1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Теплофизика высоких температур
  4. T. 60, № 4, 2022

Теплофизика высоких температур, 2022, T. 60, № 4, стр. 633-636

Вихреобразование в прифронтовой зоне за ударной волной сильного точечного взрыва в неоднородной атмосфере

В. А. Андрущенко 1, *, В. А. Головешкин 2, 3, **, И. В. Мурашкин 1, ***, Н. Н. Холин 2, ****

1 Институт автоматизации проектирования РАН
Москва, Россия

2 Российский технологический университет МИРЭА
Москва, Россия

3 Институт прикладной механики РАН
Москва, Россия

* E-mail: andrusviktor@ya.ru
** E-mail: vag-1953@ya.ru
*** E-mail: murashkin@inbox.ru
**** E-mail: mostu@bk.ru

Поступила в редакцию 09.04.2022
После доработки 27.05.2022
Принята к публикации 07.06.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

При аналитическом исследовании задачи о сильном точечном взрыве в неоднородной атмосфере доказано, что уже на ранней стадии развития этого процесса в достаточно узком сферическом слое газа, прилегающем изнутри к фронту ударной волны, формируются сложные тороидальные вихревые образования, обнаруженные ранее в ходе численного эксперимента. Причем, как было выявлено, источником этого вихрегенеза стали не схемная вязкость и псевдовязкость, а малые возмущения фронта ударной волны, инициированные слабым (по масштабам размера области взрыва) на начальном этапе проявлением неоднородности атмосферы.

ВВЕДЕНИЕ

Исследуется эволюция объема газа, охваченного фронтом ударной волны (УВ), при сильном точечном взрыве в рамках модели экспоненциальной атмосферы для ранних моментов времени (после инициирования УВ). Задачи теории взрыва в настоящее время в связи с реальностью проблемы астероидно-кометной опасности, подтвержденной недавними падениями и взрывами фрагментов Челябинского метеороида (см., например, [1]), вновь выдвинулись в ряд задач первостепенной значимости. В ходе численного эксперимента [2] выявлено, что вихревые тороидальные структуры в сферическом слое, прилегающем к фронту УВ, в задаче о сильном точечном взрыве образуются уже на начальной стадии при учете неоднородности атмосферы. Это означает, что для момента времени, близкого к началу взрыва, малые возмущения (незначительное проявление стратификации атмосферы по высоте), возникающие только на фронте УВ, оказывают заметное влияние на решение исходной системы уравнений в некоторой части газа внутри области взрыва.

Отмеченный факт установлен в ходе решения задачи о сильном взрыве мощностью 15 кт в тротиловом эквиваленте на высоте 1 км в рамках модели экспоненциальной атмосферы в отсутствие гравитации и противодавления при показателе адиабаты $\left( {\gamma = 1.4} \right)$ на основе численной методики, разработанной в [3].

На рисунке представлены линии равной завихренности $ \pm \left| {rot\,u} \right|$ в вертикальной половине плоскости сечения области взрыва для момента времени $t$ = 0.6 c (группы замкнутых контуров) и линии тока (кривые со стрелками). Видно, что уже на начальном этапе эволюции взрыва в круговом слое, прилегающем к фронту УВ, возникли восемь областей завихренности эллиптической формы, в которых направления движения чередуются. В верхнем правом сечении движение происходит по направлению движения часовой стрелки, в левом – против него; в следующих сечениях – все наоборот и т.д.

Линии равной завихренности.

Для исследования влияния схемной вязкости и псевдовязкости на картину формирования вихрей менялся шаг расчетной сетки по пространству, что не повлияло на вихревую картину. Однако в зоне, прилегающей к фронту УВ, псевдовязкость и схемная вязкость могут не только качественно влиять на картину формирования вихрей, но и служить причиной их возникновения. Поэтому необходимо аналитически доказать, что в данной зоне вихри образуются именно за счет неоднородности атмосферы уже на ранней стадии взрыва.

ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Поскольку для малых времен, отсчитываемых с образования УВ, решение задачи еще незначительно отличается от точного решения Л.И. Седова в однородной атмосфере [4], можно провести аналитический анализ течения во внутренней области взрыва методом возмущений с целью подтверждения факта возникновения вихревых образований вблизи фронта УВ. Рассматривается та же задача в предположении осевой симметрии:

$\rho = {{\rho }_{0}}{\kern 1pt} \exp \left( { - z{\text{/}}H} \right),$
где ${{\rho }_{0}}$ – плотность на высоте взрыва, $H$– параметр неоднородности атмосферы.

Исходная система уравнений в сферических координатах ($R,\varphi ,\theta $) для функций $\rho ,P,{{u}_{R}},{{u}_{\theta }}$ – плотности, давления, радиальной и азимутальной компонент скорости в предположении, что искомые функции не зависят от $\varphi $, приведена в [2]. После ввода безразмерной координаты $\lambda $ по формуле

(1)
$R = \lambda {{s}_{0}}(t)$
и неизвестных функций $\bar {\rho }$, $\bar {P}$, ${{u}_{R}} - $, ${{u}_{\theta }} - $, $\bar {c}$:
(2)
$\begin{gathered} \rho = \frac{{\gamma + 1}}{{\gamma - 1}}{{\rho }_{0}}\bar {\rho },\,\,\,\,P = \frac{2}{{\gamma + 1}}{{\rho }_{0}}{{\left( {\frac{{d{{s}_{0}}}}{{dt}}} \right)}^{2}}\bar {P}, \\ {{u}_{R}} = \frac{2}{{\gamma + 1}}\frac{{d{{s}_{0}}}}{{dt}}{{u}_{R}} - ,{{u}_{\theta }} = \frac{2}{{\gamma + 1}}\frac{{d{{s}_{0}}}}{{dt}}{{u}_{\theta }} - , \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} S\left( {\theta ,t} \right) = {{s}_{0}}(t)F(\theta ,t), \\ c = \frac{{d{{s}_{0}}}}{{dt}}\bar {c},\,\,\,\,{{s}_{0}} = {{\left( {E{\text{/}}{{\rho }_{0}}} \right)}^{{1{\text{/}}5}}}{{t}^{{2{\text{/}}5}}}, \\ \end{gathered} $
где $c$ – скорость УВ, $E$ – константа, имеющая размерность энергии, выбирается из условия, чтобы при $t \to 0$ уравнение фронта имело вид $F\left( {\theta ,t} \right) = 1$. Система уравнений движения с начальными и граничными условиями имеет вид (далее черта опущена)

$\begin{gathered} \frac{{5\left( {\gamma + 1} \right)}}{4}t\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\ln {\kern 1pt} \rho } \right) + \left( {{{u}_{R}} - \frac{{\gamma + 1}}{2}\lambda } \right)\frac{\partial }{{\partial \lambda }}\left( {\ln {\kern 1pt} \rho } \right) + \\ + \,\,\frac{{{{u}_{\theta }}}}{\lambda }\frac{\partial }{{\partial \theta }}\left( {\ln {\kern 1pt} \rho } \right) + \frac{{\partial {{u}_{R}}}}{{\partial \lambda }} + \frac{1}{\lambda }\frac{{\partial {{u}_{\theta }}}}{{\partial \theta }} + \\ + \,\,\frac{{2{{u}_{R}}}}{\lambda } - \frac{{{{u}_{\theta }}}}{\lambda }{\kern 1pt} {\text{tg}}{\kern 1pt} \theta = 0, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \frac{{5\left( {\gamma + 1} \right)}}{4}t\frac{{\partial {{u}_{R}}}}{{\partial t}} + \left( {{{u}_{R}} - \frac{{\gamma + 1}}{2}\lambda } \right)\frac{{\partial {{u}_{R}}}}{{\partial \lambda }} + \\ + \,\,\frac{{{{u}_{\theta }}}}{\lambda }\frac{{\partial {{u}_{R}}}}{{\partial \theta }} - \frac{{{{u}^{2}}\theta }}{\lambda } - \frac{3}{4}\left( {\gamma + 1} \right){{u}_{R}} = \\ = - \frac{{\left( {\gamma - 1} \right)}}{2}\frac{1}{\rho }\frac{{\partial P}}{{\partial \lambda }} - \alpha \frac{g}{A}\frac{{25}}{{16}}{{\left( {\gamma + 1} \right)}^{2}}{{t}^{{8/5}}}\sin {\kern 1pt} \theta , \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \frac{{5\left( {\gamma + 1} \right)}}{4}t\frac{{\partial {{u}_{\theta }}}}{{\partial t}} + \left( {{{u}_{R}} - \frac{{\gamma + 1}}{2}\lambda } \right)\frac{{\partial {{u}_{\theta }}}}{{\partial \lambda }} + \\ + \,\,\frac{{{{u}_{\theta }}}}{\lambda }\frac{{\partial {{u}_{\theta }}}}{{\partial \theta }} + \frac{{{{u}_{R}}{{u}_{\theta }}}}{\lambda } - \frac{3}{4}\left( {\gamma + 1} \right){{u}_{\theta }} = \\ = \,\, - \frac{{\left( {\gamma - 1} \right)}}{2}\frac{1}{{\lambda \rho }}\frac{{\partial P}}{{\partial \theta }} - \alpha \frac{g}{A}\frac{{25}}{{16}}{{\left( {\gamma + 1} \right)}^{2}}{{t}^{{8/5}}}{\kern 1pt} \cos {\kern 1pt} \theta , \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \frac{{5\left( {\gamma + 1} \right)}}{4}t{\kern 1pt} \ln {\kern 1pt} \frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\frac{P}{{{{\rho }^{\gamma }}}}} \right) + \left( {{{u}_{R}} - \frac{{\gamma + 1}}{2}\lambda } \right)\frac{\partial }{{\partial \lambda }} \times \hfill \\ \times \,\,\ln {\kern 1pt} \left( {\frac{P}{{{{\rho }^{\gamma }}}}} \right) + \frac{{{{u}_{\theta }}}}{\lambda }\frac{\partial }{{\partial \theta }}{\kern 1pt} \ln \left( {\frac{P}{{{{\rho }^{\gamma }}}}} \right) - \frac{3}{2}\left( {\gamma + 1} \right) = 0. \hfill \\ \end{gathered} $

Уравнение фронта волны представляется в виде

$\lambda = F(\theta ,t).$

Уравнение движения фронта:

$\frac{5}{2}t\frac{{\partial F}}{{\partial t}} + F = c\sqrt {1 + \frac{1}{{{{F}^{2}}}}{{{\left( {\frac{{\partial F}}{{\partial \theta }}} \right)}}^{2}}} .$

Условия на фронте следующие:

$\begin{gathered} {{u}_{R}}\sqrt {1 + \frac{1}{{{{F}^{2}}}}{{{\left( {\frac{{\partial F}}{{\partial \theta }}} \right)}}^{2}}} = c\left[ {1 - \beta \gamma \frac{{25}}{{4{{A}^{2}}}}{{t}^{{6{\text{/}}5}}}\frac{{{{P}_{0}}}}{{{{\rho }_{0}}{{c}^{2}}}}} \right], \\ {{u}_{\theta }}\sqrt {1 + \frac{1}{{{{F}^{2}}}}{{{\left( {\frac{{\partial F}}{{\partial \theta }}} \right)}}^{2}}} = \frac{1}{F}\frac{{\partial F}}{{\partial \theta }}c\left[ {1 - \beta \gamma \frac{{25}}{{4{{A}^{2}}}}{{t}^{{6{\text{/}}5}}}\frac{{{{P}_{0}}}}{{{{\rho }_{0}}{{c}^{2}}}}} \right], \\ P = {{c}^{2}}\left[ {1 - \beta \gamma \frac{{25}}{{4{{A}^{2}}}}{{t}^{{6{\text{/}}5}}}\frac{{{{P}_{0}}}}{{{{\rho }_{0}}{{c}^{2}}}}} \right]\exp \left( { - \mu \frac{{A{{t}^{{2{\text{/}}5}}}F{\kern 1pt} \sin {\kern 1pt} \theta }}{H}} \right), \\ \rho = {{\left[ {1 - \beta \gamma \frac{{25}}{{4{{A}^{2}}}}{{t}^{{6{\text{/}}5}}}\frac{{{{P}_{0}}}}{{{{\rho }_{0}}{{c}^{2}}}}} \right]}^{{ - 1}}}\exp \left( { - \mu \frac{{A{{t}^{{2{\text{/}}5}}}F{\kern 1pt} \sin {\kern 1pt} \theta }}{H}} \right), \\ \end{gathered} $
где $A = {{\left( {E{\text{/}}{{\rho }_{0}}} \right)}^{{1{\text{/}}5}}}$; ${{\rho }_{0}},{{P}_{0}}$ – плотность и давление в невозмущенной атмосфере на высоте взрыва; $\alpha = 0$, $\beta = 0$, $\mu = 1$ – параметры, отвечающие за влияние трех различных факторов: ускорения свободного падения, противодавления и неоднородности атмосферы соответственно.

Неизвестные функции представляются в виде

${{u}_{R}} = \lambda u,\,\,\,\,{{u}_{\theta }} = \lambda v,\,\,\,\,\rho = G{\text{/}}{{\lambda }^{2}}$
с последующей заменой переменной
$\lambda = \exp \left( { - \varepsilon s} \right),\,\,\,\,\varepsilon = \gamma - 1,$
где $u$, $v$, $G$ – новые неизвестные функции.

Следует отметить, что параметр $\alpha $ входит в уравнения системы с множителем ${{t}^{{8/5}}}$, $\beta $ ‒ с множителем ${{t}^{{6/5}}}$, μ ‒ с множителем ${{t}^{{2/5}}}$. Поэтому при малых значениях времени влиянием первых двух параметров можно пренебречь. При малых значениях времени величина $\mu {\kern 1pt} ' = \mu {{t}^{{2/5}}}$ будет малой, следовательно, можно разложить решение по этому параметру, считая $\mu = 1$.

Искомые функции представляются в виде $G = N + \mu {\kern 1pt} '\Delta G$, $P = K + \mu {\kern 1pt} '\Delta P$ и т.д., где $G = N(s)$, $P = K(s)$, $u = T(s)$ – решение соответствующей системы при $t \to 0$. Далее разложим решение по параметру $\mu {\kern 1pt} '$ с учетом приращения искомых функций в виде

(3)
$\begin{gathered} \Delta P = \Delta P\left( s \right)K\left( s \right){{t}^{{2/5}}}{\kern 1pt} \sin {\kern 1pt} \theta , \\ \Delta G = \Delta G\left( s \right)N\left( s \right){{t}^{{2/5}}}{\kern 1pt} \sin {\kern 1pt} \theta , \\ \Delta u = \varepsilon \Delta u\left( s \right)L\left( s \right){{t}^{{2/5}}}{\kern 1pt} \sin {\kern 1pt} \theta , \\ \Delta v = \varepsilon \Delta v\left( s \right)L\left( s \right){{t}^{{2/5}}}{\kern 1pt} \cos {\kern 1pt} \theta , \\ \Delta F = \varepsilon \Delta \tilde {F}{{t}^{{2/5}}}{\kern 1pt} \sin {\kern 1pt} \theta ,\,\,\,\,\Delta c = \varepsilon \Delta \tilde {c}{{t}^{{2/5}}}{\kern 1pt} \sin {\kern 1pt} \theta , \\ \end{gathered} $
где $\Delta \tilde {F}$ и $\Delta \tilde {c}$ – константы, а $L(s)$ определяется соотношением $T = 1 - \frac{\varepsilon }{2}\left( {L - 1} \right)$.

При $\varepsilon \to 0$ функции $L,N,K$ стремятся к следующим значениям [2]:

(4)
$\begin{gathered} L = 2 - \omega ,\,\,\,\,K = \frac{1}{{2 - \omega }}, \\ N = \frac{\omega }{{{{{\left( {2 - \omega } \right)}}^{2}}}},\,\,\,\,\omega = \exp \left( { - 3s} \right). \\ \end{gathered} $

При $\varepsilon \to 0$, используя явные выражения для функций (4), систему можно представить в виде

$\begin{gathered} \frac{{\left( {2 - \omega } \right)}}{2}\frac{{d\Delta G}}{{ds}} + \Delta G - \left( {2 - \omega } \right)\frac{{d\Delta u}}{{ds}} + 6\Delta u = 0, \\ \frac{{ - 3\omega }}{{\left( {2 - \omega } \right)}}\Delta G + \frac{{ - 3\omega }}{{\left( {2 - \omega } \right)}}\Delta P - \frac{{d\Delta P}}{{ds}} = 0, \\ \left( {2 - \omega } \right)\frac{{d\Delta v}}{{ds}} + \left( {1 + 3\omega } \right)\Delta \delta v + \Delta P{\text{/}}\omega = 0, \\ \frac{{\left( {2 - \omega } \right)}}{2}\left( {\frac{{d\Delta P}}{{ds}} - \frac{{d\Delta G}}{{ds}}} \right) + \Delta P - \Delta G - 6\Delta u = 0. \\ \end{gathered} $

Условия (3) для этой системы при $s = 0$ принимают вид

$\begin{gathered} \Delta u = - \frac{1}{2}\Delta F,\,\,\,\,\Delta v = \Delta F, \\ \Delta P = - 3\Delta F - \frac{A}{H},\,\,\,\,\Delta G = - 9\Delta F - \frac{A}{H}. \\ \end{gathered} $

Решение системы выпишем только для приращений компонент скорости:

$\begin{gathered} \Delta u = \frac{{3 - {{\omega }^{{ - 1}}}}}{{6\left( {2{{\omega }^{{ - 1}}} - 1} \right)}}\left[ { - \frac{5}{2}\frac{A}{H}{{\omega }^{{ - 1}}} + \frac{{15}}{4}\frac{A}{H}s - _{{_{{_{{_{{}}^{{}}}}^{{}}}}^{{}}}}^{{_{{_{{}}^{{_{{}}^{{}}}}}}^{{}}}}} \right. \\ \left. { - \,\,\frac{9}{4}\frac{A}{H}\int\limits_0^s {\frac{{dt}}{{{{{\left( {2\sigma - 1} \right)}}^{{1/3}}}}} + \frac{3}{2}\frac{A}{H} - 3\Delta F} } \right] + \\ + \,\,\frac{5}{8}\frac{A}{H}\left( {2{{\omega }^{{ - 1}}} - 1} \right) + \frac{5}{8}\frac{A}{H}\frac{1}{{{{{\left( {2{{\omega }^{{ - 1}}} - 1} \right)}}^{{1/3}}}}} - \\ - \,\,\frac{5}{6}\frac{A}{H}\left( {2{{\omega }^{{ - 1}}} - 1} \right),\,\,\,\,\Delta v = \frac{1}{{{{{\left( {2{{\omega }^{{ - 1}}} - 1} \right)}}^{{1/6}}}\left( {2 - \omega } \right)}} \times \\ \times \,\,\left[ {\Delta F - \int\limits_0^s {\frac{{\left( {2\sigma - 1} \right)}}{{{{{\left( {2\sigma - 1} \right)}}^{{5/6}}}}}{{\sigma }^{2}}\Delta P\left( t \right)dt} } \right], \\ \end{gathered} $
где $\sigma = \exp \left( {3t} \right)$.

При наличии осевой симметрии в сферической системе координат ротор поля скоростей вычисляется так

${\text{rot}}{\kern 1pt} u = \frac{1}{R}\frac{{\partial {{u}_{r}}}}{{\partial \theta }} - \frac{{\partial {{u}_{\theta }}}}{{\partial R}} - \frac{{{{u}_{\theta }}}}{R}.$

С учетом замен (1), (3) и ${{s}_{0}} = A{{t}^{{2/5}}}$ имеем

${\text{rot}}{\kern 1pt} u = \frac{4}{5}\frac{1}{{\gamma + 1}}\frac{1}{t}\left( {\frac{{\partial {{{\bar {u}}}_{r}}}}{{\partial \theta }} - \lambda \frac{{\partial {{{\bar {u}}}_{\theta }}}}{{\partial \lambda }} - 2{{{\bar {u}}}_{\theta }}} \right).$

Так как $\lambda = \exp \left( { - \varepsilon s} \right)$, то

${\text{rot}}{\kern 1pt} u = \frac{4}{5}\frac{1}{{\gamma + 1}}\frac{1}{t}\left( {\frac{{\partial {{{\bar {u}}}_{r}}}}{{\partial \theta }} + \frac{1}{\varepsilon }\frac{{\partial {{{\bar {u}}}_{\theta }}}}{{\partial s}} - 2{{{\bar {u}}}_{\theta }}} \right).$

Для сферически симметричной составляющей скорости ротор равен нулю, поэтому

${\text{rot}}{\kern 1pt} u = \frac{4}{5}\frac{1}{{\gamma + 1}}\frac{1}{t}\left( {\frac{{\partial \Delta u}}{{\partial \theta }} + \frac{1}{\varepsilon }\frac{{\partial \Delta v}}{{\partial s}} - 2\Delta v} \right).$

В силу представления (3) ротор поля скоростей $rot\,u$ может быть представлен в виде

$rot{\kern 1pt} u = \frac{4}{5}\frac{1}{{\gamma + 1}}\frac{1}{{{{t}^{{3/5}}}}}\cos {\kern 1pt} \theta {\kern 1pt} M,$
где $M = \varepsilon L\left( {\Delta u - 2\Delta v} \right) + \frac{{d\left( {L\Delta v} \right)}}{{ds}}$. При $\varepsilon \to 0$ имеем $M = \frac{{d\left( {L\Delta v} \right)}}{{ds}}$. Следовательно, значение ротора вектора скорости за фронтом УВ отлично от нуля.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Численным моделированием установлен факт формирования вихревых структур во внутреннем сферическом слое газа, прилегающем к фронту УВ, для малых времен [2]. Аналитически доказано, что уже на начальной стадии сильного точечного взрыва неоднородность атмосферы приводит к возникновению вихревых структур в сферическом слое газа у фронта УВ, и тем самым подтверждены результаты проведенного численного эксперимента.

Работа В.А. Андрущенко, И.В. Мурашкина выполнена в рамках госзадания Института автоматизации проектирования РАН, работа В.А. Головешкина выполнена в рамках госзадания Института прикладной механики РАН.

Список литературы

  1. Сызранова Н.Г., Андрущенко В.А. Моделирование движения и разрушения болидов в атмосфере Земли // ТВТ. 2016. Т. 54. № 3. С. 328.

  2. Андрущенко В.А., Ступицкий Е.Л., Моисеева Д.С., Моторин А.А., Мурашкин И.В. Исследования и математическое моделирование явлений, связанных с развитием и воздействием взрывов. М.: Изд-во РАН, 2020. 192 с.

  3. Шевелев Ю.Д., Андрущенко В.А., Мурашкин И.В. Численное решение задач теории точечного взрыва в переменных Лагранжа. Некоторые новые результаты // Матем. моделир. 2011. Т. 23. № 9. С. 135.

  4. Седов Л.И. Методы подобия и размерностей в механике. М.: Наука, 1977. 438 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Теплофизика высоких температур

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал