Прикладная математика и механика, 2023, T. 87, № 3, стр. 392-408

О некоторых закономерностях реализации электростатической неустойчивости заряженной поверхности жидкости в бассейне конечных размеров

А. И. Григорьев^1, *, С. О. Ширяева^2, **, В. А. Коромыслов^3, ***

¹ Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
Москва, Россия

² Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Ярославль, Россия

³ Петербургский государственный университет путей сообщений Императора Александра I. Ярославский филиал
Ярославль, Россия

^* E-mail: grigorai@mail.ru
^** E-mail: shir@uniyar.ac.ru
^*** E-mail: s_myslov@mail.ru

Поступила в редакцию 31.10.2022
После доработки 01.02.2023
Принята к публикации 15.03.2023

EDN: ZSLXLQ
DOI: 10.31857/S0032823523030037

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассмотрены физические закономерности реализации электростатической неустойчивости плоской заряженной поверхности несжимаемой вязкой проводящей жидкости в бассейне конечных размеров, где спектр появляющихся капиллярных волн дискретен. Показано, что критические условия начала электростатической неустойчивости несжимаемой вязкой проводящей жидкости в бассейне конечных размеров, совпадают с таковыми для безграничной поверхности бесконечно глубокой идеальной несжимаемой жидкости (совпадают с условиями реализации неустойчивости Тонкса–Френкеля). Это позволяет при экспериментальной проверке критерия реализации неустойчивости Тонкса–Френкеля пользоваться бассейнами конечных размеров, не допуская принципиальных ошибок.

Ключевые слова: плоская поверхность жидкости, электростатическое и гравитационное поля, электростатическая неустойчивость

1. Введение. Исследование электростатических неустойчивостей жидкостных объектов, обладающих собственным или индуцированным электрическим зарядом, началось еще в конце XIX века, когда Рэлей [1, 2] строго теоретически показал, что максимальный заряд $Q$, который может нести капля идеальной идеально проводящей жидкости радиуса $R$, определяется критерием:

$W \equiv \frac{{{{Q}^{2}}}}{{16\pi \sigma {{R}^{3}}}} = 1,$

где $\sigma $ – коэффициент поверхностного натяжения жидкости. При значениях параметра $W \geqslant 1$, удовлетворяющих записанному выше неравенству, реализуется электростатическая неустойчивость поверхности капли, вследствие чего она распадается на более мелкие сильно заряженные дочерние капельки.

Аналогичная ситуация складывается и для незаряженной капли электропроводной жидкости, помещенной в однородное электростатическое поле напряженностью ${{E}_{0}}$, а критерий неустойчивости согласно Тейлору [3], имеет вид:

$w \equiv \frac{{E_{0}^{2}R}}{{16\pi \sigma }} \geqslant 0.052$

В начале прошлого века экспериментально показано [4, 5], что так же ведет себя и мениск жидкости на торце капилляра, по которому жидкость подается в разрядную систему.

Все упомянутые критерии электростатических неустойчивостей неоднократно проверялись экспериментально [3, 6–9].

Поверхность сильно заряженной струи идеальной электропроводной жидкости радиуса $R$ становится электростатически неустойчивой и распадается на отдельные капельки при выполнении критерия [10]:

${{W}_{j}} \equiv \frac{{{{\mu }^{2}}}}{{\pi R\sigma }} \geqslant 2.905,$

где $\mu $ – заряд, приходящийся на единицу длины струи. При выполнении указанного критерия с конца струи выбрасываются на два порядка более мелкие струйки, (так, что конец струи становится похожим на разветвленную веточку, как показано в экспериментах [11, 12]), и они-то распадаются на капельки.

Если взять неограниченную плоскую поверхность идеальной бесконечно глубокой несжимаемой электропроводной жидкости в суперпозиции перпендикулярных ей электростатическом ${{{\mathbf{E}}}_{0}}$ и гравитационном ${\mathbf{g}}$ коллинеарных полях, то получим еще один объект, который может претерпевать электростатическую неустойчивость. Эта неустойчивость получила название неустойчивости Тонкса–Френкеля по именам ее первых исследователей [13, 14]. В начале прошлого века ее теоретически исследовали независимо друг от друга Тонкс и Френкель. Тонкс [13] первым провел свое исследование и вывел на качественном уровне критерий реализации электростатической неустойчивости. Френкель [14] для той же идеализированной модели решил эту задачу строго математически. Он в линейном приближении по амплитуде капиллярно-гравитационной волны на заряженной поверхности жидкости решил задачу определения устойчивости капиллярно-гравитационных волн строго и вывел критерий реализации неустойчивости в виде:

${{W}_{{{\text{tf}}}}} \equiv \left( {\frac{{E_{0}^{2}\sqrt {\rho \sigma g} }}{{4\pi }}} \right) \geqslant 2,$

где $\rho $ – плотность жидкости, ${{W}_{{{\text{tf}}}}}$ – безразмерный параметр Тонкса–Френкеля. Он характеризует устойчивость плоской поверхности жидкости по отношению к равномерно распределенному по ней электрическому заряду. При выполнении этого критерия поверхность жидкости покрывается эмиттирующими выступами, с вершин которых отрываются маленькие капельки, см. рис. 1. Экспериментальная проверка этого критерия была проведена в [15, 16], (см., например, рис. 1,а). Но она проводилась для реальных жидкостей в бассейнах конечных размеров тогда, как и Тонкс, и Френкель свои теоретические построения проводили на модели неограниченной поверхности бесконечно глубокой несжимаемой электропроводной идеальной жидкости. Здесь и возникает тема настоящего исследования: могут ли эксперименты, выполненные для реальной жидкости в бассейнах конечных по всем осям размеров, служить обоснованием теорий, построенных для идеализированных математических моделей для бесконечного пространства?

Рис. 1.

Фотографии а: неустойчивой поверхности жидкой меди по отношению к индуцированному внешним электростатическим полем поверхностному заряду из [16] (Неустойчивая поверхность расплавленного металла в бассейне конечных размеров была зафиксирована мгновенным охлаждением с помощью жидкого газа); б: единичного эмиттирующего выступа и в: капельки, отрывающейся от эмиттирующего выступа из [16].

