Микроэлектроника, 2021, T. 50, № 5, стр. 376-383

1. ВВЕДЕНИЕ

Определяющим фактором для функционирования и надежности нанометровых ИС во многом является качество межсоединений, в частности, элементов металлизации. С уменьшением размеров требования к надежности резко ужесточаются, критически влияя на производительность и стоимость ИС; актуальность исследований надежности межсоединений и методов ее повышения в последние годы резко возросла. Необходимость создания более плотноупакованных многоуровневых структур, обуславливая возрастающую актуальность проблемы надежности элементов нано- и микроэлектроники, в свою очередь определяет необходимость углубления теории и улучшения моделирования процессов, ведущих к их разрушению [1–3].

Среди этих процессов центральное место занимает электромиграция вакансий и ионов [1, 2], определяющая деградацию элементов металлизации Разрыв микропроводников под действием электромиграции происходит вследствие накопления вакансий в некоторых местах проводника, определяемых неоднородностями его поликристаллической структуры или его конструкционными особенностями, с последующим зарождением и развитием в этих местах микрополостей.

Одним из активно исследуемых способов уменьшения нежелательной электромиграции является введение примесей замещения, которые должны затруднять диффузию собственных ионов проводника (см., например, [1, 4]). В частности, для алюминиевой металлизации уже довольно давно предлагалось использовать примесь меди (Cu), а для медной – олова (Sn) [1]. Однако применение подобного рода примесей осложнялось тем, что они сами подвержены электромиграции. Это делает особенно актуальным моделирование процессов электромиграции двухкомпонентных систем.

В настоящей работе исследуется электромиграция ионов проводника и содержащейся в нем примеси замещения (двухкомпонентная электромиграция). С этой целью проведено обобщение подхода, предложенного в работе [5], и сформулирована полная система кинетических уравнений, описывающая распределение ионов проводника и примеси с учетом не только взаимного влияния их потоков, но и действия внутренних механических напряжений, возникающих в системе вследствие массопереноса. В рамках развиваемой теории рассмотрено влияние примеси на критическую длину электромиграции, то есть на минимальную длину проводника, начиная с которой при данной плотности тока процесс электромиграции оказывается возможным вследствие того, что поток атомов, возникающий под действием электронного ветра становится больше обратного потока (back flow), вызванного градиентом механических напряжений [6].

В рамках предложенного описания анализируется двухкомпонентная электромиграция (атомов проводника и примеси замещения) в металлизации типа медной, когда основной вклад в электромиграцию вносит граница (интерфейс) между проводником и слоем покрывающего его защитного диэлектрика [7]. Используя полученные ранее результаты по моделированию взаимосвязи прочностных свойств интерфейсов с величиной энергии активации электромиграции [8], проведен анализ влияния точечных кристаллических дефектов в объеме диэлектрика на величину критической длины электромиграции атомов проводника. Выполнены оценки наиболее существенных и практически важных из рассмотренных эффектов, показывающие, в частности, что путем введения неравновесных точечных дефектов в слой защитного диэлектрика можно управлять корреляционными эффектами влияния примеси замещения на электромиграцию собственных ионов проводника вплоть до ее фактической блокировки.

2. ФОРМУЛИРОВКА МОДЕЛИ ДВУХКОМПОНЕНТНОЙ ЭЛЕКТРОМИГРАЦИИ; ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ

Рассмотрим массоперенос, возникающий при протекании достаточно сильного электрического тока через металлический проводник, содержащий в качестве примеси замещения атомы другого металла (твердотельный раствор замещения). В такой системе, представляющей двухкомпонентный сплав, под действием электронного ветра должен иметь место процесс электромиграции как атомов (ионов) проводника, так и атомов примеси.

Обобщая подход, предложенный в работе [5] и использующий методы неравновесной термодинамики, при вакансионном механизме перемещения атомов будем описывать кинетику совместной электромиграции, включающую взаимное влияние потоков атомов проводника и примеси друг на друга, системой дрейфово-диффузионных уравнений, в которых дополнительно учитываются обратные потоки (back flow), вызванные возникновением механических напряжений в проводнике, обусловленных процессом массопереноса и релаксацией объема вакансий [2]. В связи с этим для полного описания в систему необходимо также включить уравнения пространственно-временного изменения компонент тензора механических напряжений и концентрации вакансий.

Для простоты в настоящей работе ограничимся рассмотрением одномерного случая, рассматривая проводник в виде однородного плоского слоя (см., например, [2, 9]). Тогда обратные потоки, уравнения кинетики внутренних механических напряжений и распределения концентрации вакансий можно записать в форме, полученной в [2]. Таким образом, в рамках сформулированных модельных представлений полная замкнутая система уравнений совместной двухкомпонентной электромиграции имеет следующий вид:

где x – координата вдоль проводника, t – время, $0 \leqslant {{С}_{1}},$ ${{С}_{b}} \leqslant 1$ – безразмерные концентрации (доли) ионов растворителя (1), т.е. металла проводника, и растворимого вещества (b), т.е. примеси замещения; ${{C}_{V}}$ – концентрация вакансий в проводнике; D₁, D_b – коэффициенты диффузии в проводнике ионов проводника и примеси соответственно; $Z_{1}^{*},$ $Z_{b}^{*}$ – эффективные заряды ионов проводника и примеси, $\sigma = \frac{1}{3}({{\sigma }_{{xx}}} + {{\sigma }_{{yy}}} + {{\sigma }_{{zz}}})$ – сферическая часть тензора ${{\sigma }_{{ik}}}$ механических напряжений, возникающих вследствие электромиграционного переноса вещества проводника, Ω₁– удельный объем, приходящийся на один атом в материале проводника, ρ – удельное сопротивление проводника, f_V – коэффициент релаксации вакансий в матрице проводника, j – плотность электрического тока, τ_s – характерное время жизни вакансий относительно процессов генерации/аннигиляции, если их концентрация, соответственно, меньше или больше, чем равновесное значение $C_{V}^{{(e)}}$ [2, 9]; L₁₁, L_bb, L_b1 и L_1b – феноменoлогические кинетические коэффициенты (Онзагера), причем недиагональные коэффициенты L_1b и L_b1 описывают так называемый эффект вакансионного потока [5], т.е. взаимное влияние потоков атомов проводника и примеси друг на друга за счет обмена вакансиями при электромиграции; f_с – фактор корреляции, учитывающий влияние указанного эффекта на диффузионную способность атомов примеси (${{D}_{b}}{{f}_{c}} = D_{b}^{*}$ – значение коэффициента диффузии, получаемое в экспериментах по электромиграции соответствующих меченных атомов [5]); ${{J}_{1}},$ ${{J}_{b}}$ и ${{J}_{V}}$ – полные диффузионно-дрейфовые потоки атомов проводника, атомов примеси и вакансий, соответственно.

Отметим, что для недиагональных кинетических коэффициентов выполняется равенство ${{L}_{{1b}}} = {{L}_{{b1}}}$ (теорема Онзагера), а их величины должны определяться типом кристаллической решетки проводника и частотами перескоков атомов проводника и примеси в ближайшую вакансию [5]. В случае низколегированных сплавов (С_b $ \ll $ C₁), который рассматривается далее, для диагональных коэффициентов имеют место соотношения [5, 10]:

Согласно уравнениям (1) вклады в потоки ионов проводника и примеси, возникающие под действием электрического тока j и градиента механического напряжения σ, даются следующими выражениями:

Эти величины определяют дрейфовые скорости ${{V}_{{1,b}}} = {{J_{{1,b}}^{*}} \mathord{\left/ {\vphantom {{J_{{1,b}}^{*}} {{{C}_{{1,b}}}}}} \right. \kern-0em} {{{C}_{{1,b}}}}}$ ионов проводника (1) и примеси (b), возникающие в электрическом поле и поле механических напряжений.

3. КРИТИЧЕСКАЯ ДЛИНА ЭЛЕКТРОМИГРАЦИИ В СЛУЧАЕ ПРОВОДНИКА С ПРИМЕСЬЮ ЗАМЕЩЕНИЯ

Из экспериментов известно, что при заданной плотности тока j электромиграция имеет место только в том случае, если длина проводника оказывается больше некоторой пороговой (критической) величины l_c [6]. Соответственно, при заданной длине l она начинается только, если j > j_c – критической плотности тока [6]. Необходимость выполнения этих условий обусловлена тем, что имеет место обратный поток вакансий (ионов) вследствие появления градиента механического напряжения (см. выражения (3)) [6]. Поэтому в рамках рассматриваемой модели практический интерес представляет собой исследование изменения критической длины проводника при двухкомпонентной электромиграции атомов проводника и примеси в условиях взаимной корреляции их потоков.

Рассматривая далее случай разбавленного твердотельного раствора (низколегированный сплав), то есть считая, что ${{C}_{b}} \ll {{C}_{1}} < 1,$ в линейном по C_b приближении имеем

где $\beta $ – некоторый коэффициент, ${{D}_{1}}\left( 0 \right)$ – коэффициент диффузии атомов проводника в отсутствие примеси, и для дрейфовой скорости V₁ атомов проводника, которая определяется из соотношения ${{V}_{1}} = {{J_{1}^{*}} \mathord{\left/ {\vphantom {{J_{1}^{*}} {{{C}_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{C}_{1}}}},$ из (3) и (4) получим: где ${{V}_{1}}\left( 0 \right)$ = ${{D}_{1}}\left( 0 \right){{Z_{1}^{*}~\rho j} \mathord{\left/ {\vphantom {{Z_{1}^{*}~\rho j} {kT}}} \right. \kern-0em} {kT}}$ – дрейфовая скорость ${{V}_{1}},$ возникающая только под действием тока и в отсутствии примеси.

Поскольку полное решение системы уравнений (1) является достаточно сложной и громоздкой задачей, в качестве первого шага ограничимся далее приближением, в котором распределение механических напряжений σ вдоль проводника считается известным (см. также [6]). Отметим, что такое описание является точным для учета действия механических нагрузок, вызванных внешним источником, например, остаточных напряжений, вызванных технологией изготовления металлизации.

В этом приближении заменим в (5) градиент механических напряжений на среднюю по длине проводника величину [6], положив ${{\partial \sigma } \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial \sigma } {\partial x}}} \right. \kern-0em} {\partial x}} \cong {{\Delta \sigma } \mathord{\left/ {\vphantom {{\Delta \sigma } \ell }} \right. \kern-0em} \ell },$ где $\ell $ – длина проводника, ∆σ – разность механического напряжения на концах проводника (между анодом и катодом), возникающая за счет транспорта атомов к аноду ($Z_{{1,b}}^{*} < 0$), а вакансий – к катоду. Вводя затем критическую длину ${{\ell }_{c}} = {{f}_{V}}{{{{\Omega }_{1}}\Delta \sigma } \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\Omega }_{1}}\Delta \sigma } {\left| {Z_{1}^{*}} \right|}}} \right. \kern-0em} {\left| {Z_{1}^{*}} \right|}}\rho j$ проводника без примеси, из (5) получим

где $\gamma = \beta + \frac{{{{D}_{b}}{{f}_{b}}}}{{{{С}_{1}}{{D}_{1}}\left( 0 \right)}}\frac{{Z_{b}^{*}}}{{Z_{1}^{*}}}\frac{{{{L}_{{1b}}}}}{{{{L}_{{bb}}}}}.$

Условием, определяющим критическую длину проводника, является обращение дрейфовой скорости ионов, то есть скорости электромиграции, в нуль. Тогда критическая длина ${{\ell }_{1}}$ проводника, необходимая для возникновения электромиграционного потока его собственных атомов, определяется из условия V₁= 0 и соотношения (6):

Из (6) видно, что при $\ell > {{\ell }_{1}}$ имеет место ${{V}_{1}} > 0,$ а в противоположном случае – ${{V}_{1}} < 0,$ то есть электромиграци отсутствует.

Аналогично, записывая из (3) дрейфовую скорость ${{V}_{b}} = {{J_{b}^{*}} \mathord{\left/ {\vphantom {{J_{b}^{*}} {{{C}_{b}}}}} \right. \kern-0em} {{{C}_{b}}}}$ и используя условие V_b = 0, для критической длины проводника ${{\ell }_{b}}$ относительно электромиграции атомов примеси, получим:

где ${{\ell }_{p}} = {{f}_{V}}{{{{\Omega }_{1}}\Delta \sigma } \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\Omega }_{1}}\Delta \sigma } {\left| {Z_{b}^{*}} \right|}}} \right. \kern-0em} {\left| {Z_{b}^{*}} \right|}}\rho j$ – пороговая длина электромиграции атомов примеси в матрице проводника без учета эффекта влияния электромиграции его собственных ионов, выраженного в кинетическом коэффициенте L_1b.

