Прикладная математика и механика, 2023, T. 87, № 3, стр. 489-498

Задача о продольных колебаниях вязкоупругого по модели Максвелла стержня

В. И. Корзюк^1, 2, *, Я. В. Рудько^1, **, В. В. Колячко^2, ***

¹ Институт математики Национальной академии наук Беларуси
Минск, Беларусь

² Белорусский государственный университет
Минск, Беларусь

^* E-mail: korzyuk@bsu.by
^** E-mail: janycz@yahoo.com
^*** E-mail: vlad.kolyachko@yandex.ru

Поступила в редакцию 14.11.2022
После доработки 20.04.2023
Принята к публикации 25.04.2023

EDN: ZTPLMI
DOI: 10.31857/S0032823523030086

Полный текст (PDF)

Аннотация

В настоящей работе исследуется корректность по Адамару задачи Коши для одномерной гиперболической системы уравнений с частными производными, описывающей продольные колебания вязкоупругого по модели Максвелла стержня постоянного поперечного сечения. Также обсуждаются некоторые свойства системы и ее решений: закон сохранения модифицированной “энергии”, конечная скорость распространения волн, дисперсия и диссипация решений.

Ключевые слова: продольные колебания, модель Максвелла, задача Коши, корректно поставленная задача

1. Введение. В строительстве различных сооружений очень часто приходится иметь дело с колебаниями сплошных сред. Поэтому изучение математических моделей таких явлений представляется целесообразным. В данной работе мы исследуем одну из таких моделей, представляющую систему двух дифференциальных уравнений с частными производными, исследуем задачу Коши для нее и обсуждаем качественные свойства решений.

В разд. 2, исходя из соображений механики сплошных сред, выписываются уравнения для описания состояния стержня. В разд. 3 формулируется задача Коши для определения свободных и/или вынужденных колебаний стержня. В разд. 4 система записывается в матричной форме, исследуется гиперболичность системы и непрерывная зависимость решения задачи Коши от начальных данных. В разд. 5 отыскиваются решения в виде плоских волн и экспоненциальных волн, устанавливаются дисперсионные и диссипативные свойства. В разд. 6 устанавливается закон сохранения модифицированной “энергии” и единственность решения задачи Коши. В разд. 7 доказывается, что решения обладают конечной скоростью распространения. В разд. 8 и 9 в явном аналитическом виде отыскивается решение задачи Коши о свободных и вынужденных колебаниях стержня соответственно. В разд. 10 подводится заключение данной работы.

2. Физическая модель. Рассмотрим в одномерном случае вязкоупругий по модели Максвелла стержень постоянного поперечного сечения, свойства материала которого не зависят от времени и координаты. Для него верно уравнение движения [1]

(2.1)

$\rho \partial _{t}^{2}u = {{\partial }_{x}}\sigma + f,$

где f – внешняя объемная сила, $\rho > 0$ – плотность материала стержня, u – дилатации (смещения) стержня, σ – напряжения стержня. А связь между деформацией ε и напряжением σ подчиняется закону [2, 3]

(2.2)

$\sigma + \beta {{\partial }_{t}}\sigma = \gamma {{\partial }_{t}}\varepsilon ,$

где $\beta > 0$ – время релаксации, $\gamma {{\beta }^{{ - 1}}} > 0$ – мгновенный модуль упругости. Подставив определения деформации ${{\varepsilon }} = {{\partial }_{x}}u$ в уравнение (2.2), получим

(2.3)

$\sigma + \beta {{\partial }_{t}}\sigma = \gamma {{\partial }_{t}}{{\partial }_{x}}u$

Из связи между деформацией ε и напряжением σ стержня следует интегральное уравнение Вольтерры второго рода

(2.4)

$\varepsilon (t) = \frac{{\beta \sigma (t)}}{\gamma } + \frac{1}{\gamma }\int\limits_{ - \infty }^t {\sigma (\tau )d\tau } $

В формуле (2.4) мы пренебрегаем начальной деформацией в силу отдаления начального момента времени в минус бесконечность [3].

3. Постановка задачи Коши. Таким образом, для определения свободных колебаний стержня, требуется найти решение системы уравнений

(3.1)

${{\rho }}\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{t}^{2}}}}(t,x) = \frac{{\partial w}}{{\partial x}}(t,x),\quad {{\gamma }}\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial x\partial t}}(t,x) = {{\beta }}\frac{{\partial w}}{{\partial t}}(t,x) + w(t,x);\quad (t,x) \in (0,\infty ) \times \mathbb{R},$

при начальных условиях

(3.2)

$w(0,x) = \mu (x),\quad u(0,x) = {{\varphi }}(x),\quad {{\partial }_{t}}u(0,x) = {{\psi }}(x);\quad x \in \mathbb{R}$

в предположении достаточной гладкости функций μ, φ, ψ. В уравнении (3.1) для удобства буквой w обозначено напряжения стержня.

Если же требуется определить колебания стержня, происходящие под действием внешней силы, то вместо уравнений (3.1) надо взять уравнения

(3.3)

${{\rho }}\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{t}^{2}}}}(t,x) = \frac{{\partial w}}{{\partial x}}(t,x) + f(t,x),\quad {{\gamma }}\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial x\partial t}}(t,x) = {{\beta }}\frac{{\partial w}}{{\partial t}}(t,x) + w(t,x);\quad (t,x) \in (0,\infty ) \times \mathbb{R}$

4. Матричное представление системы уравнений. Введем в систему уравнений (3.1) функцию ${v}: = {{\partial }_{t}}u$. Тогда имеет место матричное представление

(4.1)

${{{\mathbf{u}}}_{t}} = A{{{\mathbf{u}}}_{x}} + B{\mathbf{u}},$

где

${\mathbf{u}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} u \\ {v} \\ w \end{array}} \right),\quad {{{\mathbf{u}}}_{t}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\partial }_{t}}u} \\ {{{\partial }_{t}}{v}} \\ {{{\partial }_{t}}w} \end{array}} \right),\quad {{{\mathbf{u}}}_{x}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\partial }_{x}}u} \\ {{{\partial }_{x}}{v}} \\ {{{\partial }_{x}}w} \end{array}} \right),\quad A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0 \\ 0&0&{{{\rho }^{{ - 1}}}} \\ 0&{\gamma {{\beta }^{{ - 1}}}}&0 \end{array}} \right),\quad B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&0 \\ 0&0&0 \\ 0&0&{ - {{\beta }^{{ - 1}}}} \end{array}} \right)$

Заметим, что собственными значениями матрицы – $A$ являются числа ${{\lambda }_{1}} = 0$, ${{\lambda }_{2}} = - \sqrt {\gamma {{\beta }^{{ - 1}}}{{\rho }^{{ - 1}}}} $ и ${{\lambda }_{3}} = \sqrt {\gamma {{\beta }^{{ - 1}}}{{\rho }^{{ - 1}}}} $. При условии $\gamma {{\beta }^{{ - 1}}}{{\rho }^{{ - 1}}} > 0$ это будут три различных действительных числа. Значит, что если $\gamma {{\beta }^{{ - 1}}}{{\rho }^{{ - 1}}} > 0$, то система (3.1) является гиперболической по [4], и строго гиперболической по классификации [5].

Применим к (4.1) преобразование Фурье по переменной x в виде

$\mathcal{F}[ \bullet ](t,\omega ) = \hat { \bullet }(t,\omega ) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } { \bullet (t,x)\exp ( - i\omega x)dx} ;\quad (t,\omega ) \in [0,\infty ) \times \mathbb{R},$

и запишем Фурье-образ системы (4.1)

(4.2)

${{{\mathbf{\hat {u}}}}_{t}}(t,\omega ) = Q(\omega ){\mathbf{\hat {u}}}(t,\omega ),$

где разрешающая матрица $Q(\omega ) = i\omega A + B$. Рассмотрим матрицу

$\exp (Q(\omega )t) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\exp (t)}&1 \\ 1&1&{\exp ( - it\omega {{\rho }^{{ - 1}}})} \\ 1&{\exp (it\gamma \omega {{\beta }^{{ - 1}}})}&{\exp ( - t{{\beta }^{{ - 1}}})} \end{array}} \right),$

ее норма оценивается как

(4.3)

${{\left\| {\exp (Q(\omega )t)} \right\|}_{\infty }} \leqslant \max \left\{ {3,2 + \exp \left( t \right),2 + \exp \left( { - \frac{t}{\beta }} \right)} \right\} \leqslant {{C}_{t}} = 2 + \exp \left( t \right)$

Так как норма матрицы $\exp (Q(\omega )t)$ ограничена независимо от ω, то решение задачи Коши (3.1)–(3.2) непрерывно зависит от начальных данных [4].

Этими методами аналогично доказывается гиперболичность системы (3.3) при условии $\gamma {{\beta }^{{ - 1}}}{{\rho }^{{ - 1}}} > 0$ и непрерывная зависимость решения задачи Коши (3.2)–(3.3) от начальных данных.

5. Волновые решения. Исследуем систему (3.1) на наличие решений в виде плоских волн. Такие решения имеют вид

(5.1)

$u(t,x) = U(kx - \omega t + \phi ),\quad w(t,x) = W(kx - \omega t + \phi ),$

где k – волновое число, ω – циклическая частота, ϕ – фаза. Если при этом ${{(U,W)}^{T}} \ne {{(0,0)}^{T}}$ и $U,U{\kern 1pt} ',U{\kern 1pt} '',W,W{\kern 1pt} ',W{\kern 1pt} '' \to 0$ при $kx - \omega t + \phi = z \to \pm \infty $, то скажем, что такое имеет вид уединенной волны.

Подставляя (5.1) в (3.1) получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений для определения функций U и W

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\rho {{\omega }^{2}}U{\kern 1pt} ''(z) - kW{\kern 1pt} '(z) = 0} \\ {\beta \omega W{\kern 1pt} '(z) - W(z) - k\gamma \omega U{\kern 1pt} ''(z) = 0} \end{array}} \right.$

Ее решение может быть представлено в виде

(5.2)

$U(z) = \sum\limits_{i = 1}^3 {{{c}_{i}}{{U}_{i}}(z)} ,\quad W(z) = \sum\limits_{i = 1}^3 {{{c}_{i}}{{W}_{i}}(z)} ,$

где

${{U}_{1}}(z) = 1,\quad {{U}_{2}}(z) = z,\quad {{W}_{1}}(z) = {{W}_{2}}(z) = 0,\quad {{W}_{3}}(z) = \exp \left( {\frac{{z\rho \omega }}{{\beta \rho {{\omega }^{2}} - {{k}^{2}}\gamma }}} \right),$

${{U}_{3}}(z) = \frac{1}{{{{\rho }^{2}}{{\omega }^{3}}}}\left[ {{{k}^{3}}\gamma - k\rho \omega \left( {z + \beta \omega } \right) + \exp \left( {\frac{{z\rho \omega }}{{\beta \rho {{\omega }^{2}} - {{k}^{2}}\gamma }}} \right)k\left( {\beta \rho {{\omega }^{2}} - {{k}^{2}}\gamma } \right)} \right],$

и c₁, c₂ и c₃ – произвольные константы.

Теорема 1. Система уравнений (3.1), допускает решения в виде плоских волн, которые представляются в виде (5.1)–(5.2).

Доказательство следует из рассуждений выше.

Из формул (5.1) и (5.2) также следует

Утверждение 1. Система уравнений (3.1) не имеет решений в виде уединенных волн (солитонов).

Доказательство. Достаточно показать, что условие $U,U{\kern 1pt} ',W \to 0$ при $kx - \omega t + \phi $ = = $z \to \pm \infty $ влечет $U = W = 0$. Обозначим $\alpha = \frac{{\rho \omega }}{{\beta \rho {{\omega }^{2}} - {{k}^{2}}\gamma }}.$ Тогда, в силу формулы $W(z) = {{c}_{3}}{{W}_{3}}(z)$ = ${{с}_{3}}\exp (\alpha z)$, имеют место представления

$\mathop {\lim }\limits_{z \to + \infty } W(z) = \left\{ \begin{gathered} + \infty ,\quad \alpha > 0 \wedge {{c}_{3}} > 0 \hfill \\ - \infty ,\quad \alpha > 0 \wedge {{c}_{3}} < 0 \hfill \\ {{с}_{3}},\quad \alpha = 0 \hfill \\ 0,\quad \alpha < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\quad \mathop {\lim }\limits_{z \to - \infty } W(z) = \left\{ \begin{gathered} + \infty ,\quad \alpha < 0 \wedge {{c}_{3}} > 0 \hfill \\ - \infty ,\quad \alpha < 0 \wedge {{c}_{3}} < 0 \hfill \\ {{с}_{3}},\quad \alpha = 0 \hfill \\ 0,\quad \alpha > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

из которых следует, что $\mathop {\lim }\limits_{z \to + \infty } W(z) = \mathop {\lim }\limits_{z \to - \infty } W(z) = 0$ если и только если ${{с}_{3}} = 0.$ В таком случае $U(z) = {{c}_{1}} + {{c}_{2}}z$ и $U{\kern 1pt} '(z) = {{c}_{2}}$. А в силу ${{c}_{2}} = \mathop {\lim }\limits_{z \to + \infty } U{\kern 1pt} '(z)$ = $\mathop {\lim }\limits_{z \to - \infty } U{\kern 1pt} '(z)$ = 0 имеем $U(z) = {{c}_{1}}$ и аналогично получаем ${{c}_{1}} = \mathop {\lim }\limits_{z \to + \infty } U(z)$ = $\mathop {\lim }\limits_{z \to - \infty } U(z)$ = 0. Значит, $U(z) = W(z)$ = 0.

Теперь исследуем систему (3.1) на наличие решений в виде экспоненциальных волн. Это комплексно-значные функции вида

(5.3)

$u(t,x) = {{U}_{0}}\exp (i(kx - \omega t)),\quad w(t,x) = {{W}_{0}}\exp (i(kx - \omega t)),$

где ${{U}_{0}} \in \mathbb{C}$, ${{W}_{0}} \in \mathbb{C}$ – комплексные амплитуды, $k \in \mathbb{R}$ – волновое число, $\omega \in \mathbb{C}$ – временная частота. Поскольку такие решения представляют собой бесконечно-дифференцируемые функции, то дифференцируя первое уравнение системы (3.1) по x, а второе по t и выражая $\partial _{t}^{2}{{\partial }_{x}}u$ из обеих уравнений, получаем

$\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial {{t}^{2}}}} - \frac{{{\gamma }}}{{{{\rho \beta }}}}\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial {{x}^{2}}}} + \frac{1}{{{\beta }}}\frac{{\partial w}}{{\partial t}} = 0$

Подставляя в последнее уравнение представление (5.3), мы находим

$({{k}^{2}}\gamma - \rho \omega (\beta \omega + i))w(t,x) = 0$

Отсюда

(5.4)

$\omega = \frac{{ - i \pm \sqrt {4{{k}^{2}}\beta \gamma {{\rho }^{{ - 1}}} - 1} }}{{2\beta }}$

Можно видеть, что скорость распространения волн $\omega {\text{/}}\left| k \right|$ нелинейно зависит от частоты. То, что волны, описываемые системой уравнений (3.1), обладают дисперсией. Интегрируя первое уравнение из (3.1) относительно u, получаем

(5.5)

$u(t,x) = - \frac{{ik{{W}_{0}}}}{{\rho {{\omega }^{2}}}}\exp (i(kx - \omega t)),$

т.е. ${{U}_{0}} = - \frac{{ik{{W}_{0}}}}{{\rho {{\omega }^{2}}}}$.

Пользуясь данными представлениями, можно найти фазовый сдвиг между волнами смещений и напряжений:

$\arg ({{U}_{0}}) - \arg ({{W}_{0}}) = \frac{{3\pi }}{2} + \arg \left( {\frac{k}{{{{\omega }^{2}}}}} \right) = \frac{{3\pi }}{2} + \arg \left( k \right) - 2\arg \left( { - i \pm \sqrt {4{{k}^{2}}\beta \gamma {{\rho }^{{ - 1}}} - 1} } \right)$

Рассмотрим теперь случай, что ω это чисто мнимое число (такое произойдет, если будет верно неравенство $4{{k}^{2}}\beta \gamma {{\rho }^{{ - 1}}} - 1 < 0$). В таком случае

$w(t,x) = {{W}_{0}}\exp \left( {ikx + \left( {\frac{{ - 1 \pm \sqrt {1 - 4{{k}^{2}}\beta \gamma {{\rho }^{{ - 1}}}} }}{{2\beta }}} \right)t} \right)$

$u(t,x) = \frac{{ik{{W}_{0}}}}{\rho }{{\left( {\frac{{ - 1 \pm \sqrt {1 - 4{{k}^{2}}\beta \gamma {{\rho }^{{ - 1}}}} }}{{2\beta }}} \right)}^{{ - 2}}}\exp \left( {ikx + \left( {\frac{{ - 1 \pm \sqrt {1 - 4{{k}^{2}}\beta \gamma {{\rho }^{{ - 1}}}} }}{{2\beta }}} \right)t} \right)$

Полагая ${{W}_{0}} = \left| {{{W}_{0}}} \right|\exp (i\phi )$ ($\left| {{{W}_{0}}} \right| \in [0,\infty )$ и $\phi \in [0,2\pi )$) и беря вещественную и мнимую части от решений u и w, находим что

$w(t,x) = \left| {{{W}_{0}}} \right|\exp \left( {\left( {\frac{{ - 1 \pm \sqrt {1 - 4{{k}^{2}}\beta \gamma {{\rho }^{{ - 1}}}} }}{{2\beta }}} \right)t} \right)\cos \left( {kx + \phi } \right)$

$u(t,x) = \frac{{k\left| {{{W}_{0}}} \right|}}{\rho }{{\left( {\frac{{ - 1 \pm \sqrt {1 - 4{{k}^{2}}\beta \gamma {{\rho }^{{ - 1}}}} }}{{2\beta }}} \right)}^{{ - 2}}}\exp \left( {\left( {\frac{{ - 1 \pm \sqrt {1 - 4{{k}^{2}}\beta \gamma {{\rho }^{{ - 1}}}} }}{{2\beta }}} \right)t} \right)\cos \left( {kx + \phi + \frac{\pi }{2}} \right)$

$w(t,x) = \left| {{{W}_{0}}} \right|\exp \left( {\left( {\frac{{ - 1 \pm \sqrt {1 - 4{{k}^{2}}\beta \gamma {{\rho }^{{ - 1}}}} }}{{2\beta }}} \right)t} \right)\sin \left( {kx + \phi } \right)$

также являются решениями системы (3.1). В последних формулах присутствует отрицательный экспоненциальный член вида $\exp \left( { - {{{(2\beta )}}^{{ - 1}}}\left( {1 + \sqrt {1 - 4{{k}^{2}}\beta \gamma {{\rho }^{{ - 1}}}} } \right)t} \right)$, который соответствует затуханию или диссипации.

Таким образом, при распространении колебаний в вязкоупругих по модели Максвелла стержнях присутствуют эффекты затухания и дисперсии.

6. Сохранение модифицированной энергии. Определим модифицированную “энергию” системы (3.1) как

$\tilde {E}(t) = \frac{1}{2}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\left( {\rho {{{\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial t}}} \right)}}^{2}} + \frac{\beta }{\gamma }{{w}^{2}}} \right)(t,x)dx} + \frac{1}{\gamma }\int\limits_0^t {d\tau \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{{w}^{2}}(\tau ,x)dx} } $

Замечание 1. Величину $\tilde {E}$ не совсем корректно называть энергией, ведь она имеет размерность $[\tilde {E}] = M{{T}^{{ - 2}}}$, вместо требуемого ${{L}^{2}}M{{T}^{{ - 2}}}$.

Замечание 2. Как известно [1], полная механическая энергия стержня в отсутствии внешних сил и теплового расширения может быть найдена по формуле

(6.1)

$E = T + \Pi ,\quad T = \frac{1}{2}\int\limits_V {\rho {{{\left( {{{\partial }_{t}}u} \right)}}^{2}}dV} ,\quad \Pi = \frac{1}{2}\int\limits_V {\sigma \varepsilon dV} = \frac{1}{2}\int\limits_V {\sigma {{\partial }_{x}}udV} ,$

где T – кинетическая энергия стержня, Π – потенциальная энергия стержня, V – объем стержня, $dV = dxdydz$ – элемент объема.

Справедливо утверждение о том, что модифицированная “энергия” сохраняется.

Теорема 2. Пусть пара функций u, w есть классическое решение уравнения (3.1) и функции $u(t, \bullet )$ и $w(t, \bullet )$ имеют компактный носитель в пространстве для любого $t \in \mathbb{R}$. Тогда функция $t \mapsto \tilde {E}(t)$ есть константа.

Доказательство. В самом деле, легко рассчитать

$E{\kern 1pt} '(t) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\left( {\rho \frac{{\partial u}}{{\partial t}}\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \frac{\beta }{\gamma }w\frac{{\partial w}}{{\partial t}}} \right)(t,x)dx} + \frac{1}{\gamma }\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{{w}^{2}}(t,x)dx} = $

$ = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\left( {\rho \frac{{\partial u}}{{\partial t}}\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \frac{1}{\gamma }w\left( {\gamma \frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial t\partial x}} - w} \right) + \frac{1}{\gamma }{{w}^{2}}} \right)(t,x)dx} = $

$ = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\left( {\rho \frac{{\partial u}}{{\partial t}}\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{t}^{2}}}} - \frac{{\partial w}}{{\partial x}}\frac{{\partial u}}{{\partial t}}} \right)(t,x)dx} = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{\partial u}}{{\partial t}}\left( {\rho \frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{t}^{2}}}} - \frac{{\partial w}}{{\partial x}}} \right)(t,x)dx} = 0$

Интегрирование по частям в этом доказательстве корректно, поскольку функции u и w имеют компактный носитель в пространстве для любой временной координаты.

Замечание 3. В теореме 2 требование компактного носителя можно ослабить, например, $u \in {{C}^{2}}(\mathbb{R};{{H}^{2}}(\mathbb{R}))$ и $w \in {{C}^{1}}(\mathbb{R};{{H}^{1}}(\mathbb{R})) \cap {{L}^{2}}([0,T] \times \mathbb{R})$ для любого $T > 0$.

Из сохранения модифицированной энергии следует, что задача (3.1), (3.2) не может иметь двух и более различных классических решений.

Теорема 3. Задача Коши (3.1)–(3.2) имеет не более одного классического решения, если оно существует.

Доказательство. Пусть существует два решения задачи Коши (3.1) и (3.2): $({{u}_{1}},{{w}_{1}})$ и $({{u}_{2}},{{w}_{2}}).$ Обозначим $u = {{u}_{1}} - {{u}_{2}}$ и $w = {{w}_{1}} - {{w}_{2}}.$ Тогда пара функций u и w удовлетворяет задаче (3.1) и (3.2), в которой $\mu = \varphi = \psi = 0$. Тогда для любого $t \geqslant 0$ верно равенство $\tilde {E}(t) = \tilde {E}(0) = 0$. Отсюда следует, что на множестве $[0,\infty ) \times \mathbb{R}$ имеют место равенства ${{\partial }_{t}}u = 0$ и $w = 0$. Из первого из последних равенств следует, что функция u не зависит от t, так как она непрерывна, то в силу условия $u(0,x) = 0$ на всем множестве $[0,\infty ) \times \mathbb{R}$ выполняется $u = 0.$ Из последних результатов следует, что ${{u}_{1}} = {{u}_{2}}$ и ${{w}_{1}} = {{w}_{2}}$.

7. Конечная скорость распространения волн. Для фиксированных ${{x}_{0}} \in \mathbb{R}$ и $t > 0$ рассмотрим конус прошлого с вершиной $({{t}_{0}},{{x}_{0}})$

$K({{t}_{0}},{{x}_{0}}): = \{ (t,x)\,{\text{|}}\,0 \leqslant t \leqslant {{t}_{0}} \wedge \left| {x - {{x}_{0}}} \right| \leqslant \sqrt {{{\gamma /}}({{\rho \beta }})} \left| {{{t}_{0}} - t} \right|\} $

Теорема 4. Если $u \equiv {{\partial }_{t}}u \equiv w \equiv 0$ на отрезке $[{{x}_{0}} - {{t}_{0}}\sqrt {{{\gamma /}}({{\rho \beta }})} $, ${{x}_{0}} + {{t}_{0}}\sqrt {{{\gamma /}}({{\rho \beta }})} ]$, то $u \equiv w \equiv 0$ внутри конуса $K({{t}_{0}},{{x}_{0}})$.

Доказательство. Определим локальную модифицированную энергию как

$\tilde {e}(t) = \frac{1}{2}\int\limits_{{{x}_{0}} - ({{t}_{0}} - t)\sqrt {{{\gamma }}/({{\rho \beta }})} }^{{{x}_{0}} + ({{t}_{0}} - t)\sqrt {{{\gamma }}/({{\rho \beta }})} } {\left( {\rho {{{\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial t}}} \right)}}^{2}} + \frac{\beta }{\gamma }{{w}^{2}}} \right)(t,x)dx} + \frac{1}{\gamma }\int\limits_0^t {d\tau \int\limits_{{{x}_{0}} - ({{t}_{0}} - t)\sqrt {{{\gamma }}/({{\rho \beta }})} }^{{{x}_{0}} + ({{t}_{0}} - t)\sqrt {{{\gamma }}/({{\rho \beta }})} } {{{w}^{2}}(\tau ,x)dx} } ;\quad t \in [0,{{t}_{0}}]$

Тогда

$\tilde {e}{\kern 1pt} '(t) = \int\limits_{{{x}_{0}} - ({{t}_{0}} - t)\sqrt {{{\gamma }}/({{\rho \beta }})} }^{{{x}_{0}} + ({{t}_{0}} - t)\sqrt {{{\gamma }}/({{\rho \beta }})} } {\left( {\rho \frac{{\partial u}}{{\partial t}}\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \frac{\beta }{\gamma }w\frac{{\partial w}}{{\partial t}}} \right)(t,x)dx} + \frac{1}{\gamma }\int\limits_{{{x}_{0}} - ({{t}_{0}} - t)\sqrt {{{\gamma }}/({{\rho \beta }})} }^{{{x}_{0}} + ({{t}_{0}} - t)\sqrt {{{\gamma }}/({{\rho \beta }})} } {{{w}^{2}}(t,x)dx} - $

$ - \;\mathcal{B}(u,w)\left( {t,{{x}_{0}} + ({{t}_{0}} - t)\sqrt {\frac{\gamma }{{\beta \rho }}} } \right) - \mathcal{B}(u,w)\left( {t,{{x}_{0}} - ({{t}_{0}} - t)\sqrt {\frac{\gamma }{{\beta \rho }}} } \right) - \mathcal{W}(w)(t) = $

$ = \int\limits_{{{x}_{0}} - ({{t}_{0}} - t)\sqrt {{{\gamma }}/({{\rho \beta }})} }^{{{x}_{0}} + ({{t}_{0}} - t)\sqrt {{{\gamma }}/({{\rho \beta }})} } {\left( {\rho \frac{{\partial u}}{{\partial t}}\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{t}^{2}}}} + w\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial t\partial x}}} \right)(t,x)dx} - $

(7.1)

$ = \int\limits_{{{x}_{0}} - ({{t}_{0}} - t)\sqrt {{{\gamma }}/({{\rho \beta }})} }^{{{x}_{0}} + ({{t}_{0}} - t)\sqrt {{{\gamma }}/({{\rho \beta }})} } {\left( {\rho \frac{{\partial u}}{{\partial t}}\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{t}^{2}}}} - \frac{{\partial w}}{{\partial x}}\frac{{\partial u}}{{\partial t}}} \right)(t,x)dx} + $

$ + \;\left( {w{{\partial }_{t}}u} \right)\left( {t,{{x}_{0}} + ({{t}_{0}} - t)\sqrt {\frac{\gamma }{{\beta \rho }}} } \right) - \left( {w{{\partial }_{t}}u} \right)\left( {t,{{x}_{0}} - ({{t}_{0}} - t)\sqrt {\frac{\gamma }{{\beta \rho }}} } \right) - $

где использованы обозначения

$\mathcal{B}(u,w) = \sqrt {\frac{{\gamma \rho }}{\beta }} {{\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial t}}} \right)}^{2}} + \sqrt {\frac{\beta }{{\gamma \rho }}} {{w}^{2}}$

$\mathcal{W}(w)(t) = \int\limits_0^t {\sqrt {\frac{1}{{\gamma \beta \rho }}} \left( {{{w}^{2}}\left( {\tau ,{{x}_{0}} - \left( {{{t}_{0}} - t} \right)\sqrt {\frac{\gamma }{{\beta \rho }}} } \right) + {{w}^{2}}\left( {\tau ,{{x}_{0}} + \left( {{{t}_{0}} - t} \right)\sqrt {\frac{\gamma }{{\beta \rho }}} } \right)} \right)d\tau } $

В силу неравенства Коши–Шварца имеем

(7.2)

$ \pm w{{\partial }_{t}}u \leqslant \sqrt {\frac{\beta }{{\gamma \rho }}} {{w}^{2}} + \frac{1}{4}\sqrt {\frac{{\gamma \rho }}{\beta }} {{({{\partial }_{t}}u)}^{2}}$

Подставляя (7.2) в (7.1), получаем

$\tilde {e}{\kern 1pt} '(t) \leqslant - \frac{3}{4}\sqrt {\frac{{\gamma \rho }}{\beta }} \left( {{{{\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial t}}} \right)}}^{2}}\left( {t,{{x}_{0}} - ({{t}_{0}} - t)\sqrt {\frac{\gamma }{{\beta \rho }}} } \right) + {{{\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial t}}} \right)}}^{2}}\left( {t,{{x}_{0}} + ({{t}_{0}} - t)\sqrt {\frac{\gamma }{{\beta \rho }}} } \right)} \right) - \mathcal{W}(w)(t) \leqslant 0$

В таком случае, $0 \leqslant e(t) \leqslant e(0) = 0$ для всех $t \in [0,{{t}_{0}}]$. Отсюда следует, что на множестве $K({{t}_{0}},{{x}_{0}})$ имеют место равенства ${{\partial }_{t}}u = 0$ и $w = 0$. Из первого из последних равенств следует, что функция u не зависит от t, так как она непрерывна, то в силу условия $u(0,x) = 0$ при $x \in [{{x}_{0}} - {{t}_{0}}\sqrt {{{\gamma /}}({{\rho \beta }})} $, ${{x}_{0}} + {{t}_{0}}\sqrt {{{\gamma /}}({{\rho \beta }})} ]$, на всем множестве $K({{t}_{0}},{{x}_{0}})$ выполняется $u = 0$.

Таким образом, любое возмущение начальных данных, заданное вне отрезка $[{{x}_{0}} - {{t}_{0}}\sqrt {{{\gamma /}}({{\rho \beta }})} $, ${{x}_{0}} + {{t}_{0}}\sqrt {{{\gamma /}}({{\rho \beta }})} ]$, не влияет на решение внутри $K({{t}_{0}},{{x}_{0}})$. Следовательно, эффекты ненулевых начальных данных распространяются со скоростью, не превышающей $\sqrt {{{\gamma /}}({{\rho \beta }})} $.

8. Классическое решение задачи Коши о свободных колебаниях. Формально найдем выражения для решения задачи (3.1)–(3.2). Дифференцируя первое уравнение системы (3.1) по x, а второе по t и выражая $\partial _{t}^{2}{{\partial }_{x}}u$ из обеих уравнений, получаем

$\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial {{t}^{2}}}}(t,x) - \frac{{{\gamma }}}{{{{\rho \beta }}}}\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial {{x}^{2}}}}(t,x) + \frac{1}{{{\beta }}}\frac{{\partial w}}{{\partial t}}(t,x) = 0;\quad (t,x) \in (0,\infty ) \times \mathbb{R}$

$w(0,x) = \mu (x),\quad {{\partial }_{t}}w(0,x) = \frac{\gamma }{\beta }\psi {\kern 1pt} '(x) - \frac{1}{\beta }\mu (x);\quad x \in \mathbb{R}$

Такая задача Коши легко интегрируется, и ее классическое решение существует и единственно [6]. Но для нахождения решения в явном аналитическом виде сделаем замену

(8.1)

$w(t,x) = {{w}_{{KG}}}(t,x)\exp \left( { - \frac{t}{{2{{\beta }}}}} \right),$

и в результате получим задачу Коши для уравнения Клейна–Гордона–Фока в виде

$\frac{{{{\partial }^{2}}{{w}_{{KG}}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}(t,x) - \frac{{{\gamma }}}{{{{\rho \beta }}}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{w}_{{KG}}}}}{{\partial {{x}^{2}}}}(t,x) - \frac{{{{w}_{{KG}}}}}{{4{{{{\beta }}}^{2}}}}(t,x) = 0;\quad (t,x) \in (0,\infty ) \times \mathbb{R}$

${{w}_{{KG}}}(0,x) = \mu (x),\quad {{\partial }_{t}}{{w}_{{KG}}}(0,x) = \frac{\gamma }{\beta }\psi {\kern 1pt} '(x) - \frac{1}{{2{{\beta }}}}\mu (x);\quad x \in \mathbb{R}$

Выражение для w_KG можно взять из работы [7], а с учетом формулы (8.1) имеем

(8.2)

$\begin{gathered} w(t,x) = \frac{1}{2}\exp \left( { - \frac{t}{{2\beta }}} \right)\left( {\mu \left( {x - \sqrt {\frac{\gamma }{{\rho \beta }}} t} \right) + \mu \left( {x + \sqrt {\frac{\gamma }{{\rho \beta }}} t} \right)} \right) + \\ + \;\frac{1}{2}\exp \left( { - \frac{t}{{2\beta }}} \right)\sqrt {\frac{{\rho \beta }}{\gamma }} \int\limits_{x - t\sqrt {\gamma /(\rho \beta )} }^{x + t\sqrt {\gamma /(\rho \beta )} } {{{I}_{0}}\left( {\frac{1}{{2\beta }}\sqrt {{{t}^{2}} - \frac{{\rho \beta {{{(x - \xi )}}^{2}}}}{\gamma }} } \right)\left( {\frac{\gamma }{\beta }\psi {\kern 1pt} '(\xi ) - \frac{1}{{2\beta }}\mu (\xi )} \right)d\xi } + \\ + \;\frac{t}{4}\exp \left( { - \frac{t}{{2{{\beta }}}}} \right)\sqrt {\frac{{{\rho }}}{{{{\gamma \beta }}}}} \int\limits_{x - t\sqrt {{{\gamma }}/({{\rho \beta }})} }^{x + t\sqrt {{{\gamma }}/({{\rho \beta }})} } {\frac{1}{{4\beta }}{}_{0}{{F}_{1}}\left( {2;\frac{{{{t}^{2}} - {{\gamma }^{{ - 1}}}\beta \rho {{{(x - \xi )}}^{2}}}}{{16{{\beta }^{2}}}}} \right)\mu (\xi )d{{\xi }}} ;\quad (t,x) \in [0,\infty ) \times \mathbb{R} \\ \end{gathered} $

Тогда

(8.3)

$\begin{gathered} u(t,x) = \varphi (x) + t\psi (x) + \frac{1}{\rho }\int\limits_0^t {d\lambda } \int\limits_0^\lambda {\frac{{\partial w}}{{\partial x}}(\tau ,x)d\tau } = \\ = \varphi (x) + t\psi (x) + \frac{1}{\rho }\int\limits_0^t {d\lambda } \int\limits_0^\lambda {{{{(16\beta )}}^{{ - 1}}}\exp ( - \tau {\text{/}}(2\beta )) \times } \\ \times \;\left( {8\beta \sqrt {\frac{{\beta \rho }}{\gamma }} \int\limits_{x - \tau \sqrt {\gamma /(\beta \rho )} }^{x + \tau \sqrt {\gamma /(\beta \rho )} } {\frac{{\rho (x - \xi )}}{{64{{\beta }^{2}}\gamma }}{}_{0}{{F}_{1}}\left( {;2;\frac{{{{\tau }^{2}} - \beta {{\gamma }^{{ - 1}}}(x - \xi )}}{{16{{\beta }^{2}}}}} \right)(\mu (\xi ) - 2\gamma \psi {\kern 1pt} '(\xi ))d\xi } + } \right. \\ + \;t\sqrt {\frac{\rho }{{\beta \gamma }}} \left( {\mu \left( {x + \tau \sqrt {\frac{\gamma }{{\beta \rho }}} } \right) - \mu \left( {x - \tau \sqrt {\frac{\gamma }{{\beta \rho }}} } \right)} \right) + 8\beta \left( {\mu {\kern 1pt} '\left( {x - \tau \sqrt {\frac{\gamma }{{\beta \rho }}} } \right) + \mu {\kern 1pt} '\left( {x + \tau \sqrt {\frac{\gamma }{{\beta \rho }}} } \right)} \right) + \\ + \;4\sqrt {\frac{{\beta \rho }}{\gamma }} \left( {\mu \left( {x - \tau \sqrt {\frac{\gamma }{{\beta \rho }}} } \right) - \mu \left( {x + \tau \sqrt {\frac{\gamma }{{\beta \rho }}} } \right) - 2\gamma \psi {\kern 1pt} '\left( {x - \tau \sqrt {\frac{\gamma }{{\beta \rho }}} } \right) + 2\gamma \psi {\kern 1pt} '\left( {x + \tau \sqrt {\frac{\gamma }{{\beta \rho }}} } \right)} \right) + \\ + \;\left. {4\beta \tau \sqrt {\frac{\rho }{{\beta \gamma }}} \int\limits_{x - \tau \sqrt {\gamma /(\beta \rho )} }^{x + \tau \sqrt {\gamma /(\beta \rho )} } {\frac{{\rho (\xi - x)}}{{64{{\beta }^{2}}\gamma }}{}_{0}{{F}_{1}}\left( {;3;\frac{{{{\tau }^{2}} - \beta {{\gamma }^{{ - 1}}}(x - \xi )}}{{16{{\beta }^{2}}}}} \right)\mu (\xi )d\xi } } \right)d\tau ;\quad (t,x) \in [0,\infty ) \times \mathbb{R} \\ \end{gathered} $

В формулах (8.2) и (8.3) использованы обозначения: I_n – модифицированная функция Бесселя первого рода порядка n и ₀F₁ – вырожденная гипергеометрическая функция.

Решение было построено формально, поэтому непосредственной проверкой убеждаемся, что функции u и w обладают необходимой степенью гладкости, удовлетворяют уравнениям (3.1) и начальным условиям (3.2), если, например, $\mu \in {{C}^{2}}(\mathbb{R})$, $\varphi \in {{C}^{2}}(\mathbb{R})$ и $\psi \in {{C}^{2}}(\mathbb{R})$.

Таким образом, построено в явном аналитическом виде классическое решение задачи Коши (3.1)–(3.2). Сформулируем результат в виде теоремы.

Теорема 5. Пусть выполняются условия $\mu \in {{C}^{2}}(\mathbb{R})$, $\varphi \in {{C}^{2}}(\mathbb{R})$ и $\psi \in {{C}^{2}}(\mathbb{R})$. Тогда задача (3.1)–(3.2) имеет единственное классическое решение, представленное формулами (8.2) и (8.3), которое непрерывно зависит от начальных данных.

Доказательство следует из рассуждений выше.

9. Классическое решение задачи Коши о вынужденных колебаниях. Рассмотрим начальную задачу (3.2)–(3.3). Ее решение можно искать в виде суммы

(9.1)

${{u}_{{{\text{forced}}}}} = u + {{u}_{p}},\quad {{w}_{{{\text{forced}}}}} = w + {{w}_{p}},$

где пара функций (“общее” решение однородной системы) u, w есть решение задачи (3.1)–(3.2), а функции (частное решение неоднородной системы) u_p, w_p удовлетворяют уравнениям (3.3) и однородным граничным условиям

${{w}_{p}}(0,x) = {{u}_{p}}(0,x) = {{\partial }_{t}}{{u}_{p}}(0,x) = 0;\quad x \in \mathbb{R}$

Фактически, при условии $f \in {{C}^{{1,4}}}([0,\infty ) \times \mathbb{R})$, функции u_p, w_p построены в работах [6, 8], и они имеют вид [8]

(9.2)

$\begin{gathered} {{w}_{p}}(t,x) = \frac{1}{4}\exp \left( { - \frac{t}{{2{{\beta }}}}} \right)\sqrt {\frac{\gamma }{{\rho \beta }}} \int\limits_0^t {d{{\tau }}\int\limits_{x - \sqrt {{{\gamma }}/({{\rho \beta }})} (t - {{\tau }})}^{x + \sqrt {{{\gamma }}/({{\rho \beta }})} (t - {{\tau }})} {\left( {\exp \left( {\frac{\tau }{{2{{\beta }}}}} \right) \times } \right.} } \\ \times \;\left. {{{\partial }_{x}}f(\tau ,\lambda ){{I}_{0}}\left( {\frac{1}{{2\beta }}\sqrt {{{{(t - {{\tau }})}}^{2}} - {{\rho \beta }}{{\gamma }^{{ - 1}}}{{{(x - {{\lambda }})}}^{2}}} } \right)} \right)d\lambda \\ {{u}_{p}}(t,x) = \frac{1}{{{\rho }}}\int\limits_0^t {d{{\lambda }}} \int\limits_0^\lambda {\left( {\frac{{\partial {{w}_{p}}}}{{\partial x}} + f} \right)({{\tau }},x)d{{\tau }}} \\ \end{gathered} $

Они принадлежат классам ${{C}^{3}}([0,\infty ) \times \mathbb{R})$ и ${{C}^{{2,4}}}([0,\infty ) \times \mathbb{R})$ соответственно при условии $f \in {{C}^{{1,4}}}([0,\infty ) \times \mathbb{R})$. Кроме того, ${{\partial }_{t}}{{w}_{p}}(0,x) = 0$ и $\partial _{t}^{2}{{w}_{p}}(0,x)$ = $\gamma {{\rho }^{{ - 1}}}{{\beta }^{{ - 1}}}{{\partial }_{x}}f(0,x)$.

Единственность решения задачи устанавливается методом энергий, аналогично теореме 3.

Теорема 6. Пусть выполняются условия $f \in {{C}^{{1,4}}}([0,\infty ) \times \mathbb{R})$, $\mu \in {{C}^{2}}(\mathbb{R})$, $\varphi \in {{C}^{2}}(\mathbb{R})$ и $\psi \in {{C}^{2}}(\mathbb{R})$. Тогда задача (3.2)–(3.3) имеет единственное классическое решение u_forced и w_forced, представленное формулами (9.1), (9.2), (8.2) и (8.3), которое непрерывно зависит от начальных данных.

Доказательство следует из рассуждений выше.

Заключение. В данной работе показано, что задача Коши для одномерной системы уравнений с частными производными, описывающей продольные колебания вязкоупругого по модели Максвелла стержня, является корректной. Найдено ее решение в явном аналитическом виде. Также указаны некоторые качественные свойства решений.

Список литературы

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: в 10 тт. М.: Физматлит, 2003. Т. VII: Теория упругости. 264 с.
Ржаницын А.Р. Теория ползучести. М.: Стройиздат, 1968. 418 с.
Ржаницын А.Р. Некоторые вопросы механики систем, деформирующихся во времени. М.: ГИТТЛ, 1949. 248 с.
Strikwerda J.C. Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations. 2nd ed. Philadelphia: Soc. for Industr.&Appl. Math., 2004. 439 p.
Evans L.C. Partial Differential Equations. 2nd ed. Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., 2010. 749 p.
Корзюк В.И., Рудько Я.В. Классическое решение задачи Коши для одномерного квазилинейного волнового уравнения // Докл. Нац. АН Беларуси. 2023. Т. 67. № 1. С. 14–19.
Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2001. 576 с.
Корзюк В.И., Рудько Я.В. Частное решение задачи для системы уравнений из механики с негладкими условиями Коши // Изв. Нац. АН Беларуси. Сер. Физ.-мат. наук. 2022. Т. 58. № 3. С. 300–311.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Прикладная математика и механика

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал

Прикладная математика и механика, 2023, T. 87, № 3, стр. 489-498

Задача о продольных колебаниях вязкоупругого по модели Максвелла стержня

(2.1)

(2.2)

(2.3)

(2.4)

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(4.1)

(4.2)

(4.3)

(5.1)

(5.2)

(5.3)

(5.4)

(5.5)

(6.1)

(7.1)

(7.2)

(8.1)

(8.2)

(8.3)

(9.1)

(9.2)

Свяжитесь с нами

Время работы