Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2023, № 6, стр. 32-37

1. МОДЕЛЬ СЛЕДА С НЕЛИНЕЙНЫМ ПРЕДСТАВЛЕНИЕМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПАРЦИАЛЬНЫХ ДОРОЖЕК КАРМАНА

Для построения модели следа от пары цилиндров, расположенных в плоскости перпендикулярной набегающему потоку вязкого несжимаемого флюида, исходим из модели Ландау–Стюарта (Л–С) следа от одиночного цилиндра. Она обоснована на решении краевой задачи для уравнений Навье–Стокса [2, 3] в случае ламинарного двумерного течения при числе Рейнольдса $R < 180$. Здесь число Рейнольдса определено по диаметру цилиндров $D$ и невозмущенной скорости течения ${{U}_{\infty }}$. При построении модели учитывается, что осцилляции в различных точках одной дорожки К приблизительно когерентны, но различаются по амплитуде и фазе колебаний, так, что вся дорожка за порождающим ее цилиндром моделируется уравнением одного осциллятора Л–С [4, Fig. 4]. (Упомянутая когерентность в ламинарном следе соблюдается точно только после выхода на стационар $t \to \infty $.) В рамках теории возмущений, комплексный след от пары цилиндров рассматривается как две парциальные дорожки К, существенно взаимодействующие между собой в области их формирования, вблизи порождающих цилиндров. Соответственно, записываются два связанных (возмущенных, модифицированных) уравнения осцилляторов Л–С для двух комплексных, учитывающих фазу осцилляций, управляющих параметров ($a$ и $b$) двух осцилляторов-дорожек К. В рассматриваемой модели цилиндры должны располагаться не слишком тесно, иначе их комплексный след вырождается в одну дорожку К от одного плохо проницаемого тела – пары цилиндров. В последнем случае пара взаимодействующих дорожек К будет неудачным первым приближением для такого комплексного следа.

Уравнения (1.1), (1.2) приведены в форме принятой в [3]. Здесь зависимыми переменными являются: $a$ – управляющий параметр первой дорожки К, $b$ – управляющий параметр второй дорожки. В эксперименте эти управляющие параметры отождествляются, с точностью до мультипликативной константы, с поперечной составляющей скорости течения в характерной точке соответствующей дорожки (точке на ее оси, т.е. там, где среднее значение поперечной скорости нулевое). Удаление этой точки вниз по потоку от порождающего цилиндра целесообразно выбрать равным $x{\text{/}}D \approx 5$, поскольку в этом случае коэффициенты уравнений Л–С наиболее консервативны [4, Fig. 3]. Черта над символом управляющего параметра в уравнениях обозначает комплексное сопряжение. Независимое переменное $t$ в уравнениях – это время, обезразмеренное по невозмущенной скорости течения и диаметру цилиндров $t = {{t}_{{phys}}}{{U}_{\infty }}{\text{/}}D$. Уравнения (1.1), (1.2) содержат параметры, наследуемые от модели Л–С для следа одиночного цилиндра. Во-первых, это безразмерная частота установившихся колебаний на пороге (при критическом числе Рейнольдса ${{R}_{{cr}}} = 46$, [3]) бифуркации Ландау–Хопфа к осциллирующему течению ${{\omega }_{0}} = 2\pi S{{h}_{1}} = 0.74$, где $S{{h}_{1}} = {{f}_{{L - H}}}D{\text{/}}{{U}_{\infty }}$ – соответствующее число Струхаля. Во-вторых, малый параметр ε_LS = = $(1{\text{/}}{{R}_{{cr}}}) - (1{\text{/}}R)$, определяющий малую скорость эволюции следа в масштабе периода базовых осцилляций. В-третьих, два комплексных параметра $\lambda $ и $\mu $ модели Л–С, фактически определяющих, совместно с ${{\varepsilon }_{{LS}}}$, динамику классического осциллятора Л–С – уединенной дорожки К. В работе [3] приведены выражения $\lambda $ и $\mu $ через квадратуры от установившегося решения соответствующей краевой задачи. Для учета взаимодействия дорожек К в области их формирования в стандартные уравнения модели Л–С [3] введены дополнительные – возмущающие члены, пропорциональные действительным параметрам $l$ и $\Lambda $. Параметр $l$ характеризует интенсивность взаимодействия дорожек К, зависящую от относительной фазы осцилляций в дорожках К, а параметр $\Lambda $ – интенсивность фазонезависимого взаимодействия дорожек. Естественно ожидать, что оба этих параметра являются монотонно убывающими функциями расстояния между осями цилиндров. Форма возмущающих членов уравнений, т.е. их зависимость от определяющих параметров дорожек К – $a$ и $b$, выбрана нелинейной, поскольку известно, что простейшая – линейная форма дополнительных членов в уравнениях модели Л–С не приводит к полностью удовлетворительным результатам моделирования следа [5]. В пользу нелинейности возмущающих членов свидетельствует и квадратичная нелинейность основополагающих уравнений Навье–Стокса. Для случая турбулентного следа уравнения модели содержат в правой части стохастизирующие члены ${\text{St}}$ – аналог сил Ланжевена. Это – некоторые случайные функции времени, моделирующие воздействие высокочастотных мод течения на основную – низкочастотную моду осцилляций дорожки К, а также и влияние турбулентности набегающего потока. В соответствии с [3], без ограничения общности, можно считать, что $\operatorname{Re} \lambda = \operatorname{Re} \mu $, так чтобы управляющие параметры дорожек К удовлетворяли естественной нормировке $\left| a \right| = \left| b \right| = 1$ для случая установившегося следа от уединенных цилиндров $\Lambda = l = 0$.

Для анализа систему комплексных уравнений модели (1.1), (1.2) удобно привести к системе четырех уравнений для действительных амплитуд $r$, $\rho $ и фаз $\varphi $, $\psi $ осцилляций в двух дорожках К согласно преобразованию переменных (1.3)

Введем также “медленное” время $\tau = 2{{\varepsilon }_{{LS}}}\,t\,\operatorname{Re} {\kern 1pt} \lambda $, интенсивности $x = {{r}^{2}}$, $y = {{\rho }^{2}}$ и разность фаз $P = \varphi - \psi $ осцилляций в двух осцилляторах-дорожках К (по образцу [6]). В результате проведенных преобразований имеем систему четырех уравнений модели

Здесь введен коэффициент $k = - \operatorname{Im} \mu {\text{/}}2\operatorname{Re} \mu $. В модели (1.4)–(1.7) можно усмотреть отделяющуюся систему из трех уравнений (1.4), (1.5) и (1.8) для интенсивностей $x$, $y$ и относительной фазы $P$ колебаний в двух дорожках К, составляющих комплексный след.

Разрешив эту систему трех “ведущих” уравнений, можно восстановить полное решение согласно уравнениям (1.6) и (1.7). Как модель (1.4)–(1.7), так и ведущая система уравнений (1.4), (1.5), (1.8) содержит всего три действительных параметра: $k$, $\Lambda $ и $l$, причем первый из них – наследуемый от модели Л–С. Для его оценки можно использовать результаты расчета для случая следа от одиночного цилиндра вблизи порога бифуркации $R \approx {{R}_{{cr}}}$, согласно которому $k = 1.64$ по [3], или $k = - c{\text{/}}2 \approx 1.35$, где $с \approx - 2.7$ – “постоянная Ландау” для характерной точки дорожки К $x{\text{/}}D \approx 5$ по [4].

2. МОДЫ И РЕЖИМЫ СЛЕДА ОТ ПАРЫ ЦИЛИНДРОВ; СРАВНЕНИЕ С ЭКСПЕРИМЕНТОМ

Простую модель комплексного следа (1.4)–(1.8) удалось проанализировать почти полностью аналитически, определив набор мод и собственных частот осцилляций. Глобальные моды находим как линейно-устойчивые точки покоя или квазипериодические решения уравнений модели (1.4)–(1.8) при нулевых правых частях $St = 0$. Имеем следующий спектр мод – рис. 1. При произвольной интенсивности взаимодействия $\Lambda > 0$ и при $l > 0$, но вне клина $\Lambda > 0.5$, $\left| l \right| < 2{{\Lambda }^{2}} + 2\Lambda - 1.5$ существует первая симметричная мода, в форме одинаковых синфазно-синхронизованных парциальных дорожек К. Конфигурация моды I следующая: x = y = = $[\sqrt {{{{(1 + l)}}^{2}} + 4\Lambda (1 + \Lambda )} - (1 + l)]{\text{/}}2\Lambda $, $P = 0$. Напротив, при $\Lambda > 0$, но $l < 0$ и вне отмеченного клина существует вторая симметричная мода, в виде одинаковых противофазно-синхронизованных дорожек с конфигурацией: x = y = $[\sqrt {{{{(1 - l)}}^{2}} + 4\Lambda (1 + \Lambda )} - (1 - l)]{\text{/}}2\Lambda $, $P = \pi $. При относительно интенсивном взаимодействии парциальных дорожек К, т.е. на интервале изменения параметра $0.5 < \Lambda < 0.5(\sqrt 5 - 1)$, становится линейно-устойчивой третья асимметричная мода в форме двух различающихся по всем характеристикам дорожек К. Примерная конфигурация моды III следующая: $x \approx [1 + \sqrt {4\Lambda (1 + \Lambda ) - 3} ]{\text{/}}2\Lambda $, $y \approx [1 - \sqrt {4\Lambda (1 + \Lambda ) - 3} ]{\text{/}}2\Lambda $. Эта мода глобально устойчива в треугольнике параметров: $0.5 < \Lambda < 0.5(\sqrt 5 - 1)$, $\left| l \right| < 2{{\Lambda }^{2}} + 2\Lambda - 1.5$. Вне этого треугольника, когда параметр $\Lambda > \underline \Lambda {\kern 1pt} (l,k)$, она перемежается при $l > 0$ с модой I или при $l < 0$ с модой II. Здесь для левой границы области существования моды III, найденной численным расчетом системы уравнений (1.4)–(1.7), введено обозначение $\underline \Lambda {\kern 1pt} (l,k)$ (рис. 1, пунктир). При дальнейшем повышении интенсивности взаимодействия дорожек, т.е. при $\Lambda > 0.5(\sqrt 5 - 1)$, модель теряет корректность, ввиду предсказания для этой области не наблюдавшейся моды IV в форме невозмущенной дорожки К от одного из цилиндров при полном подавлении дорожки от второго цилиндра. Кроме того, при весьма малых значениях параметра $k$ дополнительно обнаруживается мода V в виде различающихся по интенсивности, но синхронизованных дорожек К (при $l < 0$ и 0.5 < Λ < < ($0.5(\sqrt 5 - 1)$ для этого требуется выполнение неравенства $k < 1{\text{/}}4\sqrt 2 $).

Рис. 1.

Области существования глобальных мод I–IV следа. На каждом сегменте плоскости $\Lambda ,\,l$ римскими цифрами нанесены номера реализующихся в пределах этого сегмента мод. Положение границ сегментов (сплошные линии) не зависит от параметра модели k, за исключением левой границы области существования моды III – $\underline \Lambda {\kern 1pt} (l,k)$, нанесенной пунктиром. Возможная траектория изменения параметров взаимодействия дорожек Кармана (согласно уравнениям (2.2), $\alpha = 1$) – зеленая штриховая линия.

Из приведенных данных видно, что спектр расчетных глобальных мод I–III точно соответствует экспериментально наблюдаемому набору трех огрубленных мод следа [7–9]. При этом, в случае достаточно широко разнесенных цилиндров $L{\text{/}}D > 2 - 2.5$, в эксперименте наблюдается перемежающееся течение по модам I и II, причем № II – преимущественно реализуемая мода, согласно [8]. Соответственно этому случаю, в модели при сравнительно слабом взаимодействии дорожек К – при $0 < \Lambda < 0.5$ воспроизводится одномодовое течение по моде II (при надлежащем выборе зависимости $l = l(\Lambda )$, о чем будет сказано ниже). Далее, при сближении цилиндров до расстояния $L{\text{/}}D = 2 - 2.5$ (в зависимости от числа Рейнольдса течения) в эксперименте визуализируется бифуркация от течения по моде II к перемежающемуся по модам II и III следу [7, 8]. Эта бифуркация полностью воспроизводится в рамках модели при критическом значении параметра $\Lambda \approx 0.5$: смотри движение изображающей точки слева-направо вдоль зеленой штриховой линии на рис. 1.

Что можно сказать о расчете собственных частот осцилляций по модам следа? Соответствующие данные приведены на рис. 2, где частоты осцилляций рассчитывались по формулам (2.1), для средних установившихся значений интенсивностей осцилляций в дорожках – $\langle x\rangle $ и $\langle y\rangle $.

Рис. 2.

Спектр собственных частот осцилляций в следе от двух цилиндров, случай $\left( {k{{\varepsilon }_{{LS}}}\operatorname{Re} \lambda } \right){\text{/}}\left( {2\pi S{{h}_{1}}} \right) = 0.2$. Номера мод приведены возле соответствующих ветвей спектра римскими цифрами. Сплошные черные кривые соответствуют траектории изображающей точки, проходящей по верхней границе существования моды II – согласно уравнению (2.2) при значении $\alpha = 0$, зеленые штриховые линии – для траектории (2.2): $\alpha = 1$.

В частности, для уединенных дорожек $\Lambda = l = 0$ имеем $\langle x\rangle = \langle y\rangle = 1$, и соответствующие безразмерные частоты осцилляций ${{\omega }_{x}} = {{\omega }_{y}} = 1$ при любом закритическом числе Рейнольдса течения $R > {{R}_{{cr}}}$. Дорожки К в комплексном следе интенсивно взаимодействуют лишь в области их формирования вблизи цилиндров, соответственно, считаем основной параметр, характеризующий взаимодействие дорожек в модели, – $\Lambda (L{\text{/}}D,\,R)$ монотонно убывающей функцией расстояния между осями цилиндров $L{\text{/}}D$. (Дополнительно учитываем, что эффективный зазор между цилиндрами, с учетом пограничных слоев на цилиндрах, определяется не исключительно геометрией, но и числом Рейнольдса). Для согласования расчетных частот с экспериментальными данными, выбираем значение второго параметра взаимодействия – $l$ чуть ниже верхней границы области существования моды II, например:

С учетом установленного соответствия $l = l(\Lambda )$ и $\Lambda = \Lambda (L{\text{/}}D,\,R)$ констатируем хорошее согласие расчетных данных о распределении частот осцилляций по глобальным модам следа – рис. 2 с известными экспериментальными данными $Sh = Sh(L{\text{/}}D,\,R)$ [7, Fig. 31, 32; 8, Fig. 14a]. Замечание: если на интервале $0 \leqslant \Lambda \leqslant 0.5$ сместить траекторию изображающей точки чуть выше уровня $l = 0$, то в рамках модели, при слабом взаимодействии дорожек К вместо моды II будет существовать мода I, но частота осцилляций по моде I останется примерно единичной (как и была для моды II), что соответствует экспериментальным измерениям для разнесенных цилиндров $L{\text{/}}D > 2 - 2.5$ (когда частоты осцилляций по перемежающимся модам I и II не удается различить).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Вариант модели ближнего следа от пары цилиндров, установленных бок о бок, предлагается как обобщение, с использованием теории возмущений, известной, обоснованной модели Ландау–Стюарта для следа уединенного цилиндра. Этот вариант, в целом, адекватно воспроизводит спектр огрубленных экспериментальных мод комплексного следа I–III и, в частности, бифуркацию к режиму перемежаемости мод ${\text{II}} \to {\text{II/III}}$ в турбулентном следе, а также собственные частоты осцилляций мод следа для не слишком близко расположенных цилиндров, примерно $L{\text{/}}D \geqslant 1.5$. Известно [7–9], что при меньших расстояниях, в результате усиления взаимодействия между областями формирования дорожек К, след принимает форму одной широкой дорожки К. Такая форма комплексного следа плохо воспроизводится в рамках модели, хотя и допускает неформальную интерпретацию в виде следа в состоянии моды III с наличествующей низкочастотной дорожкой К, но при полностью релаксировавшей вниз по потоку высокочастотной дорожке. Существенное различие в скорости диссипации двух дорожек, составляющих моду III, действительно наблюдается в эксперименте [7, 8].

Лежащая в основе предлагаемой модели, модель Л–С следа от одиночного цилиндра находит применение в широком диапазоне чисел Рейнольдса $R < {{10}^{5}}$ (например, при расчете ветровой нагрузки линий передачи электроэнергии, трубопроводов). Можно ожидать, что обобщенная модель комплексного следа работоспособна примерно в том же широком диапазоне чисел Рейнольдса. Здесь подразумевается, что эффективность применения теории возмущений в предлагаемой модели следа определяется, прежде всего, широко варьируемой интенсивностью $\Lambda $ и $l$ возмущающих членов уравнений, а не изменением сравнительно консервативных наследуемых параметров модели Л–С. Естественно, численные значения коэффициентов уравнений модели будут варьировать при изменении числа Рейнольдса течения, граничных условий на концах цилиндров и других параметров задачи, как это имеет место уже для следа одиночного цилиндра, например [10].

Здесь уместно отметить, что осцилляторная модель следа от двух цилиндров, при нелинейном представлении взаимодействия парциальных дорожек К, рассматривается нами где-то с 2013 г. При этом смоделировать экспериментальное распределение частот осцилляций по модам следа [7, Fig. 31, 32; 8, Fig. 14a] в широком диапазоне изменения интенсивности взаимодействия дорожек К удалось только в 2022 г., тогда как набор трех огрубленных мод I–III следа был получен сразу [6, 11, 12]. Предыдущие варианты модели удавалось согласовать с нашими измерениями базовых частот осцилляций только для одного фиксированного расстояния между осями цилиндров $L{\text{/}}D = 2.1 - 2.2$ [6].

Работа выполнена с использованием средств государственного бюджета по госзаданию № 123021700057-0.

Статья посвящена светлой памяти профессора Эдуарда Владимировича Теодоровича 18.07.1932–1.11.2022.