1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Известия РАН. Механика твердого тела
  4. № 5, 2023

Известия РАН. Механика твердого тела, 2023, № 5, стр. 27-57

КВАТЕРНИОННЫЕ МЕТОДЫ И РЕГУЛЯРНЫЕ МОДЕЛИ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ И МЕХАНИКИ КОСМИЧЕСКОГО ПОЛЕТА: ЛОКАЛЬНАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ОСОБЕННОСТЕЙ УРАВНЕНИЙ ВОЗМУЩЕННОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ, ПОРОЖДАЕМЫХ ГРАВИТАЦИОННЫМИ СИЛАМИ

Ю. Н. Челноков a, *

a Институт проблем точной механики и управления РАН
Саратов, Россия

* E-mail: ChelnokovYuN@gmail.com

Поступила в редакцию 29.07.2022
После доработки 15.09.2022
Принята к публикации 19.09.2022

Аннотация

Изучается проблема локальной регуляризации дифференциальных уравнений возмущенной пространственной ограниченной задачи трех тел: устранения порождаемых силами гравитации особенностей типа сингулярности (деления на ноль) дифференциальных уравнений возмущенного пространственного движения материальной точки M, имеющей пренебрежимо малую массу, в окрестностях двух гравитирующих точек M0 и M1 с помощью записи уравнений движения во вращающихся системах координат, использования новых регулярных переменных и регуляризующего преобразования времени. Получены различные системы регулярных кватернионных дифференциальных уравнений (РКДУ) этой задачи. В качестве переменных в этих уравнениях выступают следующие группы переменных: 1) четырехмерные переменные Кустаанхеймо–Штифеля, кеплеровские энергии и время t, 2) расстояния от точки M до точек M0 и M1, модули векторов моментов скоростей точки M относительно точек M0 и M1, кеплеровские энергии, время t и параметры Эйлера (Родрига–Гамильтона), характеризующие ориентации орбитальных систем координат в инерциальной системе координат; 3) двухмерные переменные Леви-Чивита, описывающие движение точки M в идеальных системах координат, кеплеровские энергии, время t и параметры Эйлера, характеризующие ориентации идеальных систем координат в инерциальной системе координат и являющиеся оскулирующими элементами (медленно изменяющимися переменными) для движения точки M в окрестности гравитирующей точки M0 или M1 соответственно. Для построения РКДУ в качестве исходных использованы уравнения возмущенной пространственной ограниченной задачи трех тел, записанные или в неголономных (азимутально свободных), или в орбитальных, или в идеальных системах координат; в качестве новых независимых переменных использованы “фиктивные” времена τ0 и τ1 (т.е. использованы регуляризующие дифференциальные преобразования времени Зундмана) или угловые переменные φ0 и φ1, традиционно используемые при изучении орбитального движения в составе полярных координат. Для согласования двух используемых в окрестностях гравитирующих точек M0 и M1 независимых переменных использованы дополнительные дифференциальные уравнения.

Полученные различные локально регулярные кватернионные дифференциальные уравнения возмущенной пространственной ограниченной задачи трех тел позволяют разработать регулярные аналитические и численные методы изучения движения тела пренебрежимо малой массы в окрестностях двух других тел, имеющих конечные массы, а также позволяют построить регулярные алгоритмы численного интегрирования этих уравнений. Уравнения могут быть эффективно использованы для изучения орбитального движения небесных и космических тел и космических аппаратов, для прогноза их движения, а также для решения задач управления орбитальным движением космических аппаратов и решения задач инерциальной навигации в космосе.

Ключевые слова: регулярные кватернионные модели (уравнения траекторного движения) небесной механики и механики космического полета (астродинамики), возмущенная пространственная ограниченная задача трех тел, параметры Эйлера (Родрига–Гамильтона), кватернион поворота Гамильтона, переменные Кустаанхеймо–Штифеля и Леви-Чивита, космический аппарат, неголономная, орбитальная и идеальная системы координат

Список литературы

  1. Aarseth S.J. and Zare K.A. Regularization of the Three-Body Problem // Celest. Mech. 1974. V. 10. P. 185–205. https://doi.org/10.1007/BF01227619

  2. Poincare H. Sur l’uniformisation des fonctions analytiques // Acta Math. 1908. V. 31. P. 1–64. https://doi.org/10.1007/BF02415442

  3. Sundman K.F. Memoire sur le probleme des trois crops // Acta Math. 1913. V. 36. P. 105–179. https://doi.org/10.1007/BF02422379

  4. Lemaitire G. Regularization of the three-body problem // Vistas Astron. 1955. № 1. P. 207–215. https://doi.org/10.1016/0083-6656(55)90028-3

  5. Thiele T.N. Recherches numeriques concernant des solutions periodiques d’un cas special du probleme des trois corps // Astron. Nachr. 1895. V. 138. № 1. P. 17. https://doi.org/10.1002/asna.18951380102

  6. Burrau C. Uber Einige in Aussicht Genommene Berechnung, Betreffend einen Spezialfall des Dreikorperproblems // Vierteljahrschrift Astron. Ges. 1906. V. 41. P. 261.

  7. Birkhoff G.D. The restricted problem of three bodies // Rend. Circ. Mat. Palermo. 1915. V. 39. № 1. P. 265–334. https://doi.org/10.1007/BF03015982

  8. Waldvogel J.A new regularization of the planar problem of three bodies // Celes. Mech. 1972. № 6. P. 221–231. https://doi.org/10.1007/BF01227784

  9. Roman R., Szucs-Csillik I. Generalization of Levi-Civita regularization in the restricted three-body problem // Astrophys. Space Sci. 2014. V. 349. P. 117–123. https://doi.org/10.1007/s10509-013-1628-6

  10. Aarseth S.J. Gravitational N-Body Simulations. N.Y.: Cambridge Univ. Press, 2003. 408 p.

  11. Бордовицына Т.В. Современные численные методы в задачах небесной механики. М.: Наука, 1984. 136 с.

  12. Челноков Ю.Н. Кватернионная регуляризация уравнений задачи двух тел и ограниченной задачи трех тел // ХI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики: сборник докладов (Казань, 20–24 августа 2015 г.) / Cост. Д.Ю. Ахметов, А.Н. Герасимов, Ш.М. Хайдаров, под ред. Д.А. Губайдуллина, А.М. Елизарова, Е.К. Липачёва. Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2015. С. 4051–4053.

  13. Челноков Ю.Н. Кватернионная регуляризация уравнений возмущенной пространственной ограниченной задачи трех тел. I // Изв. РАН. МТТ. 2017. № 6. С. 24–54.

  14. Челноков Ю.Н. Кватернионная регуляризация уравнений возмущенной пространственной ограниченной задачи трех тел. II // Изв. РАН. МТТ. 2018. № 6. С. 41–63.

  15. Челноков Ю.Н. К регуляризации уравнений пространственной задачи двух тел // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1981. № 6. С. 12–21.

  16. Челноков Ю.Н. О регулярных уравнениях пространственной задачи двух тел // Изв. АН СССР. МТТ. 1984. № 1. С. 151–158.

  17. Челноков Ю.Н. Анализ оптимального управления движением точки в гравитационном поле с использованием кватернионов // Изв. РАН. ТиСУ. 2007. № 5. С. 18–44.

  18. Челноков Ю.Н. Кватернионные модели и методы динамики, навигации и управления движением. М.: Физматлит, 2011. 560 с.

  19. Челноков Ю.Н. Кватернионные методы и регулярные модели небесной механики и механики космического полета: использование параметров Эйлера (Родрига–Гамильтона) для описания орбитального (траекторного) движения. II: Возмущенная пространственная ограниченная задача трех тел // Изв. РАН. МТТ. 2023. № 1. С. 142–171. https://doi.org/10.31857/S0572329922600293

  20. Stiefel E.L., Scheifele G. Linear and Regular Celestial Mechanics. Berlin: Springer, 1971. 350 p. (Штифель Е., Шейфеле Г. Линейная и регулярная небесная механика. М.: Наука, 1975. 304 с.)

  21. Челноков Ю.Н., Логинов М.Ю. Новые кватернионные модели регулярной механики космического полета и их приложения в задачах прогноза движения космических тел и инерциальной навигации в космосе // Сборник материалов: XXVIII Санкт-Петербургская международная конференция по интегрированным навигационным системам. Санкт-Петербург, 2021. С. 292–295.

  22. Челноков Ю.Н. Кватернионная регуляризация в небесной механике и астродинамике и управление траекторным движением. II // Космические исследования. 2014. Т. 52. № 4. С. 322–336.

  23. Levi-Civita T.: Sur la regularization du probleme des trios corps // Acta Math. 1920. V. 42. P. 99–144. https://doi.org/10.1007/BF02404404

  24. Chelnokov Y.N. Quaternion methods and models of regular celestial mechanics and astrodynamics // Appl. Math. Mech. (Engl. Ed). 2022. V. 43. № 1. P. 21–80. https://doi.org/10.1007/s10483-021-2797-9

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Механика твердого тела

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал