Микроэлектроника, 2020, T. 49, № 6, стр. 450-458

1. ВВЕДЕНИЕ

Уменьшение характерных размеров элементов интегральных микросхем и создание более плотноупакованных многоуровневых микроэлектронных структур обуславливает возрастающую актуальность проблемы надежности изделий нано- и микроэлектроники. Отказы в работе изделий микроэлектроники часто связаны с нарушениями эксплуатационных характеристик межсоединений (токопроводящих дорожек), причиной которых является интенсивный массоперенос, вызванный электромиграцией ионов проводника [1–3], приводящей с течением времени к его деградации и разрушению.

В современных микро- и наноэлектронных устройствах в качестве проводящего материала в межсоединениях вместо алюминия все в большей степени используют медь, что в первую очередь связано с ее более высокой проводимостью. Поэтому в последнее время значительный практический интерес приобретают исследования различных аспектов ионной электромиграции в Cu-содержащих проводящих элементах [4, 5].

Главная особенность электромиграции в поликристаллической медной металлизации состоит в том, что транспорт ионов в основном происходит не по межзеренным границам, как в случае алюминия, а по границе проводника и защитного диэлектрического слоя [5, 6]. Причина этого заключается в том, что, согласно экспериментам (см., например, [6]), для всех возможных путей движения ионов – в объеме зерен, по межзеренным границам, по границам между зернами и защитным слоем – наименьшее значение энергии активации диффузии имеет место при миграции ионов по границам между зернами и защитным слоем.

Детальные экспериментальные исследования ионного массопереноса в медной металлизации с различными диэлектрическими покрытиями (см., например, [7, 8]), показали также, что между энергией активации ионной электромиграции ${{H}_{{EM}}}$ и обратимой работой разделения ${{W}_{a}}$ по границе меди и защитного слоя существует определенная взаимосвязь, которая носит линейный характер. В работе [7] были приведены качественные соображения относительно механизма возникновения этой зависимости, основанные на обусловленности электромиграции процессами диффузии ионов по границам между зернами и защитным слоем.

Основываясь на экспериментальных данных и качественных соображениях, высказанных в [7], в настоящей работе развита теоретическая модель, объясняющая и формулирующая физические механизмы, которые лежат в основе исследуемых процессов. Установлена и детально исследована взаимосвязь энергии активации электромиграции по границе (интерфейсу) соединения проводника и защитного диэлектрика с работой ${{W}_{a}}$ обратимого разделения этих материалов. В рамках развиваемых представлений и с помощью ранее полученных авторами результатов по моделированию работы ${{W}_{a}}$ (см. [9, 10]) впервые предложен эффективный подход, позволяющий получить и исследовать зависимость энергии активации электромиграции собственных ионов проводящего материала от концентрации точечных дефектов (вакансий, атомарных примесей внедрения и замещения) в его объеме и в объеме соединенного с ним диэлектрика. Для демонстрации конкретных результатов, которые дает развитый подход, в качестве дефектов рассмотрены атомарные примеси внедрения.

Получены, в частности, условия, при которых, изменяя концентрацию примеси, можно либо увеличивать, либо уменьшать величину энергии активации электромиграции, то есть эффективно и целенаправленно управлять скоростью электромиграции и вызываемых ею деградационных процессов в системе металлизации и других элементов микросхем, существенно влияющих на их надежность и долговечность.

2. МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СВЯЗИ ЭЛЕКТРОМИГРАЦИИ ВДОЛЬ ИНТЕРФЕЙСА С ЕГО АДГЕЗИОННЫМИ СВОЙСТВАМИ

В экспериментах [7] была установлена определенная корреляция между энергией активации электромиграции ${{H}_{{EM}}}$ в медной металлизации и работой адгезии ${{W}_{a}}$ вдоль интерфейса медного проводника и покрывающего его диэлектрика. Эта корреляция, как было показано в экспериментах с разными диэлектрическими покрытиями, имела вид линейной зависимости ${{H}_{{EM}}}$ от ${{W}_{a}}.$ Покажем, что такого рода взаимосвязь может быть понята из теоретических представлений, развивающих качественные соображения, приведенные в [7].

При вакансионном механизме диффузии поток собственных ионов ${{J}_{I}}(x,t),$ возникающий под действием электрического тока в проводнике, дается выражением [1]

где ${{C}_{I}}$ – локальная концентрация ионов; ${{\sigma }_{S}}$ = (σ₁₁+ + σ₂₂+ σ₃₃)/3 – сферическая (шаровая) часть тензора σ_ik механических напряжений, возникающих в проводнике в результате массопереноса; ${{D}_{I}}$ – коэффициент диффузии ионов, Ω – удельный атомарный объем вещества проводника, $\overrightarrow j $ – плотность электрического тока, ${{\sigma }_{0}}$ – удельная проводимость материала проводника, $Z_{I}^{*}e$ – эффективный заряд иона [1], $e = {\text{1}}{\text{.6}}0{\text{217662}}0{\text{8}}\left( {{\text{98}}} \right) \times {\text{1}}{{0}^{{ - 20}}}$ Кул – модуль заряда электрона, Т – абсолютная температура, k – постоянная Больцмана, ${{f}_{I}}$ ≈ (0.2–0.4) – коэффициент релаксации вакансий в проводнике [1]. Отметим, что в случае движения ионов по границам зерен поликристаллической структуры или границам проводника с другим материалом в (1) должен также входить множитель (b/d) (b – ширина соответствующей границы, d – ширина проводника); однако для целей настоящей работы это не имеет какого-либо значения.

Выражение (1) учитывает вклады диффузии за счет градиента концентраций ионов, движения ионов в результате действия силы электронного ветра (собственно электромиграция) и под действием градиента механических напряжений, возникающего вследствие массопереноса (так называемый обратный поток или back flow). Поскольку все три слагаемых потока (1) пропорциональны коэффициенту диффузии и ${{D}_{I}}$ ∼ $\exp ({{ - {{E}_{D}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - {{E}_{D}}} {kT}}} \right. \kern-0em} {kT}})$ (где ${{E}_{D}}$ – энергия активации диффузии), то в начальном приближении в качестве энергии активации электромиграции можно принять величину ${{E}_{D}}.$

Учтем теперь, что в интересующем нас случае медной металлизации электромиграция происходит в основном по границе (интерфейсу) медного проводника и защитного диэлектрика, и рассмотрим простейшую модель механизма транспорта ионов в таком интерфейсе. Будем считать, что интерфейс представляет собой плоский слой, образованный приповерхностными слоями соединенных кристаллических материалов 1 и 2 (бикристаллическая модель). Положим также, что в интерфейсе имеет место диффузия ионов только одного из материалов 1; это положение отвечает тому факту, что в случае медной металлизации проводник (материал 1) покрывается защитным диэлектриком (материал 2), в котором электромиграция практически отсутствует [7]. Кроме того, примем, что диффузия ионов материала 1 в интерфейсе происходит по вакансионному механизму [1, 7] и таким образом, что диффундирующие ионы остаются в достаточно тонком граничном слое материала 1, входящем в интерфейс. Ниже для наглядности рассмотрим предельный случай, полагая, что диффузия происходит непосредственно в граничной плоскости материала 1.

В соответствии со сформулированными выше представлениями энергия активации диффузии ${{E}_{D}}$ определяется работой, которую должен затратить ион для перехода через энергетический барьер (седловая точка), чтобы попасть из решеточного узла в граничной плоскости материала 1 в смежную с ним вакансию в этой же плоскости. Тогда энергия активации электромиграции ${{H}_{{EM}}}$ (в рассматриваемом приближении ${{H}_{{EM}}} = {{E}_{D}}$) может быть записана в виде суммы следующих вкладов, представляющих собой работу преодоления сил межатомного взаимодействия (притяжения) между рассматриваемым ионом и его ближайшими соседями в имеющейся кристаллической структуре:

где ${{P}_{{1S}}},$ ${{P}_{{1V}}}$ и ${{P}_{I}}$ – силы, с которыми диффундирующий ион деформирует (растягивает) связи с ближайшими соседями в кристаллических решетках граничной плоскости материала 1, его объема и граничной плоскости материала 2, соответственно; ${{x}_{{1S}}},$ ${{x}_{{1V}}}$ и ${{x}_{I}}$ – возникающие при этом изменения расстояний от иона до ближайших соседей вдоль линий действия сил ${{P}_{{1S}}},$ ${{P}_{{1V}}}$ и ${{P}_{I}};$ ${{z}_{{1S}}},$ ${{z}_{{1V}}}$ и ${{z}_{I}}$ – число ближайших соседей иона (координационные числа) в соответствующих решетках. Для того, чтобы избежать излишней громоздкости при записи формулы (2) и последующих соотношений, предполагается, что взаимодействие рассматриваемого иона с ближайшими соседями в каждой из указанных решеток происходит одинаковым образом (в общем случае вместо умножения на координационные числа должны производится суммирования вкладов от взаимодействия с соответствующими ближайшими соседями). Пределы интегрирования в (2) отвечают начальному и конечному положению иона при его переходе из узла решетки граничной плоскости материала 1 (нижний предел – принимается за 0) в седловую точку (верхний предел), положение которой определяется конкретной кристаллической структурой материалов 1 и 2 и параметрами смежной вакансии.

