Геомагнетизм и аэрономия, 2019, T. 59, № 5, стр. 649-654

1. ВВЕДЕНИЕ

Пространственные и спектральные характеристики геомагнитных вариаций изучались многими авторами с использованием различных математических методов. В первых работах, обобщающих результаты исследований спектра вековых вариаций до середины 70-х годов XX века, отмечается, что спектр вековой вариации включает в себя составляющие с периодами примерно 22, 50–70, 120, 180, 350, 500, 600, 1000 и 7000–8000 лет [Яновский, 1978]. Эти результаты были получены с помощью гармонического анализа, разложений в ряды Фурье по ортогональным функциям, статистического сглаживания, а также морфологического анализа. При этом практически доказано, что временнóй спектр наблюдаемого геомагнитного поля имеет дискретную структуру, например, [Брагинский, 1972]. Так, эволюция величины преобладающего дипольного поля описывается осцилляцией с периодом порядка 10⁴ лет, а ось диполя прецессирует относительно географической оси со скоростью, соответствующей скорости западного дрейфа ~10³ лет [Бурлацкая, 2007]. В спектре же недипольного поля различают целый набор периодов: 20, 30, 60, 90, 120, 360, 450, 600, 1200, 1800, 2400, 2600, 4800 лет [Петрова и др., 1992]. Преимущественно выделение периодов вариаций производится с помощью того или иного метода гармонического анализа. Использовались также корреляционные методы, метод SOMPI [Старченко и Иванов, 2013], разновидности вейвлет-анализа, но во всех вышеперечисленных и им подобных методиках невозможно исследование характерных времен, превышающих длину ряда [Решетняк, 2015].

Проблема в том, что длина надежных рядов непосредственных наблюдений не превышает нескольких сот лет [Бондарь и др., 2002], а все важнейшие временны́е интервалы геодинамо только начинаются от примерно ста лет и могут быть значительно больше. Для частичного решения этой проблемы мы предлагаем новый тип анализа временны́х (t – время) рядов E(t_k), расширяющий известные из общепринятых анализов характеристики временны́х интервалов, присущих рассматриваемому ряду c k = 1, 2, …, K. В качестве естественной частотной меры для подобного интервала предлагается отношение временнóй вариации или производной величины ΔE/Δt к самой величине E. Это эквивалентно логарифмической производной S = (ΔE/Δt)/E или удельной вариации S. Очевидным образом, положительные удельные вариации S > 0 равны моментальной степени экспоненциального роста, а отрицательные S < 0 – падения для модуля рассматриваемой величины E. Свойства таких удельных вариаций определяют непериодические (преимущественно – нелинейные) и периодические (преимущественно – линейные) временны́е характеристики рассматриваемого ряда. На интервалах меньше длины ряда наш анализ лишь частично дополняет заведомо более полный и продвинутый общепринятый Фурье, вейвлет и сходный анализы, базирующиеся на периодических вариациях и с периодами заведомо меньше длины ряда. Преимущество нашего анализа в возможности грубо оценивать характерные времена превышающие длину ряда. Но для этого в качестве простейшей статистической гипотезы мы вынуждены предположить, что каждая из удельных вариаций дает равновероятный вклад в ее проявление в пределах рассматриваемого ряда, а вне его – вероятность проявления та же, что и внутри. Соответствующие недостатки нашего метода: неполная определенность статистического веса каждой из рассматриваемых вариаций, их изначальная дискретность, непериодичность и невозможность разложения по ортогональным функциям.

Предлагаемый анализ определяется и апробируется на генерируемом в ядре Земли потенциальном геомагнитном поле, которое здесь следует из общепринятой International Geomagnetic Reference Field (IGRF) модели (http://www.ngdc.noaa.gov/IAGA/vmod/igrf.html) 1900–2020 гг. Одним из первых Lowes [1974] определил радиальную плотность энергии этого поля через стандартные [Яновский, 1978] коэффициенты Гаусса $(g_{n}^{m},h_{n}^{m})$, радиус Земли a и сферический радиус r. Старченко и Яковлева [2019], интегрируя от поверхности ядра $r = c$ до бесконечности, получили энергию ~6 × 10¹⁸ Дж, которая сосредоточена у ядра Земли и с использованием их формулы (3), может быть записана как

В точности такая же формула была получена ранее, например, в работе [Wen-Yao Xu, 2000].

Именно эта энергия (1) представляется наиболее адекватной для выявления глобальных временны́х характеристик наблюдаемого геомагнитного поля и скрытого от наблюдателя геодинамо, что и будет сделано далее с целью изначального определения и апробации предлагаемого оригинального анализа временны́х рядов.

2. ВАРИАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ЭНЕРГИИ И ГЕОДИНАМО

На рисунке 1 изображена эволюция энергии потенциального геомагнитного поля (1) и его “удельной вариации” S = (ΔE/Δt)/E (далее – просто “вариации”), следующая из IGRF модели. В рамках предлагаемого вариационного анализа мы считаем равновероятной каждую из следующих через 2.5 года вариаций. Для нашего вероятностно-статистического анализа на рисунке 2 расположим по возрастанию все 46 вариаций представленных на рис. 1. Полученный вероятностный профиль назовем общим. Его максимальная 1/(138 лет) и особенно минимальная min(S) = –1/(128 лет) вариации представляются наименее вероятными (их вероятность ≤1/46 для каждой) из-за большой разницы с соседними вариациями. Эти экстремальные вариации дают время экспоненциального роста/падения порядка 100 лет, что хорошо согласуется со всеми известными нам динамо-моделями и соответственно наблюдаемыми геомагнитными проявлениями геодинамо адвекции. Поэтому можно трактовать эти экстремальные вариации как непосредственное (и поэтому сравнительно редкое) проявление вмороженности магнитного поля в ядре Земли и использовать для оценки средней скорости течений V в ядре. Из соответствующего (без диффузии) уравнения индукции в наипростейшей модели адвекции, считаем, что глобальный масштаб совпадает с радиусом ядра c, а логарифмическая производная (ΔB/Δt)/B от типичного магнитного поля равна – min(S) и градиенту скорости V/c. Отсюда получим приближенную оценку

которая совпадает с практически уже общепринятой геодинамо и наблюдательной оценкой.

Медианная величина для всех вариаций это –1/(1995 лет), что, как видно из общего профиля на рис. 2, близко к наиболее вероятному и соответственно равновесному значению для глобального геодинамо. В настоящую эпоху сходная скорость экспоненциального падения наблюдается у осевого диполя, который, безусловно, доминирует над всеми остальными мультиполями, например, [Яновский, 1978; Старченко, 2011]. Среднеарифметическая вариация –1/(3028 лет) по модулю в полтора раза меньше медианной вариации, что свидетельствует о весьма существенном отклонении вероятностного профиля от линейной зависимости с более вероятными малыми по модулю вариациями. Среднеквадратичная величина 1/(518 лет) очень хорошо согласуется с независимой оценкой ее аналога по наблюдениям и динамо моделям в работе [Christensen and Tilgner, 2004].

Отрицательных вариаций 36, что существенно больше 10-ти положительных вариаций на рис. 2. Это свидетельствует о доминировании трендовой диссипации над генерацией в современном геодинамо. Вместе с тем видны следы некоторой периодичности в повторяемости сравнительно больших по модулю вариаций. Для более детальной проработки проанализируем на рис. 3 отдельно положительные и отрицательные вариации. Очевидно почти периодическое (или точнее – васцилляционное с небольшой короткопериодической добавкой к большой трендовой основе) поведение для четырех-пяти максимальных по модулю вариаций, которые почти полностью зеркально асимметричны относительно оси с номерами вариаций на рис. 3. В остальном преобладают отрицательные вариации, что свидетельствует о более чем (46–10) × 100%/46 = 78% доминировании трендовых тенденций над периодическими тенденциями геодинамо энергии потенциального поля в современную эпоху.

Величины экстремальных, средних и медианных вариаций из рисунков 2 и 3 представлены во вставках на этих же рисунках. Медианная величина для всех вариаций составляет 1/(1995 лет), для положительных – +1/(1942 года) и для преобладающих отрицательных – –1/(1628 лет). Эти значения хорошо согласуются со всеми равновесными геодинамо оценками, наблюдениями и с общепринятыми наблюдательными оценками западного дрейфа.

Маловероятная (ее вероятность ≤1/46) минимальная по модулю отрицательная вариация S_d = = –1/(19 013 лет), по-видимому, является проявлением “чистой” магнитной диффузии (индекс d). Для обоснования этого положения рассмотрим диффузию магнитного диполя в сфере радиуса c с проводимостью σ. Поскольку эта диффузия идет по известному, например, [Старченко, 2011]) экспоненциальному закону, то ее точно известная вариация –π²/(µ₀σc²) должна, из-за преобладающего вклада диполя в наблюдаемый тренд энергии потенциального геомагнитного поля, быть практически равна S_d. Отсюда приблизительно определяется величина электрической проводимости ядра Земли

Эта величина хорошо согласуется как с известными теоретическими и диффузионными оценками [Яновский, 1978; Старченко, 2011], так и с современными прямыми квантовыми моделями и экспериментальными оценками [Cheng et al., 2016; Williams, 2018].

Большое отношение полученных выше максимальных (по модулю) вариаций к минимальным вариациям свидетельствует о сильно нелинейном и соответственно турбулентном или хаотическом характере геодинамо [Schaeffer et al., 2017]. Обоснованием для этого является тот факт, что минимальные по модулю вариации приблизительно соответствуют линейной диффузии, а максимальные – изначально нелинейной адвекции.

3. ОБСУЖДЕНИЕ

Из рисунка 1 можно оценить, что рассматриваемая эволюция S включает в себя примерно 20‑летнюю (см. всплеск 1940–1960 гг. и следующие за ним вариации) периодическую составляющую, которая отсутствует в нашем анализе (рис. 2–3 и выше), но может быть выявлена методами, базирующимися на разложениях Фурье по ортогональным функциям и/или вейвлетах. Минимальный период или точнее – характерный временнóй интервал, грубо следующий из нашего рис. 3 – 128 лет. Возможно, наш анализ требует более жесткий аналог теоремы Котельникова [1933] для выявления относительно небольших периодов. В соответствии же с этой теоремой, исходя из пятилетней IGRF дискретизации, Фурье-анализ дает возможность определить периоды длительностью от 10 лет. С другой стороны – при Фурье-разложении на периодические функции мы изначально ограничены длиной временнóго ряда как максимально возможным периодом. Это фундаментальное положение восходит к принципу неопределенности, например, [Берестецкий и др., 2002]. Для нашего метода подобного ограничения нет, поскольку мы используем не периодичности, а характерные времена экспоненциального роста/затухания и, по существу, аппроксимируем ряд кусочками экспонент. Это дает возможность грубо оценивать характерные времена больше длины рассматриваемого ряда, допуская ту же вероятность проявления удельных вариаций вне ряда, что и внутри ряда. Соответствующая статистическая гипотеза исходит из практически фрактальной идеи самоподобия различных временны́х интервалов и может быть частично верифицирована на современных геодинамо подобных численных моделях.

Естественным образом выделенные нами в этой работе геодинамо процессы адвекции и диффузии, практически все “по умолчанию”, соотносятся с крупномасштабным трендовым дипольным и сравнительно хаотическим недипольным полем соответственно. При этом единственной известной нам работой по строгому статистическому обоснованию этого положения является [Hulot and Mouël, 1994]. К сожалению, даже и в этой работе, из-за вышеупомянутых традиционных методических затруднений Фурье подобного анализа, выделяют лишь периоды в “пару сотен лет” для недипольного поля и “намного больше, чем несколько сотен лет” для дипольного поля. Предлагаемый нами “анализ удельных вариаций” позволяет частично преодолеть подобные затруднения. В результате получаются не только вполне определенные характерные времена, но и наиболее вероятные геодинамо механизмы их реализации.

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Предлагается новый тип анализа временны́х рядов, дополняющий известные анализы в определении временны́х характеристик рассматриваемого ряда. В качестве частотной меры предлагается отношение временнóй вариации значений ряда к самому значению, что эквивалентно логарифмической производной или удельной вариации. Положительные удельные вариации равны моментальной степени экспоненциального роста, а отрицательные – падения для модуля рассматриваемой величины.

2. По сравнению с традиционными анализами, базирующимися на разложении Фурье, преимущество нашего анализа удельных вариаций в возможности грубо оценивать характерные времена превышающие длину ряда. Основные недостатки: неполная определенность статистического веса каждой из рассматриваемых вариаций, их изначальная дискретность, отсутствие периодичности и отсутствие возможности разложения по ортогональным функциям. Для некоторого купирования этих недостатков мы вынуждены предположить, что каждая из удельных вариаций дает равновероятный вклад в ее проявление в пределах рассматриваемого ряда, а вне его – вероятность проявления такая же, что и внутри.

3. Предлагаемый нами анализ определяется и апробируется на ряде значений энергии потенциального геомагнитного поля, следующей из общепринятой IGRF модели 1900–2020 гг. Медианная величина для всех удельных вариаций – ‒1/(1995 лет), для положительных – 1/(1942 года) и для преобладающих отрицательных – ‒1/(1628 лет). Эти значения хорошо согласуются с геодинамо оценкой соответствующих равновесных величин и с общепринятыми наблюдательными оценками западного дрейфа. Также проанализированы среднеарифметические и среднеквадратичные удельные вариации в их связи с геодинамо моделями и геомагнитными наблюдениями.

4. Менее вероятные экстремальные значения –1/(128 лет) и –1/(19 013 лет) соотносятся с практически “чистой” МГД адвекцией течением и магнитной диффузией соответственно. Диффузионная оценка позволяет приблизительно, но вполне адекватно, оценить величину проводимости ядра Земли, а оценка для адвекции – среднюю скорость течений. Большое отношение экстремальных удельных вариаций свидетельствует о сильно нелинейном и соответственно турбулентном характере геодинамо.