Теплофизика высоких температур, 2021, T. 59, № 6, стр. 948-951

ВВЕДЕНИЕ

Генерация свободных носителей заряда в полупроводниках, происходящая при воздействии субпикосекундными ТГц-импульсами с высокой амплитудой электрического поля, представляет значительный интерес в области физики полупроводников, а также в прикладных задачах создания сверхбыстрых электронных и оптоэлектронных устройств [1–5].

Основным механизмом генерации свободных носителей является ударная ионизация. Исследования механизма ударной ионизации в кремнии, вызванной электрическими полями ТГц-импульса до 3.6 МВ/см, проводились в работах [2, 3], где было показано, что скорость ионизации сильно зависит от начальной концентрации свободных носителей и уменьшается с увеличением начальной концентрации. В [4] с помощью метода Монте-Карло исследуется механизм ударной ионизации в InAs, вызванной однопериодным ТГц-импульсом. Рассмотрена зависимость порога ударной ионизации от частоты и длительности импульса. В работе [5] исследовались процессы, связанные с ударной ионизацией в кристалле GaAs, вызванные воздействием ТГц-импульсами с напряженностью электрического поля до 1 МВ/см.

В связи с возникновением новых методов генерации малопериодных ТГц-импульсов с напряженностью поля, достигающей максимальных значений 25–30 МВ/см [1], представляет интерес проведение численного анализа задачи движения ТГц-импульса в полупроводниковом материале (кремнии) и происходящих при этом процессов генерации свободных носителей.

В данной работе представлены результаты численного моделирования динамики процесса образования электрон-дырочных пар в кремнии при воздействии на него ТГц-импульса с максимальной напряженностью электрического поля до 23 МВ/см.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА ТЕРАГЕРЦЕВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В ОБРАЗЦЕ КРЕМНИЯ

Для анализа процессов, происходящих в кремнии под действием ТГц-импульса, проведены расчеты динамики заполнения зоны проводимости свободными электронами. Для расчета зависимости от времени концентрации электронов проводимости ${{N}_{e}}$ использованы дифференциальные уравнения для скорости изменения концентраций с использованием модели ударной ионизации Келдыша [6] для электронов зоны проводимости:

где $\Theta (\varepsilon - {{\varepsilon }_{{{\text{th}}}}})$ – функция Хевисайда с пороговой энергией ε_th = 1.1 эВ и n = 2 [7].

Для расчета дополнительной энергии свободных носителей используется дифференциальное уравнение

где первое слагаемое выражает скорость потери энергии, идущей на ударную ионизацию дополнительных носителей, второе слагаемое – скорость релаксации дополнительной энергии за счет процессов, не связанных с ударной ионизацией, и f(E_ins) с соответствующим индексом представляет скорость увеличения энергии свободных носителей под действием поля ТГц-импульса, E_ins – мгновенное значение амплитуды электрического поля импульса. Скорость увеличения энергии, следуя [8], рассматривается в виде где m – эффективная масса соответствующего носителя, ${{\tau }_{\gamma }}~$ – среднее время между последовательными столкновениями электрона с решеткой, обеспечивающими акт ударной ионизации при его движении в кристалле под действием внешнего поля. Такой выбор $f({{E}_{{{\text{ins}}}}})$ обосновывается тем, что частота γ электрон-фононного взаимодействия в образце кремния, находящемся под действием поля ТГц-импульса, для свободных носителей с высокими значениями дополнительной энергии (1.5–5 эВ) значительно превышает частоту ω ТГц-импульса и, следовательно, в каждый момент времени скорость электронов равна дрейфовой скорости

Подобная модель для электронов зоны проводимости использовалась в работе [9] при исследовании динамики генерации свободных носителей в InSb за счет механизма ударной ионизации.

Численное моделирование осуществлялось в пространственно-временнóй области переменных t и z (ось z направлена по глубине пластины). Для численного решения используемых в модели дифференциальных уравнений применялся конечно-разностный метод в пространственно-временнóй области на сетке с шагом дискретизации по времени Δt = 0.05 пс и шагом по пространственной координате $\Delta z = \frac{c}{{{{n}_{{{\text{Si}}}}}}}\Delta t = 4.5\,\,{\text{нм,}}$ где с – скорость света, ${{n}_{{{\text{Si}}}}}$ = 3.32 – показатель преломления кремния на частоте ТГц-импульса.

Концентрация свободных носителей ${{N}_{e}}({{t}_{i}},{{z}_{j}})$ в каждой точке $({{t}_{i}},{{z}_{j}})$ пространственно-временнóй сетки может быть получена в результате решения системы конечно-разностных уравнений

Здесь $\varepsilon ({{t}_{i}},{{z}_{j}})$ – значения средней дополнительной энергии электронов проводимости и дырок соответственно, полученные в результате воздействия ТГц-импульсом на i-м шаге по времени в j‑м слое образца; ${{\tau }_{e}}$ – феноменологический параметр времени релаксации энергии электронов зоны проводимости. Начальные условия для дополнительной энергии свободных носителей – $\varepsilon ({{t}_{0}},{{z}_{j}}) = 0$ для всех слоев в образце.

Напряженность поля $E(t,z)$ ТГц-импульса, проходящего j-й слой, считается постоянной в слое, но, поскольку, в соответствии с законом Бугера, в начале и в конце слоя с показателем поглощения α поле изменяется, в расчетах берется среднее интегральное значение $({{E}_{*}}(t,z)$ = = $E(t,z)\left( {1 - {{{\text{e}}}^{{ - 0.5\alpha \Delta z}}}} \right){{(0.5\alpha \Delta z)}^{{ - 1}}},$ где $E(t,z)$ – напряженность поля в начале слоя.

Таким образом, считая, что на текущем i-м шаге расчета по времени в j-й слой входит поле $E({{t}_{i}},{{z}_{j}}),$ получаем значение ${{E}_{*}}({{t}_{i}},{{z}_{j}})$ для расчетов по (3). На текущем i-м шаге расчета по времени в j-м слое создается повышенная концентрация свободных носителей и изменяется показатель поглощения материала α, который будет учитываться в расчете на следующем шаге по времени для следующего значения амплитуды поля, входящего в слой. Поле $E({{t}_{i}},{{z}_{j}}),$ входящее в слой, на выходе будет ослаблено текущим значением показателя поглощения $~{{{{\alpha }}}_{{i,j}}},$ т.е. в следующий слой будет входить поле $E({{t}_{i}},{{z}_{j}}){{{\text{e}}}^{{ - 0.5{{\alpha }_{{i,j}}}\Delta z}}}.$

Известно [10, 11], что при возрастании энергии свободных носителей в кремнии растет частота столкновений носителей. В области образца, где происходит воздействие ТГц-импульсом, частота столкновений, включающая в себя все возможные виды e–e, e–ph, e–h взаимодействий, принималась равной γ = 2.0 × 10¹⁴ Гц [10, 11]. После прекращения воздействия электрического поля ТГц-импульса на среду энергия носителей рассеивается и частота столкновений релаксирует к значениям, определяемым достигнутым уровнем концентрации свободных носителей [12].

Рассмотрим образец беспримесного кремния толщиной 235 мкм. Временная форма возбуждающего ТГц-импульса показана на рис. 1 с максимальной амплитудой электрического поля до 23 МВ/см [13].

Одновременно с рассчитанными значениями концентрации носителей ${{N}_{e}}({{t}_{i}},{{z}_{j}})$ и частоты столкновений $\gamma ({{t}_{i}},{{z}_{j}})$ по формулам Друде [14] рассчитываются компоненты диэлектрической проницаемости ${{\varepsilon }_{1}}({{t}_{i}},{{z}_{j}}),$ ${{\varepsilon }_{2}}({{t}_{i}},{{z}_{j}})$ и показатель поглощения $\alpha ({{t}_{i}},{{z}_{j}}),$ а также коэффициент поглощения Бугера в текущем слое толщиной Δz: b_i,j = $\exp ( - {{\alpha }_{{i,j}}}\Delta z).$

На рис. 1 представлены полученные в результате расчетов зависимости от времени концентрации электронов проводимости N_e во входном слое пластины кремния глубиной 4.5 мкм и временной профиль напряженности электрического поля ТГц-импульса с максимальной амплитудой ${{E}_{{\max }}}$ = 20 МВ/см на входе в образец.

Для беспримесного кремния рост концентрации свободных носителей начинается в районе 200 фс, и концентрации достигают максимума к концу действия ТГц-импульса в слое. Концентрация свободных носителей к концу действия ТГц-импульса в слое достигает уровня (4 ± 0.1) × 10¹⁹ см^–3.

В расчете константа ${{C}_{e}}$ полагалась равной 10¹² с^–1, и, таким образом, среднее значение показателя ${{K}_{{IMI}}} = {{\ln ({{{{N}_{{\max }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{N}_{{\max }}}} {{{N}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{N}_{0}}}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{\ln ({{{{N}_{{\max }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{N}_{{\max }}}} {{{N}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{N}_{0}}}})} {\Delta T}}} \right. \kern-0em} {\Delta T}}$ скорости роста концентрации ${{N}_{e}}$ за период действия ТГц-импульса ΔT составляет ${{K}_{{IMI}}} = 1.6 \times {{10}^{{13}}}\,\,{{{\text{c}}}^{{ - 1}}}.$ Уточнить значение константы C_e будет возможно после проведения экспериментальных исследований пропускания кремния под действием ТГц-излучения. Вместе с тем рассчитанное значение показателя ${{K}_{{IMI}}}$ находится в хорошем соответствии с теоретическими исследованиями [15, 16] скорости ударной ионизации в кремнии в зависимости от дополнительной энергии свободных носителей.

Распределение концентрации носителей по глубине после выхода ТГц-импульса из образца представлено на рис. 2. В начальных слоях глубиной ~20 мкм концентрация свободных носителей резко спадает до уровня ~3 × 10¹⁸ см^–3, и в дальнейшем происходит плавное уменьшение концентрации до уровня ~6 × 10¹⁷ см^–3. Небольшой подъем и колебания концентрации до значений (2.5 ± 1.5) × 10¹⁸ см^–3 на противоположном краю образца в слое толщиной ~60 нм обусловлен воздействием отраженного ТГц-импульса.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Представленная расчетная модель динамики ТГц-импульса с высокой амплитудой электрического поля в образце кремния показывает, что движение ТГц-импульса сопровождается резким ростом концентрации свободных носителей в результате ударной ионизации под действием квазистационарного электрического поля ТГц-импульса. Показано, что концентрация свободных носителей имеет существенно неоднородный характер, начиная с ~10¹⁹ cм^–3 на входной и до ~10¹⁷ cм^–3 на противоположной поверхности образца.

Работа поддержана Министерством науки и высшего образования Российской Федерации (госзадание № 075-00892-20-00). Эксперименты проводились на уникальной научной установке “Лазерный тераваттный фемтосекундный комплекс”, входящей в состав ЦКП “Лазерный фемтосекундный комплекс” ОИВТ РАН.