Прикладная математика и механика, 2019, T. 83, № 5-6, стр. 823-833

1. Введение. Дифференциальные уравнения механики обладают решениями, в которых могут наблюдаться разрывы, быстрые переходы, неоднородности и т.п., возникающие вследствие приближенного описания. Понижение порядка дифференциального уравнения в сочетании с потерей граничного условия является характерной чертой таких асимптотических явлений [1, 2]. Цель асимптотического анализа задачи заключается в описании решения граничной задачи внутри переходного слоя. Потребность в таких уточненных теориях связана с необходимостью более полного понимания самой классической теории после того, как становятся видны ее обобщения. Уточненные теории позволяют лучше охарактеризовать погрешность классических теорий. Построение теорий последовательных приближений в смысле учета всех малых одного порядка крайне трудно осуществить, не располагая регулярными методами [3].

Считается, что возникающие при построении теории пластин и оболочек противоречия отсутствуют в задаче построения теории изгиба стержня. В основе такого представления лежит различие в методах построения определяющих уравнений. Если построение теорий пластин и оболочек осуществлялось на основе математической теории упругости, то построение теории балок выполнено на основе физических и геометрических соображений в усилиях и моментах без использования уравнений теории упругости. Однако, если эти теории тонкостенных тел, балок, пластин и оболочек строить на одной математической основе с помощью метода простых итераций, удовлетворяющего принципу сжатых отображений, и не переходить от уравнений в напряжениях к уравнениям в усилиях и моментах, различие исчезает [4].

Истоки метода простых итераций в теории упругости лежат в полуобратном методе Сен-Венана [1]. Если в методе Сен-Венана использовать обычно принятые допущения в качестве величин начального приближения, по которым вычисляются остальные искомые неизвестные, можно по полученным величинам вычислить поправку к величинам начального приближения, и по тому, является ли эта поправка существенной или малой, сделать вывод о применимости исходных допущений. Малость поправки говорит о том, что начальные величины выбраны удачно, и данные вычисления могут быть рассмотрены как нулевое приближение некоторого итерационного процесса. Построенный таким образом итерационный процесс нуждается в обосновании своей сходимости. Поскольку Сен-Венан применил свою идею к решению задачи кручения и изгиба длинного и узкого стержня, можно оценить сходимость вычислений к некоторому решению, используя наличие малого параметра, обеспечивающего асимптотическую сходимость. Таким образом, приходим к методу простых итераций, принципу сжатых отображений и теореме Банаха о неподвижной точке.

Вопросы, связанные с существованием и единственностью решений уравнений формулируются в функциональном анализе в виде вопроса о существовании и единственности неподвижной точки при некотором отображении соответствующего метрического пространства в себя. Среди различных критериев существования и единственности неподвижной точки наиболее общим является принцип сжатых отображений [5].

Отображение $y = Ay$ метрического пространства $M$ в себя называется сжимающим отображением, если существует такое число $\varepsilon < 1$, что для любых двух точек $x,y \in M$ выполняется неравенство $\rho \left( {Ax,\;Ay} \right) \leqslant \varepsilon \rho \left( {x,\;y} \right)$, где $\rho $ – метрика пространства $M$. Точка $y$ называется неподвижной точкой отображения, если $y = Ay$. Иначе говоря, неподвижные точки – это решения уравнения $y = Ay$. Итерационный процесс начинается, исходя из некоторого начального приближения ${{y}_{{\left( 0 \right)}}}$. Если оператор $A$ является сжимающим, процедура сходится к некоторому решению $y$, независимо от выбора величины начального приближения. Последовательные приближения ${{y}_{{\left( 1 \right)}}},\;{{y}_{{\left( 2 \right)}}},\;{{y}_{{\left( 3 \right)}}}\;...$ находятся с помощью формулы ${{y}_{{\left( {n + 1} \right)}}} = A{{y}_{{\left( n \right)}}}$.

Используемый в настоящей работе метод простых итераций сводится к последовательному применению метода Пикара для решения дифференциального уравнения первого порядка $y{\kern 1pt} ' = f\left( {x,y} \right)$, разрешенного относительно производной [6]. Это дифференциальное уравнение с условием $y\left( {{{t}_{0}}} \right) = {{y}_{0}}$ равносильно интегральному уравнению

Для него на основании принципа сжатых отображений строится итерационный процесс по следующей схеме

Метод позволяет построить последовательность функций ${{y}_{{\left( n \right)}}}\left( t \right)$, сходящихся к решению уравнения, и эти функции получаются гладкими.

Хотя полуобратный метод применялся к линейным и нелинейным задачам для сред с усложненными характеристиками [7–11], его рассмотрение, как итерационного и связанного с оператором Пикара и принципом сжатых отображений, в литературе отсутствует.

Ниже метод простых итераций, с помощью которого решен ряд задач теории упругости тонкостенных тел [4, 12–15], описывается как общий метод Сен-Венана–Пикара–Банаха на примере наиболее простой задачи для прямоугольника – деформации длинной тонкой упругой полосы, уравнения которой содержат малый параметр, обеспечивающий асимптотическую сходимость метода в соответствии с принципом сжатых отображений.

2. Произвольно нагруженная по длинным сторонам полоса. Длинная прямоугольная полоса рассматривается в прямоугольной системе координат $х{\text{*}},\;z{\text{*}}$, так что $0 \leqslant x{\text{*}} \leqslant l,$ $ - h \leqslant z{\text{*}} \leqslant h$. Длинные стороны полосы $z{\text{*}} = \pm h$ несут произвольную нагрузку, короткие стороны полосы могут быть закреплены или нагружены. Известные уравнения плоской задачи теории упругости, описывающие напряженно-деформированное состояние такой полосы в безразмерных координатах $x = x{\text{*/}}l$, $z = z{\text{*/}}h,$ перемещениях $u = u{\text{*/}}h$, $w = w{\text{*/}}h$ вдоль осей $х{\text{*}},\;z{\text{*}}$, соответственно, и нормальных ${{\sigma }_{x}} = \sigma _{x}^{*}{\text{/}}E$, ${{\sigma }_{z}} = \sigma _{z}^{*}{\text{/}}E$ и касательных $\tau = \tau {\text{*/}}E$ напряжениях (размерные перемещения и напряжения отмечены звездочкой) принимают вид

Здесь $E$ – модуль упругости, $\nu $ – коэффициент Пуассона, ${{\varepsilon }_{z}}$, ${{\varepsilon }_{z}}$ – безразмерные продольная и поперечная деформации, $\gamma $ – сдвиг. Штрихом обозначена операция дифференцирования по безразмерному аргументу $x$, и введено обозначение для малого параметра $\varepsilon = {h \mathord{\left/ {\vphantom {h l}} \right. \kern-0em} l}$.

Расположив уравнения системы (2.1) в определенной последовательности и задав в качестве известных величин некоторые $w$ и $\gamma $, можно свести вычисления к методу последовательных приближений в соответствии со следующей схемой

Здесь и далее нижним индексом в скобках обозначен номер приближения. Затем уточняются начальные приближения ${{\varepsilon }_{z}}$ и $\gamma $ при переходе к следующей итерации

Далее будут рассматриваться уравнения нулевого и первого приближений при выборе величин начального приближения ${{w}_{{\left( 0 \right)}}} = {{w}_{0}}\left( x \right)$ и $\;{{\gamma }_{{\left( 0 \right)}}} = {{\gamma }_{0}}\left( x \right)$. Такой выбор величин начального приближения имеет ясный геометрический и механический смысл, т.к. выведенные в нулевом приближении соотношения согласуются с известными в теории пластин и оболочек гипотезами Кирхгоффа и уточнениями Тимошенко–Рейсснера.

В силу независимости величин начального приближения от $z$, все неизвестные вычисляются в результате интегрирования по $z$

Нижним индексом 0 без скобок обозначены произвольные функции интегрирования, зависящие только от одного аргумента $x$. Заданные величины начального приближения $w$ и $\gamma $ вычисляются также в первом приближении, чтобы вычислить величину поправки.

Теперь можно записать выражения для всех неизвестных задачи

в виде полиномов по степеням $z$. Величины $\tau $, ${{\sigma }_{z}}$, $w$ записаны в первом приближении, остальные – в нулевом. При этом все неизвестные выражены в зависимости от произвольных функций интегрирования ${{\tau }_{0}}\left( x \right)$, ${{\sigma }_{{z0}}}\left( x \right)$, ${{w}_{0}}\left( x \right)$, ${{u}_{0}}\left( x \right)$, относительные порядки которых по $\varepsilon $ будут определены из граничных условий на длинных сторонах и концах полосы.

3. Граничные условия на длинных сторонах полосы. На лицевых поверхностях полосы $z{\text{*}} = \pm h$ должны удовлетворяться граничные условия, соответствующие условиям нагружения. В безразмерном виде эти условия записываются как

где безразмерные нагрузки получены путем деления размерных на жесткость $E$. Будем считать нагрузки медленно изменяющимися функциями координаты $x$. Пусть условия (3.1) удовлетворяются величинами первого приближения из соотношений (2.2), в предположении, что они с достаточной точностью аппроксимируют искомые величины. В результате получим уравнения относительно неизвестных ${{w}_{0}}$, ${{\tau }_{0}}$, определяющих задачу изгиба и относительно ${{u}_{0}}$, ${{\sigma }_{{z0}}}$, определяющих задачу растяжения–сжатия

Замечание 1. Продифференцируем первое уравнение (3.2) по $x$, умножим на $\varepsilon $, сложим со вторым и проинтегрируем. В результате получим соотношение

Частное решение этого уравнения имеет малую изменяемость, общее – постоянная $C$. Подстановка этой величины в уравнения (3.2), вообще говоря, неправомерна, поскольку в нем присутствует только медленно изменяющая часть величины ${{\tau }_{0}}$ и отсутствует быстроменяющаяся, т.к. при сложении произошла потеря старших производных.

Пусть частные решения $w_{0}^{{\left( p \right)}}$, $\tau _{0}^{{\left( p \right)}}$ системы (3.2) найдены. Представим решения однородных уравнений ${{w}_{0}}$, ${{\tau }_{0}}$ в виде сумм

обозначив верхним индексом s медленно меняющуюся часть решения, а индексом q – быстро меняющуюся. Под медленно меняющейся функцией понимается такая, которая при дифференцировании по аргументу $x$ не меняет своего асимптотического порядка по $\varepsilon $, тогда как быстро меняющаяся при дифференцировании по $x$ увеличивается в ${{\varepsilon }^{{ - 1}}}$ раз, т.е.

В первом уравнении системы (3.2) член $\left( {2 + \nu } \right){{\varepsilon }^{2}}\tau _{0}^{{s''}}$ имеет порядок ${{\varepsilon }^{2}}$ по сравнению с третьим и может быть отброшен. То же самое справедливо относительно второго уравнения. Соответственно, однородные уравнения системы (3.2) в медленно меняющихся неизвестных записываются как

Исключив $\tau _{0}^{{s'}}$ из второго уравнения с помощью первого, получим классическое (однородное) уравнение изгиба балки

Таким образом, можно считать доказанным, что решение $w_{0}^{s}$ имеет нулевую (малую) и только нулевую изменяемость, при которой асимптотический порядок дифференцируемых функций меняется в ${{\varepsilon }^{0}}$ раз. В соответствии с этим верхний индекс $s$ у $w_{0}^{s}$ можно отбросить.

Вычитая из уравнений (3.2) попарно уравнения (3.6), с учетом предположений (3.5), получим сингулярно возмущенные уравнения

решения которых зависят от аргумента ${x \mathord{\left/ {\vphantom {x \varepsilon }} \right. \kern-0em} \varepsilon }$. Их решения можно использовать для удовлетворения потерянных граничных условий и сглаживания разрывов в медленно меняющихся решениях [2].

Замечание 2. Продифференцируем уравнение (3.8) по $x$, умножим на $\varepsilon $ и сложим с уравнением (3.9). Получим соотношение $4\varepsilon \tau _{0}^{{q'}} = 0$, которое показывает, что уравнения (3.8) и (3.9) отличаются на постоянную величину $4\varepsilon \tau _{0}^{q} = {{С}_{0}}$, и, поскольку она учтена в решении для ${{w}_{0}}$, то в уравнении (3.9) может быть отброшена. Вычитая уравнение $4\varepsilon \tau _{0}^{{q'}} = 0$ из (3.9) и интегрируя, получим два совпадающих уравнения вида

Уравнение (3.10) имеет решение

где верхнее решение справедливо при $x \geqslant 0$, а нижнее при $x \leqslant 1$. Если принять ${{C}_{1}} = - \frac{k}{{2\varepsilon }}$, можно показать, что $\mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} \frac{k}{\varepsilon }\exp \left( { - k\frac{x}{\varepsilon }} \right)$ = $\delta \left( x \right)$. То есть, уравнение (3.8) позволяет установить связь между обычной числовой функцией $\tau _{0}^{q}$ и обобщенной $\delta $-функцией Дирака.

4. Граничные условия на коротких сторонах полосы. В инженерной практике существует зависящее от вида конструкции многообразие способов закрепления концов балок. В сопротивлении материалов и строительной механике чаще встречаются жесткое защемление, свободное опирание, свободный конец. В рассматриваемой здесь уточненной теории, вследствие появления нетрадиционных неизвестных ${{w}_{0}}$, ${{u}_{0}}$, ${{\sigma }_{{z0}}}$, ${{\tau }_{0}}$, необходимо для них сформулировать условия на коротких сторонах.

Пример 1. Рассмотрим полосу, нагруженную равномерно распределенной нагрузкой ${{Z}_{ + }} = p$, ${{X}_{ + }} = {{X}_{ - }} = {{Z}_{ - }} = 0$, $p = {\text{const}}$. Пусть на концах полосы $x = 0$ и $x = 1$ выполняются для перемещений равенства $w = u = 0$, что соответствует в классической теории случаю жесткого защемления.

Разрешающие уравнения (3.2), (3.3) для нахождения частных решений имеют вид

и сводятся к простым соотношениям

Разрешающие уравнения для нахождения общих решений, отмеченных индексом (g), выглядят следующим образом

Из уравнений (3.2), (3.3) с учетом (3.5) следуют оценки

при получении которых предполагалось, что частное и общее решения имеют одинаковый асимптотический порядок.

Условия отсутствия перемещений на концах $x = 0$ и $x = 1$ на основании первых двух выражений (2.2) имеют вид

В этих соотношениях коэффициенты при каждой степени $z$ должны обращаться в ноль

Первые два условия и уравнения из (4.1), (4.2) для ${{u}_{0}}$ и ${{\sigma }_{{z0}}}$ сводятся к решению ${{u}_{0}} \equiv 0$, и, с учетом этого, второе условие из (4.4) – к ${{\sigma }_{{z0}}} = p{\text{/}}2$. Последнее условие можно понимать как требование обращения нагрузки в крайних точках $x = 0$ и $x = 1$ в ноль. Этого можно добиться с помощью уравнения (3.9). При этом быстро меняющаяся компонента ${{\tau }_{0}}\sim p$ будет в ${{\varepsilon }^{{ - 1}}}$ раз меньше, чем $\tau _{0}^{{s\left( p \right)}}$, $\tau _{0}^{{s\left( g \right)}}$, поэтому ее вклад в соотношениях (2.2) пренебрежимо мал, что находится в соответствии с классическими представлениями о допущении разрывов во внешней нагрузке.

В условии (4.6), в силу оценок (4.3), второй член на два порядка меньше первого и может быть отброшен. Получаем условие $w_{0}^{'} = 0$, совпадающее с классическим, требующим отсутствия угла поворота оси балки в защемлении. Теперь первое уравнение из (4.1) и (4.2) имеет вместе с (4.5) достаточно условий на концах и его решение можно записать в виде

Отброшенный член соответствует влиянию сдвига на прогиб балки, и его отбрасывание не приводит к потере граничного условия.

Причина появления условия (4.7) объясняется следующим образом. За счет продольного напряжения и коэффициента Пуассона поперечный размер полосы изменился на величину ${{\varepsilon }^{2}}\nu w_{0}^{{''}}$. Это перемещение должно быть устранено с помощью быстро меняющегося решения уравнения (3.10):

Первое решение пригодно для использования на конце $x = 0$, второе – на конце $x = 1$.

Рассмотрим конец $x = 0$. Определенная из условия (4.7) постоянная будет иметь вид

С учетом вычисленных величин выражение для $w$ из (2.2) сводится к соотношению

где второй член в фигурных скобках является величиной $O({{\varepsilon }^{2}})$ по сравнению с первым, данным формулой (4.8), и может быть отброшен.

При этом выражение для напряжения ${{\sigma }_{x}}$ из (2.1) будет иметь вид

Член в квадратных скобках описывает концентрацию напряжений в углах полосы, которые соизмеримы с напряжениями, определяемыми по классической теории в середине балки.

Пример 2. Рассмотрим полосу, нагруженную равномерно распределенной нагрузкой ${{Z}_{ + }} = p$, ${{X}_{ + }} = {{X}_{ - }} = {{Z}_{ - }} = 0$, $p = {\text{const}}$. Напряженно-деформированное состояние в нулевом приближении описывается уравнениями (4.1), (4.2) и (3.7). Концы полосы, если ее рассматривать как балку, считаются свободно опертыми. В терминах сопротивления материалов это означает, что на концах должны обращаться в ноль прогиб (вертикальные перемещения нейтральной оси) и изгибающий момент. В представлениях теории упругости нулю должны быть равны перемещения $w$ в нижних углах на опорах и напряжение ${{\sigma }_{x}}$ на коротких сторонах. Кроме того, на коротких сторонах должны отсутствовать касательные напряжения $\tau $. Вертикальное перемещение из соотношений (2.2) в нижних углах должно быть равно нулю

при $x = 0$ и $x = 1$, $z = - 1$.

Условие ${{\sigma }_{x}} = 0$ на концах полосы, следующее из соотношений (2.2),

и условие (4.10) после отбрасывания малых величин ${{\sigma }_{{z0}}}\sim p$, ${{u}_{0}}\sim {{\varepsilon }^{{ - 1}}}p$, ${{\tau }_{0}}\sim {{\varepsilon }^{{ - 1}}}p$ по сравнению с главными $({{w}_{0}},w_{0}^{{''}})\sim {{\varepsilon }^{{ - 4}}}p$ сводятся к классическим условиям для свободно опертой балки ${{w}_{0}} = w_{0}^{{''}} = 0$ при $x = 0$ и $x = 1$. Удовлетворяющее им решение уравнения прогиба имеет вид

Осталось удовлетворить условию отсутствия касательных напряжений на торцевых сечениях полосы. Преобразованное с помощью уравнений (3.6), (3.8) выражение для $\tau $ при заданной нагрузке может быть записано следующим образом

Удовлетворив условию $\tau _{0}^{q} = - \tau _{0}^{s}$ при $x = 0$ и $x = 1$, где $\tau _{0}^{q}$ определена соотношением (4.9), а $\tau _{0}^{s}$ – первой формулой из (3.6), можно записать выражение для искомого касательного напряжения

Напряжение ${{\sigma }_{z}}$ можно определить по найденному напряжению $\tau $ с помощью второго уравнения из (2.1), а произвольную функцию интегрирования ${{\sigma }_{{z0}}}$ – из условия ${{\left. {{{\sigma }_{z}}} \right|}_{{z = 1}}} = p$:

где $g = {{k\exp \left( { - {{kx} \mathord{\left/ {\vphantom {{kx} \varepsilon }} \right. \kern-0em} \varepsilon }} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{k\exp \left( { - {{kx} \mathord{\left/ {\vphantom {{kx} \varepsilon }} \right. \kern-0em} \varepsilon }} \right)} \varepsilon }} \right. \kern-0em} \varepsilon } + k\exp \left[ {{{ - k\left( {1 - x} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - k\left( {1 - x} \right)} \varepsilon }} \right. \kern-0em} \varepsilon }} \right]$, ${{k}^{2}} = {2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 {\left( {2 - \nu } \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {2 - \nu } \right)}}$.

Видно, что на нижней стороне полосы при $z = - 1$ первый член в квадратных скобках обращается в ноль. На верхней стороне при $z = 1$ имеем ${{\sigma }_{z}} = p$. В нижней угловой точке $z = - 1$ и $x = 0$ напряжение имеет вид ${{\sigma }_{z}} = k{{\exp \left( { - {{kx} \mathord{\left/ {\vphantom {{kx} \varepsilon }} \right. \kern-0em} \varepsilon }} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\exp \left( { - {{kx} \mathord{\left/ {\vphantom {{kx} \varepsilon }} \right. \kern-0em} \varepsilon }} \right)} \varepsilon }} \right. \kern-0em} \varepsilon }$, а в точке $z = - 1$, $x = 1$ имеем ${{\sigma }_{z}} = {{k\exp \left[ { - {{k\left( {1 - x} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{k\left( {1 - x} \right)} \varepsilon }} \right. \kern-0em} \varepsilon }} \right]} \mathord{\left/ {\vphantom {{k\exp \left[ { - {{k\left( {1 - x} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{k\left( {1 - x} \right)} \varepsilon }} \right. \kern-0em} \varepsilon }} \right]} \varepsilon }} \right. \kern-0em} \varepsilon }$. Заметим, что $\mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} {{k\exp \left( { - {{kx} \mathord{\left/ {\vphantom {{kx} \varepsilon }} \right. \kern-0em} \varepsilon }} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{k\exp \left( { - {{kx} \mathord{\left/ {\vphantom {{kx} \varepsilon }} \right. \kern-0em} \varepsilon }} \right)} \varepsilon }} \right. \kern-0em} \varepsilon } = \infty $, тогда как ${k \mathord{\left/ {\vphantom {k \varepsilon }} \right. \kern-0em} \varepsilon }\int_0^c {\exp \left( { - {{kx} \mathord{\left/ {\vphantom {{kx} \varepsilon }} \right. \kern-0em} \varepsilon }} \right)} dx = - 1$, где $0 < c < 1$ выбирается на таком расстоянии от точки $x = 0$, чтобы можно было считать величину экспоненты пренебрежимо малой. Таким образом в углах полосы возникают локальные поперечные напряжения, совпадающие при $\varepsilon \to 0$ с $\delta $-функциями Дирака. В терминах сопротивления материалов эти напряжения являются реакциями на опорах.

Заключение. Предложенный Сен-Венаном метод решения уравнений теории упругости продолжен до итерационного и до совпадения с методом простых итераций. Для этого оператор исходных уравнений преобразован так, чтобы он позволял вычислять неизвестные величины последовательно: вычисленные в одном уравнении величины входят в следующее уравнение как известные, при этом умноженные на малый параметр. Такая последовательность обеспечивается операторами Пикара и выбором величин начального приближения, не зависящими от поперечной координаты, называемыми гипотезами Кирхгоффа или гипотезами недеформируемой нормали. В течение одной итерации вычисляются путем прямого интегрирования все неизвестные задачи, которые содержат четыре произвольные функции интегрирования, зависящие от продольной координаты и играющие роль коэффициентов в полиномах по степеням поперечной координаты. В случае изотропного материала уравнения, описывающие изгиб и растяжение-сжатие, разделяются. Заметим, что для случая произвольного слоистого материала разделение не происходит [14].

В процессе последовательного вычисления неизвестных в течение нулевой итерации имеет место четырехкратное интегрирование по поперечной координате и четырехкратное дифференцирование по продольной. Однако это дифференцирование носит символический характер, т.к. при выполнении граничных условий на длинных сторонах производные приравниваются к нагрузке, которая является величиной $O\left( 1 \right)$, и соответствующие уравнения интегрируются, обеспечивая вместе с однородными сингулярно возмущенными уравнениями непрерывность и ограниченность решения в любом случае. Процесс вычисления можно трактовать как расщепление сложного оператора (2.1) на четыре оператора Пикара (1.1) относительно поперечной координаты и четыре – относительно продольной. Близость полученного решения к точному решению оценивается порядком первого отброшенного члена по $\varepsilon $ для медленно меняющихся величин и оценкой, данной в [4], для быстроменяющихся. Можно показать, что последняя оценка может быть улучшена.

Автор благодарит П.С. Красильникова за ряд конструктивных замечаний по работе.