1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления
  4. T. 494, № 1, 2020

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 494, № 1, стр. 60-63

БИЛИНЕЙНЫЕ ВЕСОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА С ДВУМЕРНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

Член-корреспондент РАН В. Д. Степанов 1, *, Г. Э. Шамбилова 2, **

1 Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук
Москва, Россия

2 Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)
Московская обл., Долгопрудный, Россия

* E-mail: stepanov@mi-ras.ru
** E-mail: shambilova@mail.ru

Поступила в редакцию 27.07.2020
После доработки 27.07.2020
Принята к публикации 20.08.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

Дана характеризация билинейного неравенства с двумерными прямоугольными операторами Харди в весовых пространствах Лебега.

Ключевые слова: весовое пространство Лебега, двумерный оператор Харди, билинейное неравенство

Пусть $\mathfrak{M}$ – множество всех измеримых по Лебегу функций на $\mathbb{R}_{ + }^{2}: = {{(0,\infty )}^{2}}$, ${{\mathfrak{M}}^{ + }} \subset \mathfrak{M}$ – конус всех неотрицательных функций.

Пусть $1 < q,{{p}_{1}},{{p}_{2}} < \infty $ и ${{{v}}_{1}},{{{v}}_{2}},u \in {{\mathfrak{M}}^{ + }}$. Рассматривается задача о характеризации билинейного неравенства

(1)
$\begin{gathered} \mathop {\left( {\int\limits_{\mathbb{R}_{ + }^{2}} \,\mathop {\left( {{{I}_{2}}f} \right)}\nolimits^q \mathop {\left( {{{I}_{2}}g} \right)}\nolimits^q u} \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{q}} \leqslant \\ \leqslant \;C\mathop {\left( {\int\limits_{\mathbb{R}_{ + }^{2}} \,{{f}^{{{{p}_{1}}}}}{{{v}}_{1}}} \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{{{{p}_{1}}}}} \mathop {\left( {\int\limits_{\mathbb{R}_{ + }^{2}} \,{{g}^{{{{p}_{2}}}}}{{{v}}_{2}}} \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{{{{p}_{2}}}}} ,\quad f,g \in {{\mathfrak{M}}^{ + }}, \\ \end{gathered} $
где
(2)
${{I}_{2}}f({{x}_{1}},{{x}_{2}}): = \int\limits_0^{{{x}_{1}}} {\int\limits_0^{{{x}_{2}}} f } ({{t}_{1}},{{t}_{2}})d{{t}_{1}}d{{t}_{2}}$
есть двумерный прямоугольный оператор Харди.

Характеризация билинейных весовых неравенств с одномерными операторами изучалась в [1, 2] как дополнение и иллюстрация некоторых результатов о мультилинейных неравенствах [3, 4]. Билинейные неравенства на полуоси с более общими операторами Вольтерра Ri  f(x) = $\int\limits_0^x {{{k}_{i}}(x,y)f(y)dy} $, i = 1, 2, характеризованы в [5, 6], а с операторами Харди–Стеклова в [7, 8].

В работах [9–12] дана полная характеризация многомерных билинейных весовых неравенств вида

$\begin{gathered} \mathop {\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}} \,\mathop {\left( {\int\limits_{B(|x|)} f } \right)}\nolimits^q \mathop {\left( {\int\limits_{B(|x|)} g } \right)}\nolimits^q u(x)dx} \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{q}} \leqslant \\ \leqslant \;C\mathop {\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}} {{{f}^{{{{p}_{1}}}}}} {{{v}}_{1}}} \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{{{{p}_{1}}}}} \mathop {\left( {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}} {{{g}^{{{{p}_{2}}}}}} {{{v}}_{2}}} \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{{{{p}_{2}}}}} ,\quad f,g \in {{\mathfrak{M}}^{ + }}, \\ \end{gathered} $
где $B\left( {\left| x \right|} \right)$ – шар радиуса |x| с центром в начале координат.

Для характеризации билинейных весовых неравенств (1) мы будем использовать известные критерии для двумерных весовых неравенств Харди

(3)
$\mathop {\left( {\int\limits_{\mathbb{R}_{ + }^{2}} {\mathop {\left( {{{I}_{2}}f} \right)}\nolimits^q } u} \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{q}} \leqslant C\mathop {\left( {\int\limits_{\mathbb{R}_{ + }^{2}} {{{f}^{p}}} {v}} \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{p}} ,\quad f \in {{\mathfrak{M}}^{ + }},$
и аналогичные результаты с двойственным оператором
(4)
$I_{2}^{*}g({{y}_{1}},{{y}_{2}}): = \int\limits_{{{y}_{1}}}^\infty {\int\limits_{{{y}_{2}}}^\infty g } ({{s}_{1}},{{s}_{2}})d{{s}_{1}}d{{s}_{2}},$
которые содержатся в [13–15].

В отличие от одномерной теории неравенство (3) исследовано значительно меньше. Общий результат, т.е. двусторонняя оценка наилучшей константы C интегральным функционалом, представлен в работе E. Сойера [13] лишь при $1 < p \leqslant q < \infty $. В работах [14, 15] представлены критерии при $1 < p \leqslant q < \infty $ и $1 < q < p < \infty $, но при условии, что одна из двумерных весовых функций факторизуется, т.е. берется в виде произведения двух одномерных. Поэтому наши основные результаты (разд. 1), характеризующие неравенство (1), имеют соответствующие ограничения.

Всюду в работе произведения вида $0 \cdot \infty $ полагаются равными 0. Соотношение $A \lesssim B$ означает $A \leqslant cB$ с константой c, зависящей только от параметров суммирования; A ≈ B равносильно $A \lesssim B \lesssim A$. Если $1 < p < \infty $, то $p{\text{'}}: = \tfrac{p}{{p - 1}}$. При $1 < q < p < \infty $ полагаем $r: = \tfrac{{pq}}{{p - q}}$, χΩ обозначает характеристическую функцию (индикатор) множества $\Omega $.

1. БИЛИНЕЙНЫЕ ВЕСОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА

Характеризация неравенств (1) существенно зависит от соотношений между параметрами суммирования $1 < {{p}_{1}},\;{{p}_{2}},\;q < \infty $. Выделим основные зоны.

$\begin{gathered} {\text{I}}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 < max({{p}_{1}},{{p}_{2}}) \leqslant q < \infty . \hfill \\ {\text{II}}.\,\,\,\,1 < min({{p}_{1}},{{p}_{2}}) \leqslant q < max({{p}_{1}},{{p}_{2}}) < \infty . \hfill \\ {\text{III}}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 < q < min({{p}_{1}},{{p}_{2}}). \hfill \\ \end{gathered} $

Зона I. В этом случае мы находим точный критерий выполнения неравенства (1) в случае, когда одна из весовых функций ${{{v}}_{1}}$ или ${{{v}}_{2}}$ факторизуется. Таким образом, с учетом замены в неравенстве (1) одного или обоих операторов I2 на $I_{2}^{ * }$, возникает восемь вариантов. Мы дадим описание одного из них, остальные – аналогично.

Пусть ${{{v}}_{1}}({{t}_{1}},{{t}_{2}}) = {{{v}}_{{11}}}({{t}_{1}}){{{v}}_{{12}}}({{t}_{2}})$, ${{\sigma }_{{1i}}}: = {v}_{{1i}}^{{1 - p{\text{'}}}}$, i = 1, 2,

${{V}_{{1i}}}({{t}_{i}}): = \int\limits_0^{{{t}_{i}}} {{{\sigma }_{{1i}}}} = :I{{\sigma }_{{1i}}},\quad i = 1,\;2.$

Теорема 1. Пусть $1 < max({{p}_{1}},{{p}_{2}}) < q < \infty $ и ${{{v}}_{1}} = {{{v}}_{{11}}}{{{v}}_{{12}}}$. Тогда наилучшая константа C в неравенстве (1) допускает оценку $C \approx {{\mathcal{A}}_{1}}$,

(5)
$\begin{gathered} {{\mathcal{A}}_{1}}: = \mathop {sup}\limits_{x,y > 0} {{\left[ {{{V}_{{11}}}(x){{V}_{{12}}}(y)} \right]}^{{\frac{1}{{{{p}_{1}}}}}}} \times \\ \times \;\left( {{{D}_{1}}(x,y) + {{D}_{2}}(x,y) + {{D}_{3}}(x,y)} \right), \\ \end{gathered} $
где

$\begin{gathered} {{D}_{1}}(x,y): = \mathop {sup}\limits_{{{t}_{1}},{{t}_{2}} > 0} {{[I_{2}^{ * }({{\chi }_{{(x,\infty ) \times (y,\infty )}}}u)({{t}_{1}},{{t}_{2}})]}^{{\frac{1}{q}}}} \times \\ \times \;{{\left[ {{{I}_{2}}{{\sigma }_{2}}({{t}_{1}},{{t}_{2}})} \right]}^{{\frac{1}{{p'}}}}} < \infty , \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{D}_{2}}(x,y): = \mathop {sup}\limits_{{{t}_{1}},{{t}_{2}} > 0} {{\left( {\int\limits_0^{{{t}_{1}}} {\int\limits_0^{{{t}_{2}}} {{{{({{I}_{2}}{{\sigma }_{2}})}}^{q}}} } {{\chi }_{{(x,\infty ) \times (y,\infty )}}}u} \right)}^{{\tfrac{1}{q}}}} \times \\ \times \;{{\left[ {{{I}_{2}}{{\sigma }_{2}}({{t}_{1}},{{t}_{2}})} \right]}^{{ - \tfrac{1}{p}}}} < \infty , \\ \end{gathered} $
${{D}_{3}}(x,y): = \mathop {sup}\limits_{{{t}_{1}},{{t}_{2}} > 0} {{\left( {\int\limits_{{{t}_{1}}}^\infty {\int\limits_{{{t}_{2}}}^\infty {} } {{{(I_{2}^{ * }({{\chi }_{{(x,\infty ) \times (y,\infty )}}}u))}}^{{p{\text{'}}}}}{{\sigma }_{2}}} \right)}^{{\tfrac{1}{{p{\text{'}}}}}}} \times $
$ \times \;{{[I_{2}^{ * }({{\chi }_{{(x,\infty ) \times (y,\infty )}}}u)({{t}_{1}},{{t}_{2}})]}^{{ - \tfrac{1}{{q{\text{'}}}}}}} < \infty .$

Замечание. Если второй вес также факторизован, т.е.

${{{v}}_{2}}({{t}_{1}},{{t}_{2}}) = {{{v}}_{{21}}}({{t}_{1}}){{{v}}_{{22}}}({{t}_{2}}),\quad {{\sigma }_{{2i}}}: = {v}_{{2i}}^{{1 - p{\text{'}}}},\quad i = 1,2,$
то выражение для константы (5) упрощается:
(6)
$\begin{gathered} {{\mathcal{A}}_{1}}: = \mathop {sup}\limits_{x,y > 0} {{[I_{2}^{ * }u(x,y)]}^{{\frac{1}{q}}}} \times \\ \times \;{{[{{V}_{{11}}}(x){{V}_{{12}}}(y)]}^{{\frac{1}{{p_{1}^{'}}}}}}{{[{{V}_{{21}}}(x){{V}_{{22}}}(y)]}^{{\tfrac{1}{{p_{2}^{'}}}}}}, \\ \end{gathered} $
где

${{V}_{{2i}}}({{t}_{i}}): = \int\limits_0^{{{t}_{i}}} {{{\sigma }_{{2i}}}} = :I{{\sigma }_{{2i}}},\quad i = 1,2.$

Зона II. Будем считать, что обе весовые функции ${{{v}}_{1}}$ и ${{{v}}_{2}}$ факторизованы, т.е. ${{{v}}_{1}}\, = \,{{{v}}_{{11}}}{{{v}}_{{12}}}$, ${{{v}}_{2}}\, = \,{{{v}}_{{21}}}{{{v}}_{{22}}}$. Тогда имеет место

Теорема 2. Пусть $1 < min({{p}_{1}},{{p}_{2}}) \leqslant q$ < < max(p1, p2) < ∞ и $\tfrac{1}{{{{r}_{i}}}}: = \tfrac{1}{q} - \tfrac{1}{{{{p}_{i}}}}$. Тогда $C \approx {{\mathcal{A}}_{2}}$, где

a) $1 < {{p}_{1}} \leqslant q < {{p}_{2}} < \infty ,$

$\begin{gathered} {{\mathcal{A}}_{2}}: = \mathop {sup}\limits_{x,y > 0} {{[{{V}_{{11}}}(x){{V}_{{12}}}(y)]}^{{\frac{1}{{p_{1}^{'}}}}}} \times \\ \times \;\mathop {\left( {\int\limits_x^\infty {\int\limits_y^\infty {{{{[I_{2}^{ * }u]}}^{{\tfrac{{{{r}_{2}}}}{q}}}}} } {{{[{{V}_{{21}}}{{V}_{{22}}}]}}^{{\frac{{{{r}_{2}}}}{{q'}}}}}d{{V}_{{21}}}d{{V}_{{22}}}} \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{{{{r}_{2}}}}} , \\ \end{gathered} $

б) $1 < {{p}_{2}} \leqslant q < {{p}_{1}} < \infty ,$

$\begin{gathered} {{\mathcal{A}}_{2}}: = \mathop {sup}\limits_{x,y > 0} {{[{{V}_{{21}}}(x){{V}_{{22}}}(y)]}^{{\frac{1}{{p_{2}^{'}}}}}} \times \\ \times \;\mathop {\left( {\int\limits_x^\infty {\int\limits_y^\infty {{{{[I_{2}^{ * }u]}}^{{\tfrac{{{{r}_{1}}}}{q}}}}} } {{{[{{V}_{{12}}}{{V}_{{11}}}]}}^{{\frac{{{{r}_{1}}}}{{q'}}}}}d{{V}_{{11}}}d{{V}_{{12}}}} \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{{{{r}_{1}}}}} . \\ \end{gathered} $

Зона III. В этой части мы предполагаем, что все три веса факторизованы, т.е. u(t1, t2) = ${{u}_{1}}({{t}_{1}}){{u}_{2}}({{t}_{2}})$, и аналогично для ${{{v}}_{1}}$, ${{{v}}_{2}}$. Обозначим

$U({{t}_{1}},{{t}_{2}}): = I_{2}^{ * }u({{t}_{1}},{{t}_{2}}) = \int\limits_{{{t}_{1}}}^\infty {{{u}_{1}}} \int\limits_{{{t}_{2}}}^\infty {{{u}_{2}}} = :{{U}_{1}}({{t}_{1}}){{U}_{2}}({{t}_{2}}).$

Теорема 3. Пусть $1 < q < min({{p}_{1}},{{p}_{2}}) < \infty $, и $\tfrac{1}{{{{r}_{i}}}}\,: = \,\tfrac{1}{q}\, - \,\tfrac{1}{{{{p}_{i}}}}$, i = 1, 2. Тогда C ≈ ${{\mathcal{A}}_{{3.1}}}\, + \,{{\mathcal{A}}_{{3.2}}}\, + \,{{\mathcal{A}}_{{3.3}}}\, + \,{{\mathcal{A}}_{{3.4}}}$.

a) Если $\tfrac{1}{q} \leqslant \tfrac{1}{{{{p}_{1}}}} + \tfrac{1}{{{{p}_{2}}}}$, то

$\begin{gathered} {{\mathcal{A}}_{{3.1}}}: = \mathop {sup}\limits_{x,y > 0} {{[{{V}_{{11}}}(x){{V}_{{12}}}(y)]}^{{\frac{1}{{p_{1}^{'}}}}}} \times \\ \times \;\mathop {\left( {\int\limits_x^\infty {\int\limits_y^\infty {{{U}^{{\frac{{{{r}_{2}}}}{q}}}}} } {{{[{{V}_{{21}}}{{V}_{{22}}}]}}^{{\frac{{{{r}_{2}}}}{{q'}}}}}d{{V}_{{21}}}d{{V}_{{22}}}} \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{{{{r}_{2}}}}} , \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{\mathcal{A}}_{{3.2}}}: = \mathop {sup}\limits_{x,y > 0} {{[{{V}_{{21}}}(x){{V}_{{22}}}(y)]}^{{\frac{1}{{p_{2}^{'}}}}}} \times \\ \times \;\mathop {\left( {\int\limits_x^\infty {\int\limits_y^\infty {{{U}^{{\frac{{{{r}_{1}}}}{q}}}}} {{{[{{V}_{{12}}}{{V}_{{11}}}]}}^{{\frac{{{{r}_{1}}}}{{q'}}}}}} d{{V}_{{11}}}d{{V}_{{12}}}} \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{{{{r}_{1}}}}} , \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{\mathcal{A}}_{{3.3}}}: = \mathop {sup}\limits_{x,y > 0} V_{{21}}^{{\frac{1}{{p_{2}^{'}}}}}(x)V_{{12}}^{{\frac{1}{{p_{1}^{'}}}}}(y) \times \\ \times \;\mathop {\left( {\int\limits_x^\infty {U_{1}^{{\frac{{{{r}_{1}}}}{q}}}} V_{{11}}^{{\frac{{{{r}_{1}}}}{{q{\kern 1pt} '}}}}d{{V}_{{11}}}} \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{{{{r}_{1}}}}} \mathop {\left( {\int\limits_y^\infty {U_{2}^{{\frac{{{{r}_{2}}}}{q}}}} V_{{22}}^{{\frac{{{{r}_{2}}}}{{q{\kern 1pt} '}}}}d{{V}_{{22}}}} \right)}\nolimits^{\frac{1}{{{{r}_{2}}}}} . \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{\mathcal{A}}_{{3.4}}}: = \mathop {sup}\limits_{x,y > 0} V_{{11}}^{{\frac{1}{{p_{1}^{'}}}}}(x)V_{{22}}^{{\frac{1}{{p_{2}^{'}}}}}(y) \times \\ \times \;\mathop {\left( {\int\limits_x^\infty {U_{1}^{{\frac{{{{r}_{2}}}}{q}}}} V_{{21}}^{{\frac{{{{r}_{2}}}}{{q'}}}}d{{V}_{{21}}}} \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{{{{r}_{2}}}}} \mathop {\left( {\int\limits_y^\infty {U_{2}^{{\frac{{{{r}_{1}}}}{q}}}} V_{{12}}^{{\frac{{{{r}_{1}}}}{{q'}}}}d{{V}_{{12}}}} \right)}\nolimits^{\frac{1}{{{{r}_{1}}}}} . \\ \end{gathered} $

б) Если $\tfrac{1}{q} > \tfrac{1}{{{{p}_{1}}}} + \tfrac{1}{{{{p}_{2}}}}$, $\tfrac{1}{s}: = \tfrac{1}{q} - \tfrac{1}{{{{p}_{1}}}} - \tfrac{1}{{{{p}_{2}}}}$, то

${{\mathcal{A}}_{{3.1}}}: = \mathop {\left( {{{{\int\limits_{\mathbb{R}_{ + }^{2}} {\left( {\int\limits_x^\infty {\int\limits_y^\infty {{{U}^{{\frac{{{{r}_{2}}}}{q}}}}} } {{{[{{V}_{{21}}}{{V}_{{22}}}]}}^{{\frac{{{{r}_{2}}}}{{q'}}}}}d{{V}_{{21}}}d{{V}_{{22}}}} \right)} }}^{{\frac{s}{{{{r}_{2}}}}}}}{{{[{{V}_{{11}}}(x){{V}_{{12}}}(y)]}}^{{\tfrac{s}{{{{r}_{2}}}}}}}d{{V}_{{11}}}d{{V}_{{12}}}} \right)}\nolimits^{\frac{1}{s}} .$
${{A}_{{3.2}}}: = \mathop {\left( {\int\limits_{\mathbb{R}_{ + }^{2}} {\mathop {\left( {\int\limits_x^\infty {\int\limits_y^\infty {{{U}^{{\frac{{{{r}_{1}}}}{q}}}}} } {{{[{{V}_{{11}}}{{V}_{{12}}}]}}^{{\frac{{{{r}_{1}}}}{{q'}}}}}d{{V}_{{11}}}d{{V}_{{12}}}} \right)}\nolimits^{\tfrac{s}{{{{r}_{1}}}}} } {{{[{{V}_{{21}}}(x){{V}_{{22}}}(y)]}}^{{\tfrac{s}{{{{r}_{1}}}}}}}d{{V}_{{21}}}d{{V}_{{22}}}} \right)}\nolimits^{\tfrac{1}{s}} ,$
$\mathcal{A}_{{3.3}}^{s}: = \int\limits_{\mathbb{R}_{ + }^{2}} {V_{{21}}^{{\frac{s}{{p_{2}^{'}}}}}} (x)V_{{12}}^{{\frac{s}{{r_{2}^{'}}}}}(y)\mathop {\left( {\int\limits_x^\infty {U_{1}^{{\frac{{{{r}_{1}}}}{q}}}} V_{{11}}^{{\frac{{{{r}_{1}}}}{{q'}}}}d{{V}_{{11}}}} \right)}\nolimits^{\tfrac{s}{{{{p}_{2}}}}} \mathop {\left( {\int\limits_y^\infty {U_{2}^{{\frac{{{{r}_{2}}}}{q}}}} V_{{22}}^{{\frac{{{{r}_{2}}}}{{q'}}}}d{{V}_{{22}}}} \right)}\nolimits^{\frac{s}{{{{r}_{2}}}}} U_{1}^{{\frac{{{{r}_{1}}}}{q}}}(x)V_{{11}}^{{\frac{{{{r}_{1}}}}{{q'}}}}(x)d{{V}_{{11}}}(x)d{{V}_{{12}}}(y),$
$\mathcal{A}_{{3.4}}^{s}: = \int\limits_{\mathbb{R}_{ + }^{2}} {V_{{11}}^{{\frac{s}{{r_{2}^{'}}}}}} (x)V_{{22}}^{{\frac{s}{{p_{2}^{'}}}}}(y)\mathop {\left( {\int\limits_x^\infty {U_{1}^{{\frac{{{{r}_{2}}}}{q}}}} V_{{21}}^{{\frac{{{{r}_{2}}}}{{q{\text{'}}}}}}d{{V}_{{21}}}} \right)}\nolimits^{\frac{s}{{{{r}_{2}}}}} \mathop {\left( {\int\limits_y^\infty {U_{2}^{{\frac{{{{r}_{1}}}}{q}}}} V_{{12}}^{{\frac{{{{r}_{1}}}}{{q{\text{'}}}}}}d{{V}_{{12}}}} \right)}\nolimits^{\frac{s}{{{{p}_{2}}}}} U_{2}^{{\frac{{{{r}_{1}}}}{q}}}(y)V_{{12}}^{{\frac{{{{r}_{1}}}}{{q'}}}}(y)d{{V}_{{11}}}(x)d{{V}_{{12}}}(y).$

Список литературы

  1. Aguilar Cañestro M.I., Ortega Salvador P., Ramírez Torreblanca C. Weighted Bilinear Hardy Inequalities // J. Math. Anal. Appl. 2012. V. 387. № 1. P. 320–334.

  2. Křepela M. Iterating Bilinear Hardy Inequalities // Proc. Edinb. Math. Soc. 2017. V. 60. P. 955–971.

  3. Cwikel M., Kerman R. Positive Multilinear Operators Acting on Weighted ${{L}_{p}}$ Spaces // J. Funct. Anal. 1992. V. 106. № 1. P. 130–144.

  4. Grafakos L., Torres R.H. A Multilinear Schur Test and Multiplier Operators // J. Funct. Anal. 2001. V. 187. № 1. P. 1–24.

  5. Прохоров Д.В. Об одном классе весовых неравенств, содержащих квазилинейные операторы // Тр. МИАН. 2016. Т. 293. С. 280–295.

  6. Степанов В.Д., Шамбилова Г.Э. О билинейных весовых неравенствах с интегральными операторами Вольтерра // ДАН. 2019. Т. 486. № 4. С. 416–420.

  7. Джейн П., Канжилал С., Степанов В.Д., Ушакова Е.П. О билинейных операторах Харди–Стеклова // ДАН. 2018. Т. 483. № 6. С. 602–605.

  8. Jain P., Kanjilal S., Stepanov V.D., Ushakova E.P. Bilinear Hardy–Steklov Operators // Math. Notes. 2018. V. 104. № 6. P. 823–832.

  9. Степанов В.Д., Шамбилова Г.Э. Многомерные билинейные неравенства Харди // ДАН. 2019. Т. 487. № 5. С. 496–498.

  10. Jain P., Kanjilal S., Persson L.-E. Hardy-type Inequalities over Balls in ${{\mathbb{R}}^{N}}$ for Some Bilinear and Iterated Operators // J. Inequalities and Special Functions. 2019. V. 10. № 2. P. 35–48.

  11. Bigicli N., Mustafayev R.Ch., Ünver T. Multidimensional Bilinear Hardy Ineualities // Azerbaijan J. Math. 2020. V. 10. № 1. P. 127–161.

  12. Степанов В.Д., Шамбилова Г.Э. Многомерные билинейные неравенства Харди // Сиб. матем. журн. 2020. Т. 61. № 4. С. 913–931.

  13. Sawyer E. Weighted inequalities for two–dimensional Hardy operator // Studia Math. 1985. V. 82. P. 1–16.

  14. Wedestig A. Weighted Inequalities for the Sawyer Two-dimensional Hardy Operator and Its Limiting Geometric Mean Operator // J. Inequal. Appl. 2005. V. 4. P. 387–394.

  15. Persson L.-E., Ushakova E.P. Some Multi–dimensional Hardy Type Integral Inequalities // J. Math. Inequal. 2007. V. 1. № 3. P. 301–319.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал