Геомагнетизм и аэрономия, 2021, T. 61, № 6, стр. 723-734

1. ВВЕДЕНИЕ

Одним из не до конца понятных вопросов теории магнитосферного КНЧ/ОНЧ-излучения являются механизмы его распространения от верхней границы ионосферы до поверхности Земли. Тем не менее, понимание этих механизмов является связующим звеном между известными экспериментальными данными, полученными на спутниках и в наземных обсерваториях, и объяснением генерации этого излучения в магнитосфере. Кроме того, изучение закономерностей распространения КНЧ/ОНЧ-волн через ионосферу важно для понимания свойств ионосферной плазмы и происходящих в ней процессов, для сопоставления характеристик излучений, регистрируемых на спутниках и на Земле. Например, существует много данных об одновременной регистрации сигналов на спутниках и в наземных обсерваториях [Manninen et al., 2012; Nemec et al., 2013]. Однако в некоторых случаях излучение регистрируется на спутниках, но не обнаруживается на Земле [Manninen et al., 2013; Titova et al., 2015]. Различными и не всегда понятными оказываются наблюдаемые свойства этого излучения. В частности, в определенных условиях обнаруживается нетипичная для свистовых волн поляризация излучения вблизи земной поверхности [Титова и др., 2015].

Традиционным подходом при расчете волновых полей в неоднородной ионосферной плазме из многих однородных слоев является анализ закономерностей распространения плоской волны c заданным горизонтальным волновым вектором и затем сложение плоских волн для нахождения пространственной зависимости поля [Payne et al., 2007; Lehtinen and Inan, 2008]. Основной вычислительной трудностью при этом является численная расходимость, обусловленная большими декрементами нераспространяющихся мод в протяженной области ионосферы [Nygre’n, 1982; Budden, 1985; Kuzichev and Shklyar, 2010]. Еще одной проблемой является необходимость конкретизации распределения падающего на ионосферу сверху излучения.

В работах [Bespalov and Mizonova, 2017; Беспалов и Мизонова, 2018; Bespalov et al., 2018] для нахождения высотной зависимости поля, обусловленного плоской свистовой волной, падающей наклонно на границу ионосферы сверху, были использованы совместно метод коллокаций решения граничной задачи и матричный алгоритм приближенного решения волновых уравнений в плавно неоднородной плоскослоистой плазме. Такой подход позволил учесть реальные высотные зависимости ионосферных параметров сильно неоднородной ночной ионосферы и избежать проблемы расходимости численных решений на больших высотах. Разработанный в статье [Мизонова и Беспалов, 2021] алгоритм вычислений использован в настоящей работе для нахождения пространственной зависимости волнового поля излучения, падающего на ночную ионосферу сверху. Проводится анализ свойств излучений вблизи поверхности Земли, на спутниковых высотах, а также отраженного от верхней границы ионосферы, при разных параметрах задаваемого сверху пучка излучения. Полученные результаты важны для изучения взаимосвязи свойств КНЧ/ ОНЧ-волн, регистрируемых на спутниках и наземных станциях, а также для понимания природы естественного магнитосферного излучения.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Предположим, что на верхнюю границу ионосферы падает сверху монохроматический пучок электромагнитного излучения свистового диапазона, и рассмотрим задачу о нахождении пространственной зависимости поля излучения в ионосфере и на земной поверхности. Для решения будем использовать модель плоскослоистой среды, параметры которой зависят от вертикальной координаты $z$, значения $z = 0$ и $z = {{z}_{{\max }}}$ соответствуют поверхности Земли и плоскости падения, плазма выше границы $z = {{z}_{{\max }}}$ считается однородной, магнитное поле лежит в плоскости $y{\kern 1pt} z$ и составляет с осью $z$ угол $\vartheta $. Схема, поясняющая постановку задачи, изображена на рис. 1.

Пространственное распределение напряженностей монохроматического электрического и магнитного полей ${\mathbf{E}}\left( {{{{\mathbf{r}}}_{ \bot }},z,t} \right) = {\mathbf{E}}\left( {{{{\mathbf{r}}}_{ \bot }},z} \right){{e}^{{ - i\omega t}}},$ ${\mathbf{H}}\left( {{{{\mathbf{r}}}_{ \bot }},z,t} \right) = {\mathbf{H}}\left( {{{{\mathbf{r}}}_{ \bot }},z} \right){{e}^{{ - i\omega t}}}$ с частотой $\omega $ удобно разложить в интеграл Фурье по поперечным координатам

имея в виду сохранение в плоскослоистой среде горизонтальных компонент волнового вектора ${{{\mathbf{k}}}_{ \bot }} = {{k}_{0}}{{{\mathbf{n}}}_{ \bot }},\,\,{{k}_{0}} = \frac{\omega }{c}$. Для расчета пространственной зависимости полей ${\mathbf{E}}\left( {{{{\mathbf{r}}}_{ \bot }},z} \right),{\text{ }}{\mathbf{H}}\left( {{{{\mathbf{r}}}_{ \bot }},z} \right)$ необходимо задать распределение амплитуд падающего излучения по ${{{\mathbf{n}}}_{ \bot }}$, вычислить электромагнитное поле для каждого значения ${{{\mathbf{n}}}_{ \bot }}$ во всей области решения $0 \leqslant z \leqslant {{z}_{{\max }}}$ и произвести преобразования Фурье (1).

Пусть распределение амплитуд по ${{{\mathbf{n}}}_{ \bot }}$ в падающем излучении задано. Высотное распределение напряженностей электромагнитного поля удовлетворяет уравнениям Максвелла

которые удобно записать в виде

Здесь ${\mathbf{F}}$ – четырехкомпонентный вектор-столбец

$\hat {M}$ – матрица $4 \times 4$, компоненты которой выражены через элементы тензора диэлектрической проницаемости $\hat {\varepsilon }$, значения ${{n}_{{x,y}}}$ и являются известными функциями координаты $z$ [Budden, 1985]. В уравнениях (2)–(4) и ниже используется система единиц СИ для напряженности электрического поля ${\mathbf{E}}$ и нормированная величина напряженности магнитного поля ${\mathbf{H}} = {{Z}_{0}}{{{\mathbf{H}}}_{{SI}}}$, где ${{Z}_{0}} = \sqrt {{{{{\mu }_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\mu }_{0}}} {{{\varepsilon }_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{\varepsilon }_{0}}}}} $ – волновое сопротивление вакуума; $c$ – скорость света в вакууме; $ - $ тензор диэлектрической проницаемости “холодной” плазмы, в котором ${{\omega }_{{pe,pi}}} = \sqrt {{{4\pi q_{{e,i}}^{2}n} \mathord{\left/ {\vphantom {{4\pi q_{{e,i}}^{2}n} {{{m}_{{e,i}}}}}} \right. \kern-0em} {{{m}_{{e,i}}}}}} $ – электронная и ионная плазменная частоты; ${{\nu }_{{e,i}}}$ – частоты столкновений электронов и ионов с нейтральными частицами; ${{\omega }_{{Be,Bi}}} = {{{{q}_{{e,i}}}{{B}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{q}_{{e,i}}}{{B}_{0}}} {\left( {{{m}_{{e,i}}}c} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {{{m}_{{e,i}}}c} \right)}}$ – величины электронной и ионной гирочастот; ${{m}_{{e,i}}}$ и ${{q}_{{e,i}}}$ – массы и величины заряда электронов и ионов.

Представим вектор поля ${\mathbf{F}}$ (4) в виде суммы четырех волновых мод

где коэффициенты ${{a}_{j}}({{{\mathbf{n}}}_{ \bot }})$ определяют амплитуду на границе падения $z = {{z}_{{\max }}}$, величины ${{\kappa }_{j}}({{{\mathbf{n}}}_{ \bot }},z)$ определяют волновое число и четырехкомпонентные вектора ${{{\mathbf{P}}}_{j}}$ определяют поляризацию j-й волновой моды. Пусть индексы 1, 2 в формуле (7) соответствуют слабозатухающим распространяющимся в направлении земной поверхности ($j = 1$) и от нее ($j = 2$) волновым модам, а индексы 3, 4 – нераспространяющимся затухающим в направлениях вниз ($j = 3$) и вверх ($j = 4$) волновым модам.

