Прикладная математика и механика, 2022, T. 86, № 4, стр. 470-476
О сильной эллиптичности и устойчивости в малом в нелинейной градиентной теории упругости третьего порядка
1 Университет Кальяри
Кальяри, Италия
2 Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет
им. Н.И. Лобачевского
Нижний Новгород, Россия
* E-mail: eremeyev.victor@gmail.com
Поступила в редакцию 21.02.2022
После доработки 06.05.2022
Принята к публикации 18.05.2022
- EDN: DHHMDV
- DOI: 10.31857/S0032823522040063
Аннотация
В рамках нелинейной градиентной теории упругости третьего порядка сформулированы достаточные условия устойчивости в малом аффинной деформации для краевых условий типа Дирихле. Условия состоят в выполнении трех неравенств, связанных с сильной эллиптичностью уравнений равновесия.
1. Введение. Модель градиентной теории упругости основана на предположении о зависимости плотности энергии деформации не только от градиента деформации, фактически первого градиента вектора перемещений, как в случае так называемых простых материалов или материалов в смысле Коши, но и от следующих градиентов деформаций [1–3]. В настоящее время этот подход получил распространение для моделирования некоторых композиционных материалов с существенными различиями в механических свойствах их компонент [4], а также для описания масштабных эффектов на наноуровне [5, 6]. Нужно отметить, что используются не только модели Тупина–Миндлина [7–10] или Айфантиса [6, 11], в которых предполагается зависимость энергии деформации от первого и второго градиентов перемещений, но и более сложные модели, учитывающие градиенты более высоких порядков [1, 12–15]. В частности, градиентная теория упругости третьего порядка допускает в уравнениях состояния градиенты перемещений до третьего порядка включительно. Миндлин [12] использовал эту модель для описания поверхностных напряжений в твердых телах, см. также [14, 15], где рассматриваются вопросы термоупругости и введено понятие группы симметрии.
Рассматривая уравнения равновесия градиентно-упругого материала, можно привлечь для анализа свойств их решений условие сильной эллиптичности, которое является наиболее употребительным определяющим неравенством в нелинейной теории упругости [16, 17]. В частности, для простых материалов установлена связь условия сильной эллиптичности и устойчивости в малом. В случае градиентных моделей материала эта связь, вообще говоря, является более сложной, см. [18].
Целью данной работы является анализ связи условий сильной эллиптичности и устойчивости в малом в рамках модели градиентно-упругого континуума третьего порядка при конечных деформациях. Отметим, что в дальнейшем будут использоваться обозначения прямого (безиндексного) тензорного исчисления [16, 19].
2. Основные соотношения. Пусть $B$ – ограниченное упругое тело, которое занимает в отсчетной конфигурации объем $V$ с достаточно гладкой поверхностью $S = \partial B$. В качестве модели материала воспользуемся уравнениями градиентного упругого тела третьего порядка [12, 14, 15]. В рамках этой модели плотность потенциальной энергии деформации представляется как функция градиентов деформации
(2.1)
$W = W\left( {{\mathbf{F}},~{\mathbf{G}},{\mathbf{H}}} \right),\quad {\mathbf{F}} = \nabla {\mathbf{x}},\quad {\mathbf{G}} = \nabla {\mathbf{F}},\quad {\mathbf{H}} = \nabla {\mathbf{G}},$где ${\mathbf{F}}$ – градиент деформации, $\nabla $ – трехмерный набла-оператор в отсчетной конфигурации, ${\mathbf{G}}$ и ${\mathbf{H}}$ – соответственно второй и третий градиенты деформации, ${\mathbf{x}}$ – радиус-вектор места в актуальной конфигурации. С использованием принципа материальной индифферентности [16, 19] функция $W$ приводится к виду [15]
(2.2)
$W = W\left( {{\mathbf{C}},{{{\mathbf{K}}}_{1}},{{{\mathbf{K}}}_{2}}} \right),\quad {\mathbf{C}} = {\mathbf{F}} \cdot {{{\mathbf{F}}}^{{\text{T}}}},\quad {{{\mathbf{K}}}_{1}} = {\mathbf{G}} \cdot {{{\mathbf{F}}}^{{\text{T}}}},\quad {{{\mathbf{K}}}_{2}} = {\mathbf{H}} \cdot {{{\mathbf{F}}}^{{\text{T}}}},~$В отсутствие массовых сил уравнения равновесия в метрике отсчетной конфигурации принимают вид
где ${\mathbf{T}}$ – тензор напряжений типа Пиолы, который дается формулами(2.4)
${\mathbf{T}} = {\mathbf{P}} - \nabla \cdot {{{\mathbf{P}}}_{1}} + \nabla \cdot \left( {\nabla \cdot {{{\mathbf{P}}}_{2}}} \right)$В (2.4) ${\mathbf{P}},{{{\mathbf{P}}}_{1}}$ и ${{{\mathbf{P}}}_{2}}$ – тензоры напряжений и гипернапряжений типа Пиолы, причем два последних являются тензорами третьего и четвертого ранга. Эти тензоры выражается через плотность энергии деформации формулами
(2.5)
${\mathbf{P}} = \frac{{\partial W}}{{\partial {\mathbf{F}}}},\quad {{{\mathbf{P}}}_{1}} = \frac{{\partial W}}{{\partial {\mathbf{G}}}},\quad {{{\mathbf{P}}}_{2}} = \frac{{\partial W}}{{\partial {\mathbf{H}}}}~$В дальнейшем для простоты выкладок вместо (2.2) будем рассматривать энергию деформации в форме (2.1). Также ограничимся рассмотрением первой краевой задачи – на границе $S$ предполагаются заданными перемещения и нормальные производные
Уравнение (2.3) представляет собой систему трех скалярных уравнений в частных производных шестого порядка относительно вектора места ${\mathbf{x}}$. Условие равномерной сильной эллиптичности (SE) для этой системы может быть записано следующим образом
(2.6)
$\left( {{\mathbf{kkka}}} \right) \sim \sim \frac{{{{\partial }^{2}}W}}{{\partial {{{\mathbf{H}}}^{2}}}} \sim \sim \left( {{\mathbf{kkka}}} \right) \geqslant C~{{\left| {\mathbf{k}} \right|}^{6}}{{\left| {\mathbf{a}} \right|}^{2}},$Отметим, что (2.6) не налагает требований на зависимость $W$ от ${\mathbf{F}}$ и ${\mathbf{G}}$. Представим зависимость (2.1) следующим образом
Здесь и далее 0 – нулевой вектор или тензор произвольного ранга. Таким образом, имеем ${{W}_{2}}\left( {{\mathbf{F}},{\mathbf{G}},0} \right) = 0$. В дополнение примем естественное предположение, что
С функцией ${{W}_{1}}\left( {{\mathbf{F}},{\mathbf{G}}} \right)$ поступим аналогично, представим в виде суммы
(2.7)
$\begin{gathered} {{W}_{1}}\left( {{\mathbf{F}},{\mathbf{G}}} \right) = U\left( {\mathbf{F}} \right) + V\left( {{\mathbf{F}},{\mathbf{G}}} \right) \\ U\left( {\mathbf{F}} \right) = {{\left. {{{W}_{1}}\left( {{\mathbf{F}},{\mathbf{G}}} \right)} \right|}_{{{\mathbf{G}} = {\mathbf{0}}}}},\quad V\left( {{\mathbf{F}},{\mathbf{G}}} \right) = {{W}_{1}}\left( {{\mathbf{F}},{\mathbf{G}}} \right) - U\left( {\mathbf{F}} \right) \\ \end{gathered} $При этом также примем предположение об отсутствии гипернапряжений ${{{\mathbf{P}}}_{1}}$, если второй градиент деформации обращается в нуль:
Таким образом, приходим к представлению энергии деформации градиентно-упругого материала третьего порядка в виде суммы
(2.8)
$W = U\left( {\mathbf{F}} \right) + V\left( {{\mathbf{F}},{\mathbf{G}}} \right) + {{W}_{2}}\left( {{\mathbf{F}},{\mathbf{G}},{\mathbf{H}}} \right)$Уравнение состояния (2.7) можно рассматривать как градиентную регуляризацию простого нелинейно-упругого материала с энергией деформации $U$. Тогда, в свою очередь, определяющие соотношения (2.8) представляют собой следующую градиентную регуляризацию градиентно-упругого материала первого порядка с энергией деформации ${{W}_{1}}$.