Отметим, что вблизи положения равновесия в узле решетки граничной плоскости материала 1 (т.е. при значениях смещений ${{x}_{{1S}}},$ ${{x}_{{1V}}}$ и ${{x}_{I}},$ много меньших межатомных расстояний) взаимодействия иона с ближайшими соседями могут рассматриваться как классические колебательные степени свободы [11]. В этом случае для зависимостей ${{P}_{{1S}}}({{x}_{{1S}}}),$ ${{P}_{{1V}}}({{x}_{{1V}}})$ и ${{P}_{I}}({{x}_{I}})$ справедливо линейное приближение (закон Гука):

где $j = 1S,$ $1V,$ I; ${{K}_{j}}$ – коэффициенты “упругости” соответствующих связей.

Покажем теперь, что силу ${{P}_{I}}$ можно связать с величиной обратимой работы внешних сил W_a, которую необходимо затратить на разделения материалов 1 и 2 по интерфейсу между ними (в расчете на единицу его площади) [9, 12]:

где ${{\gamma }_{1}},$ ${{\gamma }_{2}}$ и ${{\gamma }_{{12}}}$ – коэффициенты поверхностного натяжения свободных поверхностей материалов 1 и 2 и интерфейса между ними, соответственно. Величина (4), называемая также обратимой работой адгезии, характеризует адгезионную прочность интерфейса между материалами 1 и 2.

Пусть к материалам 1 и 2 перпендикулярно границе между ними приложено растягивающее механическое напряжение σ (сила на единицу площади интерфейса), приводящее к квазистатическому обратимому увеличению зазора между материалами вплоть до полного их разделения. Напряжение σ = σ(δ) является функцией смещения δ граничных поверхностей соединенных материалов относительно их положения в исходном ненагруженном (δ = 0) состоянии. Поскольку в процессе разделении растягиваются связи между атомами граничных плоскостей материалов 1 и 2, то можно считать, что $\sigma = \sigma ({{x}_{I}})$ = ${{n}_{I}}{{P}_{I}}({{x}_{I}})$ (где ${{n}_{I}}$ – количество таких связей в интерфейсе в расчете на единицу его площади). Тогда обратимая работа ${{W}_{a}},$ затраченная на разделение материалов, может быть записана в следующем виде см. (также [7, 12]):

где ${{x}_{I}} = 0$ отвечает исходному состоянию границы, а ${{x}_{I}} = {{\delta }_{c}}$ – минимальное смещение, начиная с которого материалы 1 и 2 уже могут рассматриваться как разделенные (т.е. σ(δ_с) = 0).

Таким образом, зависимость ${{P}_{I}}({{x}_{I}}) \geqslant 0$ должна обращаться в нуль при ${{x}_{I}} = 0$ и ${{x}_{I}} = {{\delta }_{с}},$ т.е. иметь максимум на этом интервале. Такого типа зависимость сил от смещения атомов в кристаллах обычно аппроксимируют половиной периода синусоидальной функции следующего вида (см., например, [7, 13] и литературу в этих работах):

где ${{P}_{{Ic}}}$ – максимальная величина силы, приложенной для обратимого разделения материалов 1 и 2 (в расчете на одну межатомную связь через интерфейс). Разлагая (6) на малых расстояниях (${{x}_{I}} \ll {{\delta }_{с}}$) и сравнивая с (3), имеем, что ${{K}_{I}} = {{{{P}_{{Ic}}}\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{{{P}_{{Ic}}}\pi } {{{\delta }_{с}}}}} \right. \kern-0em} {{{\delta }_{с}}}},$ т.е. в (6) можно считать ${{P}_{{Ic}}} = {{{{K}_{I}}{{\delta }_{с}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{K}_{I}}{{\delta }_{с}}} \pi }} \right. \kern-0em} \pi }.$ С учетом этого соотношения, подставляя (6) в (5) и интегрируя (5) от 0 до ${{\delta }_{c}},$ получим для работы ${{W}_{a}}$ разделения интерфейса:

откуда имеем, что ${{K}_{I}} = {{{{W}_{a}}{{\pi }^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{W}_{a}}{{\pi }^{2}}} {{{n}_{I}}\delta _{с}^{2}}}} \right. \kern-0em} {{{n}_{I}}\delta _{с}^{2}}} \sim {{W}_{a}}.$

Считая далее, что при движении диффундирующего иона из решеточного узла до седловой точки растяжение его связей с ближайшими соседями значительно меньше, чем требуется для их разрыва, т.е. выполняются условия приближения (3), и подставляя выражение (3) для ${{P}_{I}}$ в (2), с учетом (7) получаем энергию активации электромиграции в виде:

где λ – величина смещения ${{x}_{I}},$ отвечающая положению седловой точки; $\alpha > 0$ – константа, представляющая сумму двух первых слагаемых в (8), т.е. в рамках рассматриваемой модели связанная только с характеристиками материала 1; $\beta = {{{{z}_{I}}{{\pi }^{2}}{{\lambda }^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{z}_{I}}{{\pi }^{2}}{{\lambda }^{2}}} {2{{n}_{I}}\delta _{с}^{2}}}} \right. \kern-0em} {2{{n}_{I}}\delta _{с}^{2}}} > 0$ – константа, зависящая от свойств взаимодействия материалов 1 и 2 через интерфейс. Отметим, что из сравнения (8) с результатами экспериментов [7], следует, что для медной металлизации $\alpha = {{H}_{{EM}}}({{W}_{a}} = 0) = 0.4$ эВ – энергия активации диффузии по свободной поверхности меди.

Таким образом, развитые модельные представления приводят к линейному соотношению (8) между ${{H}_{{EM}}}$ и ${{W}_{a}},$ которое согласуется с экспериментальными данными, полученными в работе [7] для медных межсоединений.

3. ВЛИЯНИЕ ТОЧЕЧНЫХ ДЕФЕКТОВ НА ЭНЕРГИЮ АКТИВАЦИИ ЭЛЕКТРОМИГРАЦИИ ВДОЛЬ ИНТЕРФЕЙСА

Полученное выше соотношение (8) позволяет установить и проанализировать, каким образом скорость электромиграции вдоль интерфейса может зависеть от содержания неравновесных точечных дефектов в объемах материалов, образующих интерфейс.

Ранее в работах [12, 14] была развита термодинамическая модель адгезионной прочности, основанная на представлении о том, что при наличии в соединенных материалах неравновесных точечных дефектов между интерфейсом и объемами материалов происходит их обмен (процессы адсорбции и десорбции), в результате которого устанавливается некоторое стационарное распределение дефектов. В [12, 14] в рамках этих представлений была получена величина обратимой работы разделения по интерфейсу ${{W}_{a}}$ как функция от концентраций С₁ и С₂ точечных кристаллических дефектов (атомарные примеси внедрения и замещения, вакансии) в объемах соединенных материалов. Используя эти результаты и соотношение (8), можно исследовать, как дефектность соединенных материалов будет влиять на энергию активации (и тем самым на скорость) электромиграции по интерфейсу.

Рассмотрим здесь в качестве примера, к каким изменениям в ${{H}_{{EM}}}$ приводит наличие в соединенных материалах неравновесных атомарных примесей внедрения. В работе [14] было получено, что в этом случае работа обратимого разделения ${{W}_{a}} = {{W}_{a}}({{C}_{1}},{{C}_{2}})$ определяется системой уравнений:

где ${{C}_{i}} < 1$ – безразмерные концентрации (доли) примесей в материалах 1 и 2, ${{h}_{i}} = {{{{K}_{{ai}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{K}_{{ai}}}} {{{K}_{{di}}}}}} \right. \kern-0em} {{{K}_{{di}}}}}$ (безразмерный параметр), K_ai, K_di – константы скорости процессов адсорбции и десорбции примесей при их обмене между объемом i-го материала и границей; ${{h}_{{si}}} = {{K_{{ai}}^{{(s)}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{K_{{ai}}^{{(s)}}} {K_{{di}}^{{(s)}}}}} \right. \kern-0em} {K_{{di}}^{{(s)}}}}$ (безразмерный параметр); $K_{{ai}}^{{(s)}}\;{\text{и}}\;K_{{di}}^{{(s)}}$ – константы скорости процессов адсорбции и десорбции примесных атомов на свободной поверхности i-го материала (d_i – толщина приповерхностного слоя i-го материала, в котором эти процессы происходят): ${{\Omega }_{1}}$ и ${{\Omega }_{2}}$ – удельные атомарные объемы в материалах 1 и 2, соответственно, b – ширина интерфейса.

Поскольку каждое уравнение (9) можно проинтегрировать независимо, то решение этой системы записывается в виде суммы соответствующих интегралов [14], и с учетом соотношения (8) энергия активации электромиграции как функция концентраций примесей в соединенных материалах может быть представлена в виде:

где $H_{{EM}}^{{(0)}} = {{H}_{{EM}}}(0,0)$ = $\alpha + \beta W_{a}^{{(0)}}$ и $W_{a}^{{(0)}}$ = W_a(0, 0) – постоянная интегрирования уравнений (15) (работа разделения в отсутствие примесей). Отметим, что в (10) подразумевается, что концентрации примесей C₁ и C₂ определяются внешними условиями и поэтому могут быть равными нулю. Далее рассмотрим некоторые особенности зависимости H_EM(C₁, C₂), следующие из выражения (10).

1. Для приложений, связанных с улучшением надежности функционирования металлизации, представляет, в частности, большой интерес выяснение таких условий на параметры интерфейса, при которых зависимость ${{H}_{{EM}}}({{C}_{1}},{{C}_{2}})$ может иметь экстремум в виде максимума, минимума или седловой точки.

Учитывая, что согласно (8) имеет место $\frac{{\partial {{H}_{{EM}}}}}{{\partial {{C}_{i}}}}$ ~ ~ $\frac{{\partial {{W}_{a}}}}{{\partial {{C}_{i}}}}$ и, приравняв к нулю выражения (9), получим для значений концентраций дефектов ${{C}_{1}} = C_{1}^{*}$ и ${{C}_{2}} = C_{2}^{*}$ в точке возможного экстремума выражения:

Из (11) следует, что $C_{i}^{*}$ попадает в интервал 0 < < $C_{i}^{*}$ < 1, если выполняется одно из следующих условий:

или

В противном случае $C_{i}^{*}$ выходит из интервала допустимых значений, т.е. $C_{i}^{*}$ < 0 или $C_{i}^{*}$ > 1.

Для того, чтобы определить тип экстремума (максимум, минимум или седловая точка), который имеет место в точке (11) при соблюдении условий (12), необходимо исследовать знаки вторых производных:

и величины $D = {{R}_{{11}}}{{R}_{{22}}} - R_{{12}}^{2}$ в этой точке.

Для дальнейшего изложения удобно ввести параметры:

Тогда (11) перепишется в виде:

Используя (11) и учитывая, что ∂H_EM/∂C_i = 0 при ${{C}_{i}} = C_{i}^{*},$ получим, что производные (13) при ${{C}_{i}} = C_{i}^{*}$ равны:

и R₁₂ = 0, т.е. величина D = R₁₁R₂₂.

Как следует из (16) и (15), при выполнении условия (12б), обеспечивающего неравенство $0 < C_{i}^{*} < 1,$ имеет место R_ii > 0. В этом случае в соответствие с общей теорией функций двух переменных H_EM (C₁, C₂) имеет минимум в точке $C_{i}^{*}.$ В противоположном случае, когда выполняется условие (12a) (т.е. A_iE_i – B_iD_i < 0) получаем, что R_ii < 0, D > 0 и, следовательно, $C_{i}^{*}$ является точкой максимума.

Наконец, если условие (12a) выполняется при i = 1, а условие (12б) при i = 2 или наоборот, то R₁₁ и R₂₂ имеют разные знаки и D = R₁₁R₂₂ < 0. В этом случае $(C_{1}^{*},C_{2}^{*})$ является седловой точкой.

Таким образом, в зависимости от значений параметров (14) возможен различного рода немонотонный характер поведения энергии активации электромиграции (10) как функции концентраций примесных атомов в объемах соединенных материалах.

2. Поскольку на практике ионная электромиграция в межсоединениях представляет собой нежелательное явление, имеет смысл подробнее рассмотреть ситуацию, когда, увеличивая концентрации точечных дефектов (в данном случае это примеси внедрения), можно получить монотонный рост энергии активации ${{H}_{{EM}}},$ т.е. уменьшение скорости электромиграции и связанных с ней процессов.

Ограничимся для наглядности случаем, когда примесь имеется только в одном из граничащих материалов. Поскольку предполагается, что электромиграция имеет место только в материале 1 (металл), то для того, чтобы не усложнять описания электромиграции из-за дополнительного физического фактора, будем считать, что примесь присутствует только в материале 2. Тогда С₁ = 0, и согласно выражению (8) и второму из уравнений (9) имеем условие роста энергии активации ${{H}_{{EM}}}{\text{:}}$

Поскольку в (17) все знаменатели положительны при любых значениях ${{h}_{2}} > 0,$ ${{h}_{{s2}}} > 0$ и $0 \leqslant {{C}_{2}} < 1,$ то это условие, как нетрудно видеть, сводится к неравенству

Проанализируем возможность выполнимости этого условия в некоторых частных случаях

а. Пусть, например, величины b и d₂ близки, т.е. оценочно будем считать b = d₂ в (18). Тогда с учетом ограничения $0 \leqslant {{C}_{2}} < 1$ можно получить, что условие (18) выполняется, если ${{h}_{2}} > {{h}_{{s2}}}.$ Неравенство ${{h}_{2}} > {{h}_{{s2}}}$ означает, что граница соединения материала 2, содержащего примеси, с другим является относительно лучшим их поглотителем, чем свободная поверхность этого материала.

б. Если же имеют место более реальные соотношения:

то в левой части условия (18) можно пренебречь вторым слагаемым, и это условие будет выполняться при $b > {{d}_{2}}.$ Отметим, что в этом случае, согласно (19), ${{h}_{2}} \gg 1$ и ${{h}_{{s2}}} \gg 1,$ то есть интерфейс и свободная поверхность материала 2 должны значительно активней адсорбировать дефекты (примеси внедрения), чем десорбировать их. Учтем далее, что температурная зависимость параметров ${{h}_{2}}$ и ${{h}_{{s2}}}$ носит аррениусовский характер [14], то есть с точностью до предэкспонент

где $\Delta {{E}_{2}}$ и $\Delta {{E}_{{s2}}}$ – разность энергий активации десорбции и адсорбции атомов примеси внедрения в интерфейсе и на свободной поверхности материала 2, соответственно. Полагая, что интерфейс, как и приповерхностный слой материала 2, имеет более рыхлую структуру, чем его объем, оправданно считать, что $\Delta {{E}_{2}},$ $\Delta {{E}_{{s2}}} > 0$ (см. также [12]). Кроме того, учтем, что при адсорбции и десорбции атомы примеси внедрения перемещаются по междоузлиям, и энергии активации таких процессов могут составлять ~1 эВ. Тогда принимая оценку $\Delta {{E}_{2}},$ $\Delta {{E}_{{s2}}}\sim 0.5$ эВ, при комнатных температурах $kT \approx 0.025$ эВ из (20) получим ${{h}_{2}},$ ${{h}_{{s2}}}\sim {{10}^{8}}.$ Для этой оценки второе из условий (19) будет выполняться, начиная уже с достаточно малых концентраций примеси ${{C}_{2}} \geqslant {{10}^{{ - 7}}} - {{10}^{{ - 6}}},$ что отвечает условиям применимости термодинамической модели, развитой в работах [12, 14] для описания влияния точечных дефектов на величину работы обратимого разделения ${{W}_{a}}.$

Представляет интерес в рамках этого же случая (выполнения условия (19)) оценить, при каких концентрациях примесей в условиях (19) добавка к энергии активации электромиграции $\Delta {{H}_{{EM}}}({{C}_{2}}),$ обусловленная примесью внедрения, могла бы составить некоторую заметную долю $H_{{EM}}^{{(0)}}$ (энергия активации в отсутствие примесей). Для этого, приравнивая второе слагаемое в (10) при ${{C}_{1}} = 0$ к $\varepsilon H_{{EM}}^{{(0)}}$ (где $0 < \varepsilon < 1$ – численный коэффициент), получим соотношение:

где, согласно (8), $\beta = {{{{z}_{I}}{{\pi }^{2}}{{\lambda }^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{z}_{I}}{{\pi }^{2}}{{\lambda }^{2}}} {2{{n}_{I}}\delta _{с}^{2}}}} \right. \kern-0em} {2{{n}_{I}}\delta _{с}^{2}}}.$ Считая далее, что ${{C}_{2}} \ll 1$ и ${{C}_{2}}{{h}_{2}},$ ${{C}_{2}}{{h}_{{s2}}} \gg 1$ и разрешая (21) относительно ${{C}_{2}},$ получим:

При оценке (22) учтем, что в рассматриваемом случае $b\sim {{d}_{2}}\sim \left| {b - {{d}_{2}}} \right|$ и для выполнения условия (18), как было получено выше, требуется $b > {{d}_{2}}.$ Тогда, положив для определенности $\lambda \leqslant {{{{\delta }_{с}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\delta }_{с}}} 2}} \right. \kern-0em} 2},$ ${{n}_{I}} \approx \Omega _{2}^{{{{ - 2} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 2} 3}} \right. \kern-0em} 3}}}$ и $b = 3$ Å, ${{d}_{2}} = 2$ Å, ${{z}_{I}} \sim 1,$ ${{\Omega }_{2}} = {{10}^{{ - 29}}}$ м³ [15], $H_{{EM}}^{{(0)}} \approx 1$ эВ [7], $kT \approx 0.025$ эВ, из (22) получим следующую оценку для ${{C}_{2}}{\text{:}}$

Например, при $\varepsilon = 0.3$ (т.е. $\Delta {{H}_{{EM}}}({{C}_{2}})$ = $0.3H_{{EM}}^{{(0)}}$ ~ ~ 0.3 эВ) и полученной выше оценке h₂, h_s2 ~ 10⁸ имеем отсюда, что ${{С}_{2}}\sim {{10}^{{ - 6}}},$ а при ε = 0.5 (ΔH_EM(C₂) = = 0.5 эВ) это соотношение дает ${{С}_{2}}\sim {{10}^{{ - 5}}},$ что согласуется с оценками С₂, следующими из требования положительности производной (17) и условия ${{C}_{2}}{{h}_{2}},$ ${{C}_{2}}{{h}_{{s2}}} \gg 1.$ Оценочное равенство (23) допускает как соотношение ${{h}_{2}} > {{h}_{{s2}}},$ так и противоположное ${{h}_{2}} < {{h}_{{s2}}},$ однако последний случай ограничен условием ${{С}_{2}} < 1.$

Отметим, что энергии активации электромиграции непосредственно связана с временем жизни (временем до отказа) металлизации ${{\tau }_{F}}$ известным соотношением Блэка ${{\tau }_{F}}$ ∼ $\exp ({{{{H}_{{EM}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{H}_{{EM}}}} {kT}}} \right. \kern-0em} {kT}})$ (см., например, в [1]), которое при наличии примесей в материале 2 и с учетом соотношения (21) запишется в виде:

т.е. ${{\tau }_{F}} \approx {{\tau }_{0}}\exp [{{\Delta {{H}_{{EM}}}({{C}_{2}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{\Delta {{H}_{{EM}}}({{C}_{2}})} {kT}}} \right. \kern-0em} {kT}}],$ где ${{\tau }_{0}}$ – время до отказа в отсутствие примеси. Таким образом, согласно сделанным выше оценкам при $H_{{EM}}^{{(0)}}$ ≈ 1 эВ, ${{С}_{2}}\sim {{10}^{{ - 6}}}$ и комнатных температурах можно рассчитывать на выполнение следующего соотношения $\Delta {{H}_{{EM}}}({{C}_{1}})$ ∼ $0.1H_{{EM}}^{{(0)}},$ что отвечает оценке: ${{\tau }_{F}} \sim {{\tau }_{0}}{{10}^{2}},$ означающей потенциальную возможность значительного увеличения времени до отказа.

3. Получим также условия, при которых добавление примесей внедрения приводит к уменьшению энергии активации электромиграции. Для упрощения вновь рассмотрим случай, когда примесные атомы имеются только в материале 2, т.е. C₁ = 0 и ${{H}_{{EM}}} = H_{{EM}}^{{(0)}}$ + $\Delta {{H}_{{EM}}}({{C}_{2}}),$ где $\Delta {{H}_{{EM}}}({{C}_{2}})$ имеет вид (21), но в правой части (21) надо заменить $\varepsilon $ на $( - \varepsilon ),$ где $0 < \varepsilon < 1.$

Пусть, кроме того, величины b и d₂ близки, т.е. будем считать, что b = d₂ в соотношении (21). Как следует из (9), в этом случае функция $H_{{EM}}^{{}}({{C}_{2}})$ на отрезке 0 < C₂ ≤ 1 является монотонно убывающей, когда ${{h}_{2}} < {{h}_{{s2}}}.$ Подставляя b = d₂ в (21), получим:

Из (24) имеем следующее решение для ${{C}_{2}}{\text{:}}$

Анализ (25) показывает, что эти решения попадают в интервал $0 < C_{2}^{{}} < 1$ только при условии

то есть заведомо должно иметь место ${{{{h}_{{s2}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{s2}}}} {{{h}_{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{h}_{2}}}} > 1,$ что совпадает с условием монотонного убывания зависимости ${{H}_{{EM}}}({{C}_{2}}).$ Отметим, что это неравенство противоположно тому, которое было получено в п. 2 для роста ${{H}_{{EM}}}({{C}_{2}}),$ и оно усиливается с уменьшением температуры.

Оценим величину параметра χ = = $\exp \left( {{{\varepsilon H_{{EM}}^{{(0)}}{{\Omega }_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\varepsilon H_{{EM}}^{{(0)}}{{\Omega }_{2}}} {\beta kTb}}} \right. \kern-0em} {\beta kTb}}} \right),$ входящего в условие (26) и выражение (24). Используя те же величины, что и при оценке (22) и замечая, что в (22) экспоненциальный множитель совпадает с $\chi $, если (b-d₂) заменить на b, получим для (26) оценку: ${{{{h}_{{s{\text{2}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{s{\text{2}}}}}} {{{h}_{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{h}_{2}}}} > \chi $ ≈ ${\text{exp}}\left( {{{{\text{0}}{\text{.1}}\varepsilon H_{{EM}}^{{(0)}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text{0}}{\text{.1}}\varepsilon H_{{EM}}^{{(0)}}} {kT}}} \right. \kern-0em} {kT}}} \right){\text{.}}$ В частности, при $H_{{EM}}^{{(0)}} \approx 1$ эВ, комнатных температурах kT ≈ 0.025 эВ и $\varepsilon \approx 0.1 - 0.5$ имеем ${{{{h}_{{s{\text{2}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}_{{s{\text{2}}}}}} {{{h}_{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{h}_{2}}}} > \chi $ ≈ 1–10.

Таким образом, в данном случае, когда свободная поверхность материала оказывается лучшим поглотителем атомов примеси внедрения (относительно их десорбции с этой поверхности), чем граница соединения этого материала с другим, добавление такой примеси приводит к уменьшению энергии активации электромиграции, то есть к ускорению связанных с электромиграцией процессов деградации металлизации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе развиты теоретические представления, позволяющие установить существование определенной взаимосвязи между энергией активации ${{H}_{{EM}}}$ электромиграции собственных ионов проводящего материала по границе его соединения (интерфейсу) с другим (диэлектрическим) материалом и работой ${{W}_{a}}$ обратимого разделений материалов по этой границе. Разработанная теоретическая модель основана на представлении о том, что при вакансионном механизме диффузии ионов по интерфейсу происходит растяжение (деформация) энергетических связей между диффундирующим ионом и ближайшим окружением, в том числе и связей, осуществляющих адгезию соединенных материалов. Развитая теория детально описывает физические механизмы, лежащие в основе исследуемого процесса, и позволила разработать необходимые расчетные методы для его количественного описания. Установлен, в частности, характер связи энергии активации электромиграции ${{H}_{{EM}}}$ по границе соединения проводника и диэлектрика с работой ${{W}_{a}}$ обратимого разделения этих материалов. Как показано в настоящей работе, это соотношение является линейным, что согласуется с имеющимися экспериментальными данными [7].

Основываясь на развитых теоретических представлениях и используя также результаты, содержащиеся в работах авторов [9, 10, 12, 14] по моделированию работы адгезии ${{W}_{a}},$ в настоящей работе установлена и проанализирована возможность целенаправленного изменения величины энергии активации ${{H}_{{EM}}}$ путем внедрения в объемы соединенных, материалов неравновесных точечных дефектов (вакансий, атомарных примесей); такое воздействие может заметно влиять на скорость электромиграции вдоль интерфейса. Если данный канал электромиграции является основным, как это имеет место в случае медной металлизации, то предлагаемый метод позволяет эффективно влиять на время до отказа таких межсоединений и может послужить основой способа управления временем до отказа. Дальнейшее исследование и использование эффекта влияния внедренных примесей точечных дефектов на время до отказа, который предложен в настоящей работе, представляет, на наш взгляд, несомненный практический интерес.

В случае, когда точечными дефектами являются примеси внедрения, аналитически получены и исследованы условия, при которых имеет место увеличение или уменьшение ${{H}_{{EM}}}$ с ростом концентрации дефектов; найдена зависимость этих условий от температуры. В предположении, что примесные атомы внедрены только в один из материалов, даны оценки таких концентраций примеси, которые приводят к заметному изменению величины ${{H}_{{EM}}}$ (порядка $(0.1 - 0.5)H_{{EM}}^{{(0)}},$ где $H_{{EM}}^{{(0)}}$ – энергия активации ионной электромиграции в отсутствие примесей).

Проведенное исследование и полученные оценки показывают, что путем введения точечных дефектов в материалы, образующие микроэлектронные межсоединения, можно эффективно и целенаправленно управлять электромиграционным массопереносом в поверхностных слоях проводящих элементов и, следовательно, кинетикой процессов, которые могут приводить к деградации этих элементов, причем особую актуальность полученные результаты имеют в применении к различным системам медной металлизации.

Результаты работы полезны для улучшения технологии изготовления и повышения надежности функционирования элементов микро- и наноэлектронных схем.

Работа выполнена в рамках Государственного задания ФТИАН им. К.А. Валиева РАН Минобрнауки РФ по теме № 0066-2019-0004.