Геомагнетизм и аэрономия, 2022, T. 62, № 2, стр. 189-197

1. ВВЕДЕНИЕ

Исследование устойчивости радиационных поясов Земли является важной проблемой физики магнитосферной плазмы. В работах [Cornwall, 1966; Kennel and Petschek, 1966; Тверской, 1968; Фейгин и Якименко, 1969; Трахтенгерц и Райкрофт, 2011; Гульельми и Потапов, 2021] устойчивость протонов радиационного пояса Земли связывается с ультранизкочастотными электромагнитными волнами в частотном диапазоне пульсаций Рс1 (0.2‒5.0 Гц), известные как “жемчужины”. Протонный радиационный пояс в спокойном состоянии характерен тем, что давление энергичных анизотропных протонов (~100 Кэв) много меньше магнитного давления (т.е. β = $ = {{8\pi {{n}_{h}}T} \mathord{\left/ {\vphantom {{8\pi {{n}_{h}}T} {B_{0}^{2}}}} \right. \kern-0em} {B_{0}^{2}}} \ll 1$) и концентрация горячей плазмы мала по сравнению с плотностью холодной плазмы (${{n}_{h}} \ll {{n}_{0}}$). Эти условия были положены в основу теоретического исследования механизма генерации Рс1 пульсаций в результате циклотронной неустойчивости протонов радиационного пояса Земли. Однако в работе [Berko et al., 1975] было обнаружено, что в области 4–6 радиусов Земли, где генерируются и откуда распространяются “жемчужины”, давление плазмы может быть повышенным и даже равным давлению геомагнитного поля. Мы проиллюстрировали это утверждение, построив зависимость радиационного пояса Земли (β) от $L$ ($L$ – параметр Мак-Илвейна) для протонов с энергией ~100 Кэв во время магнитной бури 17–20 июня 1972 года по данным [Berko et al., 1975] (рис. 1). Для этой цели были использованы данные спутника Explorer 45 (S3-A) [Longanecker and Hoffman, 1973; Smith and Hofinan,1973; Konradi et al., 1973]. Как видно из рис. 1, действительно, в магнитосфере Земли возможны периоды, когда давление горячей протонной плазмы близко к давлению магнитного поля. По-видимому, такая геофизическая ситуация характерна для периодов повышенной магнитной активности. Впоследствии, большие значения β в магнитосфере наблюдались на десятках космических аппаратов [например, Stepanova et al., 2004, Antonova et al., 2014]. В работе [Antonova et al., 2014] проанализированы характеристики плазмы по данным спутника THEMIS; и было установлено, что имеются области, где параметр β может достигать единицы в экваториальной плоскости магнитосферы Земли. В работе [Stepanova et al., 2004] также показано, что в магнитосфере Земли возможны большие значения β вплоть до единицы.

В магнитосфере Земли во время магнитных бурь в области протонного радиационного пояса возможно резкое повышение концентрации горячих протонов с энергией $E \sim 100$ Кэв [Feygin et al., 1970; Ковтюх и др., 1975]. Так, например, во время магнитных бурь 18 апреля и 15 июня 1965 года потоки протонов с энергией $E < 200$ Кэв в области $L \geqslant 4$ увеличивались до 4-х раз, в то время как в других энергетических диапазонах потоки протонов уменьшались в 10 раз по сравнению с добуревыми значениями [Soraas and Davis, 1968; Williams, 1970]. Аналогичные возрастания потоков протонов в радиационном поясе во время магнитных бурь наблюдалось и на спутнике Молния-1. Наличие анизотропии и повышенной интенсивности потоков этих частиц приводит к развитию циклотронной неустойчивости, ответственной за генерацию Рс1 пульсаций. В результате резонансного взаимодействия между анизотропными протонами и Рс1 пульсациями происходит рассеяние этих частиц в конус потерь и сбросу “излишка” протонов в ионосферу, т.е. к восстановлению устойчивого состояния радиационного пояса протонов. Для проверки данной гипотезы была проанализирована связь частоты появления Рс1 пульсаций на земной поверхности с повышенной интенсивностью протонов по данным спутников Эксплорер-26 и Молния-1 [Feygin et al., 1970; Ковтюх и др., 1975]. Рс1 пульсации на земной поверхности начинают генерироваться в тот момент, когда потоки протонов превышают критический уровень и анизотропия их становится достаточно высокой. Проявлением резонансного взаимодействия Рс1 пульсаций с протонами является высыпание этих частиц в ионосферу [Yahnin et al., 2007; Yahnina et al., 2000, 2008; Попова и др., 2018; Яхнин и др., 2018]. Взаимодействие этих пульсаций с протонами радиационного пояса приводит к высыпанию энергичных протонов в ионосферу, которое неоднократно регистрировалось при сопоставлении наземных и спутниковых наблюдений, например, [Yahnina et al., 2000; Попова и др., 2018; Яхнин и др. 2018]. Картина высыпаний энергичных заряженных частиц напрямую связана с ионосферной проекцией геомагнитных силовых трубок, подходящих для работы протонного циклотронного мазера [Трахтенгерц и Райкрофт, 2011].

Развитие циклотронной неустойчивости характеризуется инкрементом γ – обратным временем нарастания амплитуды в $e$ раз. Как известно [Тверской, 1968; Demekhov, 2007], нарастание амплитуды возможно только в случае, если инкремент нарастания превышает декремент затухания δ. Суммарный коэффициент усиления определяется разностью инкремента и эффективного коэффициента затухания, связанного с отражением от сопряженных ионосфер [Тверской, 1968; Гульельми, 1979; Demekhov, 2007].

Инкремент γ пропорционален отношению концентраций горячих анизотропных частиц и холодной плазмы (${{{{n}_{h}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{n}_{h}}} {{{n}_{c}}}}} \right. \kern-0em} {{{n}_{c}}}}$). Обычно считается, что в магнитосфере это отношение $N = {{{{n}_{h}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{n}_{h}}} {{{n}_{c}}}}} \right. \kern-0em} {{{n}_{c}}}} \ll 1$ и $\beta \ll 1.$ В этом приближении был вычислен инкремент во многих предыдущих работах [см, например, Тверской, 1968; Фейгин и Якименко, 1969; Feygin and Yakimenko, 1971; Gendrin et al., 1971; Гульельми, 1979; Guglielmi and Pokhotelov, 1996; Гульельми и Потапов, 2021].

Поскольку к настоящему времени уже хорошо известно, что β в магнитосфере может быть велико, то необходимо распространить существующую теорию генерации ультранизкочастотных электромагнитных волна в частотном диапазоне пульсаций Рс1 (“жемчужины”) на случай большого давления (больших β) анизотропных протонов. В этом заключается основная цель нашей работы.

2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

При би-Максвелловском распределении с различными температурами вдоль и поперек магнитного поля ${{T}_{\parallel }}$ и ${{T}_{ \bot }}$ квадрат показателя преломления ${{N}^{2}} = {{k_{\parallel }^{2}{{c}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{k_{\parallel }^{2}{{c}^{2}}} {{{\omega }^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{\omega }^{2}}}}$ поперечных волн с круговой поляризацией [Шафранов, 1963] имеет вид (${{v}_{\parallel }} = \sqrt {{{2{{T}_{\parallel }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{2{{T}_{\parallel }}} m}} \right. \kern-0em} m}} $):

где суммирование проводится по сортам частиц. В этом уравнении верхний знак соответствует электромагнитным ионно-циклотронным (ультранизкочастотным – УНЧ) волнам, которые нас далее интересуют. Функция Z(α) выражается через плазменную дисперсионную функцию S(α) = = ${{e}^{{ - {{\alpha }^{2}}}}}\int_0^\alpha {{{e}^{{{{t}^{2}}}}}dt} $ [Стикс, 1965]: $Z(\alpha ) = 2\alpha S\left( \alpha \right)$ – $ - \,\,i\sqrt \pi \alpha {{e}^{{ - {{\alpha }^{2}}}}}.$ При $\left| \alpha \right| \gg 1$ и $\left| {\operatorname{Re} \alpha } \right| > \left| {\operatorname{Im} \alpha } \right|$ плазменная дисперсионная функция имеет асимптотическое разложение $S\left( \alpha \right) \approx \frac{1}{{2\alpha }} + \frac{1}{{4{{\alpha }^{3}}}} + ...;$ обычно в разложении $S\left( \alpha \right)$ ограничиваются двумя первыми членами, и тогда $2\alpha S\left( \alpha \right) \simeq 1 + \frac{1}{{2{{\alpha }^{2}}}}.$

Мы рассматриваем плазму, состоящую из холодных электронов, ионов (${{n}_{{0e}}} = {{n}_{{0i}}} = {{n}_{0}}$) и горячих анизотропных протонов (n_h). Обычно при исследовании УНЧ-волн в диапазоне пульсаций Рс1 предполагают [Cornwall, 1966; Kennel and Petschek, 1966; Тверской, 1968; Фейгин и Якименко, 1969; Трахтенгерц и Райкрофт, 2011; Гульельми и Потапов, 2021], что холодная компонента плазмы (${{n}_{0}}$) определяет распространение волн, а малая горячая добавка (n_h) обуславливает их генерацию или затухание.

Рассмотрим влияние горячей компоненты ${{n}_{h}}$ на генерацию и развитие УНЧ-волн в магнитосфере Земли. Дисперсионное уравнение для УНЧ-волн, распространяющихся вдоль магнитного поля с учетом горячей компоненты ${{n}_{h}}$ после суммирования по всем частицам, следующее из формулы (1) принимает вид:

Здесь $\omega _{0}^{2} = {{4\pi {{n}_{0}}{{e}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{4\pi {{n}_{0}}{{e}^{2}}} m}} \right. \kern-0em} m},$ $\omega _{{0h}}^{2} = {{4\pi {{n}_{h}}{{e}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{4\pi {{n}_{h}}{{e}^{2}}} m}} \right. \kern-0em} m}$ – ионные плазменные частоты фоновой плазмы и горячих частиц. $\Omega = {{e{{B}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{e{{B}_{0}}} {mc}}} \right. \kern-0em} {mc}}$ – ионная гирочастота.

Для действительной части (или, что то же самое, в нулевом порядке по малой мнимой части уравнения) из (2) получается:

что представляет собой дисперсионное уравнение для ионно-циклотронных волн с учетом горячей компоненты ${{n}_{h}}.$ Когда добавка от горячей компоненты мала, дисперсионное уравнение (3) сводится к известному уравнению $\frac{{{{c}^{2}}k_{\parallel }^{2}}}{{{{\omega }^{2}}}}$ = $ = 1 + \frac{{\omega _{0}^{2}}}{{\Omega (\Omega - \omega )}}$ для холодной плазмы [например, Kennel and Petschek, 1966]; единицей в (2) можно пренебречь, так как обычно плазменная частота много больше циклотронной. Формула $\frac{{{{c}^{2}}k_{\parallel }^{2}}}{{{{\omega }^{2}}}} = \frac{{\omega _{0}^{2}}}{{\Omega (\Omega - \omega )}}$ далее используется для выражения ${{k}_{\parallel }}$ через ω.

Упростим вклад горячей компоненты в действительную часть уравнения (3), подставляя вместо величины S(α) его асимптотическое разложение:

Введем далее $\omega = {{\omega }_{r}} + i\gamma .$ Тогда получим (индекс “r” в дальнейшем будет опускаться) Подставим комплексные α и ω в (2), разложим S(α) как

$S(X + iY) = S(X) + iY({{dS} \mathord{\left/ {\vphantom {{dS} {dX}}} \right. \kern-0em} {dX}})$ где $Y \ll X,$ и тогда с учетом соотношения ${{dS} \mathord{\left/ {\vphantom {{dS} {dX}}} \right. \kern-0em} {dX}} = 1 - 2XS(X)$ из мнимой части уравнения (2) для нормированного инкремента γ/Ω получится выражение ($x = {\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega {{\kern 1pt} \Omega }}} \right. \kern-0em} {{\kern 1pt} \Omega }}$ – частота волны, нормированная на гирочастоту ионов):

В этом выражении инкремент γ/Ω фактически зависит от многих переменных; все они “спрятаны” в α. Далее приведена (одна и та же) функция α, выраженная через разные переменные: каждое выражение удобно для построения своего рисунка: (Вывод формул (5) показан в Приложении).

В приближении $\beta \ll 1$ (и $\alpha \gg 1$), выражение (4) сводится к известному выражению для инкремента, полученному во многих работах [Фейгин, Якименко, 1969; Feygin, Yakimenko, 1971; Gendrin et al., 1971; Гульельми, 1979].

3. РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ

На основе полученных формул мы исследовали зависимость нормированного инкремента (4) от нормированной частоты ω/Ω для различных параметров магнитосферной плазмы.

Рисунок 1 показывает зависимость β от $L$ ($L$ – параметр Мак-Илвейна) для протонов с энергией ~100 Кэв во время магнитной бури 17–20 июня 1972 года по данным [Berko et al., 1975]. Рисунок был построен по данным спутника Explorer 45 (S3-A) [Longanecker and Hoffman, 1973; Smith and Hofinan, 1973; Konradi et al., 1973]. Как видно из рис. 1, параметр β растет при увеличении L; относительно большие значения $\beta $ (~1) достигаются в районе максимальных $L$ из-за быстрого убывания геомагнитного поля. Такое изменение β с удалением от поверхности Земли скажется и на зависимости нормированного инкремента от параметров магнитосферной плазмы.

Рисунок 2 демонстрирует зависимость нормированного инкремента γ/Ω от нормированной частоты ω/Ω для разных значений β при выбранных значениях ${{{{n}_{h}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{n}_{h}}} {{{n}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{n}_{0}}}} = {{10}^{{ - 3}}}$ и $A = 1.$ Рисунок показывает, что при увеличении β инкремент уменьшается. Как известно [Тверской 1968; Demekhov, 2007], нарастание амплитуды возможно только в том случае, если инкремент нарастания превышает декремент затухания δ. Таким образом, при больших β инкремент γ может снизиться до значений равных δ, что приводит к прекращению генерации УНЧ-волн.

Для обоснования существенного различия между выведенными выражениями и известными ранее, графики инкремента по старым (при β = 0) и новым формулам при учете влияния конечных значений плазменного давления горячих частиц (при β = 0.5, 1.0, 1.5) приведены на одной плоскости (рис. 3). Из этих графиков отчетливо видно, что при учете плазменного давления (β = 0.5, 1.0, 1.5) инкремент уменьшается и при достижении значений вблизи декремента затухания, процесс генерации УНЧ-волн может прекратиться.

На следующем рисунке (рис. 4) показано поведение нормированного инкремента УНЧ-волн в зависимости от нормированной частоты ω/Ω на разных расстояниях от поверхности Земли. Из рисунка видно, что максимальное значение инкремента достигается при малых L, соответствующих малым значениям β [Berko et al., 1975] (ср. с рис. 1).

Так как мы выяснили, что максимальный инкремент соответствует малым значениям β, то зафиксировав какое-либо значение β, например, β = 0.1 мы можем исследовать поведение инкремента УНЧ-волн от анизотропии и параметра ${{{{v}_{\parallel }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{v}_{\parallel }}} {{{c}_{{\text{A}}}}.}}} \right. \kern-0em} {{{c}_{{\text{A}}}}.}}$ (Здесь ${{c}_{{\text{A}}}}$ – альвеновская скорость, см. Приложение).

Рисунок 5 показывает зависимость нормированного инкремента γ/Ω от нормированной частоты ω/Ω и анизотропии $A$ при заданных значениях β = 0.1, и ${{{{n}_{h}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{n}_{h}}} {{{n}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{n}_{0}}}} = {{10}^{{ - 3}}}.$

На рисунке 6 приведена зависимость нормированного инкремента γ/Ω от нормированной частоты ω/Ω при β = 0.1, ${{{{n}_{h}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{n}_{h}}} {{{n}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{n}_{0}}}} = {{10}^{{ - 3}}}$ и меняющемся ${{{{v}_{\parallel }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{v}_{\parallel }}} {{{c}_{{\text{A}}}}.}}} \right. \kern-0em} {{{c}_{{\text{A}}}}.}}$

4. ВЫВОДЫ

1. Выведено аналитическое выражение для исследования влияния конечного плазменного давления β на развитие циклотронной неустойчивости УНЧ-волн в магнитосфере Земли, которое существенно отличается от аналогичных выражений для инкремента, не учитывающих конечного плазменного давления β [см., например, Фейгин, Якименко, 1969; Feygin, Yakimenko, 1971; Gendrin et al., 1971; Гульельми, 1979].

2. Анализ полученных результатов показал, что максимум инкремента уменьшается при росте β и увеличивается при росте ${{{{v}_{\parallel }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{v}_{\parallel }}} {{{c}_{{\text{A}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{c}_{{\text{A}}}}}}$ и A. Таким образом, при больших β инкремент γ может снизиться до значений равных декременту затухания δ, что может привести к прекращению генерации УНЧ-волн [Тверской, 1968; Demekhov, 2007]. В этом и заключаются особенности генерации УНЧ-волн в магнитосфере Земли при учете влияния конечных значений плазменного давления горячих частиц, которые не рассматривались в предыдущих работах по аналогичной тематике.

3. Полученные результаты позволили выяснить, как влияет учет конечных значений β на развитие циклотронной неустойчивости УНЧ-волн в магнитосфере Земли. В частности, так как увеличение β происходит во время магнитных бурь [Berko et al., 1975], то мы можем предположить, что низкая магнитная активность соответствует малым значениям параметра β. Именно низкая магнитная активность, а значит и малые значения параметра β, наиболее характерны для генерации Рс1 пульсаций (рис. 2, рис. 3). Этот теоретический вывод подтверждается и экспериментальными наблюдениями Рс1 пульсаций в зависимости от уровня магнитной активности, появление которых характерно для низкой магнитной активности [Wentworth, 1964; Plyasova–Bakounina and Matveeva, 1968; Feygin et al. 1970; Erlandson and Ukhorskiy, 2001].