1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления
  4. T. 494, № 1, 2020

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 494, № 1, стр. 14-16

ТРЕХМЕРНЫЕ АНАЛОГИ ТОЖДЕСТВ ХИС-БРАУНА И СЕЛЬБЕРГА

Член-корреспондент РАН В. А. Быковский 1, *, А. В. Устинов 2, **

1 Хабаровское отделение Института прикладной математики Дальневосточного отделения Российской академии наук
Хабаровск, Россия

2 Тихоокеанский государственный университет
Хабаровск, Россия

* E-mail: vab@iam.khv.ru
** E-mail: ustinov.alexey@gmail.com

Поступила в редакцию 28.05.2020
После доработки 09.06.2020
Принята к публикации 17.06.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

Доказаны аналоги тождеств Хис-Брауна и Сельберга для трехмерных сумм Клостермана.

Ключевые слова: аналитическая теория чисел, суммы Клостермана, оценки тригонометрических сумм

Пусть q – натуральное число. Положим eq(a) = = ${\text{exp}}\left( {2\pi i~\frac{a}{q}} \right)$ и для целого a

$\begin{gathered} {{\delta }_{q}}(a) = \frac{1}{q}\mathop \sum \limits_{b\left( {{\text{mod}}~q} \right)} {{e}_{q}}(ab) = \\ = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1,\quad {\text{если}}\quad ~a \equiv 0\left( {{\text{mod}}~q} \right);} \\ {0,\quad {\text{если}}~\quad a{\text{/}} \equiv 0\left( {{\text{mod}}~q} \right).} \end{array}} \right. \\ \end{gathered} $

Для натурального $k \geqslant 2$

${{\tau }_{k}}\left( q \right) = \mathop \sum \limits_{q = {{q}_{1}} \ldots ~{{q}_{k}}} 1$
есть число разбиений q на k сомножителей и τ(q) = = ${{\tau }_{2}}(q)$.

Пусть ${{m}_{1}},~ \ldots ,~{{m}_{{k + 1}}}$ и d – целые, $P \geqslant 1$. При изучении асимптотического поведения средних

$\mathop \sum \limits_{\begin{array}{*{20}{c}} {0 < n \leqslant P} \\ {n~ \equiv ~d~({\text{mod}}~q)} \end{array}} {{\tau }_{k}}\left( n \right)$
(см., например, [1]) возникает необходимость в оценке сумм

$H\left( {{{m}_{1}},~ \ldots ,~{{m}_{{k + 1}}};q} \right) = $
$ = \frac{1}{q}\mathop \sum \limits_{{{a}_{1}},~~ \ldots ,~{{a}_{{k + 1}}}~\left( {{\text{mod}}~q} \right)~} {{e}_{q}}({{m}_{1}}{{a}_{1}} + \ldots + {{m}_{{k + 1}}}{{a}_{{k + 1}}} - {{a}_{1}} \ldots {{a}_{{k + 1}}}) = $
$ = \mathop \sum \limits_{{{a}_{1}},~~ \ldots ,~{{a}_{k}}~\left( {{\text{mod}}~q} \right)~} {{\delta }_{q}}\left( {{{a}_{1}} \ldots {{a}_{k}} - {{m}_{{k + 1}}}} \right){{e}_{q}}({{m}_{1}}{{a}_{1}} + \ldots + {{m}_{k}}{{a}_{k}}).$

Замечание 1. Из определения следует, что величина $H\left( {{{m}_{1}},~ \ldots ,~{{m}_{{k + 1}}};q} \right)$ не меняется при любой перестановке параметров ${{m}_{1}},~ \ldots ,~{{m}_{{k + 1}}}$. В частном случае ${{m}_{{k + 1}}} = 1$ сумма

$H\left( {{{m}_{1}},~ \ldots ,~{{m}_{k}},~1;q} \right) = S\left( {{{m}_{1}},~ \ldots ,~{{m}_{k}};q} \right) = $
$ = \sum\limits_{{{a}_{1}},~ \ldots ,~{{a}_{{k - 1}}}~({\text{mod}}~q)}^* {{{e}_{q}}({{m}_{1}}{{a}_{1}} + \ldots + {{m}_{{k - 1}}}{{a}_{{k - 1}}} + {{m}_{k}}~\overline {{{a}_{1}} \ldots {{a}_{{k - 1}}}} )} $
называется k-мерной суммой Клостермана. Знак звездочки означает, что суммирование проводится по ai (mod q) с ${\text{НОД}}({{a}_{i}},~q) = 1$ и

${{a}_{1}} \ldots {{a}_{{k - 1}}} \cdot \overline {{{a}_{1}} \ldots {{a}_{{k - 1}}}} ~ \equiv 1\left( {{\text{mod}}~q} \right)$.

Двумерную сумму называют просто суммой Клостермана.

В работе [2] было доказано тождество

(1)
$H\left( {{{m}_{1}},~{{m}_{2}},~d;q} \right) = \mathop \sum \limits_{l\backslash {\text{НОД}}\left( {{{m}_{2}},~~d,~q} \right)} l~S\left( {{{m}_{1}},~\frac{{{{m}_{2}}d}}{{{{l}^{2}}}};\frac{q}{l}} \right),$
которое при ${{m}_{1}} = 1,~$ ${{m}_{2}} = m$ и d = n превращается в тождество Сельберга

(2)
$S(m,~n;q) = \mathop \sum \limits_{l\backslash {\text{НОД}}\left( {m,n,~q} \right)} l~S\left( {1,\frac{{mn}}{{{{l}^{2}}}};\frac{q}{l}} \right).$

Оно без доказательства впервые было опубликовано в [3] и переоткрыто в [4] с доказательством, основанным на соотношении мультипликативности для операторов Гекке из теории автоморфных функций. Позднее в [5] было предложено элементарное доказательство.

В работе [6] доказано неравенство

(3)
$\left| {H(m,~n,~d;q)} \right| \leqslant \tau (q{\kern 1pt} ')\tau (q){\text{НО}}{{{\text{Д}}}^{{1/2}}}(mn,~md,nd,~q){{q}^{{1/2}}}$
с $q{\kern 1pt} ' = {\text{НОД}}\left( {m,~n,~d,q} \right)$. При d = 1 оно превращается в неравенство
(4)
$\left| {S\left( {m,~n;q} \right)} \right| \leqslant \tau \left( q \right){\text{НО}}{{{\text{Д}}}^{{1/2}}}\left( {m,~n,~q} \right){{q}^{{1/2}}}$
из работы [7].

В настоящей работе доказываются трехмерные аналоги тождеств Хис-Брауна (1) и Сельберга (2).

Теорема 1. Для любых целых m1, m2, m3и d

$H\left( {{{m}_{1}},~{{m}_{2}},~{{m}_{3}},~d;q} \right) = $
$ = \mathop \sum \limits_{l,~t,r} {{(lt)}^{2}}\frac{{\mu (r)}}{r}S\left( {\frac{{{{m}_{1}}}}{{t{\text{/}}r}},~\frac{{{{m}_{2}}}}{l},~\frac{{d{{m}_{3}}}}{{{{{(lt)}}^{2}}}}\bar {r};~\frac{q}{{lt}}} \right),$
где μ(r) – функция Мёбиуса и суммирование проводится по натуральным l, t и r, для которых

$l{\backslash НОД}\left( {{{m}_{2}},~{{m}_{3}},~d,q} \right),\quad t{\backslash НОД}\left( {\frac{{{{m}_{3}}}}{l},~\frac{d}{l},~\frac{q}{l}} \right),$
$\begin{gathered} r{\backslash }t,\quad \left( {\frac{t}{r}} \right){\backslash }{{m}_{1}},\quad {\text{НОД}}\left( {r,\frac{q}{{lt}}} \right) = 1,~ \\ ~r\bar {r} \equiv 1\left( {{\text{mod}}~\frac{q}{{lt}}} \right). \\ \end{gathered} $

Доказательство. Выделив отдельно суммирование по a1, с помощью замен ${{a}_{2}} = a_{2}^{'} + b_{2}^{'}\frac{q}{l},$ ${{a}_{3}} = a_{3}^{'} + b_{3}^{'}\frac{q}{l}$ получим

$H\left( {{{m}_{1}},~{{m}_{2}},~{{m}_{3}},~d;q} \right) = $
$\begin{gathered} = \mathop \sum \limits_{l\backslash q} \mathop \sum \limits_{\begin{array}{*{20}{c}} {{{a}_{1}}({\text{mod}}~q)} \\ {{\text{НОД}}({{a}_{1}},q) = l} \end{array}} {{e}_{q}}({{m}_{1}}{{a}_{1}}) \times \\ \times \mathop \sum \limits_{{{a}_{2}},~{{a}_{3}}({\text{mod}}~q)} {{\delta }_{q}}({{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}} - d){{e}_{q}}({{m}_{2}}{{a}_{2}} + {{m}_{3}}{{a}_{3}}) = \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} = \mathop \sum \limits_{l\backslash {\text{НОД}}(d,q)} \sum\limits_{a_{1}^{'}({\text{mod}}~q/l)}^* {{{e}_{{q/l}}}({{m}_{1}}a_{1}^{'}) \times } \\ \times \mathop \sum \limits_{a_{2}^{'},~a_{3}^{'}({\text{mod}}~q/l)} {{\delta }_{{q/l}}}\left( {a_{1}^{'}a_{2}^{'}a_{3}^{'} - \frac{d}{l}} \right){{e}_{q}}({{m}_{2}}a_{2}^{'} + {{m}_{3}}a_{3}^{'}) \times \\ \end{gathered} $
$ \times \mathop \sum \limits_{b_{2}^{'},~b_{3}^{'}\left( {{\text{mod}}~l} \right)} {{e}_{l}}({{m}_{2}}b_{2}^{'}){{e}_{l}}({{m}_{3}}b_{3}^{'}) = $
$ = \mathop \sum \limits_{l\backslash {\text{НОД}}\left( {{{m}_{2}},{{m}_{3}},d,~q} \right)} {{l}^{2}}\sum\limits_{a_{1}^{'}~\left( {{\text{mod}}~q/l} \right)}^* {{{e}_{{q/l}}}({{m}_{1}}a_{1}^{'})H\left( {\frac{{{{m}_{2}}}}{l},~\frac{{{{m}_{3}}}}{l},\frac{d}{l}\overline {a_{1}^{'}} ;~\frac{q}{l}} \right).} $

С помощью тождества (1) последнее выражение преобразуется к виду

$\begin{gathered} \mathop \sum \limits_{l\backslash {\text{НОД}}\left( {{{m}_{2}},{{m}_{3}},d,~q} \right)} {{l}^{2}}\mathop \sum \limits_{t\backslash {\text{НОД}}\left( {{{m}_{3}}/l,~~d/l,~q/l} \right)} t \times \\ \, \times \sum\limits_{a_{1}^{'}~\left( {{\text{mod}}~q/l} \right)}^* {{{e}_{{q/l}}}({{m}_{1}}a_{1}^{'})S\left( {\frac{{{{m}_{2}}}}{l},~\frac{{{{m}_{3}}d}}{{{{{\left( {lt} \right)}}^{2}}}}\overline {a_{1}^{'}} ;~\frac{q}{{lt}}} \right)} . \\ \end{gathered} $

Осталось только воспользоваться следующим утверждением.

Лемма. Пусть t\q и $f:\mathbb{Z} \to \mathbb{C}$ – периодическая функция с периодом q/t. Тогда для любого целого m

$\begin{gathered} \sum\limits_{a~\left( {{\text{mod}}~q} \right)}^* {{{e}_{q}}\left( {ma} \right)f\left( {\bar {a}} \right) = } \\ = t\mathop \sum \limits_{\begin{array}{*{20}{c}} {r\backslash t} \\ {{\text{НОД}}~\left( {r,q/t} \right) = 1} \end{array}} \frac{{\mu \left( r \right)}}{r}{{\delta }_{{t/r}}}\left( m \right)\sum\limits_{a~\left( {{\text{mod}}~q/t} \right)}^* {{{e}_{{q/t}}}\left( {\frac{m}{{t{\text{/}}r}}a} \right)f(\overline {ar} ).} \\ \end{gathered} $

Доказательство. С помощью функции δq(a) получаем

$\sum\limits_{a~({\text{mod}}~q)}^* {{{e}_{q}}(ma)f(\bar {a}) = \mathop \sum \limits_{a,~b~({\text{mod}}~q)} {{\delta }_{q}}(ab - 1){{e}_{q}}(ma)f(b) = } $
$ = \mathop \sum \limits_{\begin{array}{*{20}{c}} {a~({\text{mod}}~q)} \\ {{\text{НОД}}(a,t) = 1} \end{array}} {{e}_{q}}(ma)\mathop \sum \limits_{\begin{array}{*{20}{c}} {b'({\text{mod}}~q/t)} \\ {b''({\text{mod}}~t)} \end{array}} {{\delta }_{q}}(a(b{\kern 1pt} '\, + (q{\text{/}}t)b{\kern 1pt} '') - 1)f(b{\kern 1pt} ') = $
$\begin{gathered} = \mathop \sum \limits_{\begin{array}{*{20}{c}} {a~\left( {{\text{mod}}~q} \right)} \\ {{\text{НОД}}\left( {a,t} \right) = 1} \end{array}} {{e}_{q}}\left( {ma} \right)\mathop \sum \limits_{b'\left( {{\text{mod}}~q/t} \right)} {{\delta }_{{q/t}}}\left( {ab{\kern 1pt} '\, - 1} \right)f\left( {b{\kern 1pt} '} \right) \times \\ \times \mathop \sum \limits_{b''~\left( {{\text{mod}}~t} \right)} {{\delta }_{t}}\left( {ab{\kern 1pt} ''\, + \frac{{ab{\kern 1pt} '\, - 1}}{{q{\text{/}}t}}} \right) = \\ \end{gathered} $
$ = \mathop \sum \limits_{\begin{array}{*{20}{c}} {a~\left( {{\text{mod}}~q} \right)} \\ {{\text{НОД}}\left( {a,t} \right) = 1} \end{array}} {{e}_{q}}\left( {ma} \right)\mathop \sum \limits_{b'\left( {{\text{mod}}~q/t} \right)} {{\delta }_{{q/t}}}\left( {ab{\kern 1pt} '\, - 1} \right)f\left( {b{\kern 1pt} '} \right) = $
$ = \mathop \sum \limits_{b{\kern 1pt} '({\text{mod}}~q/t)} f(b{\kern 1pt} ')~\mathop \sum \limits_{r\backslash t} \mu (r)~\mathop \sum \limits_{a{\kern 1pt} '~({\text{mod}}~q/r)} {{\delta }_{{q/t}}}(ra{\kern 1pt} 'b{\kern 1pt} '\, - 1){{e}_{{q/r}}}(ma{\kern 1pt} ') = $
$\begin{gathered} = \mathop \sum \limits_{b'\left( {{\text{mod}}~q/t} \right)} f(b{\kern 1pt} ')~\mathop \sum \limits_{\begin{array}{*{20}{c}} {r\backslash t} \\ {{\text{НОД}}\left( {r,\,q/t} \right) = 1} \end{array}} \mu (r)~ \times \\ \times \mathop \sum \limits_{a{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '\left( {{\text{mod}}~q/t} \right)} {{\delta }_{{q/t}}}(ra{\kern 1pt} ''{\kern 1pt} b{\kern 1pt} '\, - 1){{e}_{{q/r}}}(ma{\kern 1pt} ''{\kern 1pt} ) \times \\ \end{gathered} $
$ \times \mathop \sum \limits_{a'''~\left( {{\text{mod}}~t/r} \right)} {{e}_{{t/r}}}\left( {ma'''} \right) = $
$\begin{gathered} = t\mathop \sum \limits_{b'\left( {{\text{mod}}~q/t} \right)} f\left( {b{\kern 1pt} '} \right)~\mathop \sum \limits_{\begin{array}{*{20}{c}} {r\backslash t} \\ {{\text{НОД}}\left( {r,\,q/t} \right) = 1} \end{array}} \frac{{\mu \left( r \right)}}{r}~{{\delta }_{{t/r}}}\left( m \right) \times \\ \times \,\mathop \sum \limits_{a''\left( {{\text{mod}}~q/t} \right)} {{\delta }_{{q/t}}}\left( {ra{\kern 1pt} ''{\kern 1pt} b{\kern 1pt} '\, - 1} \right){{e}_{{q/t}}}\left( {\frac{m}{{t{\text{/}}r}}a{\kern 1pt} ''{\kern 1pt} } \right). \\ \end{gathered} $

Произведя замену $b{\kern 1pt} ' = \overline {r~} b\left( {{\text{mod}}~q{\text{/}}t} \right)$, получим утверждение леммы.

Тем самым теорема 1 полностью доказана.

Принимая во внимание замечание 1, получим равенство $S\left( {{{m}_{1}},~{{m}_{2}},~{{m}_{3}};q} \right)$ = $H\left( {1,~{{m}_{1}},~{{m}_{2}},~{{m}_{3}};q} \right)$. Применяя к $H\left( {1,~{{m}_{1}},~{{m}_{2}},~{{m}_{3}};q} \right)$ теорему 1, получим трехмерный аналог тождества Сельберга.

Теорема 2. Для любых целых ${{m}_{1}},~{{m}_{2}}~$ и ${{m}_{3}}$

$S\left( {{{m}_{1}},~{{m}_{2}},~{{m}_{3}};q} \right) = \mathop \sum \limits_{l,~t} \mu \left( t \right){{l}^{2}}tS\left( {\frac{{{{m}_{1}}}}{l},~\,1,~\,\frac{{{{m}_{2}}{{m}_{3}}}}{{{{{\left( {lt} \right)}}^{2}}}}\bar {t};\,\,\frac{q}{{lt}}} \right),$
где суммирование проводится по всем натуральным l и t, для которых $l{\backslash НОД}({{m}_{1}}$, m2, m3, q), $t{\backslash НОД}\left( {\frac{{{{m}_{2}}}}{l}} \right.$, $\left. {\frac{{{{m}_{3}}}}{l},~\frac{q}{l}} \right)$ и ${\text{НОД}}\left( {t,\frac{q}{{lt}}} \right) = 1.$

Замечание 2. Многомерный аналог тождества Сельберга из работы [5] ошибочен. Его доказательство основано на лемме (с. 318), которая при простом q = d приводит к неверному равенству

$\sum\limits_{y~\left( {{\text{mod}}~q} \right)}^* {{{e}_{q}}(ay) = q{{\delta }_{q}}(a).} $

Замечание 3. Из результатов работы [8] с помощью теорем 1 и 2 получается аналог неравенства (3)

$\begin{gathered} \left| {H({{m}_{1}},~{{m}_{2}},~{{m}_{3}},~d;q)} \right| \leqslant \\ \leqslant \tau (q'){{\tau }_{3}}(q){\text{НОД}}({{m}_{1}}d,~{{m}_{2}}d,~{{m}_{3}}d;q)q, \\ \end{gathered} $
где q' = НОД(d, q). При d = 1 оно превращается в аналог неравенства (4)

$\left| {S\left( {{{m}_{1}},~{{m}_{2}},~{{m}_{3}};q} \right)} \right| \leqslant {{\tau }_{3}}\left( q \right){\text{НОД}}\left( {{{m}_{1}},~{{m}_{2}},~{{m}_{3}};q} \right)q.$

Список литературы

  1. Smith R.A. The generalized divisor problem over arithmetic progressions // Mathematische Annalen. 1982. V. 260. P. 255–268.

  2. Heath-Brown D.R. The fourth power moment of the Riemann zeta function // Proc. London Mathematical Society. 1979. V. 38. № 3. P. 385–422.

  3. Selberg A. Über die Fourierkoeffizienten elliptischer Modulformen negativer Dimension. Neuvième Congrès Math Scandinaves. Helsinki, 1938. P. 320–322.

  4. Кузнецов Н.В. Гипотеза Петерсона для параболических форм веса нуль и гипотеза Линника. Суммы сумм Клостермана // Матем. сб. 1980. Т. 111(153). № 3. С. 334–383.

  5. Smith R.A. A generalization of Kuznietsov’s identity for Kloosterman sums // C.R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada. 1980. V. 2. № 6. P. 315–320.

  6. Устинов А.В. О числе решений сравнения $xy \equiv l$ (modq) под графиком дважды непрерывно дифференцируемой функции // Алгебра и анализ. 2008. Т. 20. № 5. С. 186–216.

  7. Estermann T. On Kloosterman’s sum // Mathematika. 1961. V. 8. P. 83–86.

  8. Smith R.A. On n-dimensional Kloosterman sums // J. Number Theory. 1979. V. 11. P. 324–343.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал