Теплофизика высоких температур, 2023, T. 61, № 2, стр. 177-180

Проводимость и экранирование в плазме с произвольным вырождением электронов

С. А. Тригер^1, *, С. А. Маслов¹

¹ Объединенный институт высоких температур РАН
Москва, Россия

Поступила в редакцию 02.10.2022
После доработки 02.10.2022
Принята к публикации 13.10.2022

DOI: 10.31857/S0040364423020187

Аннотация

Оптические свойства неидеальной полностью ионизированной плазмы обсуждаются на основе кинетической теории. Показано, что проводимость плазмы в умеренно неидеальном режиме в общем случае требует учета произвольного вырождения электронной компоненты плазмы. Полученные аналитические результаты обобщают недавно развитое рассмотрение оптических свойств плазмы для невырожденных электронов. Проведены расчеты для статической проводимости плазмы.

ВВЕДЕНИЕ

Оптические свойства плазмы измеряются при различных значениях ее параметров в лабораторных установках, в космосе, в околоземном пространстве. Они являются важнейшими характеристиками при астрофизических исследованиях и изучении ранней Вселенной. Оптические свойства плазмы обсуждаются во многих известных монографиях (см., например, [1, 2]) и в большом количестве оригинальных статей. Полная информация об оптических свойствах однородной плазмы содержится в зависящей от частоты поля проводимости $\sigma (\omega )$. Интерес к оптическим свойствам ионизированной плазмы возрос из-за недавнего экспериментального исследования неидеальной плазмы и плазмоподобных сред [3–9] с параметром взаимодействия $\Gamma = {{e}^{2}}{\text{/}}aT$, не малым по сравнению с единицей ($a = (4\pi {{n}_{e}}{\text{/}}{{3)}^{{ - 1/3}}}$ – радиус Вигнера–Зейтца, $e$, ${{n}_{e}}$ и ${{T}_{e}}$ – заряд, плотность и температура электронов соответственно). Тем более, может быть не мал параметр электрон-ионного взаимодействия ${{\Gamma }_{{ei}}} = {{z}_{i}}\Gamma $, где ${{z}_{i}}$ – заряд иона. Однако это взаимодействие недостаточно сильно, чтобы связанные состояния играли существенную роль в проводимости, в противном случае их вклад должен быть рассчитан отдельно. В то же время электроны проводимости в такой плазме нельзя рассматривать как полностью невырожденные (см., например, [5]), и соответствующий параметр, характеризующий вырождение $1{\text{/}}\Theta \equiv {{\varepsilon }_{{\text{F}}}}{\text{/}}T = (3{{\pi }^{2}}{{n}_{e}}{{)}^{{2/3}}}{{\hbar }^{2}}{\text{/}}2{{m}_{e}}T \leqslant 1$ (где ${{\varepsilon }_{{\text{F}}}}$ и $\hbar $ – соответственно энергия Ферми и постоянная Планка), не столь мал, чтобы им можно было пренебречь.

В данной работе теоретически анализируется зависящая от частоты проводимость плазмы произвольного вырождения в отличие от оптических свойств чисто классических электронов [10] или полностью вырожденных электронов в жидких металлах [11]. Для описания частично вырожденной плазмы (warm plasma) используется подход, развитый в [10] для вычисления оптических свойств невырожденной плазмы.

В работах [10, 12] рассмотрены оптические свойства и статическая проводимость умеренно неидеальной невырожденной плазмы на основе лоренцевского подхода к кинетической теории. Для параметра ${{\Gamma }_{{ei}}} \leqslant 1$ полученные результаты для оптических характеристик оказались в хорошем согласии с экспериментами [6, 9, 10]. Это согласие достигалось как для модифицированного кулоновского логарифма (КЛ) [12], так и для обычного КЛ классической невырожденной плазмы, полностью сходящегося при больших передачах импульса. Однако с увеличением параметров $1{\text{/}}\Theta $ и $\Gamma $ расхождение с экспериментами может возрастать. В связи с этим ниже рассматриваeтся проводимость для плазмы с конечным значением параметра $\Theta $.

ЧАСТОТНО ЗАВИСЯЩАЯ ПРОВОДИМОСТЬ

Теоретическое изучение неидеальной плазмы аналитическими методами вызывает большие трудности, связанные с необходимостью учета эффектов сильного кулоновского взаимодействия. В связи с этим все шире используются численные методы расчета, такие как методы Монте-Карло и молекулярной динамики (МД) в разных модификациях. Однако кулоновское взаимодействие может приводить к образованию связанных состояний, что вызывает сомнения в реализации сильного взаимодействия между несвязанными электронами в плазме [13]. Для умеренно сильного кулоновского взаимодействия в квазиклассической плазме естественно применить аналитический расчет частотно-зависимой проводимости $\sigma (\omega )$, расширенный по параметру ${{\Gamma }_{{ei}}} \simeq 1$, чтобы сравнить результаты с существующими экспериментальными данными (см., например, [5]). В настоящей работе выясняется влияние частичного вырождения электронной компоненты плазмы на радиус экранирования, КЛ и проводимость плазмы.

Будем исходить из обобщенного выражения для частотно зависящей проводимости (см. [14] и ссылки там)

(1)

$\sigma (\omega ) = - \frac{{2{{e}^{2}}}}{{3{{m}_{e}}}}\int p\frac{{\partial f_{e}^{{(0)}}}}{{\partial p}}\frac{1}{{{{\nu }_{{ei}}}(p) - i\omega }}\frac{{{{d}^{3}}p}}{{{{{(2\pi \hbar )}}^{3}}}}.$

Здесь ${{\nu }_{{ei}}}(p)$ – статическая частота столкновений электронов и ионов, $f_{e}^{{(0)}}(p)$ – функция Ферми распределения по импульсам при произвольном вырождении электронов. При этом нормировка функции распределения $f_{e}^{{(0)}}$ на плотность электронов имеет вид

(2)

$\begin{gathered} {{n}_{e}} = (2s + 1)\int \frac{{{{d}^{3}}p}}{{{{{(2\pi \hbar )}}^{3}}}}f_{e}^{{(0)}}(p) \equiv \\ \equiv \,\,\frac{{4\pi {{{(2{{m}_{e}}T)}}^{{3/2}}}}}{{{{{(2\pi \hbar )}}^{3}}}}{{I}_{{1/2}}}({{M}_{e}}), \\ \end{gathered} $

где введен безразмерный химический потенциал ${{M}_{e}} = {{\mu }_{e}}{\text{/}}T$ и учтено значение спина электрона $s = 1{\text{/}}2$. Здесь и ниже использованы функции ${{I}_{\nu }}({{M}_{e}})$

(3)

${{I}_{\nu }}({{M}_{e}}) = \int\limits_0^\infty {d\eta \frac{{{{\eta }^{\nu }}}}{{{{e}^{{\eta - {{M}_{e}}}}} + 1}}} ,$

называемые интегралами Ферми, и их асимптотики

$\begin{gathered} {{I}_{\nu }}({{M}_{e}} < 0,\left| {{{M}_{e}}} \right| \gg 1) \simeq \Gamma (\nu + 1)\exp ({{M}_{e}}) = \frac{{4\Gamma (\nu + 1)}}{{3\sqrt \pi {{\Theta }^{{3/2}}}}}, \\ {{I}_{\nu }}({{M}_{e}} > 0,{{M}_{e}} \gg 1) \simeq \frac{{M_{e}^{{\nu + 1}}}}{{\nu + 1}}, \\ \end{gathered} $

где $\Gamma (x)$ – гамма-функция. Интегрирование в (3) проводится по переменной $\eta = {{p}^{2}}{\text{/}}2{{m}_{e}}T$. Согласно определению $\Theta $, условие нормировки (2) можно записать в виде ${{\Theta }^{{ - 3/2}}} = 3{{I}_{{1/2}}}({{M}_{e}}){\text{/}}2$.

Зависимость величины ${{M}_{e}}$ от параметра $\Theta $ в широком интервале значений этого параметра изображена на рис. 1. Значение ${{\Theta }_{0}} \simeq 0.98$, при котором ${{M}_{e}} = 0$, определяется аналитически с учетом равенства ${{I}_{{1/2}}}({{M}_{e}} = 0) = (1 - 1{\text{/}}\sqrt 2 )\Gamma (3{\text{/}}2)\zeta (3{\text{/}}2)$, где $\zeta (x)$ – дзета-функция Римана [15].

Рис. 1.

Функции ${{f}_{1}}(\Theta ) \equiv {{M}_{e}}(\Theta )$ (1), ${{f}_{2}}(\Theta ) \equiv \langle \eta (\Theta )\rangle $ (2) и ${{f}_{3}}(\Theta ) \equiv {{R}_{{{\text{scr}}}}}(\Theta ){\text{/}}{{R}_{{{\text{D}}e}}}$ (3).

Ниже для определения частоты столкновений используется классическое сечение Резерфорда $\sigma _{{\text{R}}}^{ * }(p)$ с обрезанием при малых передачах импульса в духе Ландау для классического случая [16]. Однако нужно учесть произвольное вырождение электронного газа, которое изменяет радиус экранирования Дебая ${{R}_{{\text{D}}}}$ на общее выражение ${{R}_{{{\text{scr}}}}}$ [17]. Тогда сечение $\sigma _{{\text{R}}}^{ * }(p)$ записывается в виде

$\sigma _{{\text{R}}}^{ * }(p) = \frac{{4\pi z_{i}^{2}{{e}^{4}}m_{e}^{2}}}{{{{p}^{4}}}}\ln {\kern 1pt} \Lambda ,\,\,\,\,\ln {\kern 1pt} \Lambda = \frac{u}{2}\ln \left[ {1 + {{{\left( {\frac{{{{R}_{{{\text{scr}}}}}}}{{{{\rho }_{0}}}}} \right)}}^{{2/u}}}} \right],$

где ${{\rho }_{0}} = {{z}_{i}}{{e}^{2}}{{m}_{e}}{\text{/}}{{p}^{2}}$, а постоянная $u = 1$ для стандартной формы КЛ и $u = 2$ для его модифицированной формы, которая может лучше описать эффекты умеренной неидеальности при $\Gamma \geqslant 1$ в невырожденной плазме [16, 18]. Ниже предполагается, что эта модификация эффективна и при учете вырождения электронов. Тогда частота столкновений ${{\nu }_{{ei}}}(p)$ приобретает вид

${{\nu }_{{ei}}}(p) = \frac{{{{n}_{i}}p}}{{{{m}_{e}}}}\sigma _{{\text{R}}}^{ * }(p) = \frac{{4\pi {{n}_{i}}z_{i}^{2}{{e}^{4}}{{m}_{e}}}}{{{{\gamma }_{E}}{{p}^{3}}}}\ln {\kern 1pt} \Lambda (p,\Gamma ,\Theta ),$

где ${{\gamma }_{E}} \simeq 0.5816$ – множитель Спитцерa и Хармa, учитывающий влияние электрон-электронных столкновений на проводимость.

Общая форма выражения для ${{R}_{{{\text{scr}}}}}$ найдена в [17] через термодинамические производные $\partial {{n}_{a}}{\text{/}}\partial {{\mu }_{b}}$. Для радиуса электронного экранирования этот подход дает

$\begin{gathered} \frac{1}{{R_{{{\text{scr}}}}^{2}}} = 4\pi {{e}^{2}}\frac{{\partial {{n}_{e}}}}{{\partial {{\mu }_{e}}}} = \frac{{8{{\pi }^{2}}{{e}^{2}}{{{(2{{m}_{e}}T)}}^{{3/2}}}}}{{{{{(2\pi \hbar )}}^{3}}T}} \times \\ \times \,\,\int\limits_0^\infty {\frac{{d\eta }}{{\sqrt \eta [\exp (\eta - {{M}_{e}}) + 1]}} = \frac{1}{{R_{{{\text{D}}e}}^{2}}}\frac{{{{I}_{{ - 1/2}}}({{M}_{e}})}}{{2{{I}_{{1/2}}}({{M}_{e}})}}} . \\ \end{gathered} $

Очевидно, что при больших по модулю отрицательных ${{M}_{e}}$ отношение $R_{{{\text{scr}}}}^{2}{\text{/}}R_{{{\text{D}}e}}^{2}$ стремится к единице (см. рис. 1). При больших положительных ${{M}_{e}}$ это отношение дает для радиуса экранирования предельное значение Томаса–Ферми ${{R}_{{{\text{scr}}}}} \to \sqrt {{{\varepsilon }_{{\text{F}}}}{\text{/}}6\pi {{n}_{e}}{{e}^{2}}} $, следовательно, $R_{{{\text{scr}}}}^{2}{\text{/}}R_{{{\text{D}}e}}^{2} \to 2{{M}_{e}}{\text{/}}3$ при ${{M}_{e}} \to \infty $ ($\Theta \to 0$, ${{M}_{e}}(\Theta \to 0) \simeq 1{\text{/}}\Theta \gg 1$).

Полезно также вычислить безразмерную среднюю кинетическую энергию на одну частицу $\langle \eta \rangle $ для ферми-распределения электронов (см. рис. 1) и ввести параметр взаимодействия $\Upsilon $ для плазмы произвольного вырождения

(4)

$\begin{gathered} \langle \eta \rangle = \left\langle {\frac{{{{p}^{2}}}}{{2{{m}_{e}}T}}} \right\rangle = \frac{3}{2}{{\Theta }^{{3/2}}}{{I}_{{3/2}}}({{M}_{e}}), \\ \Upsilon = \frac{{{{e}^{2}}}}{{a\langle {{p}^{2}}{\text{/}}2{{m}_{e}}\rangle }} \equiv \frac{\Gamma }{{\langle \eta \rangle }}. \\ \end{gathered} $

При вычислении проводимости (1) введем безразмерные переменные $\omega {\kern 1pt} * = \omega {\text{/}}{{\omega }_{{pe}}}$ и $\nu _{{ei}}^{*}(p) = $ $ = {{\nu }_{{ei}}}(p){\text{/}}{{\omega }_{{pe}}}$. Тогда безразмерная проводимость ${{\sigma }_{*}} = \sigma (\omega ){\text{/}}{{\omega }_{{pe}}}$ приобретает вид

(5)

$\begin{gathered} {{\sigma }_{*}}(\omega {\kern 1pt} *) = \frac{{{{\Theta }^{{3/2}}}}}{{\sqrt 2 \pi }}\int\limits_0^\infty {\frac{{{{\eta }^{3}}\exp (\eta - {{M}_{e}})}}{{{{{[\exp (\eta - {{M}_{e}}) + 1]}}^{2}}}}} \times \\ \times \,\,\frac{{d\eta }}{{\sqrt 3 {{z}_{i}}{{\Gamma }^{{3/2}}}\ln {\kern 1pt} \Lambda (\eta ,\Gamma ,\Theta ) - i2\sqrt 2 {{\eta }^{{3/2}}}\omega {\kern 1pt} *}}, \\ \end{gathered} $

где КЛ выражается через параметр $\Gamma $:

(6)

$\ln {\kern 1pt} \Lambda (\eta ,\Gamma ,\Theta ) = \frac{u}{2}\ln \left[ {1 + {{{\left( {\frac{{{{\eta }^{2}}}}{{z_{i}^{2}}}\frac{{16}}{{9{{\Gamma }^{3}}{{\Theta }^{{3/2}}}{{I}_{{ - 1/2}}}(M)}}} \right)}}^{{1/u}}}} \right]$

или в эквивалентной форме через параметр $\Upsilon $ (4). Для произвольного вырождения электронов при $u = 1$ выражение (6) соответствует стандартному КЛ, при $u = 2$ – модифицированному КЛ, учитывающему умеренно сильное кулоновское взаимодействие. В частном случае невырожденной плазмы КЛ (6) имеет вид

(7)

$\begin{gathered} \ln {\kern 1pt} \Lambda (\eta ,\Gamma ) = \frac{u}{2}\ln \left[ {1 + {{{\left( {\frac{{R_{{{\text{D}}e}}^{2}}}{{\rho _{0}^{2}}}} \right)}}^{{1/u}}}} \right] = \\ = \,\,\frac{u}{2}\ln \left[ {1 + {{{\left( {\frac{{4{{\eta }^{2}}}}{{3z_{i}^{2}{{\Gamma }^{3}}}}} \right)}}^{{1/u}}}} \right]. \\ \end{gathered} $

В приближении Ландау, когда под логарифмом используется среднее $\langle {{p}^{2}}{\text{/}}2{{m}_{e}}\rangle = 3T{\text{/}}2$ ($\langle \eta \rangle = 3{\text{/}}2$), имеем стандартную с $u = 1$ и модифицированную с $u = 2$ формы логарифма (7), соответственно обозначаемые $\ln {\kern 1pt} {{\Lambda }_{{{\text{Land}}}}}$ и $\ln {\kern 1pt} {{\Lambda }_{{{\text{mod}}}}}$ (рис. 2).

Рис. 2.

Различные представления КЛ в зависимости от $\Gamma $: 1 – $\mathop {\ln \Lambda }\nolimits_{{\text{Land}}} (\Gamma )$, 2 – $\ln {{\Lambda }_{{\bmod }}}(\Gamma )$; 3 – $\ln {\kern 1pt} \tilde {\Lambda }(\Gamma ,\Theta )$ при $\Theta = 0.3,\,\,{\kern 1pt} u = 1$; 4 –$\ln {\kern 1pt} \tilde {\Lambda }(\Gamma ,\Theta )$ при $\Theta = 0.3,{\kern 1pt} \,\,u = 2$.

СТАТИЧЕСКАЯ ПРОВОДИМОСТЬ

Из выражения (5) следует общее выражение для безразмерной статической проводимости, которая, согласно (6), является функцией параметров $\Gamma $ и $\Theta $:

(8)

$\begin{gathered} {{\sigma }_{{ * ,st}}}(\Gamma ,\Theta ) = \frac{{{{\Theta }^{{3/2}}}}}{{{{z}_{i}}\sqrt 6 \pi {{\Gamma }^{{3/2}}}}} \times \\ \times \,\,\int\limits_0^\infty {\frac{{{{\eta }^{3}}\exp (\eta - {{M}_{e}})}}{{{{{[\exp (\eta - {{M}_{e}}) + 1]}}^{2}}}}} \frac{{d\eta }}{{\ln {\kern 1pt} \Lambda (\eta ,\Gamma ,\Theta )}}. \\ \end{gathered} $

Полагая, что КЛ (6) как функция параметра $\eta $ медленно изменяется, и заменяя в нем $\eta $ средним значением (4), получаем для статической проводимости упрощенное выражение:

(9)

${{\tilde {\sigma }}_{{ * ,st}}}(\Gamma ,\Theta ) = \frac{{3{{\Theta }^{{3/2}}}}}{{{{z}_{i}}\sqrt 6 \pi {{\Gamma }^{{3/2}}}\ln {\kern 1pt} \tilde {\Lambda }(\Gamma ,\Theta )}}{{I}_{2}}({{M}_{e}}),$

где $\ln {\kern 1pt} \tilde {\Lambda }(\Gamma ,\Theta ) \equiv \ln {\kern 1pt} \Lambda (2\langle \eta \rangle {\text{/}}3,\Gamma ,\Theta )$.

На рис. 2 показано поведение различных форм КЛ в зависимости от $\Gamma $ при фиксированном значении $\Theta $. На рис. 3 приведена безразмерная статическая проводимость как функция $\Gamma $, рассчитанная по точной формуле (8) и по приближенному выражению (9) при значениях $u = 1$ и $2$. Для расчетов использовалось значение параметра $\Theta = 30$, отвечающее почти невырожденной плазме, и $\Theta = 0.3$, соответствующее умеренному вырождению. Интервал значений $0.01 < \Gamma < 100$ выбран, чтобы продемонстрировать поведение статической проводимости не только в экспериментально достижимом интервале для классической плазмы [6, 7], но и далеко вне его. В дальнейшем предполагается провести расчеты для статической и оптической проводимости плазмы произвольного вырождения, включая жидкометаллическое состояние (см. [11]), где развиты другие приближения расчета проводимости.

Рис. 3.

Безразмерная статическая проводимость ${{\sigma }_{{ * ,st}}}(\Gamma ,\Theta )$ (1–4) и ${{\tilde {\sigma }}_{{ * ,st}}}(\Gamma ,\Theta )$ (5) в зависимости от $\Gamma $: 1 – $u = 1$, $\Theta = 30$; 2 – $u = 1$, $\Theta = 0.3$; 3 – $u = 2$, $\Theta = 30$; 4 – $u = 2$, $\Theta = 0.3$; 5 – при $u = 2$, $\Theta = 30$; кружки – расчет без учета вырождения ($\Theta \to \infty $) методом МД (см. [10]).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Полученные результаты могут быть использованы для расчетов статической и оптической проводимости частично вырожденных плазменных систем, а также при расчетах спектральной плотности энергии равновесного излучения [18].

Авторы благодарны А.М. Игнатову за полезные обсуждения и замечания. Данная работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования РФ (соглашение с ОИВТ РАН № 075-15-2020-785 от 23 сентября 2020 г.).

Список литературы

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 621 с.
Александров А.Ф., Богданкевич Л.С., Рухадзе А.А. Основы электродинамики плазмы. М.: Высшая школа, 1978. 407 с.
Dressel M., Gruener G. Electrodynamics of Solids. Optical Properties of Electrons in Matter. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2002. 474 p.
Дьячков Л.Г., Кобзев Г.А., Панкратов П.М. Анализ экспериментальных данных по непрерывному излучению плотной плазмы инертных газов // ТВТ. 1996. Т. 34. 6. С. 867.
Zaporoghets Y., Mintsev V., Gryaznov V., Fortov V., Reinholz H., Raitza T., Roepke G. Reflectivity of Nonideal Plasmas // J. Phys. A: Math. General. 2006. V. 39. 17. P. 4329.
Kurilenkov Y.K., Berkovsky M.A. Collective Modes and Correlations // Transp. Opt. Prop. Nonideal Plasma. Springer, 1995. P. 215.
Skowronek M., Rous J., Goldstein A., Cabannes F. Influence of Plasma Frequency on the Light Emitted by an Exploding Ionized Gaseous Filament // Phys. Fluids. 1970. V. 13. 2. P. 378.
Magnitskiy S.A., Morozov I.V., Norman G.E., Valuev A.A. Anomalous Reflectivity from Nonideal Plasma // J. Phys. A: Math. General. 2003. V. 36. 22. P. 5999.
Lankin A.V., Norman G.E. Crossover from Bound to Free States in Plasmas // J. Phys. A: Math. Theor. 2009. V. 42. 21. 214032.
Khrapak S.A., Trigger S.A. To the Optical Properties of Moderately Non-ideal Plasma // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 2022. V. 290. 108297.
Бобров В.Б., Тригер С.А. Оптические свойства двухкомпонентной жидкометаллической плазмы // ЖЭТФ. 1984. Т. 86. 2. C. 514.
Khrapak S.A., Khrapak A.G. On the Conductivity of Moderately Non-ideal Completely Ionized Plasma // Results Phys. 2020. V. 17. 103163.
Khomkin A.L., Shumikhin S.A. Plasma Phase Transition in Historical Aspect and the Role of Bound States // Contr. Pl. Phys. 2022. 202200011.
Бобров В.Б., Тригер С.А. О квантовых эффектах в теории проводимости полностью ионизованной квазиклассической плазмы // Физика плазмы. 2010. Т. 36. № 9. С. 849.
Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматлит, 1963. 1100 с.
Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. М.: Наука, 1979. 528 с.
Бобров В.Б., Тригер С.А. Соотношения Крамерса–Кронига для диэлектрической проницаемости, “истинный” радиус экранирования и критическая точка кулоновской системы // ТВТ. 2011. Т. 49. № 4. С. 513.
Maslov S.A., Trigger S.A. High-frequency Spectral Density of Equilibrium Radiation and Zero Oscillations in the Presence of Electron Gas // Phys. Plasmas. 2022. V. 29. 033302.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Теплофизика высоких температур

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал