1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления
  4. T. 494, № 1, 2020

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 494, № 1, стр. 68-70

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЯДОВ ЭЙЛЕРОВА ТИПА С ПАРАМЕТРОМ – ЛИУВИЛЛЕВЫМ ПОЛИАДИЧЕСКИМ ЧИСЛОМ

В. Г. Чирский 1, *

1 Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Москва, Россия

* E-mail: vgchirskii@yandex.ru

Поступила в редакцию 10.07.2020
После доработки 10.07.2020
Принята к публикации 24.08.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

Для любой линейной формы ${{h}_{0}}{{f}_{0}}(1) + {{h}_{1}}{{f}_{1}}(1)$ с целыми коэффициентами h0, h1, не обращающимися в ноль одновременно, устанавливается существование бесконечного множества полей p-адических чисел, в которых эта форма не обращается в ноль. Здесь ${{f}_{0}}\left( 1 \right) = \mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty {{\left( \lambda \right)}_{n}},{{f}_{1}}\left( 1 \right) = \mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty {{\left( {\lambda + 1} \right)}_{n}}$, λ – лиувиллево полиадическое число, а (λ)n обозначает символ Похгаммера. Этот результат дает пример исследования арифметических свойств значений гипергеометрических рядов с трансцендентными параметрами.

Ключевые слова: бесконечная линейная независимость, полиадические числа, приближения Эрмита–Паде

С именем Л. Эйлера связан ряд $\mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty n!{{\left( { - z} \right)}^{n}}$. В комплексной области этот ряд сходится только в точке z = 0. Однако в любом поле p-адических чисел ${{\mathbb{Q}}_{p}}$ этот ряд сходится при ${{\left| z \right|}_{p}} < {{p}^{{\frac{1}{{p - 1}}}}}.~$ При z = –1 получаем ряд

(1)
$\mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty n!,$
который сходится в любом поле ${{\mathbb{Q}}_{p}}$. Сходящиеся во всех полях ${{\mathbb{Q}}_{p}}$ ряды с членами – целыми числами представляют собой так называемые полиадические числа [1].

Вместе с рядом (1) можно рассмотреть ряд α = = $\mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty {{(\lambda )}_{n}}$ несколько более общего вида (где (λ)n обозначает символ Похгаммера, определяемый равенствами ${{(\lambda )}_{0}} = 1,~~{{(\lambda )}_{n}} = \lambda (\lambda + 1) \ldots (\lambda + n - 1)~$, n = 1, 2, ...). Если λ – рациональное число, то рассматриваемый ряд сходится в любом поле ${{\mathbb{Q}}_{p}}$ (кроме, быть может, конечной совокупности таких полей, соответствующих простым числам, входящим в знаменатель λ); его сумму в поле ${{\mathbb{Q}}_{p}}$ будем обозначать символом ${{\alpha }^{{\left( p \right)}}}$. Из результатов работ [2, 3] сразу следует, что ряд (1) и ряд α обладают свойством бесконечной трансцендентности. Это означает для ряда α, например, что для любого отличного от нуля многочлена P(x) с целыми коэффициентами существует бесконечное множество простых чисел p таких, что в поле ${{\mathbb{Q}}_{p}}$ выполнено неравенство $P({{\alpha }^{{\left( p \right)}}}) \ne 0.$ В работе [4] рассматривалась линейная форма от ряда (1) и было доказано существование бесконечного множества простых чисел p, входящих в некоторое собственное подмножество множества всех простых чисел и таких, что в поле ${{\mathbb{Q}}_{p}}$ эта линейная форма не обращается в ноль.

Ряд α является частным случаем обобщенного гипергеометрического ряда

(2)
$\mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty \frac{{{{{\left( {{{\alpha }_{1}}} \right)}}_{n}} \ldots {{{\left( {{{\alpha }_{r}}} \right)}}_{n}}}}{{{{{\left( {{{\beta }_{1}}} \right)}}_{n}} \ldots {{{\left( {{{\beta }_{s}}} \right)}}_{n}}}}{{z}^{n}}.$

В случае, когда параметры ряда (2) являются рациональными числами, при r < s этот ряд заменой переменной сводится к E-функции Зигеля, при r = s этот ряд представляет собой G-функцию Зигеля, а при r > s получаем F-ряд. В этом случае для исследования арифметической природы значений рассматриваемого ряда (2) применяются метод Зигеля–Шидловского и его обобщение (см. [5–10]).

Если среди параметров ряда (2) есть алгебраические иррациональные числа, то основным подходом к исследованию арифметической природы значений этого ряда являются приближения Эрмита–Паде (см. [11–13]).

Цель настоящей работы – рассмотреть значения при z = 1 рядов

(3)
${{f}_{0}}\left( z \right) = \mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty {{\left( \lambda \right)}_{n}}{{z}^{n}},\quad {{f}_{1}}\left( z \right) = \mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty {{\left( {\lambda + 1} \right)}_{n}}{{z}^{n}},$
с трансцендентным полиадическим параметром λ. Напомним, что значения этих рядов рассматриваются в полях p-адических чисел ${{\mathbb{Q}}_{p}}$.

Перейдем к точным формулировкам. Пусть λ0 – произвольное натуральное число. Обозначим ${{s}_{0}} = {{e}^{{{{\lambda }_{0}}}}}$. Пусть μ0 – натуральное число такое, что для всех простых чисел p, удовлетворяющих неравенству $p \leqslant {{s}_{0}} + {{\lambda }_{0}}$, выполняется условие

${\text{or}}{{{\text{d}}}_{p}}{{\mu }_{0}} \leqslant 2{{s}_{0}}\ln {{s}_{0}}.$
(Здесь символ ${\text{or}}{{{\text{d}}}_{p}}\mu $ использован для обозначения наибольшей степени простого числа p, делящей μ). Полагаем ${{\lambda }_{1}} = {{\lambda }_{0}} + {{\mu }_{0}}$. Продолжаем этот процесс. На шаге с номером k обозначаем ${{s}_{k}} = {{e}^{{{{\lambda }_{k}}}}}$. Пусть μk – натуральное число такое, что для всех простых чисел p, удовлетворяющих неравенству $p \leqslant {{s}_{k}}$ + λk, выполняется условие

(4)
${\text{or}}{{{\text{d}}}_{p}}{{\mu }_{k}} \leqslant 2{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}}.$

Полагаем ${{\lambda }_{{k + 1}}} = {{\lambda }_{k}} + {{\mu }_{k}}$, $k = 1,2, \ldots $ и

(5)
$\lambda = {{\lambda }_{0}} + \mathop \sum \limits_{k = 0}^\infty {{\mu }_{k}}.$

Ряд λ сходится в любом поле p-адических чисел ${{\mathbb{Q}}_{p}}$ и представляет собой полиадическое число. Будем называть полиадическое число λ лиувиллевым полиадическим числом, если для любых чисел n и P$~$существует натуральное число A$~$ такое, что для всех простых чисел $p \leqslant P~$ выполнено неравенство ${\text{|}}\lambda - A{{{\text{|}}}_{p}} < {{A}^{{ - n}}}.$ Из условия (4) следует, что ряд (5) представляет собой лиувиллево полиадическое число. Из этого сразу следует трансцендентность этого ряда в любом поле p-адических чисел ${{\mathbb{Q}}_{p}}$.

Теорема. При определенном равенством (5) значении параметра λ для любой линейной формы ${{h}_{0}}{{f}_{0}}(1) + {{h}_{1}}{{f}_{1}}(1)$ с целыми коэффициентами ${{h}_{0}},{{h}_{1}},$ не обращающимися в ноль одновременно, существует бесконечное множество простых чисел p таких, что в поле ${{\mathbb{Q}}_{p}}$ выполнено неравенство

${{h}_{0}}{{f}_{0}}\left( 1 \right) + {{h}_{1}}{{f}_{1}}\left( 1 \right) \ne 0.$

Иными словами, ряды ${{f}_{0}}\left( 1 \right),~{{f}_{1}}\left( 1 \right)$ бесконечно линейно независимы.

Доказательство теоремы существенно опирается на конструкцию аппроксимаций Эрмита–Паде из работы [14].

Список литературы

  1. Постников А.Г. Введение в аналитическую теорию чисел. М.: Наука, 1971. 416 с.

  2. Chirskii V.G. Product formula, global relations and polyadic integers // Russian Journal of Mathematical Physics. 2019. V. 26. № 3. P. 286–305.

  3. Bertrand D., Chirskii V., Yebbou J. Effective Estimates for Global Relations on Euler-Type Series // Ann. Fac. Sci. Toulouse. 2004. V. 13. № 2. P. 241–260.

  4. Matala-aho T., Zudilin W. Euler factorial series and global relations // J. Number Theory. 2018. V. 186. P. 202–210.

  5. Шидловский А.Б. Трансцендентные числа. М.: Наука, 1987. 448 с.

  6. Салихов В.Х. Критерий алгебраической независимости значений одного класса гипергеометрических E-функций // Мат. сборник. 1990. Т. 181. № 2. С. 189–211.

  7. Bombieri E. On G-functions // Recent progress in Analytic Number Theory. L.: Academic Press, 1981. V. 2. P. 1–68.

  8. Yves Andre. G-functions and Geometry. Aspects of Math. Vieweg. 1989. V. 13.

  9. Flicker Yu. On p-adic G-functions // J. London Math. Soc. 1977. V. 15. № 3. P. 395–402.

  10. Chirskii V.G. Arithmetic properties of Generalized Hypergeometric Series // Russian J. Mathematical Phy-sics. 2020. V. 27. № 2. P. 175–184.

  11. Chudnovsky G.V. On applications of Diophantine approximations // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1985. V. 81. P. 7261–7265.

  12. Иванков П.Л. О линейной независимости значений некоторых гипергеометрических функций с иррациональными параметрами // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34. № 1. С. 53–62.

  13. Чирский В.Г. Об арифметических свойствах обобщенных гипергеометрических рядов с иррациональными параметрами // Известия РАН. Сер. матем. 2014. Т. 78. № 6. С. 193–210.

  14. Нестеренко Ю.В. Приближения Эрмита–Паде обобщенных гипергеометрических функций // Мат. сб. 1994. Т. 185. № 3. С. 39–72.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал