Теплофизика высоких температур, 2021, T. 59, № 2, стр. 212-220
Аналитические решения моделей локально-неравновесного теплопереноса
Э. М. Карташов *
Российский технологический университет – МИРЭА (Институт тонких химических технологий
им. М.В. Ломоносова)
Москва, Россия
* E-mail: kartashov@mitht.ru
Поступила в редакцию 04.05.2020
После доработки 06.07.2020
Принята к публикации 14.10.2020
Аннотация
Рассмотрена серия краевых задач локально-неравновесного теплопереноса в терминах теории нестационарной теплопроводности для уравнений гиперболического типа (волновых уравнений). Изучены математические модели для обобщенного уравнения одновременно в декартовой, цилиндрической (радиальный поток теплоты) и сферической (центральная симметрия) системах координат. Развита методика нахождения аналитических решений обширного класса практически важных задач нестационарной теплопроводности для тел канонической формы (пластина, сплошной цилиндр, сплошной шар) и для частично ограниченных тел (полупространство, ограниченное плоской поверхностью; пространство с внутренней цилиндрической полостью и внутренней сферической полостью). Полученные точные аналитические решения серии модельных задач представляют собой принципиально новые результаты аналитической теплофизики.
ВВЕДЕНИЕ
Классические феноменологические теории процессов переноса в области $\bar {\Omega } = \{ M(x,y,z) \in \bar {D}$ = = $D + S,t \geqslant 0\} $ объединяют такие разнообразные явления, как перенос теплоты Фурье, массы Нернста, электричества Ома, напряжений Ньютона и Гука, фильтрации Дарси, поглощение звуковых волн и т.д. Эти теории имеют градиентное выражение ${\mathbf{q}}(M,t)$ = $ - A{\text{qrad}}U(M,t)$ в виде обобщенного закона переноса (A – коэффициент переноса, q – вектор плотности потока, U – потенциал), базируются на принципе локального термодинамического равновесия и гипотезе сплошной среды. Полученные на этой основе с использованием уравнений баланса дифференциальные уравнения для соответствующих физических величин являются локальными, т.е. в них не учитывается локальная неравновесность процессов. Последнее означает, что при выводе уравнений влияние конечной скорости переноса внутренней энергии пренебрежимо мало и в базовых уравнениях закладывается бесконечная скорость распространения возмущений. Можно сказать, что классические теории переноса справедливы, если скорость протекания процессов много меньше скорости распространения возмущений в рассматриваемой среде. Так, для исторически наиболее распространенной на практике модели теплопроводности, основанной на законе Фурье ${\mathbf{q}}(M,t) = - \lambda {\text{qrad}}T(M,t),$ $t > 0,$ уравнение энергии
(1)
$\begin{gathered} \frac{{\partial T(M,t)}}{{\partial t}} = a\Delta T(M,t) + \frac{1}{{c\rho }}F(M,t), \\ M \in D,\,\,\,\,t > 0, \\ \end{gathered} $(2)
${{\left. {T(M,t)} \right|}_{{t{\kern 1pt} = {\kern 1pt} 0}}} = {{\Phi }_{0}}(M),\,\,\,\,M \in \bar {D},$(3)
$\begin{gathered} {{\beta }_{1}}\frac{{\partial T(M,t)}}{{\partial n}} + {{\beta }_{2}}T(M,t) = {{\beta }_{3}}\varphi (M,t), \\ M \in S,\,\,\,\,t > 0. \\ \end{gathered} $(4)
${\mathbf{q}}(M,t) = - \lambda {\text{qrad}}T(M,t) - {{\tau }_{r}}\frac{{\partial {\mathbf{q}}(M,t)}}{{\partial t}},$(5)
$\begin{gathered} \frac{{\partial T(M,t)}}{{\partial t}} = a\Delta T(M,t) - {{\tau }_{r}}\frac{{{{\partial }^{2}}T(M,t)}}{{\partial {{t}^{2}}}}, \\ M \in D,\,\,\,\,t > 0, \\ \end{gathered} $(6)
$\begin{gathered} {{\left. {T(M,t)} \right|}_{{t = 0}}} = {{\Phi }_{0}}(M), \\ {{\left. {\frac{{\partial T(M,t)}}{{\partial t}}} \right|}_{{t = 0}}} = {{\Phi }_{1}}(M),\,\,\,\,M \in \bar {D} \\ \end{gathered} $(7)
$\begin{gathered} {{\left. {{{\beta }_{1}}\frac{1}{{{{\tau }_{r}}}}\int\limits_0^t {\frac{{\partial T(M,\tau )}}{{\partial n}}} } \right|}_{{M \in S}}}\exp \left( { - \frac{{t - \tau }}{{{{\tau }_{r}}}}} \right)d\tau + \\ + \,\,{{\beta }_{2}}h\left[ {{{{\left. {T(M,t)} \right|}}_{{M \in S}}} - {{\varphi }_{1}}(t)} \right] = - {{\beta }_{3}}\frac{1}{\lambda }{{\varphi }_{2}}(t),\,\,\,\,t > 0, \\ \end{gathered} $Цель настоящей публикации – предложить новые аналитические решения для математических моделей локально-неравновесного теплопереноса как для ограниченных областей в декартовой, цилиндрической (радиальный поток), сферической (центральная симметрия) системах координат, так и для частично ограниченных областей.
АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПЕРЕНОСА ДЛЯ ТЕЛ КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЫ
Особенностью рассматриваемых ниже аналитических решений является их новая функциональная конструкция, неизвестная ранее в аналитической теплофизике. Излагаемый основной подход нахождения искомых решений покажем вначале для обобщенного волнового уравнения, включающего (как отмечалось) три основные системы координат.
Пусть $T(x,t)$ есть решение задачи вида
(8)
$\begin{gathered} \frac{{\partial T}}{{\partial t}} = a\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}T}}{{\partial {{x}^{2}}}} + \frac{{2m + 1}}{x}\frac{{\partial T}}{{\partial x}}} \right) - {{\tau }_{r}}\frac{{{{\partial }^{2}}T}}{{\partial {{t}^{2}}}}, \\ 0 \leqslant x < l\,\,\,\,(m = 0,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}), \\ 0 < x < l\,\,\,\,(m = {{ - 1} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 1} 2}} \right. \kern-0em} 2}),\,\,\,\,t > 0; \\ \end{gathered} $(9)
${{\left. {T(x,t)} \right|}_{{t = 0}}} = {{T}_{0}},\,\,\,\,{{\left. {\frac{{\partial T(x,t)}}{{\partial t}}} \right|}_{{t = 0}}} = 0,\,\,\,\,0 \leqslant x \leqslant l;$(10)
${{\left. {\frac{{\partial T(x,t)}}{{\partial x}}} \right|}_{{x = 0}}} = 0,\,\,\,\,{{\left. {T(x,t)} \right|}_{{x = l}}} = {{T}_{c}},\,\,\,\,t > 0.$В безразмерных переменных
(11)
$\begin{gathered} \xi = \frac{x}{{\sqrt {a{{\tau }_{r}}} }},\,\,\,\,\tau = \frac{t}{{{{\tau }_{r}}}},\,\,\,\,{{l}_{0}} = \frac{l}{{\sqrt {a{{\tau }_{r}}} }}, \\ W(\xi ,\tau ) = \frac{{T(x,t) - {{T}_{0}}}}{{{{T}_{c}} - {{T}_{0}}}} \\ \end{gathered} $(12)
$\begin{gathered} \frac{{\partial W}}{{\partial \tau }} = \frac{{{{\partial }^{2}}W}}{{\partial {{\xi }^{2}}}} + \frac{{2m + 1}}{\xi }\frac{{\partial W}}{{\partial \xi }} - \frac{{{{\partial }^{2}}W}}{{\partial {{\tau }^{2}}}}, \\ 0 \leqslant \xi < {{l}_{0}}\,\,\,(m = 0,\,\,{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}), \\ 0 < \xi < {{l}_{0}}\,\,\,\,(m = {{ - 1} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 1} 2}} \right. \kern-0em} 2}),\,\,\,\,\tau > 0; \\ \end{gathered} $(13)
${{\left. W \right|}_{{\tau {\kern 1pt} = {\kern 1pt} 0}}} = {{\left. {\frac{{\partial W}}{{\partial \tau }}} \right|}_{{\tau {\kern 1pt} = {\kern 1pt} 0}}} = 0,\,\,\,\,0 \leqslant \xi \leqslant {{l}_{0}};$(14)
${{\left. {\frac{{\partial W}}{{\partial \xi }}} \right|}_{{\xi {\kern 1pt} = {\kern 1pt} 0}}} = 0,\,\,\,\,{{\left. W \right|}_{{\xi {\kern 1pt} = {\kern 1pt} {{l}_{0}}}}} = 1,\,\,\,\,\tau > 0.$(15)
$\bar {W}(\xi ,p) = {{({{{{l}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{l}_{0}}} \xi }} \right. \kern-0em} \xi })}^{m}}\frac{{{{I}_{m}}(\bar {\gamma }\xi )}}{{{{I}_{m}}(\bar {\gamma }{{l}_{0}})}},\,\,\,\,\bar {\gamma } = \sqrt {p(p + 1)} ,$Для нахождения оригинала (15) используем обобщенную теорему разложения Ващенко–Захарченко [1]: если $\bar {f}(p) = \frac{{\overline {{{f}_{1}}} (p)}}{{p\overline {{{f}_{2}}} (p)}}$ и $p = 0,$ ${{p}_{n}} > 0$ $(n \geqslant 0)$ – простые корни знаменателя, то
(16)
$f(\tau ) = \frac{{{{f}_{1}}(0)}}{{{{f}_{2}}(0)}} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\overline {{{f}_{1}}} ({{p}_{n}})}}{{{{p}_{n}}\left[ {\overline {{{f}_{2}}} (p)} \right]_{{p = {{p}_{n}}}}^{'}}}\exp ({{p}_{n}}\tau )} .$(17)
$p_{n}^{{(1,2)}} = \frac{{ - 1 \pm i{{\omega }_{n}}}}{2},\,\,\,\,{{\omega }_{n}} = \sqrt {{{{\left( {\frac{{2{{\mu }_{n}}}}{{{{l}_{0}}}}} \right)}}^{2}} - 1} .$(18)
$\begin{gathered} W(\xi ,\tau ) = 1 + {{\left( {\frac{{{{l}_{0}}}}{\xi }} \right)}^{m}}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{I}_{m}}({{\gamma }_{n}}\xi )}}{{p_{n}^{{(1)}}\left[ {{{I}_{m}}({{\gamma }_{n}}{{l}_{0}})} \right]_{{p = p_{n}^{{(1)}}}}^{'}}}\exp \left( {p_{n}^{{(1)}}\tau } \right) + } \\ + \,\,{{\left( {\frac{{{{l}_{0}}}}{\xi }} \right)}^{m}}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{I}_{m}}({{\gamma }_{n}}\xi )}}{{p_{n}^{{(2)}}\left[ {{{I}_{m}}({{\gamma }_{n}}{{l}_{0}})} \right]_{{p = p_{n}^{{(2)}}}}^{'}}}\exp \left( {p_{n}^{{(2)}}\tau } \right).} \\ \end{gathered} $Используя далее в (18) следующие соотношения для функций Бесселя:
(19)
$\begin{gathered} W(\xi ,\tau ) = 1 + 2{{\left( {\frac{{{{l}_{0}}}}{\xi }} \right)}^{m}}\exp ({{ - \tau } \mathord{\left/ {\vphantom {{ - \tau } 2}} \right. \kern-0em} 2}) \times \\ \times \,\,\sum\limits_{n{\kern 1pt} = {\kern 1pt} 1}^\infty {\frac{{{{J}_{m}}\left( {\frac{{{{\mu }_{n}}\xi }}{{{{l}_{0}}}}} \right)\left( {\sin \frac{{{{\omega }_{n}}\tau }}{2} + {{\omega }_{n}}\cos \frac{{{{\omega }_{n}}\tau }}{2}} \right)}}{{{{\mu }_{n}}{{\omega }_{n}}{{J}_{{m{\kern 1pt} + {\kern 1pt} 1}}}({{\mu }_{n}})}}} , \\ \end{gathered} $(20)
${{\omega }_{n}} = \sqrt {{{{\left( {\frac{{2{{\mu }_{n}}}}{{{{l}_{0}}}}} \right)}}^{2}} - 1} ,$(21)
$\begin{gathered} W(\xi ,\tau ) = 1 - 2{{\left( {\frac{{{{l}_{0}}}}{\xi }} \right)}^{m}}\exp ({{ - \tau } \mathord{\left/ {\vphantom {{ - \tau } 2}} \right. \kern-0em} 2}) \times \\ \times \,\,\left[ {\sum\limits_{n{\kern 1pt} = {\kern 1pt} 1}^k {\frac{{{{J}_{m}}\left( {\frac{{{{\mu }_{n}}\xi }}{{{{l}_{0}}}}} \right)\left( {{\text{sh}}\frac{{\omega _{n}^{*}\tau }}{2} + \omega _{n}^{*}{\text{ch}}\frac{{\omega _{n}^{*}\tau }}{2}} \right)}}{{{{\mu }_{n}}\omega _{n}^{*}{{J}_{{m{\kern 1pt} + {\kern 1pt} 1}}}({{\mu }_{n}})}} + } } \right. \\ \left. { + \,\,\sum\limits_{n = k{\kern 1pt} + {\kern 1pt} 1}^\infty {\frac{{{{J}_{m}}\left( {\frac{{{{\mu }_{n}}\xi }}{{{{l}_{0}}}}} \right)\left( {\sin \frac{{{{\omega }_{n}}\tau }}{2} + {{\omega }_{n}}\cos \frac{{{{\omega }_{n}}\tau }}{2}} \right)}}{{{{\mu }_{n}}{{\omega }_{n}}{{J}_{{m{\kern 1pt} + {\kern 1pt} 1}}}({{\mu }_{n}})}}} } \right], \\ \end{gathered} $(22)
$\begin{gathered} {{\omega }_{n}} = \sqrt {{{{\left( {\frac{{2{{\mu }_{n}}}}{{{{l}_{0}}}}} \right)}}^{2}} - 1} = i\sqrt {1 - {{{\left( {\frac{{2{{\mu }_{n}}}}{{{{l}_{0}}}}} \right)}}^{2}}} = i\omega _{n}^{*}, \\ 1 \leqslant n < k\,\,\,\,({{\mu }_{k}} < {{{{l}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{l}_{0}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}), \\ k + 1 < n < \infty \,\,\,\,({{\mu }_{{k{\kern 1pt} + {\kern 1pt} 1}}} > {{{{l}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{l}_{0}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}). \\ \end{gathered} $Заметим, что решение (21) в литературе по теории теплопроводности отсутствует.
Рассмотрим далее в общем решении (21) ряд частных случаев для тел канонической формы, а именно бесконечный цилиндр $0 \leqslant \xi \leqslant {{l}_{0}}$ и бесконечную пластину $0 \leqslant \xi \leqslant {{l}_{0}}{\text{ }}(\tau > 0).$ В первом случае решение тепловой задачи
(23)
$\begin{gathered} W(\xi ,\tau ) = 1 - 2\exp ({{ - \tau } \mathord{\left/ {\vphantom {{ - \tau } 2}} \right. \kern-0em} 2}) \times \\ \times \,\,\left[ {\sum\limits_{n{\kern 1pt} = {\kern 1pt} 1}^k {\frac{{{{J}_{0}}\left( {\frac{{{{\mu }_{n}}\xi }}{{{{l}_{0}}}}} \right)\left( {{\text{sh}}\frac{{\omega _{n}^{*}\tau }}{2} + \omega _{n}^{*}{\text{ch}}\frac{{\omega _{n}^{*}\tau }}{2}} \right)}}{{{{\mu }_{n}}\omega _{n}^{*}{{J}_{1}}({{\mu }_{n}})}} + } } \right. \\ \left. \begin{gathered} \hfill \\ + \,\,\sum\limits_{n{\kern 1pt} = {\kern 1pt} k{\kern 1pt} + {\kern 1pt} 1}^\infty {\frac{{{{J}_{0}}\left( {\frac{{{{\mu }_{n}}\xi }}{{{{l}_{0}}}}} \right)\left( {\sin \frac{{{{\omega }_{n}}\tau }}{2} + {{\omega }_{n}}\cos \frac{{{{\omega }_{n}}\tau }}{2}} \right)}}{{{{\mu }_{n}}{{\omega }_{n}}{{J}_{1}}({{\mu }_{n}})}}} \hfill \\ \end{gathered} \right], \\ \end{gathered} $(24)
${{\omega }_{n}} = \sqrt {{{{\left( {\frac{{2{{\mu }_{n}}}}{{{{l}_{0}}}}} \right)}}^{2}} - 1} = i\sqrt {1 - {{{\left( {\frac{{2{{\mu }_{n}}}}{{{{l}_{0}}}}} \right)}}^{2}}} = i\omega _{n}^{*}.$Рассмотрим теперь в (12)–(14) для бесконечной пластины задачу
Операционное (по Лапласу) ее решение имеет вид
(25)
$\bar {W}(\xi ,p) = \frac{1}{p}\frac{{{\text{ch}}\bar {\gamma }\xi }}{{{\text{ch}}\bar {\gamma }{{l}_{0}}}},\,\,\,\,\bar {\gamma } = \sqrt {p(p + 1).} $Повторим кратко приведенные выше рассуждения:
(26)
$\begin{gathered} {\text{ch}}\bar {\gamma }{{l}_{0}} = \cos ( - i\bar {\gamma }{{l}_{0}}) = 0,\,\,\,\,{{\gamma }_{n}} = i\frac{{(2n + 1)\pi }}{{2{{l}_{0}}}}\,\,\,\,(n \geqslant 0), \\ p_{n}^{{(1,2)}} = \frac{{ - 1 \pm i{{\omega }_{n}}}}{2},\,\,\,\,{{\omega }_{n}} = \sqrt {{{{\left[ {\frac{{(2n + 1)\pi }}{{{{l}_{0}}}}} \right]}}^{2}} - 1} . \\ \end{gathered} $Применяя далее соотношение (16), находим
(27)
$\begin{gathered} W(\xi ,\tau ) = 1 - \frac{4}{\pi }\exp ({{ - \tau } \mathord{\left/ {\vphantom {{ - \tau } 2}} \right. \kern-0em} 2}) \times \\ \times \,\,\sum\limits_{n{\kern 1pt} = {\kern 1pt} 0}^\infty {\frac{{{{{( - 1)}}^{n}}\cos \frac{{(2n + 1)\pi \xi }}{{2{{l}_{0}}}}\left( {\sin \frac{{{{\omega }_{n}}\tau }}{2} + {{\omega }_{n}}\cos \frac{{{{\omega }_{n}}\tau }}{2}} \right)}}{{(2n + 1){{\omega }_{n}}}},} \\ \end{gathered} $Но решение задачи на этом не заканчивается. Из (28) следует, что $n > {{({{l}_{0}} - \pi )} \mathord{\left/ {\vphantom {{({{l}_{0}} - \pi )} {2\pi }}} \right. \kern-0em} {2\pi }}.$ Рассмотрим два случая. Пусть в первом из них ${{l}_{0}} < \pi ,$ т.е. $n > {{(\pi - {{l}_{0}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{(\pi - {{l}_{0}})} {2\pi }}} \right. \kern-0em} {2\pi }}.$ С другой стороны, согласно (26), $n \geqslant 0$ и общим решением этой системы является неравенство $n \geqslant 0.$ Последнее означает, что при ${{l}_{0}} < \pi $ решение задачи имеет вид (27). Пусть теперь ${{l}_{0}} > \pi .$ Тогда область суммирования в (27) $0 \leqslant n < \infty $ распадается на две части: $0 \leqslant n < \left[ {{{({{l}_{0}} - \pi )} \mathord{\left/ {\vphantom {{({{l}_{0}} - \pi )} {2\pi }}} \right. \kern-0em} {2\pi }}} \right] = k$ и $k + 1 < n < \infty ,$ где $\left[ {{{({{l}_{0}} - \pi )} \mathord{\left/ {\vphantom {{({{l}_{0}} - \pi )} {2\pi }}} \right. \kern-0em} {2\pi }}} \right]$ – целая часть числа. Соответственно этому при ${{l}_{0}} > \pi $ решение задачи принимает вид
(29)
$\begin{gathered} W(\xi ,\tau ) = 1 - \frac{4}{\pi }\exp ({{ - \tau } \mathord{\left/ {\vphantom {{ - \tau } 2}} \right. \kern-0em} 2}) \times \frac{{{{\partial }^{2}}\Omega }}{{\partial {{u}^{2}}}} \\ \times \,\,\left[ {\sum\limits_{n{\kern 1pt} = {\kern 1pt} 0}^k {\frac{{{{{( - 1)}}^{n}}\cos \frac{{(2n + 1)\pi \xi }}{{2{{l}_{0}}}}\left( {{\text{sh}}\frac{{\omega _{n}^{*}\tau }}{2} + \omega _{n}^{*}{\text{ch}}\frac{{\omega _{n}^{*}\tau }}{2}} \right)}}{{(2n + 1)\omega _{n}^{*}}} + } } \right. \\ \\ \left. { + \,\,\sum\limits_{n{\kern 1pt} = {\kern 1pt} k{\kern 1pt} + {\kern 1pt} 1}^\infty {\frac{{{{{( - 1)}}^{n}}\cos \frac{{(2n + 1)\pi \xi }}{{2{{l}_{0}}}}\left( {\sin \frac{{{{\omega }_{n}}\tau }}{2} + {{\omega }_{n}}\cos \frac{{{{\omega }_{n}}\tau }}{2}} \right)}}{{(2n + 1){{\omega }_{n}}}}} } \right], \\ \end{gathered} $(30)
$\begin{gathered} {{\omega }_{n}} = \sqrt {{{{\left[ {\frac{{(2n + 1)\pi }}{{{{l}_{0}}}}} \right]}}^{2}} - 1} = \hfill \\ = i\sqrt {1 - {{{\left[ {\frac{{(2n + 1)\pi }}{{{{l}_{0}}}}} \right]}}^{2}}} = i\omega _{n}^{*}. \hfill \\ \end{gathered} $Пусть для бесконечной пластины при заданных выше начальных условиях граничные условия имеют вид
Находим операционное решение
(31)
$\bar {W}(\xi ,p) = \frac{{{\text{ch}}({{l}_{0}} - \xi )\bar {\gamma }}}{{p{\text{ch}}{{l}_{0}}\overline \gamma }},\,\,\,\,\bar {\gamma } = \sqrt {p(p + 1)} $при ${{l}_{0}} < \pi $
(32)
$\begin{gathered} W(\xi ,\tau ) = 1 - \frac{4}{\pi }\exp ({{ - \tau } \mathord{\left/ {\vphantom {{ - \tau } 2}} \right. \kern-0em} 2}) \times \\ \times \,\,\sum\limits_{n{\kern 1pt} = {\kern 1pt} 0}^\infty {\frac{{\sin \frac{{(2n + 1)\pi \xi }}{{2{{l}_{0}}}}\left( {\sin \frac{{{{\omega }_{n}}\tau }}{2} + {{\omega }_{n}}\cos \frac{{{{\omega }_{n}}\tau }}{2}} \right)}}{{(2n + 1){{\omega }_{n}}}}} ; \\ \end{gathered} $при ${{l}_{0}} > \pi $
(33)
$\begin{gathered} W(\xi ,\tau ) = 1 - \frac{4}{\pi }\exp ({{ - \tau } \mathord{\left/ {\vphantom {{ - \tau } 2}} \right. \kern-0em} 2}) \times \\ \times \,\,\left[ {\sum\limits_{n{\kern 1pt} = {\kern 1pt} 0}^k {\frac{{\sin \frac{{(2n + 1)\pi \xi }}{{2{{l}_{0}}}}\left( {{\text{sh}}\frac{{\omega _{n}^{*}\tau }}{2} + \omega _{n}^{*}{\text{ch}}\frac{{\omega _{n}^{*}\tau }}{2}} \right)}}{{(2n + 1)\omega _{n}^{*}}} + } } \right. \\ \\ \left. { + \,\,\sum\limits_{n{\kern 1pt} = {\kern 1pt} k{\kern 1pt} + {\kern 1pt} 1}^\infty {\frac{{\sin \frac{{(2n + 1)\pi \xi }}{{2{{l}_{0}}}}\left( {\sin \frac{{{{\omega }_{n}}\tau }}{2} + {{\omega }_{n}}\cos \frac{{{{\omega }_{n}}\tau }}{2}} \right)}}{{(2n + 1){{\omega }_{n}}}}} } \right], \\ \end{gathered} $(34)
$\frac{{\partial T}}{{\partial t}} = a\frac{{{{\partial }^{2}}T}}{{\partial {{x}^{2}}}} - {{\tau }_{r}}\frac{{{{\partial }^{2}}T}}{{\partial {{t}^{2}}}},\,\,\,\,0 < x < l,\,\,\,\,t > 0;$(35)
${{\left. {T(x,t)} \right|}_{{t = 0}}} = {{T}_{0}},\,\,\,\,{{\left. {\frac{{\partial T(x,t)}}{{\partial t}}} \right|}_{{t = 0}}} = 0,\,\,\,\,0 \leqslant x \leqslant l;$(36)
${{\left. {\frac{1}{{{{\tau }_{r}}}}\int\limits_0^t {\frac{{\partial T(x,\tau )}}{{\partial x}}} } \right|}_{{x = 0}}}\exp \left( { - \frac{{t - \tau }}{{{{\tau }_{r}}}}} \right)d\tau = - \frac{1}{\lambda }{{q}_{0}},\,\,\,\,t > 0;$В безразмерных переменных ($\xi ,\tau $)
(38)
$\frac{{\partial \Theta }}{{\partial \tau }} = \frac{{{{\partial }^{2}}\Theta }}{{\partial {{\xi }^{2}}}} - \frac{{{{\partial }^{2}}\Theta }}{{\partial {{\tau }^{2}}}},\,\,\,\,0 < \xi < {{l}_{0}},\,\,\,\,\tau > 0;$(39)
${{\left. {\Theta (\xi ,\tau )} \right|}_{{\tau {\kern 1pt} = {\kern 1pt} 0}}} = {{\left. {\frac{{\partial \Theta }}{{\partial \tau }}} \right|}_{{\tau {\kern 1pt} = {\kern 1pt} 0}}} = 0,\,\,\,\,0 \leqslant \xi \leqslant {{l}_{0}};$(40)
$\int\limits_0^\tau {{{{\left. {\frac{{\partial \Theta (\xi ,\tau {\kern 1pt} ')}}{{\partial \xi }}} \right|}}_{{\xi {\kern 1pt} = {\kern 1pt} 0}}}\exp \left[ { - (\tau - \tau {\kern 1pt} ')} \right]d\tau {\kern 1pt} '} = - 1,\,\,\,\,\tau > 0;$(41)
${{\left. {\Theta (\xi ,\tau )} \right|}_{{\xi {\kern 1pt} = {\kern 1pt} {{l}_{0}}}}} = 0,\,\,\,\,\tau > 0.$Для решения этой задачи может быть предложен следующий подход. В пространстве изображений (по Лапласу) решение задачи (38)–(41) имеет вид
(42)
$\bar {\Theta }(\xi ,p) = \frac{{p + 1}}{{p\bar {\gamma }}}\frac{{{\text{sh}}({{l}_{0}} - \xi )\bar {\gamma }}}{{{\text{ch}}{{l}_{0}}\bar {\gamma }}},\,\,\,\,\bar {\gamma } = \sqrt {p(p + 1)} .$Для нахождения оригинала (42) используем изображение (31) и далее оригинал (32), (33). Выражения (31) и (42) дают следующие соотношения:
(43)
$\begin{gathered} \bar {\Theta }(\xi ,p) = \frac{{p + 1}}{p}\int\limits_\xi ^{{{l}_{0}}} {\frac{{{\text{ch}}({{l}_{0}} - \xi {\kern 1pt} ')\bar {\gamma }}}{{{\text{ch}}{{l}_{0}}\bar {\gamma }}}} d\xi {\kern 1pt} ' = \\ = \int\limits_\xi ^{{{l}_{0}}} {\frac{{{\text{ch}}({{l}_{0}} - \xi {\kern 1pt} ')\bar {\gamma }}}{{p{\text{ch}}{{l}_{0}}\bar {\gamma }}}} d\xi {\kern 1pt} '\,\, + \int\limits_\xi ^{{{l}_{0}}} {\frac{{{\text{ch}}({{l}_{0}} - \xi {\kern 1pt} ')\bar {\gamma }}}{{{\text{ch}}{{l}_{0}}\bar {\gamma }}}} d\xi {\kern 1pt} '. \\ \end{gathered} $Находим оригинал искомого решения
(44)
$\Theta (\xi ,\tau ) = \int\limits_\xi ^{{{l}_{0}}} {W(\xi {\kern 1pt} ',\tau )d\xi {\kern 1pt} '} + \int\limits_\xi ^{{{l}_{0}}} {\frac{{\partial W(\xi {\kern 1pt} ',\tau )}}{{\partial \tau }}} d\xi {\kern 1pt} ',$Аналогичным образом рассмотрим уравнение (38) с начальными условиями (39) и граничными условиями
(45)
${{\left. {\Theta (\xi ,\tau )} \right|}_{{\xi {\kern 1pt} = {\kern 1pt} 0}}},\,\,\,\,\tau > 0;$(46)
$\int\limits_0^\tau {{{{\left. {\frac{{\partial \Theta (\xi ,\tau {\kern 1pt} ')}}{{\partial \xi }}} \right|}}_{{\xi {\kern 1pt} = {\kern 1pt} {{l}_{0}}}}}\exp \left[ { - (\tau - \tau {\kern 1pt} ')} \right]d\tau {\kern 1pt} '} = 1,\,\,\,\,\tau > 0.$Операционное решение этой задачи имеет вид
(47)
$\bar {\Theta }(\xi ,p) = \frac{{p + 1}}{{p\bar {\gamma }}}\frac{{{\text{sh}}\xi \bar {\gamma }}}{{{\text{ch}}{{l}_{0}}\bar {\gamma }}},\,\,\,\,\bar {\gamma } = \sqrt {p(p + 1).} $Чтобы определить оригинал (47), воспользуемся изображением (25) с найденным оригиналом. Запишем
Переходя к оригиналам, находим искомое решение задачи (38), (39), (45), (46):
(48)
$\Theta (\xi ,\tau ) = \int\limits_0^\xi {W(\xi {\kern 1pt} ',\tau )d\xi {\kern 1pt} '} + \int\limits_0^\xi {\frac{{\partial W(\xi {\kern 1pt} ',\tau )}}{{\partial \tau }}} d\xi {\kern 1pt} ',$Представляет интерес рассмотреть также обобщенное уравнение (12) с начальными условиями (13) и граничными условиями
(49)
${{\left. {\frac{{\partial W(\xi ,\tau )}}{{\partial \xi }}} \right|}_{{\xi = 0}}} = 0,\,\,\,\,\tau > 0;$(50)
$\int\limits_0^\tau {{{{\left. {\frac{{\partial W(\xi ,\tau {\kern 1pt} ')}}{{\partial \xi }}} \right|}}_{{\xi {\kern 1pt} = {\kern 1pt} 0}}}\exp \left[ { - (\tau - \tau {\kern 1pt} ')} \right]d\tau {\kern 1pt} '} = 1,\,\,\,\,\tau > 0.$Операционное решение этой задачи имеет вид
(51)
$\begin{gathered} \bar {W}(\xi ,p) = \frac{{(p + 1){{{({\xi \mathord{\left/ {\vphantom {\xi {{{l}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{l}_{0}}}})}}^{{ - m}}}}}{{p\bar {\gamma }}}\frac{{{{I}_{m}}(\xi \bar {\gamma })}}{{{{I}_{{m + 1}}}({{l}_{0}}\bar {\gamma })}},\,\,\, \\ \bar {\gamma } = \sqrt {p(p + 1)} . \\ \end{gathered} $Находим далее
(52)
$\frac{{d\bar {W}(\xi ,p)}}{{d\xi }} = \frac{{p + 1}}{p}\frac{{{{{({\xi \mathord{\left/ {\vphantom {\xi {{{l}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{l}_{0}}}})}}^{{ - m}}}{{I}_{{m{\kern 1pt} + {\kern 1pt} 1}}}(\xi \bar {\gamma })}}{{{{I}_{{m{\kern 1pt} + {\kern 1pt} 1}}}({{l}_{0}}\bar {\gamma })}}.$Дальнейшие вычисления связаны с определением оригинала функции
(53)
$\bar {\Psi }(\xi ,p) = \frac{{{{I}_{{m{\kern 1pt} + {\kern 1pt} 1}}}(\xi \bar {\gamma })}}{{p{{I}_{{m{\kern 1pt} + {\kern 1pt} 1}}}({{l}_{0}}\bar {\gamma })}}.$Применяя рассмотренную выше методику, находим
(54)
$\begin{gathered} \Psi (\xi ,\tau ) = 1 - \frac{{2{{{({\xi \mathord{\left/ {\vphantom {\xi {{{l}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{l}_{0}}}})}}^{{ - m}}}\exp ({{ - \tau } \mathord{\left/ {\vphantom {{ - \tau } 2}} \right. \kern-0em} 2})}}{{m + 1}} \times \\ \times \,\,\sum\limits_{n{\kern 1pt} = {\kern 1pt} 1}^\infty {\frac{{{{J}_{{m{\kern 1pt} + {\kern 1pt} 1}}}\left( {\frac{{{{\mu }_{n}}\xi }}{{{{l}_{0}}}}} \right)\left( {\sin \frac{{{{\omega }_{n}}\tau }}{2} + {{\omega }_{n}}\cos \frac{{{{\omega }_{n}}\tau }}{2}} \right)}}{{{{\omega }_{n}}{{J}_{m}}({{\mu }_{n}})}},} \\ \end{gathered} $Искомый оригинал – решение задачи (12), (13), (49), (50) – получим из (52), (53):
(55)
$W(\xi ,\tau ) = \int\limits_0^\xi {\Psi (\xi {\kern 1pt} ',\tau )d\xi {\kern 1pt} '\,\,} + \int\limits_0^\xi {\frac{{\partial \Psi (\xi {\kern 1pt} ',\tau )}}{{\partial \tau }}d\xi {\kern 1pt} '} .$До вычисления интегралов в (55) ряд в (54) следует предварительно привести к соответствующим областям суммирования по изложенной выше методике. Далее можно использовать интегральное соотношение
(56)
$\int\limits_{{{z}_{0}}}^z {{{y}^{{ - \nu }}}{{J}_{{\nu {\kern 1pt} + {\kern 1pt} 1}}}(y)dy} = - \left[ {{{y}^{{ - {{\nu }}}}}{{J}_{{{\nu }}}}(y)} \right]_{{{{z}_{0}}}}^{z}$Следует заметить, что изучение обобщенныx уравнений (12) имеет неоспоримую ценность, так как позволяет фактически описать конструкцию аналитических решений в любой из трех систем координат (для пластины, цилиндра и шара), фиксируя последовательно в общем решении индекс функции Бесселя.
АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ЧАСТИЧНО ОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЕЙ
К числу новых случаев относится задача нестационарной теплопроводности для частично ограниченной области $x > l,$ $t > 0.$ В координатах $(\xi ,\tau )$ задача имеет вид
(58)
$\frac{{\partial W}}{{\partial \tau }} = \frac{{{{\partial }^{2}}W}}{{\partial {{\xi }^{2}}}} + \frac{{2m + 1}}{\xi }\frac{{\partial W}}{{\partial \xi }} - \frac{{{{\partial }^{2}}W}}{{\partial {{\tau }^{2}}}},\,\,\,\,\xi > {{l}_{0}},\,\,\,\,\tau > 0;$(59)
${{\left. W \right|}_{{\tau {\kern 1pt} = {\kern 1pt} 0}}} = {{\left. {\frac{{\partial W}}{{\partial \tau }}} \right|}_{{\tau {\kern 1pt} = {\kern 1pt} 0}}} = 0,\,\,\,\,\xi \geqslant {{l}_{0}};$(61)
$\left| {W(\xi ,\tau )} \right| < \infty ,\,\,\,\,\xi \geqslant {{l}_{0}},\,\,\,\,\tau \geqslant 0.$Ее операционное решение записывается как
(62)
$\bar {W}(\xi ,p) = \frac{{{{{({\xi \mathord{\left/ {\vphantom {\xi {{{l}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{l}_{0}}}})}}^{{ - m}}}{{K}_{m}}(\bar {\gamma }\xi )}}{{p{{K}_{m}}(\bar {\gamma }{{l}_{0}})}},\,\,\,\,\bar {\gamma } = \sqrt {p(p + 1)} .$Оригинал изображения (62) установим позже. Трудность в его записи заключается в возможном появлении ступенчатой функции Хевисайда, что совершенно не очевидно, если искать оригинал принятым методом операционного исчисления через интеграл Римана–Меллина. Поэтому исследуем вначале асимптотическое представление изображения (62):
(63)
$\begin{gathered} \bar {W}{\text{*}}(\xi ,p) = {{({\xi \mathord{\left/ {\vphantom {\xi {{{l}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{l}_{0}}}})}^{{ - (m + {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2})}}}\frac{1}{p}\,\, \times \\ \times \,\,\exp \left[ { - (\xi - {{l}_{0}})\sqrt {p(p + 1)} } \right]. \\ \end{gathered} $Но вначале изучим интеграл Римана–Меллина вида
(64)
$\Psi (\xi ,\tau ) = \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_{\beta {\kern 1pt} - {\kern 1pt} i\infty }^{\beta {\kern 1pt} + {\kern 1pt} i\infty } {\frac{1}{{\bar {\gamma }(p)}}\exp \left[ {p\tau - \xi {\text{*}}\bar {\gamma }(p)} \right]dp} ,$(65)
$\begin{gathered} \bar {\gamma }(p) = \sqrt {p(p + 1)} ,\,\,\,\,\xi * = (\xi - {{l}_{0}})(\xi * > 0) \\ (p = \sigma + i\omega ). \\ \end{gathered} $Далее, используя (66), находим
(67)
$\begin{gathered} {{J}_{\nu }}(z) = \sum\limits_{k{\kern 1pt} = {\kern 1pt} 0}^\infty {\frac{{{{{( - 1)}}^{k}}{{{({z \mathord{\left/ {\vphantom {z 2}} \right. \kern-0em} 2})}}^{{\nu {\kern 1pt} + {\kern 1pt} 2k}}}}}{{\Gamma (k + 1)}}\frac{1}{{2\pi i}}} \int\limits_{\beta {\kern 1pt} - {\kern 1pt} i\infty }^{\beta {\kern 1pt} + {\kern 1pt} i\infty } {{{u}^{{ - (k{\kern 1pt} + {\kern 1pt} \nu {\kern 1pt} + {\kern 1pt} 1)}}}\exp (u)du} = \\ = {{\left( {\frac{z}{2}} \right)}^{\nu }}{\kern 1pt} \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_{\beta {\kern 1pt} - {\kern 1pt} i\infty }^{\beta {\kern 1pt} + {\kern 1pt} i\infty } {{{u}^{{ - (\nu {\kern 1pt} + {\kern 1pt} 1)}}}{\kern 1pt} \exp (u)} \sum\limits_{k{\kern 1pt} = {\kern 1pt} 0}^\infty {\frac{{{{{( - 1)}}^{k}}{{{\left( {\frac{{{{z}^{2}}}}{{4u}}} \right)}}^{k}}}}{{\Gamma (k + 1)}}{\kern 1pt} du} = \\ = {{\left( {\frac{z}{2}} \right)}^{\nu }}\frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_{\beta {\kern 1pt} - {\kern 1pt} i\infty }^{\beta {\kern 1pt} + {\kern 1pt} i\infty } {{{u}^{{ - (\nu {\kern 1pt} + {\kern 1pt} 1)}}}\exp \left( {u - \frac{{{{z}^{2}}}}{{4u}}} \right)du} . \\ \end{gathered} $(68)
${{\left( {\frac{2}{z}} \right)}^{n}}{{I}_{n}}(z) = \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_{\beta {\kern 1pt} - {\kern 1pt} i\infty }^{\beta {\kern 1pt} + {\kern 1pt} i\infty } {\frac{1}{{{{u}^{{n{\kern 1pt} + {\kern 1pt} 1}}}}}\exp \left( {u + \frac{{{{z}^{2}}}}{{4u}}} \right)du} .$Приведем (64) к виду, сходному с (68). Для этого положим [30]
(69)
${{(p + 1)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}} + {{p}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}} = {{y}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}},\,\,\,\,{{(p + 1)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}} - {{p}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}} = {{y}^{{ - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}},$(70)
$\begin{gathered} p = \frac{1}{4}\left( {y + \frac{1}{y} - 2} \right),\,\,\,\, \\ \bar {\gamma }(p) = \frac{1}{4}\left( {y - \frac{1}{y}} \right),\,\,\,\,\frac{{dy}}{y} = \frac{{dp}}{{\bar {\gamma }(p)}}. \\ \end{gathered} $(71)
$\begin{gathered} \Psi (\xi ,\tau ) = \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_{\beta {\kern 1pt} '{\kern 1pt} - {\kern 1pt} i\infty }^{\beta {\kern 1pt} '{\kern 1pt} + {\kern 1pt} i\infty } {\frac{{dy}}{y}} {\kern 1pt} \,\, \times \\ \times \,\,\exp \left[ { - \frac{1}{2}\tau + \frac{1}{4}y(\tau - \xi *) + \frac{1}{{4y}}(\tau + \xi *)} \right]. \\ \end{gathered} $(72)
$\Psi (\xi ,\tau ) = \exp ({{ - \tau } \mathord{\left/ {\vphantom {{ - \tau } 2}} \right. \kern-0em} 2}){{I}_{0}}\left( {\frac{1}{2}\sqrt {{{\tau }^{2}} - {{\xi }^{{*2}}}} } \right),\,\,\,\,\tau > \xi {\text{*}}.$(73)
$\begin{gathered} \Psi (\xi ,\tau ) = \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_{\beta {\kern 1pt} - {\kern 1pt} i\infty }^{\beta {\kern 1pt} + {\kern 1pt} i\infty } {\frac{1}{{\bar {\gamma }(p)}}\exp \left[ {p\tau - \xi {\text{*}}\bar {\gamma }(p)} \right]dp} = \\ = \exp ({{ - \tau } \mathord{\left/ {\vphantom {{ - \tau } 2}} \right. \kern-0em} 2}){{I}_{0}}\left( {\frac{1}{2}\sqrt {{{\tau }^{2}} - {{\xi }^{{*2}}}} } \right)\eta (\tau - \xi *). \\ \end{gathered} $(74)
$\begin{gathered} \frac{{W{\text{*}}(\xi ,\tau )}}{{{{{({\xi \mathord{\left/ {\vphantom {\xi {{{l}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{l}_{0}}}})}}^{{ - (m{\kern 1pt} + {\kern 1pt} {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2})}}}}} = \left[ {\exp ({{ - \xi {\text{*}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - \xi {\text{*}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}){{ + }^{{^{{^{{^{{^{{^{{^{{^{{}}}}}}}}}}}}}}}}}} \right. \\ \left. { + \,\,\frac{{\xi {\text{*}}}}{2}\int\limits_{\xi *}^\tau {\exp ({{ - \tau {\kern 1pt} '} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - \tau {\kern 1pt} '} 2}} \right. \kern-0em} 2})\frac{{{{I}_{1}}\left( {\frac{1}{2}\sqrt {{{\tau }^{{'2}}} - {{\xi }^{{*2}}}} } \right)}}{{\sqrt {{{\tau }^{{'2}}} - {{\xi }^{{*2}}}} }}d\tau {\kern 1pt} '} } \right]\eta (\tau - \xi *). \\ \end{gathered} $Разумеется, выявленная особенность оригинала (74) имеет место и для оригинала изображения (62). Находим указанный оригинал с помощью интеграла Римана–Меллина
(75)
$\frac{{W(\xi ,\tau )}}{{{{{({\xi \mathord{\left/ {\vphantom {\xi {{{l}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{l}_{0}}}})}}^{{ - m}}}}} = \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_{\beta {\kern 1pt} - {\kern 1pt} i\infty }^{\beta {\kern 1pt} + {\kern 1pt} i\infty } {\frac{{{{K}_{m}}(\xi \sqrt {p(p + 1)} )}}{{p{{K}_{m}}({{l}_{0}}\sqrt {p(p + 1)} )}}\exp (p\tau )dp.} $Подынтегральная функция в (75) имеет две точки ветвления. Применяя для этого случая принятый подход в операционном исчислении и формулу
(76)
$\begin{gathered} W(\xi ,\tau ) = \left\{ {1 + \frac{{{{{({\xi \mathord{\left/ {\vphantom {\xi {{{l}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{l}_{0}}}})}}^{{ - m}}}}}{\pi }} \right.\int\limits_0^1 {\left. {\frac{{\left[ {{{J}_{m}}(\xi \sqrt {\rho (1 - \rho )} ){{Y}_{m}}({{l}_{0}}\sqrt {\rho (1 - \rho )} ) - {{Y}_{m}}(\xi \sqrt {\rho (1 - \rho )} ){{J}_{m}}({{l}_{0}}\sqrt {\rho (1 - \rho )} )} \right]}}{{\rho \left[ {J_{m}^{2}\left( {{{l}_{0}}\sqrt {\rho (1 - \rho )} ) + Y_{m}^{2}({{l}_{0}}\sqrt {\rho (1 - \rho )} } \right)} \right]}}\exp ( - \rho \tau {\kern 1pt} ')d\tau {\kern 1pt} '} \right\}} \times \\ \times \,\,\eta \left[ {\tau - \left( {\xi - {{l}_{0}}} \right)} \right]. \\ \end{gathered} $Такое решение имеет две различные функциональные формы, тождественные между собой. Первую форму находим из (74)
(77)
$\begin{gathered} W(\xi ,\tau ) = \left[ {\exp ({{ - \xi } \mathord{\left/ {\vphantom {{ - \xi } 2}} \right. \kern-0em} 2}) + ({\xi \mathord{\left/ {\vphantom {\xi 2}} \right. \kern-0em} 2}){{ \times }^{{^{{^{{^{{^{{^{{^{{^{{^{{^{{^{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} \right. \\ \left. { \times \,\,\int\limits_\xi ^\tau {\exp ({{ - \tau {\kern 1pt} '} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - \tau {\kern 1pt} '} 2}} \right. \kern-0em} 2})\frac{{{{I}_{1}}\left( {\frac{1}{2}\sqrt {{{\tau }^{{'2}}} - {{\xi }^{2}}} } \right)}}{{\sqrt {{{\tau }^{{'2}}} - {{\xi }^{2}}} }}d\tau {\kern 1pt} '} } \right]\eta (\tau - \xi ). \\ \end{gathered} $Из (76) следует вторая аналитическая форма
(78)
$\begin{gathered} W(\xi ,\tau ) = \left[ {1 - \frac{1}{\pi }\int\limits_0^1 {\exp ( - \rho \tau )\frac{{\sin \xi \sqrt {\rho (1 - \rho )} }}{\rho }d\rho } } \right] \times \\ \times \,\,\eta (\tau - \xi ). \\ \end{gathered} $Равенство этих выражений установлено автором в [26]. На рис. 2 приведен график кривых $W(\xi ,\tau )$ в сечении $\xi = 2.$ Обе кривые, вычисленные по формулам (77) и (78), практически совпали.
Таким образом, как показывают приведенные рассуждения, даже для частично ограниченной области нахождение аналитических решений волновых уравнений в задачах нестационарной теплопроводности представляет собой достаточно трудоемкую вычислительную проблему аналитической теплофизики.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Изложены принципиально новые результаты аналитической теплофизики, относящиеся к локально-неравновесному теплообмену в терминах краевых задач нестационарной теплопроводности для уравнений гиперболического типа. Развита методика нахождения точных аналитических решений указанного вида задач теплопереноса для областей канонического типа на основе обобщенных уравнений нестационарной теплопроводности, охватывающих одновременно три системы координат: декартовую, цилиндрическую и сферическую. Рассмотрена серия практических задач нестационарного теплопереноса для частично ограниченных областей.
Список литературы
Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высшая школа, 2001. 550 с.
Карташов Э.М., Кудинов В.А. Аналитические методы теории теплопроводности и ее приложения. М.: URSS, 2018. 1080 с.
Зарубин В.С. Инженерные методы решения задач теплопроводности. М.: Энергоатомиздат, 1983. 328 с.
Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. 600 с.
Лыков А.В. Теплопроводность и диффузия. М.: Гизлегпром, 1941. 196 с.
Cattaneo C. Sulla Conduzione de Calore // Atti del Seminaro Matematiko c Fisico dell. Universita di Modena. 1948. V. 3. P. 83.
Vernotte P. Les paradoxes de la theorie continue de I'equation de la chaleur // Compte Rendus. Acad. Sci. Paris. 1958. V. 246. № 22. P. 3154.
Maxwell J.C. On the Dynamical Theory of Gases // Phil. Trans. Royal Soc. London. 1967. V. 157. Part. 1. P. 49.
Tissa L. Transport Phenomena in Helium-2 // Nature. 1938. V. 141. № 3577. P. 913.
Ландау Л.Д. Теория сверхтекучести гелия 2 // ЖЭТФ. 1941. Т. 2. № 6. С. 592.
Пешков В.П. Определение скорости распространения второго звука в гелии // ЖЭТФ. 1946. Т. 16. № 8. С. 744.
Ward J.C., Wilks J. Second Sound and the Thermo-mechanical Effect at Very Low Temperatures // Philos. Mag. 1952. V. 43. № 336. P. 48.
Dinqle R.B. The Velocity of Second Sound in Various Media // Proc. Phys. Soc. 1952. V. 65. № 396A. P. 1040.
London F. Superfluids 2. N.Y.: John Wiley and Sons Inc., 1954. P. 101.
Ackermann C.C., Guyer R.A., Bertman B., Fairbank H.A. Second Sound in Solid Helium // Phys. Rev. Lett. 1966. V. 16. № 18. P. 789.
Гуревич В.Л., Шкловский Р.П. К теории второго звука в полупроводниках // ФТТ. 1966. Т. 8. № 10. С. 3050.
Гуржи Р.Н., Конторович В.М. Электронный звук в металлах // ЖЭТФ. 1968. Т. 55. № 3. С. 1105.
Гуржи Р.Н. О втором звуке в твердых телах // ФТТ. 1965. Т. 7. № 12. С. 3515.
Кащеев В.Н. Распространение второго звука в газе магнонов // Изв. АН Латв. ССР. Cер. физ.-техн. наук. 1969. № 2. С. 36.
Chester M. Second Sound in Solids // Phys. Rev. 1963. V. 131. № 5. P. 2013.
Kaliski S. Wave Equations in Thermoelastisity // Bull. Acad. Polon. Sci. Techn. 1965. V. 13. № 5. P. 409.
Herwiq H., Beckert K. Experimental Evidence about Controversy Concerning Fourier or Non-fourier Heat Conduction in Materials with Non-homogeneous Inner Structure // Heat Mass Transfer. 2000. V. 36. P. 387.
Mitra K., Kumar S., Vedavars A., Mjallemi M.K. Experimental Evidence of Hyperbolic Heat Conduction in Processed Meat // Heat Transfer. Trans. ASME. V. 117. № 3. P. 568.
Кирсанов Ю.А., Кирсанов А.Ю. Об измерении времени тепловой релаксации твердого тела // Изв. РАН. Энергетика. 2015. № 1. С. 113.
Кирсанов Ю.А. Влияние тепловой релаксации и термического демпфирования на переходные процессы при циклических граничных условиях // ТВТ. 2017. Т. 55. № 4. С. 549.
Карташов Э.М. Аналитические решения гиперболических моделей теплопроводности // ИФЖ. 2014. Т. 87. № 5. С. 1072.
Формалев В.Ф. Теплопроводность анизотропных тел. Аналитические методы решения задач. М.: Физматлит, 2014. 310 с.
Формалев В.Ф., Колесник С.А. О тепловых солитонах при волновом теплопереносе в ограниченных областях // ТВТ. 2019. Т. 57. № 4. С. 543.
Формалев В.Ф., Колесник С.А., Кузнецова Е.Л. Влияние компонентов тензора теплопроводности теплозащитного материала на величину тепловых потоков от газодинамического пограничного слоя // ТВТ. 2019. Т. 57. № 1. С. 66.
Карташов Э.М. Оригиналы операционных изображений для обобщенных задач нестационарной теплопроводности // Тонкие хим. технологии. 2019. Т. 14. № 4. С. 77.
Карслоу Г., Егер Д. Операционные методы в прикладной математике. М.: Изд-во иностр. лит., 1948. 294 с.
Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1965. 716 с.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Теплофизика высоких температур