Отметим следующие особенности полученных величин (7) и (8). Во-первых, вследствие эффектов корреляции потоков ${{J}_{1}}$ и ${{J}_{b}}$ критические длины ${{\ell }_{1}}$ и ${{\ell }_{b}}$ теперь зависят от коэффициентов диффузии ионов проводника и примеси в отличие от соответствующих длин ${{\ell }_{с}}$ и ${{\ell }_{р}},$ имеющих место в отсутствие корреляции. В случае соотношения (8) это реализуется через коэффициент ${{L}_{{bb}}},$ а в случае (7) величина ${{D}_{a}}(0)$ входит явно. Во-вторых, в силу этого же обстоятельства в выражении (7) для ${{\ell }_{1}}$ знаменатель (в отличие от числителя) уже не представляет собой просто разложения по малой концентрации ${{C}_{b}}.$ Величина $\gamma {{С}_{b}}$ может оказаться не малой за счет второго слагаемого в выражении для коэффициента $\gamma ,$ которое пропорционально ${{L}_{{1b}}},$ т.е. обусловлено эффектами взаимной корреляции потоков ${{J}_{1}}$ и ${{J}_{b}}.$

Применим далее полученные выше соотношения для оценки возможности возникновения электромиграции в объеме разбавленного сплава Al(Cu), представляющего практический интерес для повышения надежности проводящих микроэлементов на основе алюминия. Из выражения (7), прежде всего, следует, что ${{\ell }_{1}}$ отличается от критической длины ${{\ell }_{с}}$ проводника без примеси. Характер этого отличия (величина ${{\ell }_{1}}$ больше или меньше величины ${{\ell }_{с}}$) зависит, в первую очередь. от значений величин коэффициентов β и γ и, в частности, от их знаков.

Согласно экспериментальным и расчетным данным работы [5] при миграции примесей в плоскости (111) гранецентрированной кубической решетки для параметров, входящих в полученные выше выражения, имеют место следующие соотношения:

где ω₀, ω₁, ω₃, ω₄ – частоты прыжков атомов проводника в соседнюю с ними вакансию, когда примесный атом также является соседним с этой вакансией (${{\omega }_{1}},{{\omega }_{3}}$) и когда он не является соседним (${{\omega }_{0}},{{\omega }_{4}}$); $\varphi ,F$ – некоторые слабо меняющиеся функции от ω₄/ω₀, причем $\varphi ,F$ ~ 1 [5]; ω₂ – частота перескока атома примеси в соседнюю вакансию.

Так, в случае примеси Сu в алюминии (сплав Al(Cu)) по данным работы [5], включающим и данные о характерных значениях частот ω₀, ω₁, ω₂, ω₃ и ω₄, имеем следующие оценки для параметров, входящих в выражения (7) и (8):

Отметим, что для всех рассмотренных в [5] твердотельных растворов имеют место отрицательные значения параметра ${{{{L}_{{1b}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{L}_{{1b}}}} {{{L}_{{bb}}}}}} \right. \kern-0em} {{{L}_{{bb}}}}},$ причем ${{{{L}_{{1b}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{L}_{{1b}}}} {{{L}_{{bb}}}}}} \right. \kern-0em} {{{L}_{{bb}}}}}$ ≈ $ - (0.3{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 1.4).$ Из этих оценок следует, что в (7) 0 < γ < β. Согласно (10), для сплава Al(Cu) отличие γ от β мало ($\beta - \gamma \approx 0.1 \ll \beta $). Для других сплавов на основе алюминия Al(Zn) и AL(Mg) по данным [5] $\beta - \gamma \approx 4{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 10$ и $\beta \approx 20,$ т.е. влияние корреляции потоков сказывается значительно сильнее.

Из оценок (10) и выражения (7) следует, что примесь меди (как и некоторых других металлов) за счет эффектов корреляции потоков может увеличивать пороговую длину электромиграции атомов алюминия (${{\ell }_{1}} > {{\ell }_{c}}$), т.е. затруднять ее. Этот результат находится в согласии с экспериментальными данными по электромиграции в Al(Cu) металлизации [11].

При тех же оценках (10) имеем, что в выражении (8) для пороговой длины ${{\ell }_{р}}$ электромиграции атомов меди в алюминиевом проводнике знаменатель близок к нулю, то есть ${{\ell }_{р}}$ может быть очень большой, и, следовательно, эффекты корреляции сильно ограничивают массоперенос медной примеси. В то же время из экспериментов известно, что в Al(Cu) металлизации атомы меди обладают достаточно высокой электромиграционной подвижностью [11]. Это может быть связано, например, с тем, что в реальных алюминиевых поликристаллических проводниках электромиграция в основном идет по межзеренным границам, для которых оценки значений параметров в выражениях (7) и (8) могут, вообще говоря, измениться. В частности, результаты работы [12] показывают, что эффективные заряды ионов меди и алюминия в межзеренной границе поликристаллического алюминия в зависимости от текстуры образующих ее зерен и температуры могут оказаться значительно меньше, чем в объеме зерен.

4. СЛУЧАЙ ДВУХКОМПОНЕНТНОЙ ЭЛЕКТРОМИГРАЦИИ ВДОЛЬ ИНТЕРФЕЙСА; ВЛИЯНИЕ ТОЧЕЧНЫХ ДЕФЕКТОВ

Применим теперь описание, основанное на системе уравнений (1) и следующих из них соотношений (7), (8), к выяснению особенностей возникновения электромиграции в интерфейсе между проводником (материал 1), содержащим в качестве примеси замещения атомы другого металла (b), и покрывающим этот проводник защитным диэлектриком (материал 2).

Случай электромиграции в интерфейсе представляет значительный практический интерес, в частности, потому, что он реально имеет место для медной (Cu) металлизации, поскольку в поликристаллическом медном проводнике на этом пути энергия активации дрейфа атомов меди меньше, чем в межзеренных границах и объемах зерен [1]. С целью торможения нежелательного электромиграционного потока в медном проводнике исследовалось добавление (растворение) примеси атомов различных металлов, например, олова (Sb) [1].

Как было показано в экспериментах с медной металлизацией (без примеси), имеющей различные защитные диэлектрические покрытия [7], энергия активации электромиграции атомов меди ${{H}_{{EM}}}$ оказалась линейно связанной с обратимой работой ${{W}_{a}}$ разделения по интерфейсу проводника и диэлектрика:

где $\alpha $ и $\chi $ – положительные константы.

В нашей работе [8] была предложена и развита модель, в которой соотношение (11) было обосновано и получено исходя из того, что в системе типа медной металлизации электромиграция ионов проводника в основном происходит по интерфейсу металл–защитный диэлектрик. Рассматривался случай, когда интерфейс представляет собой плоский слой (бикристаллическая модель). Поскольку эдектромиграционный поток пропорционален коэффициенту диффузии D₁ ионов проводника (в данном случае имеется ввиду диффузия в интерфейсе) [2], то энергия активации электромиграции ${{H}_{{EM}}} \simeq {{E}_{D}},$ где ${{E}_{D}}$ – энергия активации соответствующего диффузионного процесса (т.е. ${{D}_{1}}\sim \exp ({{ - {{E}_{D}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - {{E}_{D}}} {kT}}} \right. \kern-0em} {kT}})$). Анализ микроскопического механизма вакансионной диффузии вдоль интерфейса в [8] привел к соотношению (11); там же были получены выражения для параметров $\alpha $ и $\chi $ через микрохарактеристики материалов 1 и 2 и интерфейса. В рамках данной модели параметр $\alpha > 0$ (α – энергия активации диффузии атомов проводника по свободной поверхности), а $\chi > 0$ зависит от микрохарактеристик взаимодействия атомов материалов 1 и 2 через интерфейс и дается выражением:

где ${{z}_{I}}$ – число ближайших соседей (координационное число) иона из граничной плоскости материала 1 в граничной плоскости материала 2; λ – усредненное изменение расстояния между ионом проводника в граничной плоскости материала 1 при его попадании в седловую точку энергетического барьера, отделяющего его от вакансии в соседнем узле этой плоскости, и его ближайшими соседями в граничной плоскости материала 2; ${{n}_{I}}$ – количество связей между атомами граничных плоскостей материалов 1 и 2 в интерфейсе в расчете на единицу его площади; ${{\delta }_{c}}$ – минимальное расстояние между материалами 1 и 2, начиная с которого они могут рассматриваться как разделенные.

В работе [8] с помощью соотношения (11), а также результатов работ [13, 14] по моделированию адгезионной прочности интерфейсов, были найдены и исследованы зависимости ${{H}_{{EM}}} \simeq {{E}_{D}}$ от концентраций неравновесных точечных кристаллических дефектов (атомарные примеси внедрения и замещения, вакансии) в объемах проводника и защитного диэлектрика. Покажем теперь, что развитые в [8] представления позволяют проанализировать, как дефектность материалов может влиять на величину критической длины электромиграции, если она происходит по интерфейсу между проводником, содержащим примесь замещения b, и покрывающим его диэлектриком.

Для этого заметим, что в данном случае в выражение (7) для критической длины электромиграции атомов проводника ${{\ell }_{1}}$ входит величина ${{D}_{1}}(0)\sim \exp ({{ - {{E}_{D}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - {{E}_{D}}} {kT}}} \right. \kern-0em} {kT}}),$ т.е. коэффициент их диффузии в интерфейсе в отсутствии атомов примеси b. Отсюда следует, что при анализе влияния точечных дефектов на величину энергии активации ${{E}_{D}}$ можно использовать соотношение (11) и другие результаты модели, развитой в [8].

Рассмотрим, например, в качестве объемных точечных дефектов атомарную примесь внедрения в материалах, образующих интерфейс. Согласно результатам [8] и соотношению (11), энергия активации электромиграции (диффузии) собственных ионов проводника в интерфейсе ${{H}_{{EM}}} \simeq {{E}_{D}},$ как функция концентраций атомов примеси внедрения в соединенных материалах, может быть представлена в виде:

где ${{С}_{1}}$ и ${{С}_{2}}$ – безразмерные концентрации (доли) атомов примесей внедрения в проводнике и защитном диэлектрике соответственно; $E_{D}^{{(0)}} = {{E}_{D}}(0,0)$ = = $\alpha + \chi W_{a}^{{(0)}},$ $W_{a}^{{(0)}} = {{W}_{a}}(0,0)$ – работа разделения в отсутствии этих примесей, ${{h}_{i}} = {{{{K}_{{ai}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{K}_{{ai}}}} {{{K}_{{di}}}}}} \right. \kern-0em} {{{K}_{{di}}}}}$ (безразмерный параметр), K_ai, K_di – константы скорости процессов адсорбции и десорбции примесей при их обмене между объемом i-го материала и границей; ${{h}_{{si}}} = {{K_{{ai}}^{{(s)}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{K_{{ai}}^{{(s)}}} {K_{{di}}^{{(s)}}}}} \right. \kern-0em} {K_{{di}}^{{(s)}}}}$ (безразмерный параметр); $K_{{ai}}^{{(s)}}$ и $K_{{di}}^{{(s)}}$ – константы скорости процессов адсорбции и десорбции примесных атомов на свободной поверхности i-го материала (d_i – толщина приповерхностного слоя i-го материала, в котором эти процессы происходят): ${{\Omega }_{1}}$ и ${{\Omega }_{2}}$ – удельные объемы, приходящиеся на один атом (молекулу) в материалах 1 и 2, соответственно, b – ширина интерфейса. Отметим, что в (12) подразумевается, что концентрации C₁ и C₂ неравновесных примесей определяются внешними источниками и поэтому могут быть равными нулю.

Несомненный интерес представляет вопрос о том, как зависимость Е_D (C₁, C₂), определяемая выражением (12), может влиять на значения критических длин ${{\ell }_{1}}$ и ${{\ell }_{b}}$ электромиграции собственных ионов проводника и ионов примеси замещения в интерфейсе. При этом наибольшее практическое значение имеет, прежде всего, поведение величины ${{\ell }_{1}}$ (см. (7)), которая ограничивает электромиграцию собственных ионов, являющуюся основным фактором, приводящим к деградации металлизации.

Согласно (7) зависимость ${{\ell }_{1}}$ от концентрации примеси замещения ${{C}_{b}}$ определяется соотношением величин и знаков параметров γ и $\beta ,$ причем из (6) следует, что

При оценке (13) учтено, что для большинства металлов при обычных (порядка комнатных) температурах $Z_{1}^{*}$ и $Z_{b}^{*}$ отрицательны [7, 12], а знак и величина отношения ${{{{L}_{{1b}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{L}_{{1b}}}} {{{L}_{{bb}}}}}} \right. \kern-0em} {{{L}_{{bb}}}}}$ зависят от особенностей кристаллической структуры приграничного слоя проводника в интерфейсе. Кроме того, учтем, что поскольку в рамках модели [8] интерфейсная электромиграция атомов примеси b происходит также в приграничном слое проводника, то при ${{С}_{b}} \ll {{C}_{1}}$ коэффициент диффузии ${{D}_{b}}$ не связан с обратимой работой разделения интерфейса ${{W}_{a}}.$

Ограничимся далее для простоты случаем, когда примесь внедрения введена только в материал 2, т.е. в защитный диэлектрик. Отметим, что в этом случае нет необходимости рассматривать возможное непосредственное влияние примеси внедрения на электромиграцию атомов проводника и примеси замещения, которая в интерфейсе происходит в приграничном слое проводника [8]. Тогда, положив в (12) ${{С}_{1}} = 0,$ получим

где $\Delta {{H}_{{EM}}}({{C}_{2}}) = \Delta {{E}_{D}}({{C}_{2}})$ = ${{E}_{D}}({{C}_{1}} = 0,{{C}_{2}}) - E_{D}^{{(0)}}$ – добавка к энергии активации диффузии (электромиграции) собственных ионов проводника в интерфейсе, обусловленная примесью внедрения в материале 2.

Из (7), (11), (13) следует, что, если имеет место ${{{{L}_{{1b}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{L}_{{1b}}}} {{{L}_{{bb}}}}}} \right. \kern-0em} {{{L}_{{bb}}}}} < 0$ (см. Разд. 3), то увеличение энергии активации диффузии ($\Delta {{E}_{D}}({{C}_{2}}) > 0$) будет приводить к увеличению величины ${{\ell }_{1}}.$ Анализ выражения (14) и результаты работы [8] показывают, что уже за счет достаточно малых концентраций примеси внедрения в защитном диэлектрике (материале 2) можно сильно уменьшить ${{D}_{1}}\left( 0 \right)$ и тем самым увеличить ${{\ell }_{1}}.$ Например, считая далее, что ${{C}_{2}} \ll 1$ и ${{C}_{2}}{{h}_{2}},$ ${{C}_{2}}{{h}_{{s2}}} \gg 1$ [8] и приравнивая для удобства проведения оценок $\Delta {{E}_{D}}({{C}_{2}})$ в (14) к $\varepsilon Е_{D}^{{(0)}}$ (где $\varepsilon $ – численный коэффициент, который можно варьировать, например в интервале $0 < \varepsilon < 1$), получим выражение для оценки ${{C}_{2}}$ в зависимости от величины $\varepsilon {\text{:}}$

Применим соотношение (15) к случаю, когда $b\sim {{d}_{2}}\sim \left| {b - {{d}_{2}}} \right|$ и $b > {{d}_{2}}.$ Положив для определенности $\lambda \leqslant {{{{\delta }_{с}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\delta }_{с}}} 2}} \right. \kern-0em} 2},$ ${{n}_{I}} \approx \Omega _{2}^{{{{ - 2} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 2} 3}} \right. \kern-0em} 3}}},$ ${{z}_{I}} \sim 1$ и $b = 3$ Å, ${{d}_{2}} = 2$ Å, ${{\Omega }_{2}} \sim {{\Omega }_{1}} \approx {{10}^{{ - 29}}}$ м³ [15], $Е_{D}^{{(0)}} \approx 1$ эВ [7, 8], при комнатных температурах $kT \approx 0.025$ эВ из (15) получим следующую оценку ${{C}_{2}}$ как функцию параметра $\varepsilon {\text{:}}$

Например, при $\varepsilon = 0.3$ (т.е. $\Delta {{E}_{D}}({{C}_{2}})$ = $0.3E_{D}^{{(0)}}$ ~ ~ 0.3 эВ) и, используя полученную в [8] для примеси внедрения оценку ${{h}_{2}},~{{h}_{{s2}}}\sim {{10}^{8}},$ имеем из (16), что концентрация примеси, необходимая для такого увеличения энергии активации, составляет ${{С}_{2}}\sim {{10}^{{ - 6}}},$ а при $\varepsilon = 0.5$ ($\Delta {{H}_{{EM}}}({{C}_{2}}) = 0.5$ эВ) соотношение (16) дает ${{С}_{2}}\sim {{10}^{{ - 5}}},$ что согласуется со сделанными выше допущении относительно соотношения величин ${{h}_{2}},~{{h}_{{s2}}}$ и ${{С}_{2}}.$

Из этих оценок получим, что при комнатных температурах ($kT \approx 0.025$ эВ) и $\varepsilon = 0.3$ ( ΔE_D(C₂) ~ ~ 0.3 эВ) за счет эффекта, обусловленного присутствием примеси внедрения в защитном диэлектрике, экспоненциальный множитель в правой части соотношения (13) можно увеличить в $\exp [{{\Delta {{E}_{D}}({{C}_{2}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{\Delta {{E}_{D}}({{C}_{2}})} {kT}}} \right. \kern-0em} {kT}}] \sim {{10}^{5}}$ раз. Таким образом, если ${{{{L}_{{ab}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{L}_{{ab}}}} {{{L}_{{bb}}}}}} \right. \kern-0em} {{{L}_{{bb}}}}} < 0$ и $\beta > 0$ (например, как это имело место (см. Разд. 3) в случае сплава Al(Cu)), то при данной оценке и выполнении условия $\left| \gamma \right|{{C}_{b}} < 1$ (что возможно, так как предполагается выполнение соотношения ${{С}_{b}} \ll {{С}_{1}} < 1$) приходим к выводу, что, комбинируя величины концентраций примесей ${{С}_{2}}$ в диэлектрике и ${{С}_{b}}$ в проводнике, можно сделать величину ${{\ell }_{1}}$ сколь угодно большой.

Полученные оценки показывают, что эффектами корреляции между электромиграционными потоками атомов проводника и растворенной в нем примеси замещения, имеющими место в интерфейсе между проводником и покрывающим его слоем защитного диэлектрика, можно управлять (вплоть до полной блокировки электромиграции атомов проводника) путем введения неравновесных точечных дефектов (например, примеси внедрения) в этот диэлектрик.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе развита модель двухкомпонентной электромиграции атомов твердотельного проводника и примеси замещения. В модели, ранее предложенный в работе [5], подход к описанию таких систем, использующий методы неравновесной термодинамики, обобщен с целью учета внутренних механических напряжений, возникающих вследствие массопереноса в системе.

Исследована зависимость величины критической длины проводника, необходимой для возникновения электромиграционных потоков каждого из компонентов, от эффектов, обусловленных их воздействием друг на друга (корреляцией потоков атомов проводника и примеси). Получено, в частности, что вследствие указанной взаимной корреляции критическая длина для атомов проводника ${{\ell }_{1}}$ становится зависящей от коэффициента их диффузии и соответствующего кинетического коэффициента Онзагера L_1b, описывающего влияние потока атомов примеси, вследствие чего возможно выполнение условия ${{\ell }_{1}} > {{\ell }_{с}},$ где ${{\ell }_{с}}$ – критическая длина проводника относительно электромиграции в отсутствии примеси в нем. Даны оценки для сплава Al(Cu), показавшие, что для этого случая данный эффект коррелирующего действия примеси на условия возникновения электромиграции атомов проводника действительно должен иметь место.

Применяя развитые здесь теоретические представления к исследованию двухкомпонентной электромиграции в интерфейсе между проводником и смежным с ним материалом (например, защитный диэлектрик в случае медной металлизации), проведено исследование влияния точечных кристаллических дефектов на величину критической длины интерфейса при наличии в нем примеси замещения. Показано, что введение в защитный диэлектрик неравновесных дефектов позволяет, за счет влияния этих дефектов на корреляционное воздействие потока примеси, эффективно управлять величиной критической длины электромиграции ${{\ell }_{1}},$ которая оказывается функцией концентрации дефектов. Для дефектов в виде атомарной примеси внедрения проведены оценки ее концентрации, необходимой для существенного изменения ${{\ell }_{1}}.$ Таким образом, в случае электромиграции в интерфейсах корреляционными эффектами влияния примеси замещения можно управлять путем введения неравновесных точечных дефектов (например, примеси внедрения) в слой защитного диэлектрика, затрудняя тем самым нежелательный массоперенос (вплоть до фактической его блокировки).

Результаты работы представляют интерес для улучшения технологии изготовления и повышения надежности функционирования проводящих элементов микро- и наноэлектронных схем.

Работа выполнена в рамках Государственного задания ФТИАН им. К.А. Валиева РАН Минобрнауки РФ по теме № 0066-2019-0004.