2. Краткий вывод критерия неустойчивости Тонкса–Френкеля. Френкель в идеализированной модели однородно заряженной безграничной плоской поверхности идеальной, несжимаемой, идеально проводящей, бесконечно глубокой жидкости строго теоретически решил задачу реализации электростатической неустойчивости и вывел критерий начала реализации неустойчивости. В декартовой системе координат с осью $OZ$, направленной вертикально вверх перпендикулярно поверхности жидкости и коллинеарно ускорению свободного падения ${\mathbf{g}}$ и напряженности однородного электростатического поля, и плоскостью $OXY$, совпадающей с равновесной плоской поверхностью жидкости, он сформулировал задачу [14]:

$z > 0:\Delta \Phi (x,z,t) = 0,\quad z \leqslant 0:\Delta \psi (x,z,t) = 0,\quad z = 0:\frac{{\partial \xi (x,t)}}{{\partial t}} = \frac{{\partial \psi (x,z,t)}}{{\partial z}}$

$ - \rho g\xi (x,t) - \rho \frac{{\partial \psi (x,z,t)}}{{\partial t}} - {{\kappa }_{0}}\frac{{\partial \Phi (x,z,t)}}{{\partial z}} + \sigma \frac{{{{\partial }^{2}}\xi (x,t)}}{{\partial {{x}^{2}}}} = 0$

$\Phi (x,z,t) - 4\pi {{\kappa }_{0}}\xi (x,t) = 0$

$z \to \infty :\left| {\nabla \Phi (x,z,t)} \right| \to 0,\quad z \to - \infty :\left| {\nabla \psi (x,z,t)} \right| \to 0$

Здесь $t$ – время; $\xi = \xi (x,t)$ – отклонение свободной поверхности жидкости от плоской равновесной формы; ${{\kappa }_{0}} = {{E}_{0}}{\text{/}}4\pi $ – поверхностная плотность электрического заряда в равновесном состоянии; $\psi = \psi (x,z,t)$ – гидродинамический потенциал поля скоростей в жидкости, обусловленный возмущением ее свободной поверхности; $\Phi = \Phi \left( {x,z,t} \right)$ – добавка к величине электрического потенциала над поверхностью жидкости, вызванная отклонением формы этой поверхности от равновесной плоской. Для простоты, движение жидкости примем не зависящим от координаты $y$. С целью дальнейшего упрощения перейдем к безразмерным переменным, в которых $\rho = g = \sigma = 1$. За всеми физическими величинами ставим прежние обозначения. Параметром обезразмеривания единицы длины станет капиллярная постоянная жидкости [17], которую определим как $\alpha \equiv \sqrt {{\sigma \mathord{\left/ {\vphantom {\sigma {\rho g}}} \right. \kern-0em} {\rho g}}} $.

Общим решением задачи является суперпозиция частных решений, полученных при всевозможных начальных условиях. В качестве одного такого условия Френкель принимал, что по поверхности заряженной жидкости в положительном направлении оси Ox распространяется плоская бегущая синусоидальная волна с волновым числом $k$: $k = 2\pi {\text{/}}\lambda $, где $\lambda $ – длина волны. Тогда выражение для профиля свободной поверхности жидкости в комплексной форме следует записать в виде:

(2.1)

$\xi (x,t) = \zeta \exp \left( {i(kx - \omega t)} \right),$

где $\omega $ – частота волны, а $\zeta $ – ее амплитуда.

Исходя из вида гидродинамических граничных условий: кинематического, динамического, а также равенства нулю электрического потенциала на свободной поверхности идеально проводящей жидкости, выражения для потенциалов скорости $\psi (x,z,t)$ и электрического поля $\Phi (x,z,t)$ следует искать в виде, аналогичном (2.1), то есть

$\psi (x,z,t) = A(z)\exp \left( {i(kx - \omega t)} \right),\quad \Phi (x,z,t) = B(z)\exp \left( {i(kx - \omega t)} \right),$

где A(z), B(z) – неизвестные функции, определяемые из сформулированной задачи, решая которую стандартными методами [14, 17] найдем их в виде:

$A(z) = - \frac{{i\omega }}{k}\zeta \exp (kz),\quad B(z) = 4\pi {{\kappa }_{0}}\zeta \exp ( - kz)$

Таким образом, искомые выражения для потенциалов будут иметь вид:

$\psi (x,z,t) = - \frac{{i\omega }}{k}\zeta \exp \left( {i(kx - \omega t) + kz} \right),\quad \Phi (x,z,t) = 4\pi {{\kappa }_{0}}\zeta \exp \left( {i(kx - \omega t) - kz} \right)$

Если подставить эти выражения в динамическое граничное условие и сократить на $\exp \left( {i(kx - \omega t)} \right)$, то получим:

$\left( { - 1 + \frac{{{{\omega }^{2}}}}{k} + 4\pi \kappa _{0}^{2}k - {{k}^{2}}} \right)\zeta = 0$

Выражая квадрат частоты волны из последнего выражения, легко получить дисперсионное уравнение:

(2.2)

${{\omega }^{2}} = k + {{k}^{3}} - 4\pi \kappa _{0}^{2}{{k}^{2}}$

Таким образом, решение задачи Френкеля имеет вид [14, 17]:

$\xi = \zeta \,\exp \left( {i(k\,x - \omega \,t)} \right),\quad \omega = \sqrt {k\left( {1 + {{k}^{2}} - k{{W}_{{\operatorname{tf} }}}} \right)} $

Критерий реализации электростатической неустойчивости Тонкса–Френкеля получим из дисперсионного уравнения (2.2) потребовав, положительности квадрата частоты при любых значениях волнового числа $k$ [18]. Тогда критическое значение ${{\omega }^{2}}$ будет равно нулю. В случаях, когда квадрат частоты ${{\omega }^{2}}$ становится отрицательным, сама частота $\omega $ оказывается чисто мнимой. При этом амплитуда волны будет экспоненциально нарастать со временем, а инкремент неустойчивости Тонкса–Френкеля $\gamma $ определится как модуль мнимой части частоты: $\gamma \equiv \left| {\operatorname{Im} \omega } \right|$.

Положим в (2.2) ${{\omega }^{2}} = 0$, тогда останется квадратное уравнение по волновому числу $k$. Потребуем, чтобы дискриминант этого квадратного уравнения был всегда положителен при любом $k$. В итоге критическое условие наступления неустойчивости Тонкса–Френкеля в безразмерной форме запишется в виде:

${{W}_{{{\text{tf}}}}} \equiv 4\pi \kappa _{0}^{2} \geqslant 2,$

или

${{W}_{{{\text{tf}}}}} \equiv \left( {E_{0}^{2}{\text{/}}4\pi } \right) \geqslant 2$

Если задаться вопросами: как ${{W}_{{{\text{tf}}}}}$ зависит от $k$ и при каком значении волнового числа достигается минимальное значение ${{W}_{{{\text{tf}}}}}$, то несложно получить зависимость:

(2.3)

${{W}_{{{\text{tf}}}}} = \frac{1}{k} + k,$

или в размерном виде

${{W}_{{{\text{tf}}}}} = \frac{1}{{k\alpha }} + k\alpha ,$

минимум которой, достигается при $k\alpha = 1$, или $\lambda = 2\pi \alpha $, поскольку волновое число $k$ обезразмерено умножением на капиллярную постоянную жидкости $\alpha $.

Чтобы найти волновое число соответствующее волне с максимальным инкрементом, продифференцируем $\gamma \equiv \left| {\operatorname{Im} \omega } \right|$ по $k$ и приравняем нулю. Получим $k = 1$. Если взять вторую производную по $k$, то эта производная будет меньше нуля. Значит при $k = 1$ будет действительно максимум инкремента.

Итак, волна с $k = 1$ при наступлении неустойчивости начнет неконтролируемо расти. Значит характерный поперечный размер эмиссионного выступа при реализации неустойчивости Тонкса–Френкеля в размерном виде порядка величины длины волны. Величина инкремента неустойчивости Тонкса–Френкеля $\gamma $ при волновом числе $k = 1$, соответствующем максимальному значению инкремента, при котором реализуется неустойчивость, определится, как: $\gamma \equiv \sqrt {\left| {2 - {{W}_{{{\text{tf}}}}}} \right|} $.

3. Об устойчивости по отношению к электрическому заряду поверхности жидкости в цилиндрическом бассейне конечной глубины. Как указывалось выше, критерий неустойчивости Тонкса–Френкеля выведен для модели идеальной несжимаемой электропроводной жидкости безграничной в плоскости ее свободной поверхности. Вопрос в том, как реальность жидкости, обладающей вязкостью, и помещенной в бассейн конечных размеров скажется на критических условиях реализации электростатической неустойчивости поверхности жидкости?

Физическая и математическая постановка задачи. Пусть между двумя параллельными электродами существует однородное электростатическое поле ${{{\mathbf{E}}}_{0}}$, как показано на рис. 2. Примем, что в нижнем электроде имеется цилиндрический бассейн радиусом R и глубиной $h$ (где $R \sim h$), ось симметрии которого совпадает с осью оси OZ цилиндрической системы координат: ${{{\mathbf{e}}}_{z}}\parallel - {\mathbf{g}}$, здесь ${{{\mathbf{e}}}_{z}}$ – орт оси OZ; ${\mathbf{g}}$ – ускорение поля сил тяжести. Примем, что плоскость $z = 0$ совпадает с поверхностью нижнего электрода и поверхностью бассейна (см. рис. 2), а бассейн заполнен вязкой несжимаемой идеально проводящей жидкостью плотностью $\rho $, кинематической вязкостью $\nu $ и коэффициентом поверхностного натяжения $\sigma $. Зададимся целью исследовать на устойчивость свободную поверхность жидкости в бассейне по отношению к действию на нее электростатического поля и поля силы тяжести.

Рис. 2.

Схематическое изображение установки для проверки критерия неустойчивости Тонкса–Френкеля.

Уравнение поверхности бассейна, возмущенной капиллярным волновым движением тепловой природы весьма малой амплитуды [14]: $ \sim {\kern 1pt} \sqrt {{{\kappa T} \mathord{\left/ {\vphantom {{\kappa T} \sigma }} \right. \kern-0em} \sigma }} $ ($\kappa $ – постоянная Больцмана; $T$ – абсолютная температура), запишется в виде:

(3.1)

$z = \xi \left( {r,\varphi ,t} \right);\quad \xi \ll R,$

$\xi \left( {r,\varphi ,t} \right)$ – возмущение поверхности бассейна. Следует отметить, что тепловая амплитуда капиллярных волн не превышает одного ангстрема для всех жидкостей, включая жидкие металлы.

В качестве малого параметра задачи $\varepsilon $ примем отношение максимума амплитуды капиллярных волн на поверхности бассейна к капиллярной постоянной жидкости $\alpha \equiv \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } } {\kern 1pt} \alpha $ ≡ $\sqrt {{\sigma \mathord{\left/ {\vphantom {\sigma {\rho g}}} \right. \kern-0em} {\rho g}}} $: $\varepsilon \equiv {{{\text{max}}\left| {\xi \left( {r,\varphi ,t} \right)} \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text{max}}\left| {\xi \left( {r,\varphi ,t} \right)} \right|} \alpha }} \right. \kern-0em} \alpha }$.

Математическая формулировка задачи состоит из уравнений гидродинамики вязкой жидкости и электростатики:

$\frac{{\partial {\mathbf{U}}}}{{\partial t}} + \left( {{\mathbf{U}} \cdot \nabla } \right){\mathbf{U}} = - \frac{1}{\rho }\nabla P + \nu \Delta {\mathbf{U}} - \nabla (gz),\quad \operatorname{div} {\mathbf{U}} = 0,\quad \Delta \Phi = 0$

$z = \xi (r,\varphi ,t):\Phi \equiv \operatorname{const} ,\quad \frac{{dF}}{{dt}} = 0,\quad F\left( {r,\varphi ,t} \right) = z - \xi \left( {r,\varphi ,t} \right) = 0$

${\mathbf{\tau }} \cdot \left( {{\mathbf{n}} \cdot \nabla } \right){\mathbf{U}} + {\mathbf{n}} \cdot \left( {{\mathbf{\tau }} \cdot \nabla } \right){\mathbf{U}} = 0$

$ - \;(P - {{P}_{*}}) + 2\nu {\mathbf{n}} \cdot \left( {{\mathbf{n}} \cdot \nabla } \right){\mathbf{U}} + \sigma \cdot \operatorname{div} {\mathbf{n}} - \frac{{{{{\left( {\nabla \Phi } \right)}}^{2}}}}{{8\pi }} = 0$

$z = 0,\quad r = R:\xi (r,\varphi ,t) = 0;\quad z \to \infty : - \nabla \Phi \to {{{\mathbf{E}}}_{0}};\quad r \to 0:\left| {\mathbf{U}} \right| < \infty $

$z = - h:{\mathbf{U}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) = 0,$

где τ и ${\mathbf{n}}$ – орты касательной и нормали к поверхности бассейна (3.1); ${{P}_{*}}$ – постоянное давление в окружающей среде; ${\mathbf{U}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)$, $P\left( {{\mathbf{r}},t} \right)$ и $\Phi \left( {{\mathbf{r}},t} \right)$ – поле скоростей, поле давлений в жидкости и поле электрического потенциала в окружающей среде.

В нулевом приближении по малой амплитуде возмущения $\xi \left( {r,\varphi ,t} \right)$ равновесную поверхность бассейна, в пренебрежении эффектом смачивания на стенке бассейна, будем считать совпадающей с плоскостью $z = 0$; гидродинамическое давление и поле скоростей течения жидкости будет тождественно равно нулю, а потенциал электростатического поля будет иметь вид: ${{\Phi }_{0}} = - {{E}_{0}}z$.

Для упрощения записи и последующих вычислений перейдем к безразмерным переменным, в которых $g = \rho = \sigma = 1$. Оставим за всеми переменными прежние обозначения и перепишем математическую формулировку задачи в линейном по безразмерной амплитуде возмущения свободной поверхности бассейна приближении. При линеаризации задачи учтем, что поля скоростей и давлений в жидкости ${\mathbf{U}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)$, ${{P}_{1}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)$, а также поправка к электростатическому полю ${{\Phi }_{1}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)$, связанные с волновым возмущением поверхности (3.1), имеют первый порядок малости. Граничное условие на дне бассейна $z = - h$ в том же порядке приближений заменим на граничное условие при $z = - \infty $. Отметим, что понятие “бесконечности” здесь используется в физическом смысле.

В итоге, получим:

$\frac{{\partial {\mathbf{U}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)}}{{\partial t}} = - \nabla {{P}_{1}} + \nu \Delta {\mathbf{U}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) - \nabla z,\quad \operatorname{div} {\mathbf{U}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) = 0,\quad \Delta {{\Phi }_{1}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) = 0$

$z = 0:\quad {{\Phi }_{1}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) = - \frac{{\partial {{\Phi }_{0}}}}{{\partial z}}\xi \left( {r,\varphi ,t} \right),\quad \frac{{\partial \xi \left( {r,\varphi ,t} \right)}}{{\partial t}} = {{U}_{z}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)$

(3.2)

$\frac{{\partial {{U}_{r}}}}{{\partial z}} + \frac{{\partial {{U}_{z}}}}{{\partial r}} = 0,\quad \frac{{\partial {{U}_{\varphi }}}}{{\partial z}} + \frac{1}{r}\frac{{\partial {{U}_{z}}}}{{\partial \varphi }} = 0,\quad - {\kern 1pt} {{P}_{1}} - 2\nu \frac{{\partial {{U}_{z}}}}{{\partial z}} + \hat {L}\xi + \frac{1}{{4\pi }}\left\{ {\frac{{\partial {{\Phi }_{0}}}}{{\partial z}}\frac{{\partial {{\Phi }_{1}}}}{{\partial z}}} \right\} = 0$

$z = 0,\quad r = R:\quad \xi (r,\varphi ,t) = 0$

$z \to \infty :\quad {{\Phi }_{1}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) \to 0,\quad r \to 0:\quad \left| {U\left( {{\mathbf{r}},t} \right)} \right| < \infty ,\quad z = - \infty :\quad {\mathbf{U}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) = 0$

$\hat {L} \equiv \frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}r\frac{\partial }{{\partial r}} + \frac{1}{{{{r}^{2}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{\varphi }^{2}}}}$

Скаляризация задачи. Для упрощения нижеследующих рассуждений проведем скаляризацию задачи по методике, описанной в [19], другими словами от одной векторной задачи (3.2) перейдем к нескольким скалярным.

Из общих соображений, очевидно, что произвольное векторное поле ${\mathbf{U}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)$ может быть разложено на сумму трех ортогональных векторных полей. Это, в частности можно сделать при помощи векторных дифференциальных операторов ${{{\mathbf{\hat {N}}}}_{j}}$:

(3.3)

${\mathbf{U}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^3 {{{{{\mathbf{\hat {N}}}}}_{j}}{{\psi }_{j}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)} ,$

где ${{\psi }_{j}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)$ – скалярные функции, а операторы ${{{\mathbf{\hat {N}}}}_{j}}$ (j = 1; 2; 3) в цилиндрической системе координат удобно выбрать в виде:

(3.4)

${{{\mathbf{\hat {N}}}}_{1}} \equiv \nabla ,\quad {{{\mathbf{\hat {N}}}}_{2}} \equiv \nabla \times {{{\mathbf{e}}}_{z}},\quad {{{\mathbf{\hat {N}}}}_{3}} \equiv \nabla \times \left( {\nabla \times {{{\mathbf{e}}}_{z}}} \right)$

В цилиндрической системе координат векторные поля ${{{\mathbf{\hat {N}}}}_{J}}{{\psi }_{j}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)$ в соотношении (3.3) будут иметь следующие компоненты:

${{{\mathbf{\hat {N}}}}_{1}}{{\psi }_{1}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) = {{{\mathbf{e}}}_{r}}\frac{{\partial {{\psi }_{1}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)}}{{\partial r}} + {{{\mathbf{e}}}_{\varphi }}\frac{1}{r}\frac{{\partial {{\psi }_{1}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)}}{{\partial \varphi }} + {{{\mathbf{e}}}_{z}}\frac{{\partial {{\psi }_{1}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)}}{{\partial z}}$

${{{\mathbf{\hat {N}}}}_{2}}{{\psi }_{2}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) = \nabla \times {{{\mathbf{e}}}_{z}}{{\psi }_{2}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) = {{{\mathbf{e}}}_{r}}\frac{1}{r}\frac{{\partial {{\psi }_{2}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)}}{{\partial \varphi }} - {{{\mathbf{e}}}_{\varphi }}\frac{{\partial {{\psi }_{2}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)}}{{\partial r}}$

$\begin{gathered} {{{{\mathbf{\hat {N}}}}}_{3}}{{\psi }_{3}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) = \nabla \times \left( {\nabla {{ \times }_{z}}} \right){{\psi }_{3}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) = \\ = {{{\mathbf{e}}}_{r}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{\psi }_{3}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)}}{{\partial r\partial z}} + {{{\mathbf{e}}}_{\varphi }}\frac{1}{r}\frac{{{{\partial }^{2}}{{\psi }_{3}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)}}{{\partial \varphi \partial z}} - {{{\mathbf{e}}}_{z}}\left[ {\frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r\frac{{\partial {{\psi }_{3}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)}}{{\partial r}}} \right) - \frac{1}{{{{r}^{2}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{\psi }_{3}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)}}{{\partial {{\varphi }^{2}}}}} \right], \\ \end{gathered} $

${{{\mathbf{e}}}_{r}}$ и ${{{\mathbf{e}}}_{\varphi }}$ – орты координатных осей.

Несложно убедиться, что операторы (3.4) удовлетворяют условиям ортогональности:

(3.5)

${\mathbf{\hat {N}}}_{j}^{ + } \cdot {{{\mathbf{\hat {N}}}}_{i}} = {{\delta }_{{ij}}}{\mathbf{\hat {N}}}_{j}^{2}$

и условиям коммутативности с оператором Лапласа:

$\Delta {{{\mathbf{\hat {N}}}}_{j}} = {{{\mathbf{\hat {N}}}}_{j}}\Delta {\kern 1pt} {\kern 1pt} ,$

где ${\mathbf{\hat {N}}}_{j}^{ + }$ – операторы, эрмитовосопряженные к операторам ${{{\mathbf{\hat {N}}}}_{j}}$.

Подставим разложение (3.3) в линеаризованное уравнение Навье–Стокса (3.2) и, пользуясь свойствами коммутативности операторов ${{{\mathbf{\hat {N}}}}_{j}}$ с оператором Лапласа, запишем (3.2) в виде:

$\sum\limits_{j = 1}^3 {{{{{\mathbf{\hat {N}}}}}_{j}}\left\{ {\frac{{\partial {{\psi }_{j}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)}}{{\partial t}} + ({{P}_{1}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) - z){{\delta }_{{1j}}} - \nu \Delta {{\psi }_{j}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)} \right\}} = 0$

Последовательно умножая слева полученное равенство скалярным образом на операторы ${\mathbf{\hat {N}}}_{j}^{ + }$, где $j = 1;2;3$, и пользуясь их ортогональностью (см. (3.4)), вместо одного векторного линеаризованного уравнения Навье–Стокса (3.2) получим систему

(3.6)

${\mathbf{\hat {N}}}_{j}^{ + } \cdot {{{\mathbf{\hat {N}}}}_{j}}\left\{ {\frac{{\partial {{\psi }_{j}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)}}{{\partial t}} + ({{P}_{1}}({\mathbf{r}},t) - z){{\delta }_{{1j}}} - \nu \Delta {{\psi }_{j}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)} \right\} = 0;\quad j = 1,\;2,\;3$

Поскольку операторы ${{{\mathbf{\hat {N}}}}_{j}}$ коммутируют с оператором Лапласа (см. (3.6)), то в силу самосопряженности последнего, операторы ${\mathbf{\hat {N}}}_{j}^{ + }$ также будут с ним коммутировать. Но сказанное означает, что и операторы ${\mathbf{\hat {N}}}_{j}^{ + } \cdot {{{\mathbf{\hat {N}}}}_{j}}$ будут коммутировать с оператором Лапласа и, следовательно, будут иметь общую систему собственных функций $\left\{ {{{\phi }_{j}}} \right\}$:

${\mathbf{\hat {N}}}_{j}^{ + } \cdot {{{\mathbf{\hat {N}}}}_{j}}{{\phi }_{k}} = {{\mu }_{k}}{{\phi }_{k}},\quad \Delta {{\phi }_{k}} = {{\lambda }_{k}}{{\phi }_{k}},$

где $\left\{ {{{\lambda }_{k}}} \right\}$ – собственные числа.

Разложим по бесконечному набору собственных функций $\left\{ {{{\phi }_{j}}} \right\}$ функции ${{\psi }_{j}}({\mathbf{r}},t)$, ${{P}_{1}}({\mathbf{r}},t) - z$, входящие в выражение, стоящее в (3.6) в фигурных скобках:

${{\psi }_{j}}({\mathbf{r}},t) = \sum\limits_k {G_{k}^{{(j)}}} {{\phi }_{k}},\quad {{P}_{1}}({\mathbf{r}},t) - z = \sum\limits_k {{{D}_{k}}} {{\phi }_{k}}$

Теперь подставим эти разложения в (3.6) и после несложных преобразований получим:

$\sum\limits_k {\left\{ {\frac{\partial }{{\partial t}}G_{k}^{{(j)}} + {{D}_{k}}{{\delta }_{{1j}}} - \nu G_{k}^{{(j)}}{{\lambda }_{k}}} \right\}{\mathbf{\hat {N}}}_{j}^{ + } \cdot {{{{\mathbf{\hat {N}}}}}_{j}}{{\phi }_{k}}} = 0,$

или

$\sum\limits_k {\left\{ {\frac{\partial }{{\partial t}}G_{k}^{{(j)}} + {{D}_{k}}{{\delta }_{{1j}}} - \nu G_{k}^{{(j)}}{{\lambda }_{k}}} \right\}{{\mu }_{k}}{{\phi }_{k}}} = 0$

Поскольку система собственных функций $\left\{ {{{\phi }_{j}}} \right\}$ в общем случае не нулевая, то полученное равенство может выполниться в двух случаях: либо равны нулю все собственные значения $\left\{ {{{\mu }_{k}}} \right\}$, что в общем случае неверно, либо выражения в фигурных скобках:

$\frac{\partial }{{\partial t}}G_{k}^{{(j)}} + {{D}_{k}}{{\delta }_{{1j}}} - \nu G_{k}^{{(j)}}{{\lambda }_{k}} = 0$

Умножим теперь каждую скобку на собственную функцию ${{\phi }_{k}}$ с тем же номером и суммируя по $k$, получим три скалярных уравнения для отыскания неизвестных функций ${{\psi }_{j}}({\mathbf{r}},t)$:

(3.7)

$\frac{{\partial {{\psi }_{j}}({\mathbf{r}},t)}}{{\partial t}} + ({{P}_{1}}({\mathbf{r}},t) - z){{\delta }_{{1j}}} - \nu \Delta {{\psi }_{j}}({\mathbf{r}},t) = 0;\quad j = 1,2,3$

Уравнение неразрывности (3.2) после подстановки в него разложения (3.3) и учета свойств ортогональности (3.4) приводится к виду:

(3.8)

$\Delta {{\psi }_{1}}({\mathbf{r}},t) = 0$

Первое уравнение системы (3.7) при учете (3.8) позволяет получить выражение гидродинамического давления внутри жидкости, связанного с волновым движением:

(3.9)

${{P}_{1}}({\mathbf{r}},t) = - \frac{{\partial {{\psi }_{1}}({\mathbf{r}},t)}}{{\partial t}} + z$

Тогда (3.7)–(3.8) можно переписать в виде:

(3.10)

$(1 - {{\delta }_{{1j}}})\frac{{\partial {{\psi }_{j}}({\mathbf{r}},t)}}{{\partial t}} - \nu \Delta {{\psi }_{j}}({\mathbf{r}},t) = 0;\quad j = 1,2,3$

Проекции поля скоростей ${\mathbf{U}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)$ на орты цилиндрической системы координат, выраженные через скалярные функции ${{\psi }_{j}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)$, имеют вид:

${{U}_{r}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) = \frac{{\partial {{\psi }_{1}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)}}{{\partial r}} + \frac{1}{r}\frac{{\partial {{\psi }_{2}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)}}{{\partial \varphi }} + \frac{{{{\partial }^{2}}{{\psi }_{3}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)}}{{\partial z\partial r}}$

(3.11)

${{U}_{\varphi }}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) = \frac{1}{r}\frac{{\partial {{\psi }_{1}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)}}{{\partial \varphi }} - \frac{{\partial {{\psi }_{2}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)}}{{\partial r}} + \frac{1}{r}\frac{{{{\partial }^{2}}{{\psi }_{3}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)}}{{\partial z\partial \varphi }}$

${{U}_{z}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) = \frac{{\partial {{\psi }_{1}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)}}{{\partial z}} - \left[ {\frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r\frac{{\partial {{\psi }_{3}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)}}{{\partial r}}} \right) + \frac{1}{{{{r}^{2}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{\psi }_{3}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)}}{{\partial {{\varphi }^{2}}}}} \right]$

Используя выписанные выражения, переформулируем кинематическое и динамические граничные условия задачи первого порядка малости через неизвестные функции ${{\psi }_{j}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)$:

(3.12)

$z = 0\quad \frac{{\partial \xi \left( {r,\varphi ,t} \right)}}{{\partial t}} = \frac{{\partial {{\psi }_{1}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)}}{{\partial z}} - \hat {L}{{\psi }_{3}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)$

(3.13)

$\frac{\partial }{{\partial r}}{{f}_{1}} + \frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial \varphi }}{{f}_{2}} = 0,\quad \frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial \varphi }}{{f}_{1}} - \frac{\partial }{{\partial r}}{{f}_{2}} = 0$

${{f}_{1}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) \equiv 2\frac{{\partial {{\psi }_{1}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)}}{{\partial z}} + \frac{{{{\partial }^{2}}{{\psi }_{3}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)}}{{\partial {{z}^{2}}}} - \hat {L}{{\psi }_{3}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right),\quad {{f}_{2}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) \equiv \frac{{\partial {{\psi }_{2}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)}}{{\partial z}}$

(3.14)

$\frac{{\partial {{\psi }_{1}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)}}{{\partial t}} - \xi \left( {r,\varphi ,t} \right) + 2\nu \left\{ {\frac{{{{\partial }^{2}}{{\psi }_{1}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)}}{{\partial {{z}^{2}}}} - \hat {L}\frac{{\partial {{\psi }_{3}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)}}{{\partial z}}} \right\} + $

$ + \;\hat {L}\xi \left( {r,\varphi ,t} \right) + \frac{1}{{4\pi }}\left\{ {\frac{{\partial {{\Phi }_{0}}}}{{\partial z}}\frac{{\partial {{\Phi }_{1}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)}}{{\partial z}}} \right\} = 0$

Скаляризация динамических граничных условий. Умножим первое граничное условие (3.13) на координату $r$ и продифференцируем один раз по r, затем сложим со вторым граничным условием (3.13) продифференцированным по углу $\varphi $, а результат разделим на $r$, и в итоге получим соотношение:

(3.15)

$\hat {L}{{f}_{1}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) = 0$

Умножим теперь второе граничное условие (3.13) на координату $r$ и продифференцируем один раз по $r$, затем сложим с первым граничным условием (3.13) продифференцированным по углу $\varphi $, а результат разделим на $r$, и в итоге получим соотношение:

(3.16)

$\hat {L}{{f}_{2}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) = 0$

Рассмотрим детальнее выражение (3.16). Учтем, что ${{f}_{2}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)$ ≡ ${{\partial {{\psi }_{2}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {{\psi }_{2}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)} {\partial z}}} \right. \kern-0em} {\partial z}}$, и то обстоятельство, что операторы $\hat {L}$ и ${\partial \mathord{\left/ {\vphantom {\partial {\partial z}}} \right. \kern-0em} {\partial z}}$ коммутируют друг с другом, тогда (3.16) можно переписать в виде:

(3.17)

$\hat {L}\frac{\partial }{{\partial z}}{{\psi }_{2}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) \equiv \frac{\partial }{{\partial z}}\hat {L}{{\psi }_{2}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) \equiv 0$

Из (3.17) следует, что либо $\hat {L}{{\psi }_{2}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) = 0$, либо $\frac{{\partial {{\psi }_{2}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)}}{{\partial z}} = 0$. Первое из выписанных соотношений в общем случае не может выполниться в силу соотношения (3.7) для ${{\psi }_{2}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)$, значит, верно второе:

(3.18)

${{f}_{2}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) \equiv \frac{{\partial {{\psi }_{2}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)}}{{\partial z}} = 0$

Учитывая, что

$\hat {L} \equiv - {\mathbf{\hat {N}}}_{j}^{ + } \cdot {{{\mathbf{\hat {N}}}}_{j}}$

Покажем это, принимая во внимании, что ${{{\mathbf{\hat {N}}}}_{2}}\nabla {{{\mathbf{e}}}_{z}}$ и ${\mathbf{\hat {N}}}_{2}^{ + } \equiv {{{\mathbf{e}}}_{z}} \times \nabla \equiv - \nabla \times {{{\mathbf{e}}}_{z}} \equiv - {{{\mathbf{\hat {N}}}}_{2}}$. В итоге:

$\begin{gathered} {\mathbf{\hat {N}}}_{j}^{ + } \cdot {{{{\mathbf{\hat {N}}}}}_{j}} \equiv - \left( {\nabla \times {{{\mathbf{e}}}_{z}}} \right) \cdot \left( {\nabla \times {{{\mathbf{e}}}_{z}}} \right) \equiv - \left( {\nabla \times {{{\mathbf{e}}}_{z}} \times \nabla } \right) \cdot {{{\mathbf{e}}}_{z}} \equiv \\ \equiv - \left( {{{{\mathbf{e}}}_{z}}\Delta - \nabla (\nabla \cdot {{{\mathbf{e}}}_{z}})} \right) \cdot {{{\mathbf{e}}}_{z}} \equiv - \Delta + \left( {{{{\mathbf{e}}}_{z}} \cdot \nabla } \right)\left( {{{{\mathbf{e}}}_{z}} \cdot \nabla } \right) \equiv - \Delta + \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{z}^{2}}}} \equiv - \hat {L} \\ \end{gathered} $

Преобразуем теперь (3.15), учитывая, что согласно принятому выше

(3.19)

${\mathbf{\hat {N}}}_{j}^{ + } \cdot {{{\mathbf{\hat {N}}}}_{j}}{{\phi }_{k}} = {{\mu }_{k}}{{\phi }_{k}},\quad {{\psi }_{j}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) = \sum\limits_k {G_{k}^{{(j)}}} {{\phi }_{k}}$

В итоге получим:

$\begin{gathered} \hat {L}{{f}_{1}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) \equiv - {\mathbf{\hat {N}}}_{j}^{ + } \cdot {{{{\mathbf{\hat {N}}}}}_{j}}\left\{ {2\frac{{\partial {{\psi }_{1}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)}}{{\partial z}} + \frac{{{{\partial }^{2}}{{\psi }_{3}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)}}{{\partial {{z}^{2}}}} - \hat {L}{{\psi }_{3}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)} \right\} \equiv \\ \equiv - \sum\limits_k {\left\{ {2G_{k}^{{(1)}}\frac{\partial }{{\partial z}} + G_{k}^{{(3)}}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{z}^{2}}}} + G_{k}^{{(3)}}{{\mu }_{k}}} \right\}{{\mu }_{k}}} {{\phi }_{k}} = 0 \\ \end{gathered} $

Последнее равенство при $\left\{ {{{\mu }_{k}}} \right\} \ne 0$ выполняется только при условии равенства нулю выражений, стоящих в фигурных скобках:

$2G_{k}^{{(1)}}\frac{\partial }{{\partial z}} + G_{k}^{{(3)}}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{z}^{2}}}} + G_{k}^{{(3)}}{{\mu }_{k}} = 0$

Умножим теперь каждую скобку на собственную функцию ${{\phi }_{k}}$ с тем же номером и, суммируя по $k$, найдем:

(3.20)

В итоге соотношения (3.18) и (3.20) заменяют собой пару динамических граничных условий для касательных компонент тензора напряжений (3.13).

Из системы гидродинамических граничных условий (3.12), (3.14) и (3.19) видно, что функция ${{\psi }_{2}}\left( {{\mathbf{r}},\,t} \right)$, не зависящая согласно (3.18) от координаты $z$ и характеризующая согласно общей идеологии метода скаляризации плоские вихревые движения в жидкости перпендикулярные оси симметрии системы, при исследовании устойчивости мениска может быть опущена, т.к. она не входит ни в одно из граничных условий (3.12), (3.14), (3.19).

Дисперсионное уравнение. Решения уравнений (3.7)–(3.8) в цилиндрической системе координат, ограниченные на оси симметрии, будем искать в виде следующих разложений:

(3.21)

$\begin{gathered} {{\psi }_{1}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) = \sum\limits_{n = 0,j = 1}^\infty {{{A}_{{nj}}}{{J}_{n}}({{k}_{j}}r)\exp \left( {in\varphi } \right)\exp \left( {{{k}_{j}}z} \right)\exp \left( { - {{s}_{j}}t} \right)} \\ {{\psi }_{3}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) = \sum\limits_{n = 0,j = 1}^\infty {{{B}_{{nj}}}{{J}_{n}}({{k}_{j}}r)\exp \left( {in\varphi } \right)\exp \left( {{{q}_{j}}z} \right)\exp \left( { - {{s}_{j}}t} \right),} \\ \end{gathered} $

где $q_{i}^{2} = k_{j}^{2} + {{s}_{j}}{\text{/}}\nu $; ${{s}_{j}}$ – комплексная частота; ${{k}_{j}}$ – волновое число; ${{J}_{n}}\left( {{{k}_{j}}r} \right)$ – функция Бесселя первого рода; $n$ – целое число, порядок функции Бесселя; $j$ – порядковый номер дискретного волнового числа.

Решение уравнения Лапласа (3.2) для отыскания потенциала электростатического поля ${{\Phi }_{1}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)$, также как и функцию ${{\psi }_{1}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)$, имеющую смысл гидродинамического потенциала и также являющуюся решением уравнения Лапласа (3.8) будем искать в виде:

(3.22)

${{\Phi }_{1}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right) = \sum\limits_{n = 0,j = 1}^\infty {{{C}_{{nj}}}{{J}_{n}}({{k}_{j}}r)\exp \left( {in\varphi } \right)\exp \left( {{{k}_{j}}z} \right)\exp \left( { - {{s}_{j}}t} \right)} ,$

Также как и выражение для волнового возмущения поверхности жидкости в бассейне:

(3.23)

$\xi (r,\varphi ,t) = \sum\limits_{n = 0,j = 1}^\infty {{{D}_{{nj}}}{{J}_{n}}({{k}_{j}}r)\exp \left( {in\varphi } \right)\exp \left( { - {{s}_{j}}t} \right)} $

Из граничного условия задачи (3.2) для электростатического потенциала ${{\Phi }_{1}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)$ легко найти связь между коэффициентами ${{C}_{{nj}}}$ и ${{D}_{{nj}}}$ в виде:

${{C}_{{nj}}} = {{E}_{0}}{{D}_{{nj}}}$

Теперь, подставляя в граничные условия (3.12), (3.14), (3.20) проекты решений (3.21)–(3.23), получим систему трех однородных алгебраических уравнений для отыскания неизвестных коэффициентов разложений ${{A}_{{nj}}}$, ${{B}_{{nj}}}$, ${{D}_{{nj}}}$, которая имеет решения только при условии обращения в ноль определителя, составленного из множителей при искомых коэффициентах ${{A}_{{nj}}}$, ${{B}_{{nj}}}$, ${{D}_{{nj}}}$. Это требование и даст нам дисперсионное уравнение задачи:

(3.24)

$\begin{gathered} {{\left( {{{s}_{j}} + 2\nu k_{j}^{2}} \right)}^{2}} + \omega _{j}^{2} = 4{{\nu }^{2}}k_{j}^{4}\sqrt {1 + \frac{{{{s}_{j}}}}{{\nu k_{j}^{2}}}} \\ \omega _{j}^{2} \equiv k_{j}^{3} + {{k}_{j}} - Wk_{j}^{2};\quad W \equiv {{E_{0}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{E_{0}^{2}} {4\pi }}} \right. \kern-0em} {4\pi }} \\ \end{gathered} $

Как можно видеть, что дисперсионное уравнение формально имеет такой же вид, как и для плоских капиллярно-гравитационных волн на заряженной поверхности безграничной идеальной жидкости (см. (2.3)). Отличие в том, что теперь иначе определена частота ${{\omega }_{j}}$, величина волнового числа изменяется не непрерывно, как было для безграничной поверхности, но должна удовлетворять условиям закрепления поверхности жидкости на стенках бассейна: $z = 0$, $r = R$: $\xi (r,\varphi ,t) = 0$. Подставляя сюда (3.23), несложно найти, что спектр допустимых волновых чисел определяется корнями функций Бесселя:

(3.25)

${{J}_{n}}({{\mu }_{{nj}}}) = 0;\quad {{\mu }_{{nj}}} \equiv {{k}_{{nj}}}R$

Несколько первых корней системы (3.24) имеют величины:

$\begin{gathered} n = 0:\quad {{\mu }_{{01}}} = 2.405,\quad {{\mu }_{{02}}} = 5.520,\quad {{\mu }_{{03}}} = 8.654,\quad {{\mu }_{{04}}} = 11.792 \\ n = 1:\quad {{\mu }_{{11}}} = 3.832,\quad {{\mu }_{{12}}} = 7.016,\quad {{\mu }_{{13}}} = 10.174,\quad {{\mu }_{{14}}} = 13.324 \\ n = 2:\quad {{\mu }_{{21}}} = 5.136,\quad {{\mu }_{{22}}} = 8.417,\quad {{\mu }_{{23}}} = 11.620,\quad {{\mu }_{{24}}} = 14.796 \\ \end{gathered} $

В асимптотике малой вязкости, когда безразмерный коэффициент кинематической вязкости много меньше единицы $\nu \ll 1$ дисперсионное уравнение (3.24) можно записать в линейном приближении по безразмерной вязкости:

(3.26)

$s_{{nj}}^{2} + 4\nu k_{{nj}}^{2}{{s}_{{nj}}} + \omega _{{nj}}^{2} = 0,$

а его решения в том же приближении легко выписываются в виде:

(3.27)

$\begin{gathered} {{s}_{{nj(1;2)}}} = - {{\gamma }_{{nj}}} \pm i{{\omega }_{0}} \equiv - 2\nu k_{{nj}}^{2} \pm \sqrt {{{{(2\nu k_{{nj}}^{2})}}^{2}} - \omega _{{nj}}^{2}} \cong - 2\nu k_{{nj}}^{2} \pm \sqrt { - \omega _{{nj}}^{2}} \equiv \\ \equiv - 2\nu k_{{nj}}^{2} \pm \sqrt { - (k_{{nj}}^{3} + {{k}_{{nj}}} - Wk_{{nj}}^{2})} \\ \end{gathered} $

Следует сразу отметить, что условие малости вязкости жидкости: $\nu \ll 1$, оставляет весьма широкий простор для использования упрощенного и наглядного соотношения (3.27). В самом деле, величина характерного масштаба измерения кинематической вязкости жидкости при принятом обезразмеривании на $\sqrt[4]{{{{{{\sigma }^{3}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\sigma }^{3}}} {{{\rho }^{3}}g}}} \right. \kern-0em} {{{\rho }^{3}}g}}}}$ для большинства используемых в технических приложениях жидкостей измеряется единицами стоксов (см² с^–1). Так, например, для воды характерный масштаб измерения кинематической вязкости равен ≈4.4 см² с^–1, тогда как величина размерной кинематической вязкости для воды равна 0.01 см² с^–1. Таким образом, область применимости соотношений (3.27) в технических и технологических приложениях достаточно велика.

Об электростатической неустойчивости жидкости на поверхности бассейна. Условием реализации электростатической неустойчивости является прохождение через нуль подкоренного выражения в (3.27):

$k_{{nj}}^{3} + {{k}_{{nj}}} - Wk_{{nj}}^{2} = 0,$

или

(3.28)

$W = \frac{1}{{{{k}_{{nj}}}}} + {{k}_{{nj}}}$

Это условие с точностью до определения волновых чисел совпадает с критическим условием реализации неустойчивости Тонкса–Френкеля (2.3). Минимальное значение параметра $W$, при котором реализуется неустойчивость поверхности бассейна, определится равенством нулю первой производной от $W$ по волновому числу ${{k}_{{nj}}}$, но оно изменяется дискретно. В Приложении показано, что минимум (3.28) достигается при ${{k}_{{nj}}} = 1$, как и при неустойчивости Тонкса–Френкеля. Другими словами, результаты экспериментов, проведенных в бассейнах конечных размеров с реальной жидкостью, обладающей вязкостью и проводимостью, могут служить подтверждением теории, построенной для идеализированной теории безграничной поверхности идеальной несжимаемой электропроводной жидкости.

Заключение. Для подтверждения справедливости теоретически выведенного критерия неустойчивости Тонкса–Френкеля можно проводить его экспериментальную проверку в бассейнах конечных размеров, заполненных реальной жидкостью, обладающей вязкостью.

Работа, выполнена по теме государственного задания (№ госрегистрации АААА-А20-120011690131).

Список литературы

Rayleigh (Strutt J.W.) On the equilibrium of liquid conducting masses charged with electricity // Phil. Mag. 1882. V. 14. P. 184–186.
Hendrics C.D., Schneider J.M. Stability of conducting droplet under the influence of surface tension and electrostatic forces // J. Amer. Phys. 1963. V. 1. № 6. P. 450–453.
Taylor G.I. Disintegration of water drops in an electric field // Proc. Ro.y Soc. London. 1964. V. A280. P. 383–397.
Zeleny J. On the conditions of instability of electrified drops, with application to the electrical discharge from liquid points // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1914. V. 18. Pt. 1. P. 71–83.
Zeleny J. Instability of electrified liquid surfaces // The Phys. Rev. 1917. V. 10. № 1. P. 1–6.
Doyle A., Moffet D.R., Vonnegut B. Behavior of evaporating electrically charged droplets // J. Coll. Sci. 1964. V. 19. P. 136–143.
Hunter H.C., Ray Asit K. On progeny droplets emitted during Coulombic fission of charged microdrops // Phys. Chem. Chem. Phys. 2009. V. 11. № 29. P. 6156–6165.
Inculet I.I., Floryan J.M., Haywood R.J. Dynamics of water droplets breakup in electric fields // IEEE Trans. on Industry Appl. 1992. V. 28. № 5. P. 1203–1209.
Karyappa R.B., Deshmukh S.D., Thaokar R.M. Breakup of a conducting drop in a uniform electric field // J. Fluid Mech. 2014. V. 754. P. 550–589.
Григорьев А.И. Электростатическая неустойчивость сильно заряженной струи электропроводной жидкости // ЖТФ. 2009. Т. 79. № 4. С. 36–45.
Cloupeau M., Prunet Foch B. Electrohydrodynamic spraying functioning modes: a critical review // J. Aerosol Sci. 1994. V. 25. № 6. P. 1021–1035.
Jaworek A., Krupa A. Classification of the modes of EHD spraying // J Aerosol Sci. 1999. V. 30. № 7. P. 873–893.
Tonks L. A Theory of liquid surface rupture by uniform electric field // Phys. Rev. 1935. № 48. P. 562–568.
Френкель Я.И. К теории Тонкса о разрыве поверхности жидкости постоянным электрическим полем в вакууме // ЖЭТФ. 1936. Т. 6. № 4. С. 348–350.
Taylor G.I., McEwan A.D. The stability of horizontal fluid interface in a vertical electric field // J. Fluid Mech. 1965. V. 22. № 1. P. 1–15.
Габович М.Д., Порицкий В.Я. Исследование нелинейных волн на поверхности жидкого металла, находящегося в электрическом поле // Письма в ЖЭТФ. 1981. Т. 33. № 6. С. 320–324.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1982. 620 с.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 620 с.
Лазарянц А.Э., Ширяева С.О., Григорьев А.И. Скаляризация векторных краевых задач. М.: Русайнс, 2020. 142 с.
Найфе А.Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. 455 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Прикладная математика и механика

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал