Теплофизика высоких температур, 2022, T. 60, № 3, стр. 343-349
Размерные зависимости теплофизических свойств наночастиц. Поверхностное натяжение
А. Г. Кузамишев 1, М. А. Шебзухова 1, *, К. Ч. Бжихатлов 1, А. А. Шебзухов 1
1 ФГБОУ ВПО “Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова”
Нальчик, Россия
* E-mail: sh-madina@mail.ru
Поступила в редакцию 11.05.2021
После доработки 04.07.2021
Принята к публикации 28.09.2021
- EDN: OOYTON
- DOI: 10.31857/S0040364422030103
Аннотация
В рамках термодинамики двухфазной системы с искривленной поверхностью получено уравнение размерной зависимости поверхностного натяжения частицы сферической формы на границе с паром с учетом влияния на температуру фазового равновесия. Проведены численные расчеты для жидких нанокапель ряда металлов. Установлено немонотонное изменение поверхностного натяжения при уменьшении радиуса поверхности натяжения: возрастание в области больших размеров и уменьшение в области малых.
ВВЕДЕНИЕ
Исследование размерных эффектов занимает центральное место в изучении свойств нанообъектов (наночастиц, нанопор, нанопленок и др.). Число изучаемых свойств, применяемых методов, моделей и количество публикаций постоянно растет [1–12]. К настоящему времени можно считать установленным линейный характер изменения ряда свойств наночастиц сферической формы с кривизной c = 1/r (r – радиус кривизны) при сравнительно больших размерах нанообъектов. Для таких объектов, например, характерно уменьшение поверхностного натяжения наночастиц в зависимости от радиуса кривизны (формула Толмена), температуры плавления (формула Гиббса–Томсона), повышения давления (формула Кельвина), растворимости (формула Оствальда–Фройндлихта) и некоторых других характеристик. Имеются попытки использования подобных соотношений в случае сильно искривленных поверхностей.
Из всех свойств наночастиц особое место занимают поверхностные характеристики (поверхностное натяжение, поверхностная энергия, свободная поверхностная энергия) и их зависимость от размера. Размерные зависимости многих других свойств часто объясняются изменением данных характеристик. По этой причине изучение влияния размера на физико-химические свойства наночастиц представляется логичным начать с рассмотрения размерной зависимости одной из важнейших термодинамических характеристик поверхности, которой является поверхностное натяжение, определяемое через работу обратимого изотермического образования поверхности раздела фаз.
Наиболее полное и строгое исследование влияния размера на различные свойства наночастиц проведено в работах Русанова А.И. [1, 13–16]. Им получены дифференциальные уравнения, описывающие влияние размера на многие свойства дисперсных частиц. Данные строгие термодинамические соотношения, выведенные в этих работах, как отмечает сам автор, “образуют прочный фундамент для дальнейшего теоретического исследования, а также для применения разнообразных моделей, включающих в себя определенные предположения о структуре поверхностных слоев”. Особый интерес вызывает вывод, сделанный в [1] о том, что при использовании поверхности натяжения в качестве разделяющей поверхности искривление плоской поверхности в одну сторону должно вызывать понижение, а в другую – повышение поверхностного натяжения.
В работах [3, 4] рассмотрен ряд размерных зависимостей поверхностных свойств малой капли, в том числе поверхностного натяжения с учетом неоднородности центральной части капли, которое приводит к возникновению в ней аналога расклинивающего давления в тонких пленках. Это рассмотрение проведено в рамках метода функционала плотности с использованием конкретных моделей для потенциала взаимодействия частиц в системе. Сделан вывод, что поверхностное натяжение малой капли с увеличением радиуса кривизны приближается к макроскопическому значению сверху, а с уменьшением радиуса проходит через максимум и стремится к нулю.
При исследовании поверхностных явлений в малых системах достаточно широко используется концепция капиллярных эффектов второго рода, предложенная Л.М. Щербаковым и успешно развиваемая его учениками и последователями для описания размерных зависимостей многих термодинамических характеристик (в том числе поверхностного натяжения) наночастиц различной природы [8–10].
В работе [11] представлено в общем виде дифференциальное уравнение, определяющее размерную зависимость поверхностного натяжения, а также найдены его решения в аналитическом виде для сферической, цилиндрической, параболической и конической поверхностей. В [12] на основе метода разделяющей поверхности Гиббса получено дифференциальное уравнение, определяющее зависимость поверхностного натяжения пузырька в неполярной однокомпонентной жидкости от его радиуса. После его решения в работе делается вывод о том, что поверхностное натяжение пузырька увеличивается с уменьшением его размера.
Целью настоящей работы является получение уравнения размерной зависимости поверхностного натяжения сферической наночастицы на границе с паром с учетом влияния на температуру фазового равновесия в рамках термодинамики двухфазной системы с искривленной поверхностью.
РАЗМЕРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ СФЕРИЧЕСКИХ НАНОЧАСТИЦ В ИЗОТЕРМИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ
Изменение поверхностного натяжения наночастиц с размером, являющимся параметром состояния системы, зависит от условий, при которых проводится этот процесс. Наибольшее число работ посвящено изучению данной зависимости в изотермических условиях [1, 17, 18]. Для этого случая справедливо известное уравнение Гиббса–Томсона–Кенига–Баффа, которое имеет вид
(1)
$\frac{1}{\sigma }{{\left( {\frac{{d\sigma }}{{dr}}} \right)}_{T}} = \frac{{\frac{{2\delta }}{{{{r}^{2}}}}\left( {1 + \frac{\delta }{r} + \frac{1}{3}\frac{{{{\delta }^{2}}}}{{{{r}^{2}}}}} \right)}}{{1 + \frac{{2\delta }}{r}\left( {1 + \frac{\delta }{r} + \frac{1}{3}\frac{{{{\delta }^{2}}}}{{{{r}^{2}}}}} \right)}},$При больших размерах наночастицы (r $ \gg $ δ) и независимости параметра δ от r (δ = δ∞, δ∞ – параметр Толмена на квазиплоской поверхности) из (1) следует известная формула Толмена
где σ∞ – поверхностное натяжение при r → ∞. В дальнейшем в целях упрощения индекс ∞ опускается.В литературе уже появляются работы, в которых используется теория дисперсных систем для описания размерных эффектов наносистем. Например, в [17, 18] проведено наиболее последовательное описание зависимости поверхностного натяжения от размера с учетом характера кривизны (искривления плоской поверхности в одну или в другую сторону). Примером таких систем может быть капля жидкости в паре или пузырек пара в жидкости. При этом использованы основные соотношения, приведенные ниже, которые следуют из условия равновесия дисперсной частицы (фаза α) с дисперсионной средой макроскопического размера (фаза β) и поверхностью (межфазный слой):
(3)
${{\left( {\frac{{d\sigma }}{\sigma }} \right)}_{T}} = \frac{{dx}}{x} - \frac{{{{x}^{2}}dx}}{{{{x}^{3}} + 2{{x}^{2}} + 2x + {2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}},$В настоящее время нет надежных данных для размерной зависимости параметра Толмена, что уже отмечалось в литературе. Такая зависимость, видимо, должна иметь место для сильно искривленных поверхностей (для весьма малых частиц). Для больших и средних размеров в первом приближении можно пренебречь этой зависимостью δ(r). При таком приближении из уравнения (1) получена формула Толмена (2), которая широко используется на практике. При условии независимости δ от r из (3) следует вывод о существовании линейного характера изменения поверхностного натяжения в зависимости от r. Действительно, при больших значениях r можно пренебречь вторым слагаемым в (3) и получить
где k – константа интегрирования, зависящая от температуры. Существование такой линейной зависимости было обосновано в работах Русанова. Из (4) следует, что в области малых размеров независимо от характера кривизны поверхностное натяжение снижается с уменьшением радиуса кривизны и обращается в нуль, когда r = 0.Основное соотношение для размерной зависимости поверхностного натяжения имеет вид [17]
Расчеты с использованием данного соотношения показывают монотонное снижение поверхностного натяжения жидкой капли или твердой частицы, находящейся в собственном паре, с уменьшением размера дисперсной частицы [17].
Аналогичная задача была решена в работе [18] для случая отрицательной кривизны. Примером такой системы может служить пузырек пара сферической формы, находящийся в массиве жидкости. В таком случае дифференциальное уравнение, описывающее зависимость поверхностного натяжения от размера в изотермических условиях, имеет вид
(5)
${{\left( {\frac{{d\sigma }}{\sigma }} \right)}_{T}} = - \frac{{\left( {2{{x}^{2}} + 2x + {2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}} \right)dx}}{{x\left( {{{x}^{3}} - 2{{x}^{2}} - 2x - {2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}} \right)}},$При переходе к большим радиусам кривизны из (5) получается уравнение, которое совпадает с уравнением Толмена для больших радиусов в случае отрицательной кривизны
Нужно отметить, что область применимости данного уравнения Толмена в случае отрицательной кривизны несколько меньше по сравнению с аналогичной областью для поверхности с положительной кривизной. Расчеты показывают, что при одинаковых размерах дисперсной фазы, значения поверхностного натяжения для одного и того же вещества на границе с отрицательной кривизной больше, чем в случае положительной кривизны. Такой вывод был сделан в [1], и он подтверждается в расчетах [17, 18].
РАЗМЕРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ СФЕРИЧЕСКИХ НАНОЧАСТИЦ В ИЗОБАРИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ
Как говорилось выше, в литературе наибольшее внимание уделяется установлению зависимости поверхностного натяжения от размера в изотермических условиях. Между тем, при диспергировании одной из сосуществующих фаз α внутри другой фазы β в двухфазной системе изменяется также температура фазового равновесия. Весьма интересно рассмотрение размерной зависимости поверхностного натяжения с учетом влияния размера на температуру равновесия дисперсной частицы, находящейся в дисперсионной среде в равновесных условиях. В работе [19] получено дифференциальное уравнение размерной зависимости поверхностного натяжения с учетом влияния размера на температуру фазового равновесия дисперсной частицы сферической формы, находящейся в дисперсионной среде. При этом влияние размера на поверхностное натяжение рассматривалось при условии постоянства давления (P(α) = P(β) = const). Это уравнение является аналогом уравнения Гиббса–Толмена–Кенига–Баффа [1], справедливого для изотермических условий:
(6)
$\frac{1}{\sigma }{{\left( {\frac{{d\sigma }}{{dr}}} \right)}_{{{{P}^{{\left( {matr} \right)}}}}}} = \frac{{\frac{{2\delta }}{{{{r}^{2}}}}\left[ {1 + \frac{\delta }{r} + \frac{1}{3}\frac{{{{\delta }^{2}}}}{{{{r}^{2}}}} + \frac{{{{v}^{{\left( \alpha \right)}}}}}{{\omega \delta }}\left( {{{\rho }_{v}} - {{\rho }_{S}}} \right)} \right]}}{{1 + \frac{{2\delta }}{r}\left[ {1 + \frac{\delta }{r} + \frac{1}{3}\frac{{{{\delta }^{2}}}}{{{{r}^{2}}}} + \frac{{{{v}^{{\left( \alpha \right)}}}}}{{\omega \delta }}\left( {{{\rho }_{v}} - {{\rho }_{S}}} \right)} \right]}},$Интегрирование (6) на всем интервале размеров позволяет получить уравнение для размерной зависимости поверхностного натяжения в изобарических условиях. При этом данное уравнение решено с учетом зависимости безразмерной величины $\frac{{{{v}^{{(\alpha )}}}}}{{\omega \delta }}({{\rho }_{v}} - {{\rho }_{v}})$ от размера [19]. Средняя плотность поверхностного слоя ρ(σ) находилась с использованием выражения [1]
Вводя безразмерную величину x = r/δ, получаем
При решении полученного уравнения следует рассматривать два случая: 4c > b2 и b2 > 4c.В первом случае решение записывается в виде
(7)
$\sigma = {{A}_{P}}{{\sigma }_{\infty }}x\frac{{\exp \left[ {{{A}_{{{{P}_{0}}}}}{\kern 1pt} {\text{arctg}}\left( {\frac{{2x + b}}{{\sqrt {4c - {{b}^{2}}} }}} \right)} \right]}}{{{{{\left( {x + a} \right)}}^{{{{n}_{0}}}}}{{{\left( {{{x}^{3}} + 2d{{x}^{2}} + 2fx + \frac{2}{3}} \right)}}^{n}}}},$Во втором случае искомое выражение имеет вид
(8)
$\begin{gathered} \sigma = \frac{{{{\sigma }_{\infty }}x}}{{{{{\left| {\left( {x + a} \right)} \right|}}^{m}}{{{\left| {\left( {{{x}^{2}} + bx + c} \right)} \right|}}^{n}}}} \times \\ \times \,\,{{\left( {\left| {\frac{{2x + b - \sqrt {{{b}^{2}} - 4c} }}{{2x + b + \sqrt {{{b}^{2}} - 4c} }}} \right|} \right)}^{{{{B}_{{{{P}_{0}}}}}}}}, \\ \end{gathered} $О НАХОЖДЕНИИ ПАРАМЕТРА ТОЛМЕНА
Для вычисления параметра Толмена на плоской границе конденсированная фаза–пар предложен ряд приближенных соотношений, среди которых $\delta = 0.916v_{\alpha }^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}$ [21, 22], где ${{v}_{\alpha }}$ – атомный объем.
В работах [23, 24] предпринимались попытки расчета предельного значения параметра Толмена на различных границах. В [24] такая задача решалась в локально-конфигурационном приближении. При этом учитывались две особенности. Во-первых, поверхностное натяжение на плоской границе не зависит от положения разделяющей поверхности и для однокомпонентной системы это положение совпадает с эквимолекулярной разделяющей поверхностью (следовательно, автоадсорбция Г равна нулю). Во-вторых, поверхностное натяжение численно совпадает с удельной поверхностной энергией $\overline f $ [25]. Первое следует из уравнения Кондо
Анализ формулы (7) и результаты численных расчетов показывают, что при больших значениях параметра Толмена (например, вычисленных по формуле $\delta = 0.916v_{\alpha }^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}$ [21, 22]) имеет место монотонное снижение поверхностного натяжения при уменьшении размера дисперсной частицы. Интересно также заметить, что для сферических наночастиц, находящихся в твердом состоянии, даже при больших положительных значениях параметра Толмена на плоской поверхности может иметь место максимум поверхностного натяжения в области средних значений радиуса поверхности натяжения. Это связано со сравнительно большими значениями температурного коэффициента поверхностного натяжения на плоской поверхности в твердом состоянии, который достаточно велик вблизи температуры плавления [28].
РАСЧЕТ РАЗМЕРНОЙ ЗАВИСИМОСТИ ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ
Численные расчеты с использованием приведенных выше соотношений и наиболее надежных входных данных для жидких нанокапель ряда металлов при температуре плавления приведены в табл. 1 и 2. Значения a, b и c вычислялись по приведенным выше трем соотношениям с использованием данных для индивидуальных веществ. При этом $\Delta \delta = \frac{{v_{\infty }^{{\left( \alpha \right)}}\overline {{{T}_{\infty }}} }}{{\Delta {{H}_{\infty }}}}\frac{{d{{\sigma }_{\infty }}}}{{dT}}$, $\alpha _{v}^{{(\alpha )}} = 2\chi _{\infty }^{{(\alpha )}}\sigma _{\infty }^{{(\alpha )}} = {{\alpha _{{{{V}_{\infty }}}}^{{(\alpha )}}T{{{\left( {v_{\infty }^{{(\alpha )}}} \right)}}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\alpha _{{{{V}_{\infty }}}}^{{(\alpha )}}T{{{\left( {v_{\infty }^{{(\alpha )}}} \right)}}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}} {N_{0}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}}} \right. \kern-0em} {N_{0}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}}$, где $\Delta {{H}_{\infty }}$ ‒ теплота плавления массивного образца, ΔHисп – теплота испарения.
Таблица 1.
Металл | ξ × 1010 | v∞, см3 | ΔHисп, Дж/моль | Tк, К | (dσ∞/dT) ×107, Дж/(см2 К) | Δδ/δ | d | f |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Li | 6.4 | 13.42 | 134 686 | 1643 | –0.15 | –1.615 | –0.614 | 1.253 |
Na | 6.4 | 24.28 | 89 037 | 1156 | –0.09 | –1.532 | –0.531 | 1.253 |
K | 6.4 | 46.68 | 79 000 | 1033 | –0.07 | –1.855 | –0.854 | 1.321 |
Rb | 6.4 | 58.82 | 69 205 | 961 | –0.053 | –1.739 | –0.739 | 1.301 |
Cs | 6.4 | 72.23 | 65 899 | 978 | –0.045 | –1.810 | –0.809 | 1.328 |
Sn | 6.4 | 17.18 | 230 125 | 2543 | –0.16 | –1.840 | –0.839 | 1.135 |
Pb | 7.0 | 19.10 | 170 962 | 1998 | –0.11 | –1.312 | –0.312 | 1.125 |
In | 6.4 | 16.13 | 219 665 | 2273 | –0.12 | –1.239 | –0.239 | 1.108 |
Cu | 7.0 | 7.90 | 304 346 | 2873 | –0.21 | –1.123 | –0.123 | 1.146 |
Ag | 7.0 | 11.52 | 255 062 | 2436 | –0.21 | –1.461 | –0.461 | 1.198 |
Au | 7.0 | 11.43 | 330 962 | 3239 | –0.19 | –1.347 | –0.348 | 1.144 |
Ni | 7.0 | 7.49 | 353 514 | 3273 | –0.39 | –1.974 | –0.975 | 1.256 |
W | 6.4 | 11.04 | 823 849 | 6203 | –0.21 | –1.225 | –0.225 | 1.121 |
Mo | 6.4 | 10.27 | 630 233 | 5073 | –0.2 | –1.188 | –0.188 | 1.131 |
Таблица 2.
Металл | r/δ | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1.0 | 1.5 | 2.0 | 2.5 | 3.0 | 5.0 | 10.0 | 15.0 | 20.0 | |
Li | 0.877 | 1.030 | 1.088 | 1.107 | 1.111 | 1.092 | 1.055 | 1.038 | 1.029 |
Na | 0.796 | 0.955 | 1.026 | 1.057 | 1.069 | 1.069 | 1.045 | 1.032 | 1.025 |
K | 1.196 | 1.315 | 1.313 | 1.281 | 1.248 | 1.161 | 1.084 | 1.057 | 1.043 |
Rb | 1.011 | 1.153 | 1.188 | 1.187 | 1.175 | 1.126 | 1.070 | 1.048 | 1.036 |
Cs | 1.108 | 1.240 | 1.256 | 1.239 | 1.216 | 1.146 | 1.078 | 1.053 | 1.040 |
Sn | 1.319 | 1.400 | 1.363 | 1.312 | 1.268 | 1.167 | 1.085 | 1.057 | 1.043 |
Pb | 0.672 | 0.833 | 0.919 | 0.965 | 0.991 | 1.022 | 1.022 | 1.017 | 1.013 |
In | 0.634 | 0.796 | 0.886 | 0.936 | 0.965 | 1.006 | 1.014 | 1.012 | 1.010 |
Cu | 0.573 | 0.734 | 0.830 | 0.888 | 0.924 | 0.980 | 1.001 | 1.003 | 1.003 |
Ag | 0.755 | 0.915 | 0.991 | 1.027 | 1.044 | 1.054 | 1.038 | 1.027 | 1.021 |
Au | 0.690 | 0.850 | 0.935 | 0.979 | 1.003 | 1.029 | 1.025 | 1.019 | 1.015 |
Ni | 1.585 | 1.625 | 1.527 | 1.430 | 1.356 | 1.207 | 1.101 | 1.067 | 1.050 |
W | 0.625 | 0.786 | 0.877 | 0.929 | 0.959 | 1.002 | 1.012 | 1.011 | 1.009 |
Mo | 1.605 | 0.766 | 0.860 | 0.914 | 0.946 | 0.994 | 1.008 | 1.008 | 1.007 |
На рисунке для иллюстрации результатов расчетов приведена размерная зависимость поверхностного натяжения жидких нанокапель никеля на границе с паром в безразмерных координатах. Интересно отметить, что при постоянстве давления в матрице, в отличие от изотермических условий, имеет место немонотонная зависимость поверхностного натяжения от радиуса поверхности натяжения. С уменьшением радиуса поверхностное натяжение вначале возрастает, затем уменьшается и стремится к нулю.
На графике имеется максимум, положение которого определяется условием
(9)
${{\left( {\frac{r}{\delta }} \right)}_{{\max }}} = - \frac{f}{{2d}}\left( {1 + \sqrt {1 - \frac{4}{3}\frac{d}{{{{f}^{2}}}}} } \right).$Учет зависимости слагаемого в квадратных скобках от размера в уравнении (6) приводит к смещению максимума в сторону больших значений радиуса поверхности натяжения (∼23% для Ni) при понижении его поверхностного натяжения до 20% (табл. 3).
Таблица 3.
Металл | f ≠ 1 | f = 1 | Δσmax, % | Δ(r/δ)max, % | ||
---|---|---|---|---|---|---|
(σ/σ∞)max | (r/δ)max | (σ/σ∞)max | (r/δ)max | |||
Li | 1.111 | 2.953 | 1.155 | 2.219 | 3.8 | 33 |
Na | 1.074 | 3.771 | 1.1 | 2.874 | 2.4 | 31 |
K | 1.321 | 1.7 | 1.552 | 1.261 | 14.9 | 35 |
Rb | 1.19 | 2.186 | 1.3 | 1.586 | 8.5 | 38 |
Cs | 1.257 | 1.885 | 1.436 | 1.366 | 12.5 | 38 |
Sn | 1.4 | 1.473 | 1.51 | 1.293 | 7.3 | 14 |
Pb | 1.024 | 6.688 | 1.028 | 5.903 | 0.4 | 13 |
In | 1.014 | 8.862 | 1.016 | 7.956 | 0.2 | 11 |
Cu | 1.004 | 18.121 | 1.004 | 15.702 | 0.0 | 15 |
Ag | 1.055 | 4.401 | 1.069 | 3.577 | 1.3 | 23 |
Au | 1.03 | 6.006 | 1.035 | 5.195 | 0.5 | 16 |
Ni | 1.64 | 1.301 | 2.055 | 1.054 | 20.2 | 23 |
W | 1.012 | 9.553 | 1.014 | 8.474 | 0.2 | 13 |
Mo | 1.008 | 11.602 | 1.01 | 10.197 | 0.2 | 14 |
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Результаты данной работы показывают возможность существования двух основных типов зависимости поверхностного натяжения от радиуса кривизны поверхности разрыва (монотонная и немонотонная с максимумом), которые следуют из теории фазовых равновесий в дисперсных системах с учетом поверхностных явлений [1].
В работе рассчитаны зависимости поверхностного натяжения ряда металлов с учетом влияния на температуру фазового равновесия по выражениям (7) и (8). В полученных зависимостях наблюдается максимум в области малых размеров.
Список литературы
Русанов А.И. Фазовые равновесия и поверхностные явления. Л.: Химия, 1967. 388 с.
Tolman R.C. The Effect of Droplet Size on Surface Tension // J. Chem. Phys. 1949. V. 17. № 3. P. 333.
Быков Т.В., Щекин А.К. Поверхностное натяжение, длина Толмена и эффективная константа жесткости поверхностного слоя капли с большим радиусом кривизны // Неорг. материалы. 1999. Т. 35. № 6. С. 759.
Быков Т.В., Щекин А.К. Термодинамические характеристики малой капли в рамках метода функционала плотности // Коллоид. журн. 1999. Т. 61. № 2. С. 164.
Львов П.Е., Светухин В.В. Термодинамика образования наноразмерных выделений вторых фаз с протяженной межфазной границей // ФТТ. 2014. Т. 56. Вып. 9. С. 1825.
Алчагиров Б.Б., Дадашев Р.Х., Дышекова Ф.Ф., Элимханов Д.З. Поверхностное натяжение индия. Методы и результаты исследований // ТВТ. 2014. Т. 52. № 6. С. 941.
Шебзухов А.А., Осико Т.П., Кожокова Ф.М., Мозговой А.Г. Поверхностное натяжение жидких щелочных металлов и их сплавов. В кн.: Обзоры по теплофизическим свойствам веществ № 5 (31). М., 1981. 141 с.
Щербаков Л.М. Общая теория капиллярных эффектов второго рода. В кн.: Исследования в области поверхностных сил. М.: АН СССР, 1961. С. 28.
Сдобняков Н.Ю., Самсонов В.М. Исследование размерной зависимости поверхностного натяжения твердых наночастиц на основе термодинамической теории возмущений // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2003. Т. 46. Вып. 5. С. 90.
Самсонов В.М., Чернышева А.А., Сдобняков Н.Ю. О размерной зависимости поверхностной энергии и поверхностном натяжении металлических наночастиц // Изв. РАН. Сер. физ. 2016. Т. 80. № 6. С. 768.
Рехвиашвили С.Ш., Киштикова Е.В. О размерной зависимости поверхностного натяжения // ЖТФ. 2011. Т. 81. Вып. 1. С. 148.
Рехвиашвили С.Ш., Киштикова Е.В. Влияние размерной зависимости поверхностного натяжения на динамику пузырька в жидкости // ЖЭТФ. 2014. Т. 145. Вып. 6. С. 1116.
Rusanov A.I. Phasengleichgewichte und Grenzflächenerscheinungen. Berlin: Acad. Verlag, 1978. 465 s.
Rusanov A.I. Thermodynamics of Solid Surfaces // Surface Sci. Rep. 1996. V. 23. P. 173.
Rusanov A.I. Surface Thermodynamics Revisited // Surface Sci. Rep. 2005. V. 58. P. 111.
Русанов А.И. Термодинамические основы механохимии. СПб.: Наука, 2006. 221 с.
Шебзухов З.А., Шебзухова М.А., Шебзухов А.А. Межфазное натяжение на границах с положительной кривизной в однокомпонентных системах // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 2009. № 11. С. 102.
Шебзухов З.А., Шебзухова М.А., Шебзухов А.А. Межфазное натяжение на границах с отрицательной кривизной в однокомпонентных системах // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 2009. № 12. С. 94.
Шебзухов З.А., Шебзухова М.А., Шебзухов А.А. Поверхностное натяжение и поверхностная энергия металлических наночастиц // Изв. Каб.-Балк. гос. ун-та. 2010. № 1. С. 17.
Байдов В.В., Кунин Л.Л. К вопросу о связи скорости звука с поверхностным натяжением металлов. В кн.: Поверхностные явления в расплавах и возникающих из них твердых фазах. Нальчик, 1965. С. 89.
Vogelsberger W.J., Marx G. Zur Krummunlhangigkeitder Olerflachenspannungkleiner Tropfehen // Zeitschrift für Physikalische Chemie. 1976. Bd. 257. № 3. S. 580.
Vogelsberger W.J., Sonnefeld J., Rudakoff G. Some General Consideration on a Curvature Dependent Surface Tension in the Capillarity of Liquids // Z. Phys. Chem. 1985. Bd. 226. № 2. S. 225.
Шебзухова М.А., Шебзухов А.А. Параметр Толмена для жидких металлов на плоской границе с паром // Тр. Междун. междисц. симп. “Физика поверхностных явлений, межфазных границ и фазовые переходы”. Ростов-на-Дону: СКНЦ ВШ ЮФУ, 2013. Вып. 3. С. 231.
Шебзухова М.А., Шебзухов З.А., Шебзухов А.А. Параметр Толмена, автоадсорбция и поверхностное натяжение на плоских и искривленных поверхностях жидких металлов // Изв. РАН. Cер. физ. 2010. Т. 74. № 5. С. 729.
Русанов А.И. Лекции по термодинамике поверхностей. СПб.: Лань, 2013. 240 с.
Задумкин С.Н. Приближенный расчет поверхностного натяжения металлов // ДАН СССР. 1957. Т. 112. № 3. С. 453.
Задумкин С.Н. Современные теории поверхностной энергии чистых металлов. В кн.: Поверхностные явления в расплавах и возникающих из них твердых фазах. Нальчик, 1965. С. 12.
Гладких Н.Т., Дукаров С.В., Крышталь А.П., Ларин В.И., Суков В.Н. Капиллярные свойства островковых пленок и малых частиц. Харьков: ХНУ им. В.Н. Карамзина, 2015. 212 с.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Теплофизика высоких температур