Другими словами, наряду с градиентно-упругим материалом третьего порядка можно рассматривать два других материала – простой нелинейно упругий материал с энергией деформации $U$ и градиентно-упругий материал с уравнением состояния ${{W}_{1}}$. Для каждого из этих материалов можно сформулировать условия сильной эллиптичности
(2.9)
$\left( {{\mathbf{kka}}} \right)\; \vdots \;\frac{{{{\partial }^{2}}V}}{{\partial {{{\mathbf{G}}}^{2}}}}\; \vdots \;\left( {{\mathbf{kka}}} \right) \geqslant {{C}_{1}}~{{\left| {\mathbf{k}} \right|}^{4}}{{\left| {\mathbf{a}} \right|}^{2}}$(2.10)
$\left( {{\mathbf{ka}}} \right):\frac{{{{\partial }^{2}}U}}{{\partial {{{\mathbf{H}}}^{2}}}}:\left( {{\mathbf{ka}}} \right) \geqslant {{C}_{2}}~{{\left| {\mathbf{k}} \right|}^{2}}{{\left| {\mathbf{a}} \right|}^{2}},$Для краткости назовем неравенства (2.9) и (2.10) соответственно условиями сильной эллиптичности первого (SE1) и нулевого (SE0) порядков.
3. Устойчивость в малом. Пусть ${\mathbf{\tilde {x}}}$ – некоторое решение нелинейной краевой задачи. Его устойчивость в малом можно исследовать методом линеаризации [16, 17]. Рассмотрим малое добавочное перемещение ${\mathbf{w}}$, так что возмущенное решение можно представить в виде
где $\tau $ – малый параметр. Следуя [16, 17], будем говорить, что решение ${\mathbf{\tilde {x}}}$ устойчиво в малом, если вторая вариация функционала полной энергии положительна для любых ${\mathbf{w}} \ne 0$Равенство ${{\delta }^{2}}E = 0$ для каких-то векторов ${\mathbf{w}}$, не равных нулю, означает существование нетривиальных решений линеаризованной краевой задачи и соответствует бифуркации равновесия.
4. Устойчивость в малом аффинной деформации. Назовем деформацию аффинной, если ${\mathbf{C}} = {\mathbf{const}}$, а ${\mathbf{G}}$ и ${\mathbf{H}}$ обращаются в нуль. С учетом принятых предположений относительно формы $W$ это означает, что для аффинной деформации гипернапряжения отсутствуют: ${{{\mathbf{P}}}_{1}} = {\mathbf{0}}$, ${{{\mathbf{P}}}_{2}} = {\mathbf{0}}$.
Пусть решение ${\mathbf{\tilde {x}}}$ соответствует аффинной деформации. Тогда можно показать, что функцию $w~$можно представить в виде
Неравенства сильной эллиптичности (2.6), (2.9) и (2.10) сводятся к соотношениям для ${\mathbf{C}},{\mathbf{D}}$, E
(4.1)
$\left( {{\mathbf{kkka}}} \right) \sim \sim {\mathbf{E}} \sim \sim \left( {{\mathbf{kkka}}} \right) \geqslant C~{{\left| {\mathbf{k}} \right|}^{6}}{{\left| {\mathbf{a}} \right|}^{2}}$(4.2)
$\left( {{\mathbf{kka}}} \right)\; \vdots \;{\mathbf{D}}\; \vdots \;\left( {{\mathbf{kka}}} \right) \geqslant {{C}_{1}}~{{\left| {\mathbf{k}} \right|}^{4}}{{\left| {\mathbf{a}} \right|}^{2}}$(4.3)
$\left( {{\mathbf{ka}}} \right):{\mathbf{C}}:\left( {{\mathbf{ka}}} \right) \geqslant {{C}_{2}}~{{\left| {\mathbf{k}} \right|}^{2}}{{\left| {\mathbf{a}} \right|}^{2}}$Используя подход [16, 18], можно показать, что выполнение всех условий эллиптичности (4.1)–(4.3) влечет положительность второй вариации потенциальной энергии деформации (3.1), т.е. устойчивость в малом. Действительно, с использованием преобразования Фурье и теоремы Планшереля для произвольного вектора ${\mathbf{w}}$, обращающегося в нуль на границе вместе со своими первой и второй нормальной производными,
Таким образом, в отличие от нелинейной теории упругости простых материалов [16, 17], одного условия сильной эллиптичности (2.6) недостаточно для устойчивости в малом аффинной деформации. В совокупности неравенства (2.6), (2.9) и (2.10) представляют собой достаточные условия устойчивости в малом в случае первой краевой задачи.
Заключение. В рамках градиентной теории упругости третьего порядка при конечных деформациях показано, что сильная эллиптичность (2.6) вместе с неравенствами сильной эллиптичности нулевого и первого порядков являются достаточными условиями устойчивости аффинной деформации в случае первой краевой задачи. Можно также показать, что устойчивость в малом влечет выполнение слабой формы неравенства (2.6), т.е. при $C = 0$. Нарушение условий (2.9) и (2.10), вообще говоря, может приводить к неустойчивости в малом и будет более подробно рассмотрено в последующих работах.
Автор благодарен академику Н.Ф. Морозову за привлечение внимания автора к задачам наномеханики, которые являются широким полем приложения обобщенных моделей сплошной среды, и, в частности, градиентной теории упругости.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ в рамках проекта № 20-08-00450.
Список литературы
Bertram A. Elasticity and Plasticity of Large Deformations: Including Gradient Materials. 4th edition. Berlin: Springer Nature, 2021. 410 p.
Mechanics of Strain Gradient Materials. Ser. CISM International Centre for Mechanical Sciences. V. 600 / Ed. by Bertram A., Forest S. Cham: Springer, 2020.VIII+171 p.
dell’Isola F., Corte A.D., Giorgio I. Higher-gradient continua: The legacy of Piola, Mindlin, Sedov and Toupin and some future research perspectives // Math.&Mech. Solids. 2017. V. 22. № 4. P. 852–872.
Discrete and Continuum Models for Complex Metamaterials / Ed by dell’Isola F., Steigmann D.J. Cambridge: Univ. Press, 2020. 398 p.
Cordero N.M., Forest S., Busso E.P. Second strain gradient elasticity of nano-objects // J. Mech.&Phys. Solids. 2016. V. 97. P. 92–124.
Aifantis E.C. Internal length gradient (ILG) material mechanics across scales and disciplines // Adv. in Appl. Mech. 2016. V. 49. P. 1–110.
Toupin R. Elastic materials with couple-stresses // Arch. for Rational Mech.&Anal. 1962. V. 11. № 1. P. 385–414.
Toupin R.A. Theories of elasticity with couple-stress // Arch. for Rational Mech.&Anal. 1964. V. 17. № 2. P. 85–112.
Mindlin R.D. Micro-structure in linear elasticity // Arch. for Rational Mech.&Anal. 1964. V. 16. № 1. P. 51–78.
Mindlin R.D., Eshel N. On first strain-gradient theories in linear elasticity // Int. J. Solids&Struct. 1968. V. 4. № 1. P. 109–124.
Aifantis E.C. Update on a class of gradient theories // Mech. Mater. 2003. V. 35. № 3–6. P. 259–280.
Mindlin R.D. Second gradient of strain and surface-tension in linear elasticity // Int. J. Solids&Struct. 1965. V. 1. № 4. P. 417–438.
dell’Isola F., Seppecher P., Madeo A. How contact interactions may depend on the shape of Cauchy cuts in Nth gradient continua: approach “à la D’Alembert”// Z. Angew. Math. Phys. 2012. V. 63. P. 1119–1141.
Reiher J.C., Bertram A. Finite third-order gradient elasticity and thermoelasticity// J. Elasticity. 2018. V. 133 № 2. P. 223–252.
Eremeyev V.A. Local material symmetry group for first-and second-order strain gradient fluids // Math.&Mech. Solids. 2021. V. 26. № 8. P. 1173–1190.
Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980, 512 с.
Ogden R.W. Non-Linear Elastic Deformations. Mineola: Dover, 1997. 532 p.
Eremeyev V.A. Strong ellipticity conditions and infinitesimal stability within nonlinear strain gradient elasticity // Mech. Res. Comm, 2021. V. 117, art no. 103782.
Eremeyev V.A., Cloud M.J., Lebedev L.P. Applications of Tensor Analysis in Continuum Mechanics. New Jersey: World Scientific, 2018. 498 p.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Прикладная математика и механика