1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Акустический журнал
  4. T. 68, № 3, 2022

Акустический журнал, 2022, T. 68, № 3, стр. 240-248

Напряжения в осесимметричной волне Похгаммера–Кри средневолнового диапазона

В. В. Мокряков *

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской академии наук
119526 Москва, пр-т Вернадского 101, корп. 1, Россия

* E-mail: mokr@ipmnet.ru

Поступила в редакцию 08.07.2021
После доработки 20.12.2021
Принята к публикации 25.01.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

Аналитически рассмотрены осесимметричные волны Похгаммера–Кри, распространяющиеся вдоль упругого стержня круглого сечения. Рассмотрено напряженно-деформированное состояние стержня. Вычислены максимумы растягивающих и эквивалентных напряжений на оси и на поверхности стержня, получены их соотношения. Особое внимание уделено диапазону волн средней длины (одного порядка с радиусом стержня), проведено сравнение с коротковолновым и длинноволновым приближениями. Продемонстрировано, что некоторые волны Похгаммера–Кри обладают рядом уникальных свойств: их относительная длина волны не зависит от упругих модулей, отношение максимального осевого растяжения к максимальному поверхностному растяжению имеет наибольшее значение и также не зависит от упругих модулей, материал стержня находится в состоянии чистого сдвига. Показано, что описанные волны соответствуют классу волн Ламе.

Ключевые слова: волны Похгаммера–Кри, волны Ламе, упругость, круглый стержень, напряженно-деформированное состояние, коэффициент Пуассона

ОБОЗНАЧЕНИЯ

r, θ, z – координаты цилиндрической системы координат;

a – радиус стержня;

ρ – плотность;

E – модуль Юнга;

ν – коэффициент Пуассона;

λ, μ – параметры Ламе;

ω – круговая частота;

γ – круговое волновое число;

l – длина волны;

Ω = γz – ωt – фаза волны в точке z в момент t;

c $ = {\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega \gamma }} \right. \kern-0em} \gamma }$ – фазовая скорость;

c0$ = \sqrt {{E \mathord{\left/ {\vphantom {E \rho }} \right. \kern-0em} \rho }} $ – скорость бесконечно длинных волн в бесконечном стержне;

${{c}_{1}} = \sqrt {{{\left( {\lambda + 2\mu } \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {\lambda + 2\mu } \right)} \rho }} \right. \kern-0em} \rho }} $ – скорость волн расширения в бесконечной среде;

${{c}_{2}} = \sqrt {{\mu \mathord{\left/ {\vphantom {\mu \rho }} \right. \kern-0em} \rho }} $ – скорость волн сдвига в бесконечной среде;

cR – скорость волн Рэлея (поверхностных волн в полупространстве);

Jn, In – функции Бесселя действительного и мнимого аргументов;

ui – компоненты вектора смещений;

εij – компоненты тензора деформаций;

Δ – первый инвариант тензора деформаций;

σij – компоненты тензора напряжений;

U – обобщенная амплитуда волны Погхаммера–Кри.

В формулах используются следующие сокращения:

$\begin{gathered} h = \gamma \sqrt {{{{{c}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{c}^{2}}} {c_{1}^{2}}}} \right. \kern-0em} {c_{1}^{2}}} - 1} ,\,\,\,\,\kappa = \gamma \sqrt {{{{{c}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{c}^{2}}} {c_{2}^{2}}}} \right. \kern-0em} {c_{2}^{2}}} - 1} ; \hfill \\ H = {{{{c}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{c}^{2}}} {c_{1}^{2}}}} \right. \kern-0em} {c_{1}^{2}}} - 1 = {{{{h}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}^{2}}} {{{\gamma }^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{\gamma }^{2}}}};\,\,\,\,{\rm K} = {{{{c}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{c}^{2}}} {c_{2}^{2}}}} \right. \kern-0em} {c_{2}^{2}}} - 1 = {{{{\kappa }^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\kappa }^{2}}} {{{\gamma }^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{\gamma }^{2}}}}, \hfill \\ \end{gathered} $
а также следующие соотношения:

$c_{1}^{2} = c_{0}^{2}\frac{{1 - \nu }}{{\left( {1 + \nu } \right)\left( {1 - 2\nu } \right)}};\,\,\,c_{2}^{2} = \frac{{c_{0}^{2}}}{{2\left( {1 + \nu } \right)}};$ $\begin{gathered} \lambda = \frac{{E\nu }}{{\left( {1 + \nu } \right)\left( {1 - 2\nu } \right)}} = \rho \left( {c_{1}^{2} - 2c_{2}^{2}} \right); \\ \mu = \frac{E}{{2\left( {1 + \nu } \right)}} = \rho c_{2}^{2}; \\ \end{gathered} $
$\frac{\lambda }{\mu } = \frac{{2\nu }}{{1 - 2\nu }} = \frac{{c_{1}^{2}}}{{c_{2}^{2}}} - 2 = \frac{{{\rm K} - 1 - 2H}}{{H + 1}};$ $H = \frac{{{{c}^{2}}}}{{c_{0}^{2}}}\frac{{\left( {1 + \nu } \right)\left( {1 - 2\nu } \right)}}{{1 - \nu }} - 1;\,\,\,{\rm K} = 2\frac{{{{c}^{2}}}}{{c_{0}^{2}}}\left( {1 + \nu } \right) - 1.$

ВВЕДЕНИЕ

Гармонические волны, распространяющиеся в стержнях (сплошных и полых) круглого сечения описываются уравнениями Погхаммера–Кри, которые впервые были получены в работах [1–3]. Решения уравнений были получены в последующих работах [4–16] и др., где были рассмотрены продольные осесимметричные, изгибные и крутильные моды.

Дальнейшее развитие задачи имеет несколько направлений: изменение геометрии (замена цилиндра на цилиндрическую полость, трубу или другую осесимметричную конструкцию), изменение свойств материала (замена упругого материала на упруго-вязкий, термоупругий), изменение распределения свойств конструкции (замена однородности на неоднородность, изотропности на анизотропность). В качестве примеров можно представить следующие недавние работы [17–24].

В исследовании напряженно-деформированных состояний (НДС) мод осесимметричных волн Погхаммера–Кри (ПК-волн) в работах [25, 26] показано, что максимумы растягивающих и эквивалентных [27] напряжений могут локализоваться не только на поверхности стержня, но и на его оси. Таким образом, может оказаться, что на оси стержня НДС уже удовлетворяет критериям разрушения (текучести и др., в зависимости от материала), и в то же время напряжения, определяемые по деформациям на поверхности, будут далеки от критических.

В представленной работе рассматриваются отношения максимальных напряжений (растягивающих и эквивалентных) на оси сплошного стержня и на его поверхности для ряда положительных значений коэффициента Пуассона. Также определяется длина волны, при которой отношения максимумов имеют наибольшее значение.

НАПРЯЖЕНИЯ СТЕРЖНЯ В ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ВОЛНАХ ПОГХАММЕРА–КРИ

В предыдущих работах [25, 26] получены выражения для НДС в осесимметричных волнах Погхаммера–Кри в следующем виде.

Смещения:

(1)
$\begin{gathered} {{u}_{r}} = 2U{{\gamma }^{2}}r\left[ {\left( {{\rm K} - 1} \right)\frac{{{{J}_{1}}\left( {\kappa a} \right)}}{{\kappa a}}\frac{{{{J}_{1}}\left( {hr} \right)}}{{hr}}} \right. + \\ \left. { + \,\,2\frac{{{{J}_{1}}\left( {ha} \right)}}{{ha}}\frac{{{{J}_{1}}\left( {\kappa r} \right)}}{{\kappa r}}} \right]\sin \Omega , \\ {{u}_{z}} = 2U\gamma \left[ {\left( {1 - {\rm K}} \right)\frac{{{{J}_{1}}\left( {\kappa a} \right)}}{{\kappa a}}{{J}_{0}}\left( {hr} \right)} \right. + \\ \left. { + \,\,2H\frac{{{{J}_{1}}\left( {ha} \right)}}{{ha}}{{J}_{0}}\left( {\kappa r} \right)} \right]\cos \Omega {\kern 1pt} . \\ \end{gathered} $

Деформации:

(2)
$\begin{gathered} {{\varepsilon }_{{rr}}} = 2U{{\gamma }^{2}}H\left[ {\left( {{\rm K} - 1} \right)\frac{{{{J}_{1}}\left( {\kappa a} \right)}}{{\kappa a}}\left( {{{J}_{0}}\left( {hr} \right) - \frac{{{{J}_{1}}\left( {hr} \right)}}{{hr}}} \right)} \right. + \\ \left. { + \,\,2\frac{{{{J}_{1}}\left( {ha} \right)}}{{ha}}\left( {{{J}_{0}}\left( {\kappa r} \right) - \frac{{{{J}_{1}}\left( {\kappa r} \right)}}{{\kappa r}}} \right)} \right]\sin \Omega , \\ {{\varepsilon }_{{\theta \theta }}} = 2U{{\gamma }^{2}}H\left[ {\left( {{\rm K} - 1} \right)\frac{{{{J}_{1}}\left( {\kappa a} \right)}}{{\kappa a}}\frac{{{{J}_{1}}\left( {hr} \right)}}{{hr}}} \right. + \\ \left. { + \,\,2\frac{{{{J}_{1}}\left( {ha} \right)}}{{ha}}\frac{{{{J}_{1}}\left( {\kappa r} \right)}}{{\kappa r}}} \right]\sin \Omega , \\ {{\varepsilon }_{{zz}}} = 2U{{\gamma }^{2}}\left[ {\left( {{\rm K} - 1} \right)\frac{{{{J}_{1}}\left( {\kappa a} \right)}}{{\kappa a}}{{J}_{0}}\left( {hr} \right)} \right. - \\ \left. { - \,\,2H\frac{{{{J}_{1}}\left( {ha} \right)}}{{ha}}{{J}_{0}}\left( {\kappa r} \right)} \right]sin\Omega , \\ {{\varepsilon }_{{rz}}} = 2Ur{{\gamma }^{3}}H\left( {{\rm K} - 1} \right) \times \\ \times \,\,\left[ {\frac{{{{J}_{1}}\left( {\kappa a} \right)}}{{\kappa a}}\frac{{{{J}_{1}}\left( {hr} \right)}}{{hr}} - \frac{{{{J}_{1}}\left( {ha} \right)}}{{ha}}\frac{{{{J}_{1}}\left( {\kappa r} \right)}}{{\kappa r}}} \right]\cos \Omega , \\ \Delta = {{\varepsilon }_{{rr}}} + {{\varepsilon }_{{\theta \theta }}} + {{\varepsilon }_{{zz}}} = 2U{{\gamma }^{2}}\left( {H + 1} \right) \times \\ \times \,\,\left( {{\rm K} - 1} \right)\frac{{{{J}_{1}}\left( {\kappa a} \right)}}{{\kappa a}}{{J}_{0}}\left( {hr} \right)\sin \Omega . \\ \end{gathered} $

Напряжения:

(3)
$\begin{gathered} {{\sigma }_{{rr}}} = \lambda \Delta + 2\mu {{\varepsilon }_{{rr}}};\,\,\,\,{{\sigma }_{{\theta \theta }}} = \lambda \Delta + 2\mu {{\varepsilon }_{{\theta \theta }}}; \\ {{\sigma }_{{zz}}} = \lambda \Delta + 2\mu {{\varepsilon }_{{zz}}};\,\,\,{{\sigma }_{{rz}}} = 2\mu {{\varepsilon }_{{rz}}}, \\ {{\sigma }_{{rr}}} = 2\mu U{{\gamma }^{2}}\left[ {{{{\left( {{\rm K} - 1} \right)}}^{2}}\frac{{{{J}_{1}}\left( {\kappa a} \right)}}{{\kappa a}}{{J}_{0}}\left( {hr} \right) + } \right. \\ + \,\,4H\frac{{{{J}_{1}}\left( {ha} \right)}}{{ha}}{{J}_{0}}\left( {\kappa r} \right) - 2H\left( {{\rm K} - 1} \right)\frac{{{{J}_{1}}\left( {\kappa a} \right)}}{{\kappa a}} \times \\ \times \,\,\left. {\frac{{{{J}_{1}}\left( {hr} \right)}}{{hr}} - 4H\frac{{{{J}_{1}}\left( {ha} \right)}}{{ha}}\frac{{{{J}_{1}}\left( {\kappa r} \right)}}{{\kappa r}}} \right]\sin \Omega , \\ \end{gathered} $
(4)
$\begin{gathered} {{\sigma }_{{\theta \theta }}} = 2\mu U{{\gamma }^{2}}\left[ {\left( {{\rm K} - 1 - 2H} \right)\left( {{\rm K} - 1} \right)\frac{{{{J}_{1}}\left( {\kappa a} \right)}}{{\kappa a}}{{J}_{0}}\left( {hr} \right) + } \right. \\ + \,\,2H\left( {{\rm K} - 1} \right)\frac{{{{J}_{1}}\left( {\kappa a} \right)}}{{\kappa a}}\frac{{{{J}_{1}}\left( {hr} \right)}}{{hr}} + \\ \left. { + \,\,4H\frac{{{{J}_{1}}\left( {ha} \right)}}{{ha}}\frac{{{{J}_{1}}\left( {\kappa r} \right)}}{{\kappa r}}} \right]\sin \Omega , \\ {{\sigma }_{{zz}}} = 2\mu U{{\gamma }^{2}}\left[ {\left( {{\rm K} - 1} \right)\left( {{\rm K} + 1 - 2H} \right)\frac{{{{J}_{1}}\left( {\kappa a} \right)}}{{\kappa a}} \times } \right. \\ \times \,\,\left[ {{{J}_{0}}\left( {hr} \right) - 4H\frac{{{{J}_{1}}\left( {ha} \right)}}{{ha}}{{J}_{0}}\left( {\kappa r} \right)} \right]sin\Omega , \\ {{\sigma }_{{rz}}} = 4U\mu r{{\gamma }^{3}}H\left( {{\rm K} - 1} \right) \times \\ \times \,\,\left[ {\frac{{{{J}_{1}}\left( {\kappa a} \right)}}{{\kappa a}}\frac{{{{J}_{1}}\left( {hr} \right)}}{{hr}} - \frac{{{{J}_{1}}\left( {ha} \right)}}{{ha}}\frac{{{{J}_{1}}\left( {\kappa r} \right)}}{{\kappa r}}} \right]\cos \Omega . \\ \end{gathered} $

Получено также дисперсионное соотношение для осесимметричных ПК-волн в следующем виде:

(5)
$\begin{gathered} {{\left( {{\rm K} - 1} \right)}^{2}}{{J}_{0}}\left( {ha} \right)\frac{{{{J}_{1}}\left( {\kappa a} \right)}}{{\kappa a}} + 4H\frac{{{{J}_{1}}\left( {ha} \right)}}{{ha}}{{J}_{0}}\left( {\kappa a} \right) - \\ - 2H\left( {{\rm K} + 1} \right)\frac{{{{J}_{1}}\left( {ha} \right)}}{{ha}}\frac{{{{J}_{1}}\left( {\kappa a} \right)}}{{\kappa a}} = 0. \\ \end{gathered} $

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СЛУЧАИ

Известны формы волн для длинноволнового (l $ \gg $ a) и коротковолнового (l $ \ll $ a) приближений.

В случае длинноволнового приближения ПК-волна стремится к плоской волне с фазовой скоростью ${{c}_{0}} = \sqrt {{E \mathord{\left/ {\vphantom {E \rho }} \right. \kern-0em} \rho }} $ [7]. Здесь напряжения однородны по поперечному сечению стержня. Действительно, если $l \to \infty $, то $\gamma \to 0$. Так как $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{J}_{0}}\left( x \right) = 1$ и $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{{{{J}_{1}}\left( x \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{J}_{1}}\left( x \right)} x}} \right. \kern-0em} x}} \right) = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}$, то дисперсионное соотношение имеет следующий вид:

(6)
$\begin{gathered} {{\left( {{\rm K} - 1} \right)}^{2}} + 4H - H\left( {{\rm K} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow {{c}^{2}}\left[ {{{c}^{2}}c_{1}^{2} - {{c}^{2}}c_{2}^{2} - 3c_{1}^{2}c_{2}^{2} + 4c_{2}^{4}} \right] = 0. \\ \end{gathered} $

Решение c = 0 соответствует отсутствию волны. Второе решение ненулевое, и после замены c1 и c2 через c0 и ν, получаем:

(7)
${{c}^{2}} = c_{2}^{2}\frac{{3c_{1}^{2} - 4c_{2}^{2}}}{{c_{1}^{2} - c_{2}^{2}}} = \frac{{c_{0}^{2}}}{{1 + \nu }}\frac{{1 + 2\nu + {{\nu }^{2}}}}{{1 + \nu }} = c_{0}^{2}.$

Итак, доказано, что в длинноволновом приближении фазовая скорость равна c0.

Смещения и напряжения находим аналогичным образом.

(8)
$\begin{gathered} {{u}_{r}} = \frac{{U{{\gamma }^{2}}r}}{2}\frac{{c_{0}^{2}}}{{c_{2}^{2}}}\sin \Omega = U{{\gamma }^{2}}r\left( {1 + \nu } \right)\sin \Omega , \\ {{u}_{z}} = U\gamma \left( {2\frac{{c_{0}^{2}}}{{c_{1}^{2}}} - \frac{{c_{0}^{2}}}{{c_{2}^{2}}}} \right)\cos \Omega = - 2U\gamma \nu \frac{{1 + \nu }}{{1 - \nu }}\cos \Omega , \\ \end{gathered} $
(9)
$\begin{gathered} {{\sigma }_{{rr}}} = \mu U{{\gamma }^{2}}\left[ {{{{\left( {{\rm K} - 1} \right)}}^{2}} + 2H - } \right.\left. {H\left( {{\rm K} - 1} \right)} \right]\sin \Omega = \\ = 2\mu U{{\gamma }^{2}}\frac{{1 + \nu }}{{1 - \nu }}\left[ {2 - 2{{\nu }^{2}} - 3 + 3\nu + 2} \right. - \\ \left. { - \,\,4\nu - 1 + 2\nu - \nu + 2{{\nu }^{2}}} \right]\sin \Omega = 0, \\ \end{gathered} $
(10)
$\begin{gathered} {{\sigma }_{{\theta \theta }}} = \mu U{{\gamma }^{2}} \times \\ \times \,\,\left[ {{{{\left( {{\rm K} - 1} \right)}}^{2}} - H\left( {{\rm K} - 1} \right) + 2H} \right]\sin \Omega = {{\sigma }_{{rr}}} = 0, \\ \end{gathered} $
(11)
$\begin{gathered} {{\sigma }_{{zz}}} = \mu U{{\gamma }^{2}}\frac{{c_{0}^{2}}}{{c_{2}^{2}}}\left[ {\frac{{c_{0}^{2}}}{{c_{2}^{2}}} - 2\frac{{c_{0}^{2}}}{{c_{1}^{2}}}} \right]sin\Omega = \\ = 4\mu U{{\gamma }^{2}}\nu \frac{{{{{\left( {1 + \nu } \right)}}^{2}}}}{{1 - \nu }}sin\Omega , \\ \end{gathered} $
(12)
${{\sigma }_{{rz}}} = 0.$

Как видно из полученных формул, в процессе распространения такой волны все поперечные сечения стержня остаются плоскими, однородно расширяясь и сжимаясь. Единственная ненулевая компонента напряжений – продольная (σzz), ее распределение по любому поперечному сечению однородно.

В случае коротковолнового приближения главная мода имеет характер волны Рэлея: наибольшие смещения и напряжения локализуются на поверхности стержня, экспоненциально затухая к оси. Действительно, рассмотрим дисперсионное соотношение для фазовой скорости $c < {{c}_{2}} < {{c}_{1}}$ (фундаментальная мода). В этом случае h и κ становятся мнимыми, и бесселевы функции J заменяются функциями мнимого аргумента I:

(13)
${{J}_{0}}\left( {ha} \right) = {{I}_{0}}\left( {\left| h \right|a} \right);\,\,\,\,\frac{{{{J}_{1}}\left( {ha} \right)}}{{ha}} = \frac{{{{I}_{1}}\left( {\left| h \right|a} \right)}}{{\left| h \right|a}}$

(для κ аналогично).

Тогда дисперсионное соотношение имеет следующий вид:

(14)
$\begin{gathered} {{\left( {2 - \frac{{{{c}^{2}}}}{{c_{2}^{2}}}} \right)}^{2}}{{I}_{0}}\left( {\left| h \right|a} \right)\frac{{{{I}_{1}}\left( {\left| \kappa \right|a} \right)}}{{\left| \kappa \right|a}} - \\ - \,\,4\left( {1 - \frac{{{{c}^{2}}}}{{c_{1}^{2}}}} \right)\frac{{{{I}_{1}}\left( {\left| h \right|a} \right)}}{{\left| h \right|a}}{{I}_{0}}\left( {\left| \kappa \right|a} \right) + \\ + \,\,2\left( {1 - \frac{{{{c}^{2}}}}{{c_{1}^{2}}}} \right)\frac{{{{c}^{2}}}}{{c_{2}^{2}}}\frac{{{{I}_{1}}\left( {\left| h \right|a} \right)}}{{\left| h \right|a}}\frac{{{{I}_{1}}\left( {\left| \kappa \right|a} \right)}}{{\left| \kappa \right|a}} = 0. \\ \end{gathered} $

При коротковолновом приближении $\gamma a \gg 1$. Как известно [27], для больших аргументов

(15)
${{I}_{n}}\left( x \right) \approx {{{{e}^{x}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{e}^{x}}} {\sqrt {2\pi x} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {2\pi x} }}.$

Тогда (14) преобразуется к виду

(16)
$\left| h \right|a{{\left( {2 - \frac{{{{c}^{2}}}}{{c_{2}^{2}}}} \right)}^{2}} - 4\left| \kappa \right|a\left( {1 - \frac{{{{c}^{2}}}}{{c_{1}^{2}}}} \right) + 2\left( {1 - \frac{{{{c}^{2}}}}{{c_{1}^{2}}}} \right)\frac{{{{c}^{2}}}}{{c_{2}^{2}}} = 0.$

После раскрытия модулей и сокращения общих множителей, получаем

(17)
${{\left( {2 - \frac{{{{c}^{2}}}}{{c_{2}^{2}}}} \right)}^{2}} - 4\sqrt {1 - \frac{{{{c}^{2}}}}{{c_{2}^{2}}}} \sqrt {1 - \frac{{{{c}^{2}}}}{{c_{1}^{2}}}} + \frac{2}{{\gamma a}}\frac{{{{c}^{2}}}}{{c_{2}^{2}}}\sqrt {1 - \frac{{{{c}^{2}}}}{{c_{1}^{2}}}} = 0.$

Последнее слагаемое стремится к нулю при $\gamma \to \infty $. В итоге приходим к уравнению

(18)
${{\left( {2 - \frac{{{{c}^{2}}}}{{c_{2}^{2}}}} \right)}^{2}} = 4\sqrt {1 - \frac{{{{c}^{2}}}}{{c_{2}^{2}}}} \sqrt {1 - \frac{{{{c}^{2}}}}{{c_{1}^{2}}}} .$

Оно хорошо известно как дисперсионное соотношение для волны Рэлея. Его решение дает значение c = cR – фазовую скорость волны Рэлея.

Аналогичным образом получим смещения (предполагается, что γr $ \gg $ 1):

(19)
$\begin{gathered} {{u}_{r}} = \frac{{U{{\gamma }^{2}}}}{{\pi {{{\left( {\left| {h\kappa } \right|a} \right)}}^{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}\sqrt r }}\left[ {\left( {\frac{{c_{{\text{R}}}^{2}}}{{c_{2}^{2}}} - 2} \right){{e}^{{\left| \kappa \right|a + \left| h \right|r}}} + 2{{e}^{{\left| h \right|a + \left| \kappa \right|r}}}} \right]\sin \Omega , \\ {{u}_{z}} = \frac{{ - U\gamma }}{{\pi {{{\left( {\left| {h\kappa } \right|a} \right)}}^{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}\sqrt r }} \times \\ \times \,\,\left[ {\left( {\frac{{c_{{\text{R}}}^{2}}}{{c_{2}^{2}}} - 2} \right)\left| h \right|{{e}^{{\left| \kappa \right|a + \left| h \right|r}}} + 2\left| \kappa \right|\left( {1 - \frac{{c_{{\text{R}}}^{2}}}{{c_{1}^{2}}}} \right){{e}^{{\left| h \right|a + \left| \kappa \right|r}}}} \right]\cos \Omega . \\ \end{gathered} $

Введем замену, означающую относительное расстояние до поверхности:

(20)
$\delta = {{\left( {r - a} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {r - a} \right)} a}} \right. \kern-0em} a},\,\,\,\,r = a\left( {1 + \delta } \right).$

Соответственно,

(21)
$\begin{gathered} {{u}_{r}} = \frac{{U{{\gamma }^{2}}{{e}^{{\left( {\left| \kappa \right| + \left| h \right|} \right)a}}}}}{{\pi {{{\left( {\left| {h\kappa } \right|} \right)}}^{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}{{a}^{2}}\sqrt {1 + \delta } }} \times \\ \times \,\,\left[ {\left( {\frac{{c_{{\text{R}}}^{2}}}{{c_{2}^{2}}} - 2} \right){{e}^{{\left| h \right|a\delta }}} + 2{{e}^{{\left| \kappa \right|a\delta }}}} \right]\sin \Omega , \\ {{u}_{z}} = \frac{{ - U\gamma \left| h \right|{{e}^{{\left( {\left| \kappa \right| + \left| h \right|} \right)a}}}}}{{\pi {{{\left( {\left| {h\kappa } \right|} \right)}}^{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}{{a}^{2}}\sqrt {1 + \delta } }} \times \\ \times \,\,\left[ {\left( {\frac{{c_{{\text{R}}}^{2}}}{{c_{2}^{2}}} - 2} \right){{e}^{{\left| h \right|a\delta }}} + 2\sqrt {1 - \frac{{c_{{\text{R}}}^{2}}}{{c_{1}^{2}}}} \sqrt {1 - \frac{{c_{{\text{R}}}^{2}}}{{c_{2}^{2}}}} {{e}^{{\left| \kappa \right|a\delta }}}} \right]\cos \Omega . \\ \end{gathered} $

Таким образом, при коротковолновом приближении в окрестности поверхности стержня структура ПК‑волны аналогична структуре волны Рэлея, отличаясь общим коэффициентом.

ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ В СРЕДНЕВОЛНОВОМ ДИАПАЗОНЕ

Для контроля напряженно-деформированного состояния конструкции используются тензодатчики, закрепленные на поверхности конструкции. Как показано выше, в случае длинноволнового приближения внутренние напряжения в стержне равны поверхностным, в случае коротковолнового – внутренние напряжения ниже поверхностных, как и при волне Рэлея. Иначе говоря, в описанных случаях внутренние напряжения не превышают поверхностные, и применение поверхностных тензодатчиков достаточно, чтобы контролировать НДС стержневой структуры.

Можно было бы предположить, что последнее утверждение также справедливо и для средних волн. Однако в работе [26] продемонстрировано, что при распространении волны Погхаммера–Кри (фундаментальная мода) максимум напряжений (растягивающих или эквивалентных) может возникать и на оси стержня (отметим, что при расчетах распределения НДС в сечении стержня в рассмотренных случаях максимумы локализовались только на поверхности или оси, но это не означает, что в других случаях не могут быть обнаружены другие области локализации). В [26] для стального стержня было продемонстрировано, что на низких частотах максимальное растягивающее напряжение (≲1.3 МГц) и максимальное эквивалентное напряжение (≲1.7 МГц) локализуются на оси стержня. Было показано, что максимальное растягивающее напряжение на оси может быть в 3.164 раза больше, чем на поверхности, а максимальное эквивалентное напряжение – в 4.056 раза.

В данной работе рассмотрены отношения максимальных значений на оси и на поверхности стержня для растягивающих напряжений (RT) и для эквивалентных напряжение (Req) при ряде значений коэффициента Пуассона ν = 0.001, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.499 (особые значения 0 и 0.5 исключены из диапазона и будут рассматриваться отдельно в следующем исследовании). Расчеты показали, что для каждого рассмотренного ν существует длина волны (отдельно для растягивающего напряжения (рис. 1) и эквивалентного напряжения (рис. 2)), при которой максимумы на оси и на поверхности равны. Для более коротких волн максимум напряжений локализуется на поверхности стержня, для более длинных – на оси. Вычисленные распределения на краях диапазона соответствуют вышеописанным коротковолновому и длинноволновому приближениям.

Рис. 1.

Отношение максимальных растягивающих напряжений (фундаментальная мода).

Рис. 2.

Отношение максимальных эквивалентных напряжений (фундаментальная мода).

Полученные распределения показывают, что существует особая волна с длиной волны l* ≈ 3.41a, для которой RT ≈ 3.16 и Req ≈ 2.74 имеют постоянные значения независимо от значения ν (при этом для RT это наибольшее значение). Распределения максимальных значений растягивающего напряжения σI и эквивалентного напряжения σeq для l = l* представлены на рис. 3 и 4. Штриховка показывает область, где главным напряжением является σθ.

Рис. 3.

Нормализованное первое главное напряжение σI для l = l* (фундаментальная мода).

Рис. 4.

Нормализованное эквивалентное напряжение σeq для l = l* (фундаментальная мода).

Рассмотрим это явление подробнее. Сначала найдем напряжения на поверхности стержня (r = a):

(22)
$\begin{gathered} {{\left. {{{\sigma }_{{rr}}}} \right|}_{a}} = 2\mu U{{\gamma }^{2}}\left[ {{{{\left( {{\rm K} - 1} \right)}}^{2}}\frac{{{{J}_{1}}\left( {\kappa a} \right)}}{{\kappa a}}{{J}_{0}}\left( {ha} \right)} \right. + \\ + \,\,4H\frac{{{{J}_{1}}\left( {ha} \right)}}{{ha}}{{J}_{0}}\left( {\kappa a} \right) - \\ \left. { - \,\,2H\left( {{\rm K} + 1} \right)\frac{{{{J}_{1}}\left( {\kappa a} \right)}}{{\kappa a}}\frac{{{{J}_{1}}\left( {ha} \right)}}{{ha}}} \right]\sin \Omega , \\ \end{gathered} $
(23)
$\begin{gathered} {{\left. {{{\sigma }_{{\theta \theta }}}} \right|}_{a}} = 2\mu U{{\gamma }^{2}}\frac{{{{J}_{1}}\left( {\kappa a} \right)}}{{\kappa a}}\left[ {\left( {{\rm K} - 1} \right)\left( {{\rm K} - 1 - 2H} \right) \times \frac{{}}{{}}} \right. \\ \times \,\,\left. {{{J}_{0}}\left( {ha} \right) + 2H\left( {{\rm K} + 1} \right)\frac{{{{J}_{1}}\left( {ha} \right)}}{{ha}}} \right]\sin \Omega , \\ \end{gathered} $
(24)
$\begin{gathered} {{\left. {{{\sigma }_{{zz}}}} \right|}_{a}} = 2\mu U{{\gamma }^{2}}\left[ {\left( {{\rm K} - 1} \right)\left( {{\rm K} + 1 - 2H} \right)\frac{{{{J}_{1}}\left( {\kappa a} \right)}}{{\kappa a}}} \right. \times \\ \times \,\,\left. {{{J}_{0}}\left( {ha} \right) - 4H\frac{{{{J}_{1}}\left( {ha} \right)}}{{ha}}{{J}_{0}}\left( {\kappa a} \right)} \right]sin\Omega , \\ \end{gathered} $
(25)
${{\sigma }_{{rz}}} = 0.$

Согласно граничным условиям (поверхность свободна от нагрузок), σrr и σrzравны нулю (выражение в квадратных скобках в формуле σrrпредставляет собой левую часть дисперсионного соотношения, т.е. равно нулю).

Перепишем σzz и σθθ с учетом дисперсионного соотношения:

(26)
$\begin{gathered} {{\left. {{{\sigma }_{{\theta \theta }}}} \right|}_{a}} = 2\mu U{{\gamma }^{2}}\frac{{{{J}_{1}}\left( {\kappa a} \right)}}{{\kappa a}}\left[ {\left( {{\rm K} - 1} \right)\left( {{\rm K} - 1 - 2H} \right) \times \frac{{}}{{}}} \right. \\ \times \,\,\left. {{{J}_{0}}\left( {ha} \right) + 2H\left( {{\rm K} + 1} \right)\frac{{{{J}_{1}}\left( {ha} \right)}}{{ha}}} \right]\sin \Omega , \\ \end{gathered} $
(27)
$\begin{gathered} {{\left. {{{\sigma }_{{zz}}}} \right|}_{a}} = 2\mu U{{\gamma }^{2}}\frac{{{{J}_{1}}\left( {\kappa a} \right)}}{{\kappa a}}\left[ {2\left( {{\rm K} - 1} \right)\left( {{\rm K} - H} \right){{J}_{0}}\left( {ha} \right) - \frac{{}}{{}}} \right. \\ \left. { - \,\,2H\left( {{\rm K} + 1} \right)\frac{{{{J}_{1}}\left( {ha} \right)}}{{ha}}} \right]sin\Omega . \\ \end{gathered} $

Поскольку задача осесимметрична, то на поверхности σI равно либо σzz, либо σθθ. Выпишем формулы для максимумов соответствующих компонент:

(28)
$\begin{gathered} \mathop {\max }\limits_{r = a} {{\sigma }_{{\theta \theta }}} = 2\mu U{{\gamma }^{2}}\left| {\frac{{{{J}_{1}}\left( {\kappa a} \right)}}{{\kappa a}}} \right| \times \\ \times \,\,\left| {\left( {{\rm K} - 1} \right)\left( {{\rm K} - 1 - 2H} \right){{J}_{0}}\left( {ha} \right) + \frac{{}}{{}}} \right. \\ \left. { + \,\,2H\left( {{\rm K} + 1} \right)\frac{{{{J}_{1}}\left( {ha} \right)}}{{ha}}} \right|, \\ \end{gathered} $
(29)
$\begin{gathered} \mathop {\max }\limits_{r = a} {{\sigma }_{{zz}}} = 2\mu U{{\gamma }^{2}}\left| {\frac{{{{J}_{1}}\left( {\kappa a} \right)}}{{\kappa a}}} \right| \times \\ \times \,\,\left| {2\left( {{\rm K} - 1} \right)\left( {{\rm K} - H} \right){{J}_{0}}\left( {ha} \right) - 2H\left( {{\rm K} + 1} \right)\frac{{{{J}_{1}}\left( {ha} \right)}}{{ha}}} \right|. \\ \end{gathered} $

Расчеты показывают, что фазовая скорость c* особой волны находится в интервале c2 < c* < c0 для всех рассматриваемых ν. При ν > 0 справедливо выражение с1 > c0, следовательно, c* < c1 и $H = {{{{c}^{ * }}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{c}^{ * }}^{2}} {c_{1}^{2}}}} \right. \kern-0em} {c_{1}^{2}}} - 1 < 0$. Отсюда $h = \gamma \sqrt H = i\gamma \sqrt {\left| H \right|} $. Таким образом, как и в формуле (13), получаем, что ${{J}_{0}}\left( {ha} \right) = {{I}_{0}}\left( {\left| h \right|a} \right)$ и ${{{{J}_{1}}\left( {ha} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{J}_{1}}\left( {ha} \right)} {ha}}} \right. \kern-0em} {ha}} = {{{{I}_{1}}\left( {\left| h \right|a} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{I}_{1}}\left( {\left| h \right|a} \right)} {\left| h \right|a}}} \right. \kern-0em} {\left| h \right|a}}$.

С другой стороны,

(30)
$\begin{gathered} {{c}_{2}} < c* < {{c}_{0}} \Rightarrow c_{2}^{2} < {{c}^{{ * 2}}} < 2\left( {1 + \nu } \right)c_{2}^{2} \Rightarrow \\ \Rightarrow 0 < {{{{c}^{{ * 2}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{c}^{{ * 2}}}} {c_{2}^{2}}}} \right. \kern-0em} {c_{2}^{2}}} - 1 < 1 + 2\nu \Rightarrow 0 < {\rm K} < 2. \\ \end{gathered} $

Следовательно, на интересующем интервале $\kappa a \in \mathbb{R}$.

Таким образом, max σzz имеет следующий вид (все члены действительные):

(31)
$\begin{gathered} \mathop {\max }\limits_{r = a} {{\sigma }_{{\theta \theta }}} = 2\mu U{{\gamma }^{2}}\left| {\frac{{{{J}_{1}}\left( {\kappa a} \right)}}{{\kappa a}}} \right| \times \\ \times \,\,\left| {\left( {{\rm K} - 1} \right)\left( {{\rm K} - 1 + 2\left| H \right|} \right){{I}_{0}}\left( {\left| h \right|a} \right) - \frac{{}}{{}}} \right. \\ \left. { - \,\,2\left| H \right|\left( {{\rm K} + 1} \right)\frac{{{{I}_{1}}\left( {\left| h \right|a} \right)}}{{\left| h \right|a}}} \right|, \\ \end{gathered} $
(32)
$\begin{gathered} \mathop {\max }\limits_{r = a} {{\sigma }_{{zz}}} = 2\mu U{{\gamma }^{2}}\left| {\frac{{{{J}_{1}}\left( {\kappa a} \right)}}{{\kappa a}}} \right| \times \\ \times \,\,\left| {2\left( {{\rm K} - 1} \right)\left( {{\rm K} + \left| H \right|} \right){{I}_{0}}\left( {\left| h \right|a} \right) + \frac{{}}{{}}} \right. \\ \left. { + \,\,2\left| H \right|\left( {{\rm K} + 1} \right)\frac{{{{I}_{1}}\left( {\left| h \right|a} \right)}}{{\left| h \right|a}}} \right|. \\ \end{gathered} $

Перелом графиков на рис. 1 в точке наибольшего значения RT означает, что здесь $\mathop {\max }\limits_{r = a} {{\sigma }_{{\theta \theta }}}$ и $\mathop {\max }\limits_{r = a} {{\sigma }_{{zz}}}$ равны.

Сделаем предположение, что J1(κa)/κa = 0. Но тогда из дисперсионного соотношения получаем, что J0(κa) также должно быть равно нулю. Однако доказано (см., напр., [29]), что функции J0 и J1 общих корней не имеют. Следовательно, |J1(κa)/κa| > 0. Тогда достаточно сравнить последние множители:

(33)
$\begin{gathered} \left| {\left( {{\rm K} - 1} \right)\left( {{\rm K} - 1 + 2\left| H \right|} \right){{I}_{0}}\left( {\left| h \right|a} \right) - \frac{{^{{}}}}{{}}} \right. \\ \left. { - \,\,2\left| H \right|\left( {{\rm K} + 1} \right)\frac{{{{I}_{1}}\left( {\left| h \right|a} \right)}}{{\left| h \right|a}}} \right| = \left| {2\left( {{\rm K} - 1} \right)\left( {{\rm K} + \left| H \right|} \right) \times \frac{{^{{}}}}{{}}} \right. \\ \times \,\,\left. {{{I}_{0}}\left( {\left| h \right|a} \right) + 2\left| H \right|\left( {{\rm K} + 1} \right)\frac{{{{I}_{1}}\left( {\left| h \right|a} \right)}}{{\left| h \right|a}}} \right|. \\ \end{gathered} $

Если |x| = |y|, то либо x = y, либо x = –y. Рассмотрим оба варианта.

Вариант I:

(34)
$\begin{gathered} \left( {{\rm K} - 1} \right)\left( {{\rm K} - 1 + 2\left| H \right|} \right){{I}_{0}}\left( {\left| h \right|a} \right) - 2\left| H \right|\left( {{\rm K} + 1} \right) \times \\ \times \,\,\frac{{{{I}_{1}}\left( {\left| h \right|a} \right)}}{{\left| h \right|a}} - 2\left( {{\rm K} - 1} \right)\left( {{\rm K} + \left| H \right|} \right){{I}_{0}}\left( {\left| h \right|a} \right) - \\ - \,\,2\left| H \right|\left( {{\rm K} + 1} \right)\frac{{{{I}_{1}}\left( {\left| h \right|a} \right)}}{{\left| h \right|a}} = 0 \Rightarrow \\ \Rightarrow \left( {{\rm K} + 1} \right)\left[ {\left( {{\rm K} - 1} \right){{I}_{0}}\left( {\left| h \right|a} \right) + 4\left| H \right|\frac{{{{I}_{1}}\left( {\left| h \right|a} \right)}}{{\left| h \right|a}}} \right] = 0. \\ \end{gathered} $

Если предположить, что ${\rm K} + 1 = 0$, то получаем:

(35)
${\rm K} + 1 = {{{{c}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{c}^{2}}} {c_{2}^{2}}}} \right. \kern-0em} {c_{2}^{2}}} = 0 \Rightarrow c = 0,$
т.е. в данном случае волны просто нет.

Если же приравнять другой множитель нулю, то получим уравнение относительно фазовой скорости. Его решение можно получить численно, и оно не соответствует особой волне.

Вариант II:

(36)
$\begin{gathered} \left( {{\rm K} - 1} \right)\left( {{\rm K} - 1 + 2\left| H \right|} \right){{I}_{0}}\left( {\left| h \right|a} \right) - \\ - \,\,2\left| H \right|\left( {{\rm K} + 1} \right)\frac{{{{I}_{1}}\left( {\left| h \right|a} \right)}}{{\left| h \right|a}} + 2\left( {{\rm K} - 1} \right)\left( {{\rm K} + \left| H \right|} \right) \times \\ \times \,\,{{I}_{0}}\left( {\left| h \right|a} \right) + 2\left| H \right|\left( {{\rm K} + 1} \right)\frac{{{{I}_{1}}\left( {\left| h \right|a} \right)}}{{\left| h \right|a}} = 0 \Rightarrow \\ \Rightarrow \left( {{\rm K} - 1} \right)\left( {3{\rm K} - 1 + 4\left| H \right|} \right){{I}_{0}}\left( {\left| h \right|a} \right) = 0. \\ \end{gathered} $

Множитель ${{I}_{0}}\left( {\left| h \right|a} \right)$ положителен и не может быть корнем. Рассмотрим второй множитель:

(37)
$3{\rm K} - 1 + 4\left| H \right| = 3\frac{{{{c}^{2}}}}{{c_{2}^{2}}} - 4\frac{{{{c}^{2}}}}{{c_{1}^{2}}} = 2\frac{{{{{\left( {1 + \nu } \right)}}^{2}}}}{{1 - \nu }}\frac{{{{c}^{2}}}}{{c_{0}^{2}}}.$

Как видим, при ν > 0 есть только один корень с = 0, т.е. волны также нет.

Наконец, рассмотрим первый множитель:

(38)
${\rm K} - 1 = 0 \Rightarrow c = {{c}_{2}}\sqrt {2{\kern 1pt} {\kern 1pt} } .{\kern 1pt} $

В данном случае

(39)
$\kappa = \gamma \sqrt {{{{{c}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{c}^{2}}} {c_{2}^{2}}}} \right. \kern-0em} {c_{2}^{2}}} - 1} = \gamma .$

Дисперсионное соотношение приобретает следующий вид:

(40)
$\begin{gathered} 4H\frac{{{{J}_{1}}\left( {ha} \right)}}{{ha}}{{J}_{0}}\left( {\gamma a} \right) - 4H\frac{{{{J}_{1}}\left( {ha} \right)}}{{ha}}\frac{{{{J}_{1}}\left( {\gamma a} \right)}}{{\gamma a}} = 0 \Rightarrow \\ \Rightarrow 4H\frac{{{{I}_{1}}\left( {\left| h \right|a} \right)}}{{\left| h \right|a}}\left( {{{J}_{0}}\left( {\gamma a} \right) - \frac{{{{J}_{1}}\left( {\gamma a} \right)}}{{\gamma a}}} \right) = 0 \\ \end{gathered} $
и имеет единственный ненулевой множитель

(41)
${{J}_{0}}\left( {\gamma a} \right) - {{{{J}_{1}}\left( {\gamma a} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{J}_{1}}\left( {\gamma a} \right)} {\gamma a}}} \right. \kern-0em} {\gamma a}} = 0.$

Отметим, что в полученном выражении отсутствуют модуль Юнга и коэффициент Пуассона. Преобразуем это выражение:

(42)
$\begin{gathered} {{J}_{0}}\left( {\gamma a} \right) - {{{{J}_{1}}\left( {\gamma a} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{J}_{1}}\left( {\gamma a} \right)} {\gamma a}}} \right. \kern-0em} {\gamma a}} = \\ = {{\left( {{{J}_{0}}\left( {\gamma a} \right) - {{J}_{2}}\left( {\gamma a} \right)} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{{J}_{0}}\left( {\gamma a} \right) - {{J}_{2}}\left( {\gamma a} \right)} \right)} 2}} \right. \kern-0em} 2} = J_{1}^{'}\left( {\gamma a} \right) = 0. \\ \end{gathered} $

Таким образом, корни этого уравнения соответствуют экстремумам ${{J}_{1}}\left( {\gamma a} \right)$. Первый экстремум γ*a ≈ 1.841184 (см. рис. 5) соответствует вышеуказанной особой волне с длиной ${{l{\text{*}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{l{\text{*}}} a}} \right. \kern-0em} a} = {{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } {\gamma {\text{*}}a}}} \right. \kern-0em} {\gamma {\text{*}}a}} \approx 3.413$.

Рис. 5.

Расчет значения γ*a для фундаментальной моды.

Выражения для фазовой скорости и частоты имеют следующий вид:

(43)
$\begin{gathered} c* = {{c}_{2}}\sqrt 2 = {{{{c}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{c}_{0}}} {\sqrt {1 + \nu } }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {1 + \nu } }}, \\ \omega * = c{\text{*}}\gamma * = {{{{c}_{0}}\gamma {\text{*}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{c}_{0}}\gamma {\text{*}}} {\sqrt {1 + \nu } }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {1 + \nu } }}. \\ \end{gathered} $

Отметим, что фазовая скорость, равная ${{c}_{2}}\sqrt 2 $, имеет название скорости Ламе, и волны Похгаммера–Кри и Лэмба, имеющие такую фазовую скорость, называют волнами Ламе (см. напр. [30]).

В отличие от длины волны, фазовая скорость и частота зависят от упругих модулей. Например, для стального стержня (a = 1 см, ρ = 7800 кг/м3, E = = 200 ГПа, ν = 0.3) получим ${{c}_{0}} = \sqrt {{E \mathord{\left/ {\vphantom {E \rho }} \right. \kern-0em} \rho }} = 5.064\,\,{{{\text{км}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text{км}}} {\text{с}}}} \right. \kern-0em} {\text{с}}};$ $c* = 4.44{{\;{\text{км}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\;{\text{км}}} {\text{с}}}} \right. \kern-0em} {\text{с}}};$ $\omega = 0.818\;{\text{МГц}}$.

Вычислим отношения RT и Req для найденного γ*a для фундаментальной моды. Напряжения на оси стержня (r = 0):

(44)
$\begin{gathered} {{\left. {{{\sigma }_{{rr}}}} \right|}_{0}} = {{\left. {{{\sigma }_{{\theta \theta }}}} \right|}_{0}} = 2\mu U{{\gamma }^{2}} \times \\ \times \,\,\left[ {\left( {{\rm K} - 1} \right)\left( {{\rm K} - 1 - H} \right)\frac{{{{J}_{1}}\left( {\kappa a} \right)}}{{\kappa a}} + 2H\frac{{{{J}_{1}}\left( {ha} \right)}}{{ha}}} \right]\sin \Omega , \\ {{\left. {{{\sigma }_{{zz}}}} \right|}_{0}} = 2\mu U{{\gamma }^{2}} \times \\ \times \,\,\left[ {\left( {{\rm K} - 1} \right)\left( {{\rm K} + 1 - 2H} \right)\frac{{{{J}_{1}}\left( {\kappa a} \right)}}{{\kappa a}} - 4H\frac{{{{J}_{1}}\left( {ha} \right)}}{{ha}}} \right]sin\Omega , \\ {{\left. {{{\sigma }_{{rz}}}} \right|}_{0}} = 0. \\ \end{gathered} $

При ${\rm K} = 1$ получаем

(45)
$\begin{gathered} {{\left. {{{\sigma }_{{rr}}}} \right|}_{0}} = {{\left. {{{\sigma }_{{\theta \theta }}}} \right|}_{0}} = 4\mu U{{\gamma }^{{*2}}}H\frac{{{{J}_{1}}\left( {ha} \right)}}{{ha}}\sin \Omega *; \\ {{\left. {{{\sigma }_{{zz}}}} \right|}_{0}} = - 8\mu U{{\gamma }^{{*2}}}H\frac{{{{J}_{1}}\left( {ha} \right)}}{{ha}}sin\Omega *; \\ \Omega * = \gamma {\text{*}}z - \omega t. \\ \end{gathered} $

Максимум растягивающих напряжений равен:

(46)
$max{{\left. {{{\sigma }_{{\text{I}}}}} \right|}_{0}} = \max {{\left. {{{\sigma }_{{zz}}}} \right|}_{0}} = 8\mu U{{\gamma }^{{*2}}}\left| H \right|\frac{{{{I}_{1}}\left( {\left| h \right|a} \right)}}{{\left| h \right|a}}.$

Используя (31), (32), получаем RT:

(47)
${{R}_{T}} = \frac{{\mathop {max}\limits_{r = 0} {{\sigma }_{{\text{I}}}}}}{{\mathop {max}\limits_{r = a} {{\sigma }_{{\text{I}}}}}} = \frac{{\gamma {\text{*}}a}}{{{{J}_{1}}\left( {\gamma {\text{*}}a} \right)}} = \frac{1}{{{{J}_{0}}\left( {\gamma {\text{*}}a} \right)}} \approx 3.164.$

Как мы видим, RT для найденного γ*a не зависит от упругих модулей.

Рассмотрим Req. Эквивалентное напряжение имеет вид [27]:

(48)
${{\sigma }_{{{\text{eq}}}}} = \sqrt {\frac{1}{2}\left[ {{{{\left( {{{\sigma }_{{rr}}} - {{\sigma }_{{\theta \theta }}}} \right)}}^{2}} + {{{\left( {{{\sigma }_{{\theta \theta }}} - {{\sigma }_{{zz}}}} \right)}}^{2}} + {{{\left( {{{\sigma }_{{zz}}} - {{\sigma }_{{rr}}}} \right)}}^{2}}} \right] + 3\sigma _{{rz}}^{2}} .$

На поверхности стержня (r = a):

(49)
${{\left. {{{\sigma }_{{{\text{eq}}}}}} \right|}_{a}} = \sqrt {{{{\left( {{{\sigma }_{{\theta \theta }}} - {{\sigma }_{{zz}}}} \right)}}^{2}} + {{\sigma }_{{\theta \theta }}}{{\sigma }_{{zz}}}} .$

Для найденного γ*a напряжения имеют следующие выражения:

(50)
${{\left. {{{\sigma }_{{\theta \theta }}}} \right|}_{a}} = 8\mu U{{\gamma }^{{*2}}}H\frac{{{{J}_{1}}\left( {ha} \right)}}{{ha}}\frac{{{{J}_{1}}\left( {\gamma {\text{*}}a} \right)}}{{\gamma {\text{*}}a}}\sin \Omega *,$
(51)
${{\left. {{{\sigma }_{{zz}}}} \right|}_{a}} = - 8\mu U{{\gamma }^{{*2}}}H\frac{{{{J}_{1}}\left( {ha} \right)}}{{ha}}\frac{{{{J}_{1}}\left( {\gamma {\text{*}}a} \right)}}{{\gamma {\text{*}}a}}sin\Omega {\text{*}}.$

Отсюда получаем

(52)
$\mathop {\max }\limits_{r = a} {{\sigma }_{{{\text{eq}}}}} = 8\sqrt 3 \mu U{{\gamma }^{{*2}}}\left| H \right|\frac{{{{I}_{1}}\left( {\left| h \right|a} \right)}}{{\left| h \right|a}}\frac{{{{J}_{1}}\left( {\gamma *a} \right)}}{{\gamma {\text{*}}a}}.$

На оси стержня (r = 0):

(53)
${{\sigma }_{{{\text{eq}}}}} = \left| {{{\sigma }_{{\theta \theta }}} - {{\sigma }_{{zz}}}} \right|.$

Для найденного γ*a для напряжений получаем:

(54)
$\begin{gathered} {{\left. {{{\sigma }_{{rr}}}} \right|}_{0}} = {{\left. {{{\sigma }_{{\theta \theta }}}} \right|}_{0}} = 4\mu U{{\gamma }^{{*2}}}H\frac{{{{J}_{1}}\left( {ha} \right)}}{{ha}}\sin \Omega *; \\ {{\left. {{{\sigma }_{{zz}}}} \right|}_{0}} = - 8\mu U{{\gamma }^{{*2}}}H\frac{{{{J}_{1}}\left( {ha} \right)}}{{ha}}sin\Omega {\text{*}}. \\ \end{gathered} $

Тогда

(55)
$\mathop {\max }\limits_{r = 0} {{\sigma }_{{{\text{eq}}}}} = 12\mu U{{\gamma }^{{*2}}}\left| H \right|\frac{{{{I}_{1}}\left( {\left| h \right|a} \right)}}{{\left| h \right|a}}.$

В итоге Req:

(56)
${{R}_{{{\text{eq}}}}} = \frac{{\mathop {max}\limits_{r = 0} {{\sigma }_{{{\text{eq}}}}}}}{{\mathop {max}\limits_{r = a} {{\sigma }_{{{\text{eq}}}}}}} = \frac{{\gamma {\text{*}}a\sqrt 3 }}{{2{{J}_{1}}\left( {\gamma {\text{*}}a} \right)}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\frac{1}{{{{J}_{0}}\left( {\gamma {\text{*}}a} \right)}} \approx {\text{2}}{\text{.74}}{\text{.}}$

Как и RT, Req для найденного γ*a не зависит от ν.

В дополнение к вышесказанному, отметим, что для γ = γ*:

(57)
$\begin{gathered} \Delta = 2U{{\gamma }^{ * }}^{2}\left( {H + 1} \right)\left( {{\rm K} - 1} \right) \times \\ \times \,\,\frac{{{{J}_{1}}\left( {\kappa a} \right)}}{{\kappa a}}{{J}_{0}}\left( {hr} \right)\sin \Omega * = 0. \\ \end{gathered} $

Это означает, что в условиях особой волны материал стержня во всех точках находится в состоянии чистого сдвига (что также является характерным свойством волн Ламе).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Расчеты отношений RT и Req для осесимметричных волн Похгаммера–Кри при положительном коэффициенте Пуассона показывают, что в средневолновом диапазоне (0.1 < l*/a < 10) осевые напряжения могут превышать поверхностные в несколько раз. Необходимо учитывать этот эффект при контроле напряжений стержневых конструкций посредством поверхностных тензодатчиков.

Аналитически доказано, что волны, фазовые скорости которых соответствуют скорости Ламе ($c* = {{c}_{2}}\sqrt 2 $), имеют ряд особенностей:

1. Длина волны относительно радиуса стержня не зависит от упругих модулей (для фундаментальной моды ${{l{\text{*}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{l{\text{*}}} a}} \right. \kern-0em} a} \approx 3.413$);

2. Отношение максимального осевого растяжения к максимальному поверхностному растяжению здесь достигает наибольшего значения, независящего от упругих модулей; для фундаментальной моды ${{R}_{T}} \approx 3.164$;

3. Отношение максимального осевого эквивалентного напряжения к максимальному поверхностному эквивалентному напряжению также не зависит от упругих модулей (хотя его значение не наибольшее); для фундаментальной моды ${{R}_{{{\text{eq}}}}} \approx {\text{2}}{\text{.74}}$;

4. Материал в данном случае находится в состоянии чистого сдвига.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 19-01-00100.

Список литературы

  1. Pochhammer L. Ueber die Fortpflanzungsgeschwindigkeiten kleiner Schwingungen in einem unbegrenzten isotropen Kreiscylinder // J. Reine Angew. Math. 1876. V. 81. S. 324–336.

  2. Chree C. Longitudinal vibrations of a circular bar // Quart. J. Pure Appl. Math. 1886. V. 21. P. 287–298.

  3. Chree C. The equations of an isotropic elastic solid in polar and cylindrical coordinates, their solutions and applications // Trans. Cambridge Philos. Soc. 1889. V. 14. P. 250–309.

  4. Field G.S. Velocity of sound in cylindrical rods // Canadian J. Research. 1931. V. 5. P. 619–624.

  5. Shear S.K., Focke A.B. The dispersion of supersonic waves in cylindrical rods of polycrystalline silver, nickel, and magnesium // Phys. Rev. 1940. V. 57. P. 532–537.

  6. Hudson G.E. Dispersion of elastic waves in solid circular cylinders // Phys. Rev. 1943. V. 63. P. 46–51.

  7. Кольский Г. Волны напряжения в твердых телах. М.: Изд-во иностранной литературы, 1955. 194 с.

  8. Redwood M., Lamb J. On propagation of high frequency compressional waves in isotropic cylinders // Proc. Phys. Soc. Section B. London. 1957. V. 70. № 1. P. 136–143.

  9. Onoe M., McNiven H.D., Mindlin R.D. Dispersion of axially symmetric waves in elastic rods // Trans. ASME J. Appl. Mech. 1962. V. 29. P. 729–734.

  10. Hutchinson J.R., Percival C.M. Higher modes of longitudinal wave propagation in thin rod // J. Acoust. Soc. Amer. 1968. V. 44. P. 1204–1210.

  11. Zemanek J. An experimental and theoretical investigation of elastic wave propagation in a cylinder // J. Acoust. Soc. Amer. 1972. V. 51. P. 265–283.

  12. Nowinski J.L. On a nonlocal theory of longitudinal waves in an elastic circular bar // Acta Mech. 1984. V. 52. P. 189–200.

  13. Graff K.F. Wave motion in elastic solids. New York: Dover, 1991. 692 p.

  14. Abramson H.N. Flexural waves in elastic beams of circular cross section // J. Acoust. Soc. Amer. 1957. V. 29. P. 1284–1286.

  15. Pao Y.-H., Mindlin R.D. Dispersion of flexural waves in an elastic, circular cylinders // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1960. V. 27. P. 513–520.

  16. Ковалев В.А., Радаев Ю.Н. Волновые задачи теории поля и термомеханика. Саратов: Изд-во Саратовского Универстета, 2010. 340 с.

  17. Ватульян А.О., Юров В.О. Численное и асимптотическое решение задачи о колебаниях неоднородного волновода с кольцевой трещиной конечной ширины // Акуст. журн. 2020. Т. 66. С. 467–474.

  18. Cerv J., Adamek V., Vales F., Gabriel D., Plesek J. Wave motion in a thick cylindrical rod undergoing longitudinal impact // Wave Motion. 2016. V. 66. P. 88–105.

  19. Муравьева О.В., Леньков С.В., Мурашов С.А. Крутильные волны, возбуждаемые электромагнитно-акустическими преобразователями, при акустическом волноводном контроле трубопроводов // Акуст. журн. 2016. Т. 62. № 1. С. 117–124.

  20. Garcia-Sanchez D., Déleglise S., Thomas J.-L., Atkinson P., Lagoin C., Perrin B. Acoustic confinement in superlattice cavities // Phys. Rev. A. 2016. V. 94. P. 033813-1–033813-6.

  21. Othman R. A fractional equation to approximate wave dispersion relation in elastic rods // Strain. 2017. V. 53. № 4. e12228. P. 1–10.

  22. Li Zh., Jing L., Murch R. Propagation of monopole source excited acoustic waves in a cylindrical high-density polyethylene pipeline // J. Acoust. Soc. Amer. 2017. V. 142. P. 3564–3579.

  23. Zima B., Rucka M. Guided ultrasonic waves for detection of debonding in bars partially embedded in grout // Constr. Build. Mat. 2018. V. 168. P. 124–142.

  24. Кузнецов С.В., Ильяшенко А.В. Поляризация волн Похгаммера–Кри: аксиально симметричные продольные моды // Акуст. журн. 2018. Т. 64. № 6. С. 657–663.

  25. Mokryakov V.V. Maxima of the stresses in the longitudinal Pochhammer – Chree waves // Mech. Solids. 2019. V. 54. № 7. P. 1063–1075.

  26. Mokryakov V.V. Maximal stresses of the longitudinal Pochhammer – Chree waves // Proc. Struct. Integrity. 2019. V. 23. P. 143–148.

  27. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. М.: Мир, 1974. 318 с.

  28. Грэй Э., Мэтьюз Г.Б. Функции Бесселя и их приложения к физике и механике. М.: Изд. иностранной литературы, 1949. 388 с.

  29. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. Ч. 1. М.: Изд. иностранной литературы, 1949. 798 с.

  30. Микер Т., Мейтцлер А. Волноводное распространение в протяженных цилиндрах и пластинках. Физическая акустика / под ред. Мэзона У. М.: Мир, 1966. С. 140–203.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Акустический журнал

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал