Акустический журнал, 2022, T. 68, № 5, стр. 530-542

ВВЕДЕНИЕ

Способность акустических волн проникать на значительные глубины выделяет акустические методы исследования природных сред по сравнению с другими физическими методами. Здесь следует указать на масштабные сейсмоакустические методы исследований (например, [1–3]), которые направлены на исследование недр Земли, поиск полезных ископаемых и решение инженерно-технических задач с использованием искусственных источников пробных волн. Наряду с активными методами исследований в последнее время набирают популярность пассивные методы, использующие природные источники. Здесь также существует большой массив работ по исследованию строения Земли, томографии зон разломов и донных отложений с использованием природного микросейсмического шума (например, [4–9]). Отдельный интерес представляют акустические методы исследования строения природных пористых сред, основанные на анализе шума, возникающего при фильтрации флюида (газ, жидкость). Эти методы занимают промежуточное положение между активными и пассивными сейсмоакустическими методами, поскольку, с одной стороны, источники шума имеют природное происхождение, а с другой, – без наличия внешнего воздействия, приводящего к появлению потока флюида в пористой среде, шум фильтрации отсутствует.

В 1973 г. была опубликована работа [10], в которой обсуждалась информативность амплитудно-частотных спектров акустического шума при изучении характеристик турбулентного течения флюидов в эксплуатационной скважине и заколонном пространстве. Результаты [10] дали толчок к развитию диагностики течения флюида в нефтегазовой промышленности и поиску информативных параметров в характеристиках акустического шума, которые можно было бы использовать в диагностических целях. Анализ низкочастотных акустических шумов в полосе от долей Гц до единиц кГц использовался для диагностики скорости притока флюида из пласта в области, примыкающей к скважине. Анализ шума в области $5{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 100$ кГц, который обоснованно связывается с течением флюида в порах, позволяет осуществлять пассивную акустическую диагностику притоков флюида из более удаленных от скважины областей. При этом до настоящего момента времени в качестве источника шума в этих областях рассматривается предложенный в [11] механизм акустического излучения турбулентным течением в порах [12–16], что, на взгляд автора настоящей работы, неверно из-за малости числа Рейнольдса соответствующих течений. Отметим, что течение в самой скважине, являвшееся предметом исследования в [10], характеризуется значительными величинами числа Рейнольдса, и генерация шума такого течения действительно связана с турбулентными пульсациями потока флюида.

Схема работы нагнетательной и эксплуатационной скважин в однородной пористой среде (“вид сверху”) показана на рис. 1 (см. также [17], рис. 40). Сплошными линиями со стрелками показаны линии тока, штриховыми линиями отмечены линии равного давления. Давление в точке A (исток) больше давления в точке B (сток), что заставляет жидкость в порах двигаться в нужном направлении, например, выдавливая нефть из пористой среды (коллектора) в эксплуатационную скважину B. Экспериментам на образцах пористых пород [12–16] отвечает линия тока в виде прямой, соединяющей точки A и B.

Для возникновения звука необходимо отличие от нуля производной по времени от скорости течения [18, 19]. По прошествии некоторого времени (порядка часов или суток [20]), необходимого для установления распределения давления, макроскопические значения давления и скорости течения стационарны. Следовательно, на первый взгляд, причины для возникновения шума фильтрации отсутствуют. Экспериментальные же данные указывают на наличие шума фильтрации, в том числе, и в режиме стационарных значений давления и скорости течения.

Следует коротко остановиться на существующих моделях генерации шума фильтрации. В качестве основной причины нестационарности рассматривалась и продолжает рассматриваться (например, недавние публикации [15, 16]) турбулентность потока жидкости в пористой среде и связанное с турбулентностью излучение звука в классической теории Лайтхилла [18]. Для объяснения наличия характерных частот в спектре мощности шума предлагалось рассматривать набор микроскопических резонаторов в виде выступающих зерен, колебания которых возбуждаются турбулентными пульсациями (в качестве гипотезы эта идея высказана в работе [12]).

В сравнительно недавно опубликованной монографии [13] в качестве основного источника нестационарности потока флюида через пористую среду также указывается на турбулентность. При этом присутствует ошибочное утверждение со ссылкой на [20] о том, что переход к турбулентному режиму течения в пористых средах имеет место при значениях числа Рейнольдса течения ${\text{R}} \sim 1{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 10$. В монографии [20] введено понятие числа Рейнольдса для течения в пористых средах, и, действительно, указывается на отклонение закона фильтрации Дарси от линейного для величин ${\text{R}} \sim 1{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 10$. Там же дано пояснение (страницы 124 и 125), что отклонение от линейного закона Дарси не связано с переходом к турбулентному режиму течения, а обусловлено инерцией жидкости при движении по искривленным каналам–порам или членом $({\mathbf{v}} \cdot \nabla ){\mathbf{v}}$, где ${\mathbf{v}}$ – вектор скорости течения в уравнении Навье–Стокса (см. также разъяснение на странице 14 монографии [21] и выделенный курсивом текст в конце ${{\S}}$6 [17]). Еще раз подчеркнем, что в ставшей классической монографии [20], которая была впервые издана в 1949 г., уже указывалось на наличие заблуждений о связи отклонения закона Дарси от линейного с турбулентностью потока. Тем не менее, ошибочное утверждение о переходе к турбулентному режиму при числах Рейнольдса течения ${\text{R}} \sim 1{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 10$ оказалось удивительно “живучим”, повторяясь в работах различных авторов на протяжении десятилетий.

Кроме турбулентности в качестве источников нестационарности рассматривались и другие механизмы. В монографии [13] представлено выражение для характерного времени пульсации в модели двух полостей, соединенных порой, которая может открываться и закрываться при некоторых пороговых значениях давления. При этом в качестве механизма, управляющего открытием и закрытием поры, предлагается рассматривать изменение давления, вызванное течением флюида (закон Бернулли [18]). Несложные оценки показывают, что для реализации подобного сценария скорость микроскопического течения в поре должна быть сопоставима по порядку величины со скоростью звука в флюиде и/или вмещающей пору среде. Поэтому предложенный механизм представляется маловероятным.

Кроме механизма возбуждения звука турбулентностью рассматривалось излучение звука микроскопическими вихрями в режиме течения с отклонением от линейного закона Дарси. Соответствующие экспериментальные результаты и их обсуждение представлены в [22]. Широкий спектр шума фильтрации связывается с наличием микроскопических вихрей различных пространственных масштабов. Поскольку шум фильтрации наблюдается не только для чисел Рейнольдса ${\text{R}} \gtrsim 1{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 10$, но и при ${\text{R}} \lesssim 1$, возникает вопрос об универсальности предлагаемого авторами [22] механизма генерации шума. Идея прерывистости течения на микроскопическом уровне развивалась в работе [23], где рассматривалась задача о фильтрации газа с парами жидкости через пористую среду и предполагалось, что течение газа сопровождается отрывом капель жидкости, конденсированной на поверхности пространства пор и перекрывающей микроскопический канал фильтрации газа. Образовавшиеся затем брызги вновь сливаются в новую каплю жидкости и процесс повторяется. Таким образом, скачок давления, сопровождающий расширение газа после прорыва капли, является причиной генерации шума. Развиваемые автором [23] представления идеологически близки к представлениям о наличии предела сдвиговой прочности флюида (реологической или неньютоновской жидкости), когда при превышении предела прочности связи (сил поверхностного натяжения на границе раздела жидкость–газ) начинается движение флюида, что в момент нестационарности приведет к появлению акустического излучения. Однако имеющиеся экспериментальные данные [12] указывают на генерацию шума при фильтрации сухого газа или воды, которая не относится к структурированным жидкостям. Поэтому предложенная модель [23] не может рассматриваться в качестве универсальной. Кроме того, механизм отрыва капли реализуется при величине числа Вебера (отношение кинетической энергии потока к потенциальной энергии сил поверхностного натяжения), превышающей единицу, что, как правило, отвечает числу Рейнольдса порядка ${{10}^{3}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} {{10}^{4}}$.

Говоря о моделях генерации шума фильтрации, следует указать на интересный цикл исследований [24]. В этих работах анализируются нелинейные динамические процессы при фильтрации структурированных неньютоновских жидкостей и двухфазных флюидов в пористых средах. Значительное внимание уделено исследованию динамики течения жидкости с растворенным в ней газом, когда давление в порах близко к давлению насыщенных паров и возможно выделение растворенного газа из жидкости. Представленные результаты экспериментальных исследований указывают на появление автоколебаний концентрации двух фаз. Приведенное математическое описание в рамках нелинейной модели типа “хищник–жертва” [25] согласуется с представленными экспериментальными данными. Излучение звука в [24] не рассматривается, но нетрудно догадаться, что обнаруженная нестационарность может быть источником шума. Это нашло подтверждение в недавно опубликованной работе [26], где представлены экспериментальные исследования особенностей генерации шума при выдавливании одного флюида другим. Рассмотренный в [24] механизм возникновения нестационарности связан с наличием двух фаз и особенностями течения вблизи порога перколяции по отношению к величинам относительной фазовой проницаемости (см., например, [21], Глава 4), и поэтому такой механизм также не может объяснить весь набор экспериментальных фактов по возникновению шума фильтрации. Кроме того, характерные временные масштабы, отвечающие выделению растворенного газа и его поглощению, недостаточно малы для объяснения шума фильтрации на частотах в несколько кГц.

Таким образом, анализ литературы, посвященной генерации шума при фильтрации жидкости в пористых средах, показывает отсутствие универсального описания явления. Из анализа литературы также следует, что многие авторы искали механизмы, отвечающие за прерывистый характер течения на микроскопическом уровне. Наличие характерных частот в спектре шума и их независимость от типа флюида указывают на присутствие квазипериодических или релаксационных процессов, связанных с особенностями внутреннего устройства пористых сред. Из результатов исследований [24] следует существование сложных нелинейных режимов и возникновение автоколебаний, в том числе, наблюдавшихся в экспериментах. Все это послужило основой модели генерации шума фильтрации, предложенной в работе [27] и получившей развитие в [28].

МОДЕЛЬ ШУМА ФИЛЬТРАЦИИ

Принципиальное отличие моделей [27, 28] от предложенных ранее состоит в механизме возникновения нестационарности. Модель предполагает, что нестационарность обусловлена возникновением режима релаксационных автоколебаний [25, 29]. Источником акустического шума является выброс порций жидкости (простой источник акустического излучения [19]), а шумовой характер акустического излучения обусловлен случайностью таких выбросов от множества структурных элементов, связанных с существованием режима автоколебаний. В работе [27] отмечается, что для возникновения режима релаксационных автоколебаний с медленными и быстрыми движениями [25, 29] принципиально необходимо наличие нелинейного элемента с гистерезисом: т.е. открытие и закрытие канала сброса излишков флюида имеет место при различающемся давлении. Заметим, что модель [27], будучи согласованной с теорией колебаний и физикой горных пород (смотри ниже), с этой точки зрения принципиально отличается от упомянутой выше модели пульсирующего канала [13].

Модель элементарного источника акустического излучения показана на рис. 2 (см. также [27, 28]). Представленная на рис. 2 схема поясняет причины появления шума фильтрации и характерных частот в спектре этого шума. В исходном состоянии термодинамического равновесия давление внутри пласта на заданной глубине одинаково (${{p}_{2}} = {{p}_{1}} = p_{0}^{{(1)}} = p_{0}^{{(2)}}$ на рис. 2), и движение жидкости отсутствует. При подаче давления извне, например, со стороны нагнетательной скважины, в пористом пласте величина ${{p}_{2}}$ возрастает, превышая давление ${{p}_{1}}$ в точке вдоль канала (кластера бесконечной длины в терминологии теории перколяции, например, [30, 31]), отвечающего за ненулевую проницаемость (способность жидкости протекать через пористую среду). Величина ${{p}_{2}}$ также становится больше $p_{0}^{{(1)}}$, что приводит к появлению сил, двигающих жидкость в тупиковый кластер, связанный с основным каналом трещиной, которая в исходном состоянии равновесия закрыта. Возникает переходный процесс, связанный с микроскопическими потоками жидкости, в том числе, и в тупиковые кластеры (полости).

Это течение аналогично течениям в моделях с выдавливанием [32, 33], с которыми связывается наблюдавшаяся в натурных исследованиях дисперсия сейсмических волн в диапазоне $ \sim \,10$ кГц. Несмотря на похожесть полости объема $V_{0}^{{(1)}}$ с каналом длины ${{L}_{0}}$ (рис. 2) на резонатор Гельмгольца [19], нельзя говорить о резонансных колебаниях (оценка добротности приведена ниже). Дело в том, что канал ${{L}_{0}}$ является узким, и поэтому силы вязкого трения превалируют над силами инерции флюида, заполняющего канал. Здесь имеется аналогия с теорией Био [34], в рамках которой силы вязкого трения превышают силы инерции в диапазоне частот ниже сотен кГц. Поэтому модели [32, 33] течения флюида поперек основного потока описывают релаксационные, а не резонансные явления в пористых средах.

Поскольку часть полостей (кластеров) связана друг с другом и с основным перколяционным кластером через исходно закрытые каналы–трещины, приложение внешнего давления приводит к открытию каналов в результате развития неустойчивости контакта с адгезией и разрыву этого контакта при давлении ${{p}_{{{\text{on}}}}}$ [35]. Возникает течение через канал с последующим сбросом давления и закрытием трещины–канала через интервал времени, необходимый для сброса давления до величины ${{p}_{{{\text{off}}}}}$, отвечающей закрытию канала. Закрытие канала также связано с развитием неустойчивости, обусловленной сильным взаимодействием поверхностей через силы Ван-дер-Ваальса. Таким образом, процесс возникновения пульсаций связывается с наличием контактов с адгезией или трещин между зернами, т.е. всегда присутствующих в горных породах структурных элементов (например, обзоры [36, 37], также цветные иллюстрации в [38]), при этом гистерезис адгезии при отрыве/восстановлении контакта поверхностей также хорошо известен [35, 39]. Процесс обратимый, он не связан с разрушением, и может повторяться бесконечное число раз. Возникает режим автоколебаний разрывного типа с быстрыми (отрыв/восстановление контакта с адгезией) и медленными (накопление излишков жидкости и их сброс) движениями, общая теория которых представлена в [25, 29].

Параметрами, определяющими временные масштабы, являются жесткость полостей объема $V_{0}^{{(1,2)}}$ (рис. 2) в изначально тупиковых ответвлениях (кластерах) от основного потока жидкости и гидродинамическое сопротивление каналов длины ${{L}_{{0,1}}}$ (рис. 2), соединяющих эти полости с основным потоком. Наличие подобных элементов релаксации физически обосновано и опирается на работы [32, 33], которые получили экспериментальное подтверждение при наблюдении дисперсии сейсмических волн в диапазоне частот порядка $1{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 10$ кГц (см. также [34], где представлено обсуждение этих работ). Наличие тупиковых ответвлений также согласуется с результатами теории перколяции (например, [30, 31]), где показывается, что число тупиковых кластеров стремится к бесконечности вблизи порога перколяции, а затем плавно уменьшается. Нелинейным элементом, обеспечивающим существование “быстрых движений” на фазовой плоскости [25, 29], является контакт с адгезией, который может открываться и закрываться в зависимости от расклинивающего давления жидкости, заполняющей расположенную рядом полость. Наличие таких контактов с адгезией, по-видимому, является отличительной чертой горных пород, поскольку позволяет единообразно описать широкий класс нелинейных явлений в таких средах [35].

Из-за наличия очевидной симметрии относительно направления фильтрации и предполагаемой изотропии природной среды ${{L}_{1}} = {{L}_{0}}$ и $V_{0}^{{(1)}} = V_{0}^{{(2)}} = {{V}_{0}}$. Система дифференциальных уравнений, описывающих изменение объемов флюида в полостях $V_{0}^{{(1)}}$ и $V_{0}^{{(2)}}$, имеет вид:

где безразмерные величины ${{y}_{j}}$ отвечают изменению объема флюида плотности ${{\rho }_{f}}$ в полости $V_{0}^{{(1)}}$, открывающемся канале длины ${{L}_{c}}$ (рис. 2) и в полости $V_{0}^{{(2)}}$ соответственно. Нормировка изменения объемов выполнена на величину ${{V}_{0}}$. Величины ${{S}_{0}}$ и ${{k}_{0}}$ определяют площадь поперечного сечения и проницаемость каналов длины ${{L}_{0}}$ и ${{L}_{1}}$, ${{\nu }_{f}}$ – кинематическая вязкость флюида, $\omega _{0}^{2}$ – квадрат собственной частоты резонатора Гельмгольца, образованного полостью объема ${{V}_{0}}$ и каналом длины ${{L}_{0}}$. Величина $\omega _{0}^{2} = \frac{{\mathcal{K}{{S}_{0}}}}{{{{\rho }_{f}}{{L}_{0}}{{V}_{0}}}}$, где $\mathcal{K}$ – объемная жесткость полости объема ${{V}_{0}}$, учитывающая объемные жесткости скелета пористой среды и флюида. При фильтрации флюида, имеющего низкую объемную жесткость (газа) по сравнению с жесткостью скелета, величина $\mathcal{K} = {{\rho }_{f}}c_{f}^{2}$, где ${{c}_{f}}$ – скорость звука во флюиде.

Акустическое давление от элементарной ячейки (рис. 2) создается простым источником:

где ${{\rho }_{p}}$ – плотность скелета пористой среды, ${{V}_{P}}$ – скорость продольной волны, распространяющейся в скелете. Значение производной ${{\ddot {y}}_{2}}$ в выражении (4) берется в момент времени $t - {R \mathord{\left/ {\vphantom {R {{{V}_{P}}}}} \right. \kern-0em} {{{V}_{P}}}}$, что учитывает запаздывание при распространении акустической волны.

За генерацию автоколебаний отвечает безразмерная величина $\kappa $, которая описывает отношение гидродинамических сопротивлений каналов ${{L}_{c}}$ и ${{L}_{0}}$. Значение ${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 \kappa }} \right. \kern-0em} \kappa }$ зависит от времени следующим образом:

где ${{\kappa }_{0}}$ – отношение гидродинамического сопротивления полностью открытого канала длины ${{L}_{c}}$ к гидродинамическому сопротивлению канала длины ${{L}_{0}}$. Величина гидродинамического сопротивления определяется как отношение разности давлений к скорости изменения соответствующего объема. Давление в полости $V_{0}^{{(1)}}$ равно ${{p}_{0}}(t) = \mathcal{K}{{y}_{0}}(t)$. Моменты времени ${{t}_{{{\text{on}}}}}$ и ${{t}_{{{\text{off}}}}}$ определяются равенствами ${{p}_{0}}({{t}_{{{\text{on}}}}}) = {{p}_{{{\text{on}}}}}$ и ${{p}_{0}}({{t}_{{{\text{off}}}}}) = {{p}_{{{\text{off}}}}}$ для каждого цикла автоколебаний. Величины ${{\tau }_{1}}$ и ${{\tau }_{2}}$ отвечают характерным масштабам времени развития неустойчивости в момент отрыва контакта с адгезией и его восстановления, т.е. ограничивают скорость “быстрых движений” в релаксационных автоколебаниях. Анализ динамических эффектов, связанных с разрывом и восстановлением контактов с адгезией, представляет собой сложную задачу из-за наличия множества релаксационных процессов с плохо определенными параметрами (подробнее в [39]). Поэтому величины ${{\tau }_{{1,2}}}$ являются феноменологическими параметрами модели.

Величина ${{\kappa }_{0}}$ зависит от площади поперечного сечения и длины открытого канала сброса излишков флюида. С одной стороны, площадь поперечного сечения отрытого канала много меньше ${{S}_{0}}$, поскольку, например, раскрытие трещины в виде разорванного контакта с адгезией может иметь очень малый размер порядка нескольких нанометров (смотри примеры расчета в [35]). С другой стороны, длина этого отрытого канала, очевидно, существенно меньше ${{L}_{0}}$, имея порядок размера области контакта зерен, что уменьшает его гидродинамическое сопротивление. Указанные соображения позволяют положить ${{\kappa }_{0}} \simeq 1$, как это было сделано в [28], либо значительно больше единицы ${{\kappa }_{0}} \gg 1$ (см. ниже).

Параметры ${{L}_{0}}$, ${{S}_{0}}$, ${{V}_{0}}$ и ${{k}_{0}}$ целесообразно выразить через характерный диаметр зерна ${{D}_{g}}$. Длину канала ${{L}_{0}}$ целесообразно выразить в виде ${{L}_{0}} = {{\xi }_{1}}{{D}_{g}}$, где ${{\xi }_{1}} \gtrsim 1$ – безразмерная величина. Объем полости ${{V}_{0}}$ целесообразно выразить в виде ${{V}_{0}} = {{\xi }_{2}}{{V}_{g}}$, где ${{V}_{g}} = {{\pi D_{g}^{3}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\pi D_{g}^{3}} 6}} \right. \kern-0em} 6}$ – объем, занимаемый зерном, и ${{\xi }_{2}} \gtrsim 1$ – безразмерная величина. Параметр площади возможно связать с диаметром поры, который составляет примерно ${{{{D}_{g}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{D}_{g}}} 6}} \right. \kern-0em} 6}$ (см. [34], стр. 269), что отвечает ${{S}_{0}} \simeq {{\pi D_{g}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\pi D_{g}^{2}} {144}}} \right. \kern-0em} {144}} \approx 0.022D_{g}^{2}$. Для определения проницаемости ${{k}_{0}}$ можно воспользоваться теорией Козени–Кармана [34, §8.4]:

где $\phi $ – пористость, равная отношению объема пустот и пор к полному объему пористого материала, $\alpha = 1 + {{(1 - \phi )} \mathord{\left/ {\vphantom {{(1 - \phi )} {2\phi }}} \right. \kern-0em} {2\phi }}$ – извилистость пор [34], $\beta = \frac{{2{{\phi }^{3}}}}{{\pi {{{(1 - \phi )}}^{2}}{{\alpha }^{2}}}}$. Характерной величине пористости $\phi = 0.2$ отвечает $\beta = 8.8 \times {{10}^{{ - 4}}}$. Большой набор экспериментальных данных представлен в [40], где показано, что ${{k}_{0}} \propto {{\phi }^{{3m}}}$ при $1\,\,\leqslant \,\,m\,\,\leqslant \,\,2$ и для большинства пористых материалов $m \approx 1$, исключая среды с низкой проницаемостью (ил и глина), для которых характерна величина $m = 2$.

Плотность ${{\rho }_{f}}$ и кинематическая вязкость ${{\nu }_{f}}$ флюида, а также скорость звука ${{c}_{f}}$ известны, поскольку известен тип флюида, который фильтруется через поры. В частности, для воздуха, фильтрация которого исследовалась в статье [16], плотность, вязкость воздуха и скорость звука составляют [41]: ${{\rho }_{f}} = 1.3$ кг/м³, ${{\nu }_{f}} = 1.4 \times {{10}^{{ - 5}}}$ м²/с, ${{c}_{f}} = 343$ м/с для комнатной температуры. Оценим добротность колебаний резонатора Гельмгольца, образованного полостью объема ${{V}_{0}}$ и каналом ${{L}_{0}}$. Для данных [16] характерный размер зерна ${{D}_{g}} = 0.4$ мм, проницаемость ${{k}_{0}} \sim {{10}^{{ - 12}}}$ м² (см. в следующем разделе). Величина ${{\omega }_{0}} = \sqrt {\frac{{0.04}}{{{{\xi }_{1}}{{\xi }_{2}}}}} \frac{{{{c}_{f}}}}{{{{D}_{g}}}} \approx $ $ \approx \frac{{1.7 \times {{{10}}^{5}}}}{{\sqrt {{{\xi }_{1}}{{\xi }_{2}}} }}$ с^–2, величина $\frac{{{{\nu }_{f}}}}{{{{k}_{0}}}} \approx 1.4 \times {{10}^{7}}$ с^–1 оказывается существенно больше ${{\omega }_{0}}$, что отвечает добротности колебаний значительно меньше единицы при ${{\xi }_{{1,2}}}\,\, \geqslant \,\,1$ или релаксационным колебаниям. Характерное время релаксации $\frac{{{{\nu }_{f}}}}{{{{k}_{0}}\omega _{0}^{2}}}$ составляет не более $0.5$ мс, что отвечает частоте основной гармоники акустического излучения не менее 2 кГц для ${{\xi }_{1}} = {{\xi }_{2}} = 1$.

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ, ОТВЕЧАЮЩИХ ЭКСПЕРИМЕНТУ [16]

В подавляющем большинстве работ, посвященных экспериментальным исследованиям шума фильтрации [12–15], ввиду большой сложности измерений и калибровки приемников акустического шума фильтрации приводятся безразмерные (нормированные на максимум) спектральные амплитуды. Это затрудняет сравнение теоретических оценок с результатами измерений. Приятным исключением является недавно опубликованная работа [16], где на одном из графиков (рис. 8 указанной статьи) представлена зависимость интенсивности акустического излучения в Вт/м² от скорости потока в м/с. Отмеченная в [16] квадратичная зависимость интенсивности акустического шумового излучения от скорости потока согласуется с предсказанием теории [27, 28], где мощность акустического шума фильтрации пропорциональна кинетической энергии потока.

К сожалению, при описании рис. 8 авторы статьи не дали достаточно подробного пояснения относительно того, что они понимают под “максимумом звуковой интенсивности” в спектре. Размерность величины по оси ординат на рис. 8 указанной статьи явно не отвечает спектральной плотности интенсивности звукового излучения. Поэтому мы в дальнейшем будем трактовать данные [16] как стандартное определение интенсивности акустического поля [19]:

где ${{p}_{a}}$ – среднеквадратичная амплитуда давления, которое регистрировал контактный микрофон (см. схему измерений на рис. 1 статьи [16] и пояснения). Величины среднеквадратичной амплитуды давления определены по формуле (7): ${{p}_{a}} = \sqrt {{{\rho }_{f}}{{c}_{f}}{{I}_{a}}} $, где величина интенсивности взята из данных работы [16]. Анализ представленных в работе спектров указывает на то, что в спектральном анализе использовалось разрешение по частоте $\Delta f = 50$ Гц. Для перехода к спектральной плотности амплитуды акустического шума поделим вычисленное значение ${{p}_{a}}$ на $\sqrt {\Delta f} $.

На рис. 3 представлены зависимости интенсивности шума фильтрации от скорости потока по данным рис. 8 из статьи [16]. Линии на рис. 3 отвечают полученным в статье регрессиям. Величины интенсивности акустического излучения (шума), приведенные на рис. 8 статьи, пересчитаны по формуле (7) к среднеквадратичным амплитудам давления. Давление прямо пропорционально скорости потока. Символы на графике (рис. 3) отвечают символам, использованным в статье [16] для удобства сравнения.

В основе модели возникновения релаксационных автоколебаний лежит предположение о существовании элементов с гистерезисом адгезии. Выше отмечалось, что режим деформации с гистерезисом (отрывом и восстановлением контактов) реализуется при уровне деформации $\varepsilon \gtrsim {{10}^{{ - 7}}}$ [42]. Поэтому для дополнительной проверки обоснованности модели необходимо иметь оценку уровня деформаций в эксперименте [16]. Подробное описание вычислений опустим из-за ограничений на объем публикации. На нижнем графике (рис. 3) представлены зависимости амплитуды деформации от скорости фильтрации в эксперименте [16], вычисленные по формулам теории Био [34] в предположении свободных боковых границ цилиндрических образцов (в эксперименте образцы крепились через эластичные прокладки, что является основанием для использования указанного предположения). Нетрудно видеть, что скоростям фильтрации, при которых в работе [16] регистрировался шум фильтрации, отвечают деформации порядка ${{10}^{{ - 7}}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} {{10}^{{ - 5}}}$. Отметим, что величина $\varepsilon \sim {{10}^{{ - 7}}}$ отвечает переходу от классической нелинейности к нелинейности гистерезисного типа [35, 42], и экспериментальные данные не противоречат исходным предположениям теоретической модели [27, 28].

Параметры модели, связанные с размером зерен, проницаемостью и другими структурными особенностями, возьмем из статьи [16], где в табл. 1 приведены характеристики исследованных образцов пористых сред. Данные рис. 3 отвечают карбонатным горным породам. Для 4-х образцов значения пористости, проницаемости и плотности приведены в табл. 1 (выборка из табл. 1 [16]). Символы в правой колонке (табл. 1) отвечают соответствующим образом отмеченным кривым на графиках (рис. 3). Величина $\phi $ отвечает пористости (объемному содержанию пустот), величина ${{k}_{0}}$ отвечает проницаемости горной породы, значение которой приведено в табл. 1 во внесистемных единицах: $1$ Дарси приблизительно равен $0.9869$ мкм², ${{\rho }_{p}}$ отвечает плотности горной породы.

Важным параметром модели [28] является размер зерна. Величина объема полостей и длины каналов связаны с этим размером. Гранулометрический состав в статье [16] представлен только для терригенных образцов горных пород. Графики на рис. 8 статьи [16] отвечают карбонатным породам, для которых результаты гранулометрического анализа не приведены. Поэтому характерный диаметр зерен ${{D}_{g}}$ в табл. 1 оценивался по формуле (6), связывающей проницаемость и размер зерна:

где значение ${{D}_{g}}$ справа отвечает характерной величине $\phi = 20\% $. Величины ${{D}_{g}}$ в табл. 1 отвечают оценкам по формуле (8).

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЛЯ УСЛОВИЙ ЭКСПЕРИМЕНТА [16]

На рис. 4 представлены результаты численного интегрирования системы дифференциальных уравнений [28] для одного элементарного источника акустического излучения. Для возникновения режима автоколебаний необходимо выполнение очевидных условий: (1) давление ${{p}_{{{\text{on}}}}}$, открывающее канал сброса излишков жидкости, должно быть меньше ${{p}_{2}}$ (рис. 2); (2) давление ${{p}_{{{\text{off}}}}} < {{p}_{{{\text{on}}}}}$, при котором канал сброса излишков жидкости закрывается, должно быть больше равновесного давления при условии постоянно открытого канала. В работе [27] отмечалась аналогия предложенной модели возникновения акустического излучения с процессом заряда и разряда электрической емкости, подсоединенной к неоновой лампе (см. [29], рис. 195). Для возникновения автоколебаний в этой электрической цепи требуется достаточное напряжение для зажигания неоновой лампы и падение этого напряжения до значения, достаточного для исчезновения тлеющего разряда.

Пример № 1 отвечает ситуации, когда условие (1) выполняется, а условие (2) не выполняется. В этом случае исходно закрытый канал сброса излишков жидкости при подаче давления извне открывается, и остается в таком состоянии в дальнейшем. Пример № 2 отвечает случаю, когда условие (1) не выполняется, и канал сброса излишков жидкости не может открыться. Наконец, пример № 3 отвечает случаю, когда оба условия выполнены, и возникает режим релаксационных автоколебаний. Давление в полости ${{V}_{0}}$ (рис. 2) изменяется между двумя предельными значениями, отвечающими открытию и закрытию канала сброса излишков жидкости. Для всех примеров момент времени $1$ мс отвечает включению внешнего давления. До момента времени около $4$ мс длится переходный процесс, связанный с заполнением объема ${{V}_{0}}$ до величины, отвечающей избыточному давлению ${{p}_{2}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} {{p}_{0}}$ (рис. 2).

Упругие характеристики скелета отвечают значениям из справочной литературы, параметры пористости и проницаемости отвечают образцу № 31 (табл. 1 и рис. 3), скорость фильтрации задавалась равной $2$ м/с. В этом случае для проницаемости ${{k}_{0}} \simeq {{10}^{{ - 12}}}$ м² оценка с использованием линейного уравнения Дарси приводит к значениям градиента внешнего давления $\left| {\nabla {{p}_{{{\text{ext}}}}}} \right| \simeq {{10}^{7}}$ Па/м и величине избыточного давления ${{p}_{{{\text{ext}}}}} = {{p}_{2}} - {{p}_{1}} \simeq 7$ кПа (предполагается, что характерный пространственный масштаб элементарной ячейки на рис. 2 вдоль направления течения флюида имеет порядок ${{L}_{0}}$). Длина канала ${{L}_{0}}$ (рис. 2) задавалась равной $5{{D}_{g}}$, объем полости ${{V}_{0}} = {{V}_{g}}$, безразмерное сопротивление канала сброса излишков флюида ${{\kappa }_{0}} = 1$. Значения величин давления, отвечающих за открытие и закрытие канала сброса излишков флюида в примере № 3, равны ${{p}_{{{\text{on}}}}} = 6.8$ кПа, ${{p}_{{{\text{off}}}}} = 4.8$ кПа и $\Delta p = {{p}_{{{\text{on}}}}} - {{p}_{{{\text{off}}}}} = 2$ кПа. Указанные величины являются нереалистичными для заданной скорости фильтрации (см. ниже), а расчет для этих параметров приведен, поскольку в этом случае лучше видны детали зависимости давления ${{p}_{0}}(t)$. Вставка на рис. 4 отвечает величинам давления открытия и закрытия канала сброса излишков флюида ${{p}_{{{\text{on}}}}} = 6$ кПа и ${{p}_{{{\text{off}}}}} = 5.9$ кПа, т.е. разности критических значений $\Delta p = 100$ Па. Отметим, что уменьшение величины $\Delta p$ приводит к увеличению частоты автоколебаний [27]. Учет конечной величины времени развития неустойчивости (серая линия на вставке рис. 4) приводит к возникновению почти синусоидальной зависимости ${{p}_{0}}(t)$.

Значения параметров ${{p}_{{{\text{on}}}}}$ и ${{p}_{{{\text{off}}}}}$ не могут быть заданы произвольно. Эти величины зависят от радиусов кривизны контактирующих поверхностей и величины коэффициента адгезии (пример расчета представлен на рис. 2 в [35]). Сила разрыва контактов с адгезией пропорциональна произведению коэффициента адгезии на приведенный радиус кривизны $R$ контактирующих поверхностей. Так, для данных работы [35], где на рис. 2 приведен результат расчета для $R = 1$ мм и коэффициента адгезии $0.1$ Дж/м², разрыв контакта имеет место при напряжении $100$ Па, а восстановление контакта при нулевом напряжении. Таким образом, данные на вставке рис. 4 являются более реалистичными по сравнению с $\Delta p \approx 2$ кПа для примера № 3, соответствуя характерным размерам зерен горных пород, исследованных в работе [16].

Были выполнены расчеты, направленные на установление зависимости амплитуды акустического излучения от величин $\Delta p$ и ${{\kappa }_{0}}$. Соответствующие иллюстрации опущены из-за ограничений на объем публикации. Общий вывод из полученных результатов численного моделирования таков: (1) зависимость ${{p}_{a}}(\Delta p)$ слабая, и величина $\Delta p$ сказывается главным образом на частоте основного тона излучения (см. рис. 4); (2) увеличение ${{\kappa }_{0}}$ приводит к уменьшению амплитуды простого источника и подавлению высших гармоник. Отсутствие выраженной зависимости ${{p}_{a}}(\Delta p)$ связано с тем, что пропорционально уменьшению объема выбрасываемого излишка флюида, который линейно зависит от $\Delta p$, уменьшается и время, необходимое для этого процесса. Поскольку акустическое давление пропорционально производной от объемной скорости, его амплитуда оказывается приблизительно постоянной. Увеличение κ₀ приводит к уменьшению объема выбрасываемого излишка флюида, что приводит к уменьшению акустического излучения p_a. Ограничение амплитуды высших гармоник излучения связано с появлением механического фильтра, составленного из гидродинамического сопротивления канала сброса излишков флюида и полости $V_{0}^{{(2)}}$. При этом наибольшему подавлению оказываются подвержены четные гармоники акустического излучения, что приводит к ослаблению асимметрии сжатия и разрежения временной зависимости ${{p}_{a}}(t)$.

Наличие большого числа элементарных ячеек акустического излучения, имеющих различные характерные частоты основного тона и времена открытия/закрытия канала сброса излишков флюида, приведет к тому, что в результате интерференции высших гармоник их вклад будет подавлен, а в окрестности основного тона появится максимум спектральной плотности совокупного акустического излучения. Оценим максимально возможное число элементарных источников акустического излучения. В работе [16] исследовались цилиндрические образцы с диаметром ${{D}_{s}} = 25\,\,$ мм и длиной ${{L}_{s}} = 30$ мм. Полное число зерен в образцах можно оценить как отношение объема образца к объему, занимаемому зерном:

где числовое значение отвечает ${{D}_{g}} = 0.3$ мм (табл. 1).

В случае, когда зерна имеют плотную случайную упаковку, число контактов, приходящихся на каждое зерно, составляет $9$ [34]. Поэтому общее число контактов между зернами в образце составляет $9{{N}_{g}} \simeq {{10}^{7}}$. При учете контактов неровностей зерен общее число контактов может оказаться еще больше. Рассмотрим данные рис. 3 для образца № 31 при скорости фильтрации флюида $2$ м/с. В этом случае измеренная величина составляет ${{p}_{a}} = 0.03$ Па/$\sqrt {{\kern 1pt} {\text{Гц}}{\kern 1pt} } $. На рис. 5 жирной линией показан результат расчета акустического излучения одного источника, расположенного в центре цилиндрического образца, при величине гидродинамического сопротивления канала сброса излишков жидкости ${{\kappa }_{0}} = 100$. Увеличение ${{\kappa }_{0}}$, как указывалось выше, приводит к ослаблению преимущественно четных гармоник, что привело бы к лучшему согласию с экспериментом (см. далее). Однако при этом возникают сложности настройки численной модели из-за необходимости аккуратного подбора параметров ${{p}_{{{\text{on}}}}}$ и ${{p}_{{{\text{off}}}}}$, и поэтому мы ограничились расчетом для указанного значения ${{\kappa }_{0}}$. На рис. 5 также представлен результат сложения акустических откликов ${{N}_{s}} = 200$ элементарных источников, равномерно распределенных внутри цилиндрического образца и имеющих вариации частоты основного тона автоколебаний в пределах $ \pm 5\% $. Здесь же на рис. 5 штриховой линией показана измеренная в эксперименте [16] величина спектральной плотности амплитуды акустического шума фильтрации на частоте максимума излучения. Следует заметить, что число источников ${{N}_{s}}$ составляет примерно $0.01\% $ от общего числа контактов. Очевидно, что число открывающихся и закрывающихся контактов не может составлять существенную долю от общего числа контактов, поскольку в этом случае неизбежно возникнет вопрос об отсутствии разрушений материала. Таким образом, полученный количественный результат, будучи согласованным с результатами измерений [16], также является непротиворечивым и согласуется с представлением об отсутствии разрушений внутри пористого материала при фильтрации флюида.

Вставка на рис. 5 отвечает рисунку 2 статьи [16] и показывает вид спектра для образца № ${\kern 1pt} 2012 - 13$ (табл. 1). Выбор значения ${{\kappa }_{0}} = 100$ был обусловлен тем, что меньшие значения ${{\kappa }_{0}}$ приводят к относительному увеличению спектральных амплитуд в окрестности второй гармоники основного тона, а бóльшие значения ${{\kappa }_{0}}$ сопряжены с усложнением настройки численной процедуры. Сравнение вида вычисленного спектра шума фильтрации с измерениями на вставке рис. 5 указывает на небольшое различие модельного и измеренного спектров шума. Это различие проявляется в менее выраженной амплитуде составляющих в области частот, отвечающих второй гармонике основного тона автоколебаний, для экспериментальных данных. Поскольку амплитуда второй гармоники существенно ослабляется при увеличении гидродинамического сопротивления канала сброса накопленных излишков флюида, можно предположить, что более разумным параметром модели будет ${{\kappa }_{0}} \gg 1$ (узкий канал с низкой проницаемостью). В качестве таких каналов могут выступать узкие трещины между зернами горной породы. Таким образом, в рамках предложенной модели генерации шума фильтрации открываются интересные возможности по диагностике пространства пор, через которое происходит фильтрация флюида.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подведем итог и перечислим основные результаты выполненной работы.

1. Проведено сравнение недавно опубликованных в Акустическом журнале результатов измерения акустического шума, возникающего при фильтрации флюида через пористую среду, с результатами численного моделирования на основе предложенной ранее модели.

2. Полученное в результате сравнения согласие экспериментальных и теоретических значений позволяет сделать утверждение о корректности предложенной модели и физического механизма, отвечающего за генерацию шума фильтрации.

3. Удовлетворительное согласие теории с экспериментом создает базу для исследования природных сред по регистрируемому шуму фильтрации: определения параметров пористых сред и характеристик течения. Таким образом, открываются возможности дистанционной диагностики пористых сред и характеристик течения в них.

Представленный материал указывает на необходимость более тонкой настройки расчетной схемы для рассмотрения каналов сброса с величинами ${{\kappa }_{0}} \ll 1$. В процессе настройки желательно располагать дополнительной информацией о характерной длине каналов и размерах пустот внутри материала, т.е. располагать результатами петрографического, гранулометрического, минералогического и химического анализов. В качестве примера приведем работу [43], где наличие указанных стандартных геологических исследований позволило обосновать выводы, сделанные на основе прецизионных акустических измерений.

Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (проект РНФ № 22-22-00230).