Для нахождения поля в области $0 \leqslant z \leqslant {{z}_{{\max }}}$ дополним систему уравнений (3) четырьмя граничными условиями. Два из них определим на нижней границе $z = 0$, считая поверхность Земли идеально проводящей

Два других условия зададим на плоскости $z = {{z}_{{\max }}}$, используя разложение поля по волновым модам (7) Здесь первое условие определяет амплитуду волны, падающей сверху на границу $z = {{z}_{{\max }}}$, второе исключает нарастающее вверх $z > {{z}_{{\max }}}$ решение.

Учтем, что в свистовом диапазоне две волновые моды являются нераспространяющимися с большими декрементами затухания, что приводит к численной расходимости решения системы уравнений (3) в протяженном ионосферном слое [Lehtinen and Inan, 2008]. Для решения проблемы численной расходимости область решения $0 \leqslant z \leqslant {{z}_{{\max }}}$ разделим на две части, $0 \leqslant z \leqslant {{z}_{*}}$ и ${{z}_{*}} \leqslant z \leqslant {{z}_{{\max }}}$. Границу $z = {{z}_{*}}$ выберем таким образом, чтобы выше нее плазма была плавно неоднородной – характерный масштаб неоднородности существенно превышал длины волн распространяющихся мод и длины затухания нераспространяющихся мод.

Для нахождения поля в нижнем слое $0 \leqslant z \leqslant {{z}_{*}}$ используем метод коллокаций решения граничной задачи [Kierzenka and Shampine, 2001]. Для нахождения поля в верхнем плавно неоднородном слое ${{z}_{*}} \leqslant z \leqslant {{z}_{{\max }}}$ используем матричный алгоритм приближенного решения [Мизонова, 2019]. Решения, полученные двумя методами, должны сшиваться на границе $z = {{z}_{*}}$. Алгоритм вычисления волнового поля компоненты с заданным вектором ${{{\mathbf{n}}}_{ \bot }}$, комбинирующий два метода решений, подробно описан в работах [Bespalov et al., 2018; Мизонова и Беспалов, 2021]. Определив распределение амплитуды падающей волны ${{a}_{i}}({{{\mathbf{n}}}_{ \bot }})$ (7) на верхней границе $z = {{z}_{{\max }}}$ и вычислив далее интеграл Фурье (1), можно найти пространственное распределение волновых полей ${\mathbf{E}}\left( {{{{\mathbf{r}}}_{ \bot }},z} \right),{\mathbf{H}}\left( {{{{\mathbf{r}}}_{ \bot }},z} \right)$.

В частности, интересующее нас горизонтальное магнитное поле ${{H}_{ \bot }}(z = 0)$ и поляризация $\Pi $ на поверхности Земли равны соответственно

а величина электрического поля равна Значения вертикальной составляющей вектора Пойнтинга падающего (i) на границу $z$ излучения и отраженного (r) от этой границы излучения определяются выражениями Отношение полных потоков энергии отраженного и падающего излучения на границе $z = {{z}_{{\max }}}$ равно Отметим, что электрические компоненты ${{E}_{{x{\kern 1pt} ',y{\kern 1pt} '}}}$ в формуле (11) записаны в системе координат с осью $z{\kern 1pt} '$ вдоль магнитного поля.

3. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

Для примера расчетов поля излучения используется нормальное распределение амплитуд (7) по горизонтальным компонентам волнового вектора в падающем сверху излучении

где ${{A}_{1}} = {{a}_{1}}({{{\mathbf{n}}}_{ \bot }})\exp \left( { - \int_z^{{{z}_{{\max }}}} {i{{\kappa }_{1}}} ({{{\mathbf{n}}}_{ \bot }},z{\kern 1pt} ')dz{\kern 1pt} '} \right)$. Нормировочный множитель ${{E}_{0}}$ в выражении (15) выбран таким образом, чтобы максимальное значение плотности энергии падающего потока было равно единице. Профили плазменной концентрации и частот столкновений заряженных частиц с нейтральными изображены на рис. 2. Данные для плазменной концентрации получены с помощью модели IRI [Bilitza and Reinisch, 2019] и соответствуют 68° N, 25° E, 4.09.2019 г., 0:30 LT. Угол между направленной вверх вертикальной осью $z$ и магнитным полем при этом равен ϑ = 168°. Зависимости частот столкновений заряженных частиц с нейтральными соответствуют данным, приведенным в книге [Гуревич и Шварцбург, 1973]. Частота излучения равна 1.5 кГц, граница падения излучения ${{z}_{{\max }}}$ и граница “сшивки решений” ${{z}_{*}}$ составляют 750 км и 145 км соответственно. Для нахождения пространственной зависимости поля использовался метод быстрого преобразования Фурье по горизонтальным координатам [Cooley and Tukey, 1965].

На рисунках 3, 4 приведены результаты расчетов горизонтального магнитного поля (10) на земной поверхности, электрического поля (12) на высоте $z = 400{\text{ км}}$ и плотности потока энергии (13) отраженного излучения на высоте $z = 750{\text{ км}}$ при пространственных масштабах падающего излучения (15) ${{L}_{x}} = 30{\text{ км}},$ ${\text{ }}{{L}_{y}} = 60{\text{ км}}$ и различных значениях ${{n}_{{0y}}}$. Рисунок 3 соответствует излучению с частотой $f = 1.5{\text{ кГц}}$ и рис. 4 соответствует излучению с частотой $f = 3{\text{ кГц}}$. Соответствующие разным значениям ${{n}_{{0y}}}$ отношения (14) полных потоков энергии отраженного и падающего излучений на границе $z = 750{\text{ км}}$ равны R_Σ = $ = 0.4360\left( {{{n}_{{0y}}} = 0} \right)$, ${{R}_{\Sigma }} = 0.1307\left( {{{n}_{{0y}}} = 1.6} \right)$ и R_Σ = $ = 0.2547\left( {{{n}_{{0y}}} = 3.2} \right)$ в случае $f = 1.5{\text{ кГц}}$ и R_Σ = $ = 0.429~\left( {{{n}_{{0y}}} = 0} \right)$, ${{R}_{\Sigma }} = 0.415~~\left( {{{n}_{{0y}}} = 0.2} \right)$ и R_Σ = $ = 0.238\left( {{{n}_{{0y}}} = 0.8} \right)$ в случае $f = 3{\text{ кГц}}$. На рисунках 5–7 представлены примеры зависимостей от горизонтальных координат плотности потока энергии падающего излучения на высоте $z = 750{\text{ км}}$, электрического поля на высоте $z = 400{\text{ км}}$, горизонтального магнитного поля и параметра $\phi $, характеризующего поляризацию, на земной поверхности $(z = 0)$, при разных значениях частоты $f$, величины ${{n}_{{0 \bot }}}$ и пространственных масштабах ${{L}_{x}},{{L}_{y}}$ падающего излучения (15). Положительные значения величины $\phi $ соответствуют правой поляризации, типичной для свистовых волн, отрицательные значения $\phi $ – левой поляризации. Как видно из результатов, представленных на рисунках 5–7, в определенных условиях поляризация излучения вблизи земной поверхности оказывается левой, нетипичной для свистовых волн. Для пояснения эффекта изменения “характера поляризации” на рис. 8а, б приведены зависимости от величины ${{n}_{{0y}}}$ горизонтального магнитного поля $Н({{{\mathbf{n}}}_{ \bot }},z = 0)$ (10) и параметра $\phi $, характеризующего поляризацию $\Pi $ (11). Кроме магнитного поля, на тех же графиках изображены зависимости коэффициентов отражения по энергии $R = {{{{S}_{r}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{S}_{r}}} {{{S}_{i}}}}} \right. \kern-0em} {{{S}_{i}}}}$ (13) от границы $z = 145{\text{ км}}$ и схематично пунктирной линией вертикальная компонента волнового числа ${{n}_{{0z}}} = \operatorname{Re} (\sqrt {1 - n_{ \bot }^{2}} )$. Звездочками отмечены точки, соответствующие левой поляризации. На рисунке 8в, г изображены высотные зависимости амплитуд волновых мод в случаях “правой” (в) и “левой” (г) поляризаций. Как видно из результатов, представленных на рис. 4, 5, в определенных условиях поляризация излучения вблизи земной поверхности оказывается левой, нетипичной для свистовых волн.

4. ОБСУЖДЕНИЕ

Рассмотрена задача о нахождении пространственной зависимости поля излучения свистового диапазона с заданным распределением по ${{{\mathbf{n}}}_{ \bot }}$, падающего сверху на границу ночной ионосферы. Для исключения численной расходимости в вычислениях используется совместно два подхода – метод коллокаций решения граничной задачи на высотах ниже 145 км и матричный алгоритм приближенного решения в области от 145 до 750 км. Выбор верхней границы решения, во-первых, позволяет провести расчеты в приближении однородного магнитного поля, во-вторых, соответствует высотам спутниковых наблюдений. Выбор границы сшивки двух решений определялся двумя условиями. Во-первых, выше 145 км длины волн с частотами 1.5 кГц и выше не превышают 35 км, что меньше масштабов неоднородности ионосферной плазмы. Поэтому для нахождения поля в верхней области можно использовать приближенные методы решения. Во-вторых, в ограниченной области ионосферы ниже 145 км удается получить численно стабильное решение полной системы волновых уравнений.

Распределение по ${{{\mathbf{n}}}_{ \bot }}$ падающего излучения в общем случае несимметрично относительно вертикальной оси и соответствует пространственным горизонтальным масштабам в несколько десятков километров, что типично для данных спутниковых наблюдений [Титова и др., 2015]. Расчеты полей, выполненные для разных значений параметров распределения (15) падающего излучения, показывают, что характерные горизонтальные размеры пятна и величина электрического поля на спутниковых высотах (в расчетах 400 км) определяются в основном горизонтальными размерами $\left( {{{L}_{x}},{{L}_{y}}} \right)$ пятна падающего излучения и слабо зависят от его среднего направления ${{n}_{{0y}}}$ (см. рис. 3–7). Действительно, в плоскослоистой ионосфере горизонтальные компоненты волнового вектора, в соответствии с законом Снеллиуса, сохраняются, соответственно не изменяется существенно и распределение поля по горизонтальным координатам. При этом центр пучка смещается в направлении к северу примерно на 50–100 км.

Возможность выхода излучения на земную поверхность ограничена конусом ${{n}_{ \bot }} \leqslant 1.$ Поэтому излучение с отличными от нуля параметром ${{n}_{{0y}}}$ в распределении (15) может практически не достигать поверхности Земли (см. рис. 3в). Отметим, что из-за больших показателей преломления на высотах $z \sim 750{\text{ км}}$ угол падения волн с ${{n}_{ \bot }} = 1$ составляет всего несколько градусов. Поэтому даже незначительные отклонения пучка падающего излучения от вертикали сильно ограничивают возможность его выхода на Землю, практически не сказываясь при этом на распределении и величине волнового поля на значительных высотах. Например, значению ${{n}_{{0y}}} = 3.2$ соответствует угол падения ~15°. Магнитное поле на земной поверхности при этом (рис. 3в) уменьшается на два порядка по сравнению со случаем “нормального” падения (рис. 3а). Смещение в северном направлении пучка излучения на земной поверхности составляет от 100 до 200 км (рис. 3, 4). Кроме того, существует небольшая асимметрия пучка относительно плоскости $yz$ (плоскости магнитного меридиана).

В определенных условиях поляризация излучения вблизи земной поверхности оказывается левой, нетипичной для свистовых волн. Как видно из рис. 8а, б, левая поляризация соответствует значениям горизонтального волнового вектора ${{n}_{ \bot }}$, ненамного превышающим единицу. Величина магнитного поля при этих значениях резко уменьшается, а коэффициент отражения принимает минимальные значения. В некоторых случаях суммарный вклад таких “левополяризованных” компонент может оказаться преобладающим и изменить характер поляризации излучения вблизи Земли.

Изменение характера поляризации может быть связано с линейным взаимодействием мод в нижней ионосфере. Действительно, в плоскослоистых средах без пространственной дисперсии волновые уравнения имеют четыре линейно независимых решения. В свистовом диапазоне два из четырех решений соответствуют распространяющимся волновым модам с правой поляризацией, а два других решения – сильно затухающим нераспространяющимся модам с левой поляризацией. На высотах порядка 100 км и ниже становится существенным линейное взаимодействие мод, усиливается затухание волн, а также происходит их трансформация в вакуумные электромагнитные. В результате энергия может “перекачиваться” из “правополяризованных” мод в “левопорязированные”, определяя таким образом характер поляризации излучения вблизи поверхности Земли.

На рисунке 8в, г приведены примеры высотных зависимостей амплитуд ${{A}_{j}},{\text{ }}j = 1{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 4$ четырех мод волнового уравнения разложения (7), (15) в слое $0 \leqslant z \leqslant {{z}_{*}}$. Амплитуды нормированы на амплитуду падающей на границу сшивки решений $z = 145{\text{ км}}$. Случай (в) соответствует нормальному падению волны $\left( {{{n}_{x}} = 0,{\text{ }}{{n}_{y}} = 0} \right)$, при этом амплитуды 3-й и 4-й мод остаются пренебрежимо малыми, а поляризация на земной поверхности правая круговая $\left( {\phi = 90^\circ } \right)$. Коэффициент отражения по энергии в этом случае равен $R = 0.3$. Случай (г) практически соответствует границе возможного выхода волны на поверхность Земли $\left( {{{n}_{x}} = 0.64,{\text{ }}{{n}_{y}} = 0.83,{\text{ }}{{n}_{ \bot }} = 1.05} \right)$. При этом амплитуды 3-й и 4-й мод в направлении к Земле растут и при $z = 0$ превышают амплитуды 1-й и 2-й мод, а поляризация левая $\left( {\phi = - 150^\circ } \right)$. Коэффициент отражения по энергии в этом случае в два с лишним раза меньше и равен $R = 0.13$.

Отношения полных потоков (14) энергии отраженного и падающего излучений на границе $z = 750{\text{ км}}$ в рассмотренных случаях составляют от 0.13 до 0.44, наибольшее его значение соответствуют симметричному относительно вертикали излучению (${{n}_{{0y}}} = 0$).

5. ВЫВОДЫ

Рассмотрена задача о падении пучка свистового излучения на ночную ионосферу сверху. Для модели плоскослоистой среды получено решение волновых уравнений и найдена пространственная зависимость поля излучения на высотах от 0 до 750 км. Проанализированы зависимости свойств излучения на высотах 400 км и вблизи поверхности Земли при различных распределениях пучка падающего излучения. Область, занимаемая полем на высотах 400 км, имеет приблизительно те же горизонтальные масштабы, что и падающее излучение, и смещается в направлении к северу на несколько десятков километров. Величина поля практически не зависит от угла наклона падающего пучка по отношению к вертикали. Величина магнитного поля вблизи земной поверхности из конуса выхода чувствительна к наклону падающего излучения. Поляризация излучения вблизи поверхности Земли преимущественно правая, типичная для свистовых волн. Однако в некоторых случаях может отмечаться левая поляризация. Изменения характера поляризации может быть связано с вкладом волн вблизи конуса выхода ${{n}_{ \bot }} \sim 1$ и объясняться эффектом линейного взаимодействия мод в нижней существенно неоднородной части ионосферы. В ночных условиях от верхней границы ионосферы отражается примерно от 15 до 45% энергии излучения.

Полученные результаты могут быть полезны для сопоставления свойств КНЧ/ОНЧ-излучений, распространяющихся от естественных магнитосферных источников и регистрируемых на спутниках и на Земле.