tau )}}{n}} \right)$
где C1, C2 – произвольные постоянные.

Работа выполнена по теме государственного задания (№ госрегистрации АААА-А20-120011690138-6).

Список литературы

  1. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. О динамических эффектах в упругом вращающемся кольце // Изв. АН СССР. МТТ. 1983. № 5. С. 17–24.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Механика твердого тела

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал