Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2023, № 4, стр. 14-26

ДЕЙСТВИЕ ПУЛЬСИРУЮЩЕГО ИСТОЧНИКА В ЖИДКОСТИ ПРИ НАЛИЧИИ СДВИГОВОГО СЛОЯ

И. В. Стурова^*

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН
Новосибирск, Россия

Поступила в редакцию 10.01.2023
После доработки 28.02.2023
Принята к публикации 28.02.2023

EDN: WKLCAS
DOI: 10.31857/S102470842360001X

Аннотация

Решена двумерная нестационарная задача о развитии волнового движения в двухслойной жидкости конечной глубины, ограниченной сверху свободной поверхностью. Рассмотрены случаи, когда в невозмущенном состоянии один из слоев покоится, а в другом (приповерхностном или придонном) горизонтальная скорость потока линейно меняется по глубине. Определены дисперсионные зависимости и групповые скорости трех волновых мод, возникающих при наличии сдвигового потока. Вычислены вертикальные смещения свободной поверхности, вызванные включением пульсирующего источника, расположенного в изначально неподвижном слое жидкости. Задача рассматривается в линейной постановке, жидкость предполагается идеальной и несжимаемой.

Ключевые слова: поверхностные волны, пульсирующий источник, сдвиговые течения

В линейной постановке достаточно полно исследованы процессы генерации, развития и распространения поверхностных волн, вызванных различными подводными возмущениями для покоящейся в невозмущенном состоянии среде или в потоке жидкости, текущей с постоянной по глубине скоростью [1–3]. Однако в реальных условиях часто имеет место изменение скорости и направления основного потока жидкости по глубине. Обзор исследований о взаимодействии поверхностных волн и сдвиговых течений дан в [4, 5]. Учет произвольного изменения скорости течения по глубине даже в двумерном случае является довольно сложной задачей. Одним из наиболее распространенных способов приближенного учета сдвигового течения является его кусочно-линейная аппроксимация с условием непрерывности скоростей на границе слоев. Большое число подобных исследований было выполнено в Морском гидрофизическом институте АН УССР [6].

Одним из наиболее простых примеров сдвигового течения с непостоянной завихренностью является двухслойная жидкость со свободной поверхностью, в верхнем слое которой имеется линейный сдвиговой поток, а нижний слой покоится. Исследование дисперсионных свойств волнового движения при бесконечно глубоком нижнем слое выполнено в [7], а для жидкости конечной глубины – в [8]. В [9] показано, что рассматриваемое течение становится неустойчивым для некоторой области волновых чисел при достаточно больших скоростях сдвигового течения на свободной поверхности.

В данной работе исследовано волновое движение, вызываемое включением пульсирующего источника, расположенного в слое первоначально покоящейся жидкости. Рассмотрено два варианта сдвигового потока: приповерхностный или придонный. Задача о развитии волнового движения при отсутствии сдвигового потока подробно исследована в [10, 11]. Показано, что при наличии сдвиговых потоков структура волнового движения существенно меняется.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим горизонтальный слой однородной невязкой несжимаемой жидкости постоянной глубины H, ограниченной сверху свободной поверхностью, а снизу ровным горизонтальным дном. В невозмущенном состоянии часть жидкости находится в покое, а в верхнем либо в нижнем слое толщины h имеется сдвиговое течение с линейным профилем скорости (рис. 1). В первом случае (а) горизонтальная скорость в верхнем слое равна $U(y) = {{U}_{0}}y{\text{/}}h$, а во втором случае (б) – в нижнем придонном слое $U(y) = - {{U}_{0}}(y + {{H}_{1}}){\text{/}}h$. Система декартовых координат x, y введена так, что горизонтальная ось $x$ в первом случае совпадает с невозмущенной границей между сдвиговым и покоящимся слоями, а во втором случае – с невозмущенной свободной поверхностью, ось $y$ направлена вертикально вверх. Толщина покоящегося слоя равна ${{H}_{1}}$, и полная глубина жидкости составляет $H = {{H}_{1}} + h$.

Рис. 1.

Схема течения в невозмущенном состоянии для первого (а) и второго (б) случаев.

Предполагается, что в покоящемся слое жидкости в момент времени t = 0 в точке $x = 0,$ $y = - l,$ $0 < l < {{H}_{1}}$, начинает работать точечный массовый источник, пульсирующий по гармоническому закону с мощностью $Q(t) = {{Q}_{0}}\sin (\Omega t)$. Движение жидкости в первоначально покоящемся слое предполагается потенциальным всюду, кроме точки локализации источника.

Задача решается в линейной постановке, и далее случаи верхнего и нижнего сдвигового слоя будут рассматриваться отдельно.

1.1. Верхний сдвиговой слой

Линеаризованные уравнения Эйлера в сдвиговом слое имеют вид

(1.1)

$\left( {\frac{\partial }{{\partial t}} + {\mathbf{V}} \cdot \nabla } \right){\mathbf{v}} + {v}\frac{{d{\mathbf{V}}}}{{dy}} + \frac{{\nabla {{p}_{1}}}}{\rho } = 0,\quad {\text{div}}{\mathbf{v}} = 0\quad ({\text{|}}x{\text{|}} < \infty ,\;0 \leqslant y \leqslant h)$

где ${\mathbf{V}} = (U(y),0)$ – вектор скорости основного потока, $U(y) = {{U}_{0}}y{\text{/}}h$, ${\mathbf{v}} = (u,{v})$ – возникающие возмущения скорости жидкости, которые предполагаются малыми, p₁ – динамический добавок давления, $\rho $ – плотность жидкости.

При наличии линейного сдвига продольной скорости основного течения компоненты волнового движения можно представить в виде [12]

$u(x,y,t) = U(y) + \partial {{\phi }_{1}}{\text{/}}\partial x,\quad {v}(x,y,t) = \partial {{\phi }_{1}}{\text{/}}\partial y$

где функция ${{\phi }_{1}}(x,y,t)$ удовлетворяет уравнению Лапласа

(1.2)

${{\partial }^{2}}{{\phi }_{1}}{\text{/}}\partial {{x}^{2}} + {{\partial }^{2}}{{\phi }_{1}}{\text{/}}\partial {{y}^{2}} = 0\quad ({\text{|}}x{\text{|}} < \infty ,\;0 \leqslant y \leqslant h)$

Кинематическое и динамическое условия на свободной поверхности жидкости имеют вид

(1.3)

$\partial \eta {\text{/}}\partial t + {{U}_{0}}\partial \eta {\text{/}}\partial x = {v},\quad \rho g\eta = {{p}_{1}}\quad (y = h)$

где $\eta (x,t)$ – вертикальное смещение свободной поверхности, g – ускорение свободного падения.

В слое первоначально покоящейся жидкости потенциал скорости возмущенного течения $\Phi (x,y,t)$ представим в виде, аналогичном [10]

(1.4)

$\Phi (x,y,t) = {{\Phi }_{0}}(x,y,t) + {{\phi }_{2}}(x,y,t)\quad ({\text{|}}x{\text{|}} < \infty ,\; - {{H}_{1}} \leqslant y \leqslant 0)$

где

(1.5)

${{\Phi }_{0}}(x,y,t) = \frac{{Q(t)}}{{2\pi }}\ln \sqrt {{{x}^{2}} + {{{(y + l)}}^{2}}} $

потенциал скорости течения, создаваемого точечным пульсирующим источником в безграничной жидкости. Функция ${{\phi }_{2}}(x,y,t)$ удовлетворяет уравнению Лапласа

(1.6)

${{\partial }^{2}}{{\phi }_{2}}{\text{/}}\partial {{x}^{2}} + {{\partial }^{2}}{{\phi }_{2}}{\text{/}}\partial {{y}^{2}} = 0\quad ({\text{|}}x{\text{|}} < \infty ,\; - {{H}_{1}} \leqslant y \leqslant 0)$

На границе раздела между верхним и нижним слоями выполняются условия непрерывности вертикальной скорости и давления

(1.7)

$\partial {{\phi }_{1}}{\text{/}}\partial y = \partial \Phi {\text{/}}\partial y,\quad {{p}_{1}} = - \rho \partial \Phi {\text{/}}\partial t\quad (y = 0)$

а на ровном горизонтальном дне – условие непротекания

(1.8)

$\partial \Phi {\text{/}}\partial y = 0\quad (y = - {{H}_{1}})$

В начальный момент времени волновые возмущения отсутствуют

(1.9)

${{\phi }_{1}} = {{\phi }_{2}} = 0,\quad \eta = \partial \eta {\text{/}}\partial t = 0\quad (t = 0)$

1.2. Придонный сдвиговой слой

В верхнем первоначально покоящемся слое жидкости потенциал скорости $\Psi (x,y,t)$ ищем в виде, аналогичном (1.4)

$\Psi (x,y,t) = {{\Phi }_{0}}(x,y,t) + {{\psi }_{1}}(x,y,t)\quad ({\text{|}}x{\text{|}} < \infty ,\; - {{H}_{1}} \leqslant y \leqslant 0)$

где функция ${{\Phi }_{0}}(x,y,t)$ задана в (1.5), и функция ${{\psi }_{1}}(x,y,t)$ удовлетворяет уравнению Лапласа.

В нижнем слое $( - H \leqslant y \leqslant - {{H}_{1}})$, в котором имеет место сдвиговое течение U(y) = $ - {{U}_{0}}(y\, + \,{{H}_{1}}){\text{/}}h$, выполняются линеаризованные уравнения Эйлера, аналогичные (1.1) и компоненты скорости волнового движения ищем в виде

$u(x,y,t) = U(y) + \partial {{\psi }_{2}}{\text{/}}\partial x,\quad {v}(x,y,t) = \partial {{\psi }_{2}}{\text{/}}\partial y$

где функция ${{\psi }_{2}}(x,y,t)$ удовлетворяет уравнению Лапласа.

Граничные условия на свободной поверхности жидкости имеют вид

(1.10)

$\partial \eta {\text{/}}\partial t = \partial \Psi {\text{/}}\partial y,\quad g\eta + \partial \Psi {\text{/}}\partial t = 0\quad (y = 0)$

На границе раздела между слоями имеем

(1.11)

$\frac{{\partial \Psi }}{{\partial y}} = \frac{{\partial {{\psi }_{2}}}}{{\partial y}},\quad \frac{{{{\partial }^{2}}\Psi }}{{\partial x\partial t}} = \frac{{{{\partial }^{2}}{{\psi }_{2}}}}{{\partial x\partial t}} - \frac{{{{U}_{0}}}}{h}\frac{{\partial {{\psi }_{2}}}}{{\partial y}}\quad (y = - {{H}_{1}})$

а на дне

(1.12)

$\partial {{\psi }_{2}}{\text{/}}\partial y = 0\quad (y = - H)$

Начальные условия аналогичны (1.9).

2. МЕТОД РЕШЕНИЯ

Для решения начально-краевых задач, сформулированных в п. 1, используем преобразования Фурье и Лапласа в виде

${{\bar {\phi }}_{1}}(k,y,s) = \int\limits_0^\infty {{e}^{{ - st}}}\int\limits_{ - \infty }^\infty {{\phi }_{1}}(x,y,t){{e}^{{ - ikx}}}dxdt$

Аналогичные преобразования вводятся для остальных искомых функций.

Функции ${{\phi }_{{1,2}}}(x,y,t)$ удовлетворяют уравнению Лапласа (1.2), (1.6), которое после преобразования Фурье принимает вид

${{\partial }^{2}}{{\bar {\phi }}_{{1,2}}}{\text{/}}\partial {{y}^{2}} - {{k}^{2}}{{\bar {\phi }}_{{1,2}}} = 0$

Аналогичное соотношение имеет место и для функций ${{\bar {\psi }}_{{1,2}}}(k,y)$.

В случае 1 решения для функций ${{\bar {\phi }}_{1}}(k,y,s)$ и ${{\bar {\phi }}_{2}}(k,y,s)$ ищем в виде

${{\bar {\phi }}_{1}} = {{C}_{1}}{\text{sh}}\left[ {{\text{|}}k{\text{|}}(h - y)} \right] + {{D}_{1}}{\text{ch}}\left[ {{\text{|}}k{\text{|}}(h - y)} \right]\quad (0 \leqslant y \leqslant h)$

${{\bar {\phi }}_{2}} = {{C}_{2}}{\text{sh}}\left( {{\text{|}}k{\text{|}}y} \right) + {{D}_{2}}{\text{ch}}\left( {{\text{|}}k{\text{|}}y} \right)\quad ( - {{H}_{1}} \leqslant y \leqslant 0)$

а для случая 2 – в виде

(2.1)

${{\bar {\psi }}_{1}} = {{C}_{3}}{\text{sh}}\left( {{\text{|}}k{\text{|}}y} \right) + {{D}_{3}}{\text{ch}}\left( {{\text{|}}k{\text{|}}y} \right)\quad ( - {{H}_{1}} \leqslant y \leqslant 0)$

(2.2)

${{\bar {\psi }}_{2}} = {{C}_{4}}{\text{sh}}\left[ {{\text{|}}k{\text{|}}(y + {{H}_{1}})} \right] + {{D}_{4}}{\text{ch}}\left[ {{\text{|}}k{\text{|}}(y + {{H}_{1}})} \right]\quad ( - H \leqslant y \leqslant - {{H}_{1}})$

где функции ${{C}_{j}}(k,s),$ ${{D}_{j}}(k,s)$ $(j = 1{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 4)$ являются неизвестными.

При вычислении преобразования Фурье для функции ${{\Phi }_{0}}(x,y,t)$ и ее производных по x и y использованы результаты [10]. Выполняя преобразование Лапласа для функции $Q(t)$, получим

$\int\limits_0^\infty Q(t){{e}^{{ - st}}}dt = \frac{{{{Q}_{0}}\Omega }}{{{{s}^{2}} + {{\Omega }^{2}}}}$

В случае 1 неизвестные функции $\bar {\eta }(k,s),$ ${{C}_{j}}(k,s),$ ${{D}_{j}}(k,s)$ $(j = 1,2)$ определяются из системы пяти алгебраических уравнений, вытекающих из граничных условий (1.3), (1.4), (1.7) и (1.8)

$(s + ik{{U}_{0}})\bar {\eta } + \;{\text{|}}k{\text{|}}{{C}_{1}} = 0$

$g\bar {\eta } + i\gamma {{C}_{1}} + (s + ik{{U}_{0}}){{D}_{1}} = 0$

(2.3)

${{C}_{1}}{\text{ch}}\left( {{\text{|}}k{\text{|}}h} \right) + {{D}_{1}}{\text{sh}}\left( {{\text{|}}k{\text{|}}h} \right) + {{C}_{2}} = - \Lambda {{e}^{{ - |k|l}}}$

${{C}_{1}}\left[ {({\text{sh}}\left( {{\text{|}}k{\text{|}}h} \right) + \frac{{i\gamma }}{s}{\text{ch}}\left( {{\text{|}}k{\text{|}}h} \right)} \right] + {{D}_{1}}\left[ {{\text{ch}}\left( {{\text{|}}k{\text{|}}h} \right) + \frac{{i\gamma }}{s}{\text{sh}}\left( {{\text{|}}k{\text{|}}h} \right)} \right] - {{D}_{2}} = - \Lambda {{e}^{{ - |k|l}}}$

${{C}_{2}}{\text{ch}}\left( {{\text{|}}k{\text{|}}{{H}_{1}}} \right) - {{D}_{2}}{\text{sh}}\left( {{\text{|}}k{\text{|}}{{H}_{1}}} \right) = \Lambda {{e}^{{ - |k|({{H}_{1}} - l)}}}$

где

(2.4)

$\gamma = \frac{{{{U}_{0}}}}{h}{\text{sgn}}k,\quad \Lambda = \frac{{{{Q}_{0}}\Omega }}{{2{\text{|}}k{\text{|}}({{s}^{2}} + {{\Omega }^{2}})}}$

Решение системы уравнений (2.3) для $\bar {\eta }(k,s)$ имеет вид

$\bar {\eta } = {{Q}_{0}}\Omega \frac{{[1 + {{e}^{{ - 2|k|({{H}_{1}} - l)}}}]{{e}^{{ - |k|(l + h)}}}}}{{1 + {{e}^{{ - 2|k|H}}}}}\frac{{s(s + ik{{U}_{0}})}}{{({{s}^{2}} + {{\Omega }^{2}}){{P}_{1}}(k,s)}}$

Здесь ${{P}_{1}}(k,s)$ – полином третьей степени

(2.5)

${{P}_{1}}(k,s) = {{s}^{3}} + i{{a}_{1}}{{s}^{2}} + {{a}_{2}}s + i{{a}_{3}}$

где

(2.6)

${{a}_{1}}(k) = 2k{{U}_{0}} + \gamma [{{b}_{ + }} - {\text{th}}\left( {{\text{|}}k{\text{|}}H} \right)]$

(2.7)

${{a}_{2}}(k) = g{\text{|}}k{\text{|th}}\left( {{\text{|}}k{\text{|}}H} \right) + \gamma [k{{U}_{0}}({\text{th}}\left( {{\text{|}}k{\text{|}}H} \right) - 2{{b}_{ + }}) + \gamma {{b}_{ - }}] - {{k}^{2}}U_{0}^{2}$

(2.8)

${{a}_{3}}(k) = \gamma [k{{U}_{0}}(\gamma {{b}_{ - }} - k{{U}_{0}}{{b}_{ + }}) + g{\text{|}}k{\text{|}}{{b}_{ - }}]$

(2.9)

${{b}_{ \pm }}(k) = (1 \pm {{e}^{{ - 2|k|h}}})\frac{{1 - {{e}^{{ - 2|k|{{H}_{1}}}}}}}{{2(1 + {{e}^{{ - 2|k|H}}})}}$

Полином ${{P}_{1}}(k,s)$ представим в виде

${{P}_{1}}(k,s) = \prod\limits_{n = 1}^3 (s - {{s}_{n}})$

где ${{s}_{n}}(k)(n = 1 - 3)$ корни уравнения ${{P}_{1}}(k,s) = 0$.

После выполнения обратных преобразований Лапласа и Фурье получим решение для отклонения свободной поверхности от ее равновесного положения

(2.10)

$\eta (x,t) = \frac{{{{Q}_{0}}\Omega }}{\pi }\int\limits_0^\infty \frac{{1 + {{e}^{{ - 2k({{H}_{1}} - l)}}}}}{{1 + {{e}^{{ - 2kH}}}}}{{e}^{{ - k(l + h)}}}[{{A}_{1}}(k,t)\cos kx - {{B}_{1}}(k,t)\sin kx]dk$

где ${{A}_{1}}(k,t)$ и ${{B}_{1}}(k,t)$ соответственно вещественная и мнимая части суммы $\sum\limits_{n = 1}^5 {{{\alpha }_{n}}(k){{e}^{{{{s}_{n}}(k)t}}}} $, ${{s}_{{4,5}}} = \pm i\Omega $. Функции ${{\alpha }_{n}}(k)$ $(n = 1{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 5)$ удовлетворяют равенству

(2.11)

$\frac{{s(s + ik{{U}_{0}})}}{{({{s}^{2}} + {{\Omega }^{2}}){{P}_{1}}(k,s)}} = \sum\limits_{n = 1}^5 \frac{{{{\alpha }_{n}}(k)}}{{s - {{s}_{n}}(k)}}$

и их определение сводится к решению системы пяти линейных алгебраических уравнений, получающихся из равенства числителей в левой и правой частях соотношения (2.11). При выводе (2.10) использовано свойство функций ${{s}_{n}}(k)$ $(n = 1{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 3)$ и ${{\alpha }_{n}}(k)$ $(n = 1{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 5)$, заключающееся в том, что их значения при k > 0 и k < 0 являются комплексно-сопряженными.

Аналогичным образом строится решение задачи и в случае 2. Используя для функций ${{\bar {\psi }}_{1}}(k,y,s)$ и ${{\bar {\psi }}_{2}}(k,y,s)$ представления (2.1) и (2.2), неизвестные функции $\bar {\eta }(k,s),$ ${{C}_{j}}(k,s),$ ${{D}_{j}}(k,s)$ $(j = 3,4)$ определяются из системы уравнений, вытекающих из граничных условий (1.10)–(1.12)

$s\bar {\eta } - \;{\text{|}}k{\text{|}}{{C}_{3}} = {\text{|}}k{\text{|}}\Lambda {{e}^{{ - |k|l}}}$

$g\bar {\eta } + s{{D}_{3}} = s\Lambda {{e}^{{ - |k|l}}}$

${{C}_{3}}{\text{ch}}\left( {{\text{|}}k{\text{|}}{{H}_{1}}} \right) - {{D}_{3}}{\text{sh}}\left( {{\text{|}}k{\text{|}}{{H}_{1}}} \right) - {{C}_{4}} = \Lambda {{e}^{{ - |k|({{H}_{1}} - l)}}}$

${{C}_{3}}{\text{sh}}\left( {{\text{|}}k{\text{|}}{{H}_{1}}} \right) - {{D}_{3}}{\text{ch}}\left( {{\text{|}}k{\text{|}}{{H}_{1}}} \right) + i\gamma {{C}_{4}}{\text{/}}s + {{D}_{4}} = - \Lambda {{e}^{{ - |k|({{H}_{1}} - l)}}}$

${{C}_{4}} - {{D}_{4}}{\text{th}}\left( {{\text{|}}k{\text{|}}h} \right) = 0$

где использованы обозначения (2.4). Решение этой системы уравнений для $\bar {\eta }(k,s)$ имеет вид

$\bar {\eta } = {{Q}_{0}}\Omega \frac{{(1 + {{e}^{{ - 2|k|h}}}){{e}^{{ - |k|l}}}}}{{1 + {{e}^{{ - 2|k|H}}}}}\frac{{s(cs + d)}}{{({{s}^{2}} + {{\Omega }^{2}}){{P}_{2}}(k,s)}}$

где ${{P}_{2}}(k,s)$ – полином третьей степени

(2.12)

${{P}_{2}}(k,s) = {{s}^{3}} + i{{b}_{1}}{{s}^{2}} + {{b}_{2}}s + i{{b}_{3}}$

(2.13)

${{b}_{1}}(k) = \gamma {{f}_{ + }},\quad {{b}_{2}}(k) = g{\text{|}}k{\text{|th}}\left( {{\text{|}}k{\text{|}}H} \right),\quad {{b}_{3}}(k) = g\gamma {\text{|}}k{\text{|}}{{f}_{ - }}$

(2.14)

${{f}_{ \pm }}(k) = (1 \pm {{e}^{{ - 2|k|{{H}_{1}}}}})\frac{{1 - {{e}^{{ - 2|k|h}}}}}{{2(1 + {{e}^{{ - 2|k|H}}})}}$

$c(k) = \frac{{1 + {{e}^{{ - 2|k|(H - l)}}}}}{{1 + {{e}^{{ - 2|k|h}}}}},\quad d(k) = 0.5i\gamma (1 + {{e}^{{ - 2|k|({{H}_{1}} - l)}}}){\text{th}}({\text{|}}k{\text{|}}h)$

Решение для возвышения свободной поверхности после выполнения обратных преобразований Лапласа и Фурье имеет вид

(2.15)

$\eta (x,t) = \frac{{{{Q}_{0}}\Omega }}{\pi }\int\limits_0^\infty \frac{{(1 + {{e}^{{ - 2kh}}}){{e}^{{ - kl}}}}}{{1 + {{e}^{{ - 2kH}}}}}[{{A}_{2}}(k,t)\cos (kx) - {{B}_{2}}(k,t)\sin (kx)]dk$

где ${{A}_{2}}(k,t)$ и ${{B}_{2}}(k,t)$ соответственно вещественная и мнимая части суммы $\sum\limits_{n = 1}^5 {{{\beta }_{n}}(k){{e}^{{{{s}_{n}}(k)t}}}} $. Функции ${{\beta }_{n}}(k)$ $(n = 1{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 5)$ определяются из равенства

$\frac{{s(cs + d)}}{{({{s}^{2}} + {{\Omega }^{2}}){{P}_{2}}(k,s)}} = \sum\limits_{n = 1}^5 \frac{{{{\beta }_{n}}(k)}}{{s - {{s}_{n}}(k)}}$

после решения соответствующей системы линейных алгебраических уравнений.

3. ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Полученные решения позволяют исследовать дисперсионные свойства волн, возникающих в рассматриваемых случаях. Дисперсионное соотношение устанавливает для каждой волны зависимость ее частоты $\omega $ от волнового числа k. Ранее достаточно подробно был исследован случай 1 [7–9], тогда как для случая 2 подобные исследования автору не известны.

Для случая 1 используем уравнение ${{P}_{1}}(k,s) = 0$, где функция ${{P}_{1}}(k,s)$ дана в (2.5). Вводя замену $\omega = is$, получим полином для определения дисперсионных соотношений каждой из трех волновых мод

(3.1)

${{\omega }^{3}} - {{a}_{1}}(k){{\omega }^{2}} - {{a}_{2}}(k)\omega + {{a}_{3}}(k) = 0$

где значения ${{a}_{n}}(k)$ $(n = 1{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 3)$ даны в (2.6)–(2.8). Анализируя функции ${{a}_{n}}(k)$, легко видеть, что для каждой из трех волн выполняется равенство ${{\omega }_{n}}(k) = - {{\omega }_{n}}( - k)$.

Групповая скорость каждой волновой моды равна $c_{g}^{{(n)}} = d{{\omega }_{n}}{\text{/}}dk$. Используя (3.1), получим

$c_{g}^{{(n)}} = \frac{{a_{1}^{'}\omega _{n}^{2} + a_{2}^{'}{{\omega }_{n}} - a_{3}^{'}}}{{3\omega _{n}^{2} - 2{{a}_{1}}{{\omega }_{n}} - {{a}_{2}}}}$

где штрих означает дифференцирование по k.

В частном случае однослойной жидкости с линейным сдвиговым потоком $h = H$ $({{H}_{1}} = 0)$ функции ${{b}_{ \pm }}(k)$ в (2.9) тождественно равны нулю, и уравнение (3.1) становится квадратным уравнением

${{\omega }^{2}} - {{\bar {a}}_{1}}(k)\omega - {{\bar {a}}_{2}}(k) = 0$

где

${{\bar {a}}_{1}}(k) = 2k{{U}_{0}} - \gamma {\text{th}}\left( {{\text{|}}k{\text{|}}H} \right),\quad {{\bar {a}}_{2}}(k) = (g{\text{|}}k{\text{|}} + \gamma k{{U}_{0}}){\text{th}}\left( {{\text{|}}k{\text{|}}H} \right) - {{k}^{2}}U_{0}^{2}$

Следовательно, в этом случае существует только две волновые моды

(3.2)

${{\omega }_{{1,2}}} = {{\bar {a}}_{1}}{\text{/}}2 \pm \sqrt {{{{({{{\bar {a}}}_{1}}{\text{/}}2)}}^{2}} + {{{\bar {a}}}_{2}}} $

Известно, что для кубического уравнения с вещественными коэффициентами (см., например, [13]) возможно существование двух сопряженных комплексных корня. Для уравнения (3.1) это возможно при условии, что значение Q положительное, где

(3.3)

$\begin{gathered} Q = {{\left( {\frac{r}{3}} \right)}^{3}} + {{\left( {\frac{q}{2}} \right)}^{2}} \\ r(k) = - \left( {{{a}_{2}}(k) + \frac{{a_{1}^{2}(k)}}{3}} \right),\quad q(k) = {{a}_{3}}(k) - 2{{\left( {\frac{{{{a}_{1}}(k)}}{3}} \right)}^{3}} - \frac{1}{3}{{a}_{1}}(k){{a}_{2}}(k) \\ \end{gathered} $

Для случая 2 из уравнения ${{P}_{2}}(k,s) = 0$, используя соотношения (2.12)–(2.14), получим

(3.4)

${{\omega }^{3}} - {{b}_{1}}(k){{\omega }^{2}} - {{b}_{2}}(k)\omega + {{b}_{3}}(k) = 0$

В этом случае групповая скорости каждой волновой моды равна

(3.5)

$c_{g}^{{(n)}} = \frac{{b_{1}^{'}\omega _{n}^{2} + b_{2}^{'}{{\omega }_{n}} - b_{3}^{'}}}{{3\omega _{n}^{2} - 2{{b}_{1}}{{\omega }_{n}} - {{b}_{2}}}}$

В частном случае однослойной жидкости при $h = H$ $({{H}_{1}} = 0)$ получим аналогично случаю 1 квадратное уравнение

${{\omega }^{2}} - (\gamma \omega + g{\text{|}}k{\text{|}}){\text{th}}\left( {{\text{|}}k{\text{|}}H} \right) = 0$

решение которого имеет вид

${{\omega }_{{1,2}}} = \gamma {\text{th}}\left( {{\text{|}}k{\text{|}}H} \right){\text{/}}2 \pm \sqrt {{{{[\gamma {\text{th}}\left( {{\text{|}}k{\text{|}}H} \right){\text{/}}2]}}^{2}} + g{\text{|}}k{\text{|th}}\left( {{\text{|}}k{\text{|}}H} \right)} $

4. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ

Использованы значения исходных параметров работы [10]:

(4.1)

$H = 1\;{\text{м}},\quad \Omega = 2\pi {{{\text{c}}}^{{ - 1}}},\quad {{Q}_{0}} = 1\;{{{\text{м}}}^{2}}{\text{/c}}$

Ускорение свободного падения $g = 9.81$ м/с².

4.1. Верхний сдвиговой слой

На рис. 2а представлены дисперсионные зависимости ${{\bar {\omega }}_{n}}(\bar {k})$ для случая 1 при $h\, = \,0.3$ м, ${{H}_{1}}\, = \,0.7$ м в безразмерном виде, где ${{\bar {\omega }}_{n}} = {{\omega }_{n}}\sqrt {h{\text{/}}g} ,$ $\bar {k} = kh$. Кривые 1, 2 соответствуют покоящейся жидкости в невозмущенном состоянии (${{U}_{0}} = 0$), для которой существуют только две волновые моды согласно (3.2)

${{\omega }_{{1,2}}} = \pm \sqrt {gk{\text{th}}(kH)} $

Рис. 2.

(а) Дисперсионные зависимости ${{\bar {\omega }}_{n}}(\bar {k})$: 1, 2 – ${{U}_{0}} = 0$; 3–5 – ${{\bar {U}}_{0}} = 0.1$; 6–8 – ${{\bar {U}}_{0}} = 0.5$. (б) Групповые скорости $\bar {c}_{g}^{{(n)}}(\bar {k})$: 1–3 – ${{\bar {U}}_{0}} = 0.1$; 4–6 – ${{\bar {U}}_{0}} = 0.5$.

Кривые 3–5 и 6–8 показывают дисперсионные зависимости ${{\bar {\omega }}_{n}}$ $(n = 1{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 3)$ при ${{\bar {U}}_{0}}\, = \,{{U}_{0}}{\text{/}}\sqrt {gh} $ = = 0.1, 0.5 соответственно. Нумерация корней полинома (3.1) производится по убыванию их вещественной части. Видно, что с ростом скорости U₀ увеличивается отклонение дисперсионных зависимостей от случая бессдвигового течения и возникает третья дополнительная волновая мода. Поведение групповых скоростей $\bar {c}_{g}^{{(n)}} = c_{g}^{{(n)}}{\text{/}}\sqrt {gh} $ $(n = 1{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 3)$ показано на рис. 2б для ${{\bar {U}}_{0}} = 0.1$ (штриховые кривые 1–3) и ${{\bar {U}}_{0}} = 0.5$ (штрихпунктирные кривые 4–6).

С увеличением скорости U₀ появляются комплексные корни в уравнении (3.1) при некоторых значениях волнового числа k. Это означает, что возникающее волновое движение становится неустойчивым. Границы устойчивости на плоскости $({{U}_{0}},\;k)$ можно определить, используя нулевую изолинию функции $Q$ в (3.3). На рис. 3а показаны нулевые изолинии функции Q при различных значениях толщины сдвигового слоя $h = 0.3,0.5,0.7$ м (кривые 1–3) соответственно. При увеличении толщины сдвигового слоя область неустойчивых значений k уменьшается и полностью исчезает при $h = H$. Пример поведения дисперсионных зависимостей ${{\bar {\omega }}_{n}}(\bar {k})$ $(n = 1{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 3)$ при наличии неустойчивого диапазона волновых чисел представлен на рис. 3б для $h = 0.3$ м и ${{\bar {U}}_{0}} = 2$. На отрезке $1.095 < \bar {k} < 2.138$ значения ${{\bar {\omega }}_{2}}$ и ${{\bar {\omega }}_{3}}$ становятся комплексно-сопряженными и их мнимые значения показаны на врезке рис. 3б. Развитие волновых возмущений в этом случае надо исследовать на основе уравнений и граничных условий, учитывающих нелинейные члены.

Рис. 3.

(а) Области неустойчивых значений волновых чисел в зависимости от скорости сдвигового потока ${{U}_{0}}$ при различных толщинах сдвигового слоя: 1–3 – $h = 0.3,\;0.5,\;0.7$ м. (б) Вещественные значения дисперсионных зависимостей ${{\bar {\omega }}_{n}}(\bar {k})$ при наличии неустойчивого диапазона волновых чисел. Номер кривых 1–3 соответствует номеру моды. На врезке показана зависимость мнимых значений ${{\bar {\omega }}_{n}}(\bar {k})$ при n = 2 и n = 3.

Возвышения свободной поверхности $\eta (x,t)$ при $h = 0.3$ м, $l = 0.2$ м, $t = 12$ с определены в результате численного интегрирования (2.10) и представлены на рис. 4а,б для ${{\bar {U}}_{0}} = 0.1,0.5$ соответственно. Использованы следующие безразмерные переменные: $\bar {\eta } = \eta \sqrt {gh} {\text{/}}{{Q}_{0}},$ $\bar {x} = x{\text{/}}h$. При отсутствии сдвигового течения $({{U}_{0}} = 0)$ профили свободной поверхности для заданного момента времени представлены в [10]. В этом случае волновые возмущения являются четной функцией по $x$.

Рис. 4.

Возвышения свободной поверхности при t = 12 с: (а, б) – ${{\bar {U}}_{0}} = 0.1,0.5$. Вертикальные стрелки указывают положения волновых фронтов для различных мод.

Зависимости групповой скорости волновых мод от волнового числа позволяют определить границы волновых фронтов возбуждаемых колебаний. Значение $c_{g}^{{(n)}}(0)$ показывает скорость распространения длинноволновых возмущений. В рассматриваемой задаче волновые движения порождаются периодическим источником, фиксированная частота которого $\Omega $ определяет волновой фронт распространения возмущений заданной частоты. Границы этого волнового фронта подробно изучены в [11] для случая бессдвигового течения. В рассматриваемой задаче для каждой дисперсионной зависимости ${{\omega }_{n}}(k)$ $(n = 1{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 3)$ следует определить значение k_n, удовлетворяющее уравнению ${{\omega }_{n}}({{k}_{n}}) = \Omega $. Скорость волнового фронта, который устанавливает границы профиля свободной поверхности с колебаниями заданной частоты $\Omega $, определяется значением групповой скорости $c_{g}^{{(n)}}({{k}_{n}})$. При наличии сдвигового течения распространение волн вправо и влево от пульсирующего источника происходит с разными скоростями. Для рис. 4а $\bar {c}_{g}^{{(1)}}(0) = 1.84,$ $\bar {c}_{g}^{{(3)}}(0) = - 1.81,$ ${{\bar {k}}_{1}} = 1.07,$ $\bar {c}_{g}^{{(1)}}({{\bar {k}}_{1}}) = 0.576,$ ${{\bar {k}}_{3}} = 1.43,$ $\bar {c}_{g}^{{(3)}}({{\bar {k}}_{3}}) = - 0.325$. Для заданного момента времени $t = 12$ с (в безразмерных переменных $\bar {t} = t\sqrt {g{\text{/}}h} = 68.62$) координаты волновых фронтов показаны вертикальными стрелками на рис. 4а: $X_{0}^{ + } = \bar {t}\bar {c}_{g}^{{(1)}}(0) = 126.3,$ $X_{0}^{ - } = \bar {t}\bar {c}_{g}^{{(3)}}(0) = - 124.2,$ ${{X}_{1}} = \bar {t}\bar {c}_{g}^{{(1)}}({{\bar {k}}_{1}}) = 39.55,$ ${{X}_{3}} = \bar {t}\bar {c}_{g}^{{(3)}}({{\bar {k}}_{3}}) = - 22.33$.

Для значения скорости ${{\bar {U}}_{0}} = 0.5$ согласно рис. 2а (кривая 8) дисперсионная зависимость ${\text{|}}{{\bar {\omega }}_{3}}(\bar {k}){\text{|}} < \bar {\Omega }$ для всех значений $\bar {k}$, где $\bar {\Omega } = \Omega \sqrt {h{\text{/}}g} = 1.099$. Это означает, что при отрицательных значениях x второй волновой фронт отсутствует, так как не возникает колебаний свободной поверхности с частотой пульсирующего источника. Для рис. 4б $\bar {c}_{g}^{{(1)}}(0) = 1.92,$ $\bar {c}_{g}^{{(3)}}(0) = - 1.76,$ ${{\bar {k}}_{1}} = 0.795,$ $\bar {c}_{g}^{{(1)}}({{\bar {k}}_{1}}) = 1.0,$ $X_{0}^{ + } = 131.8,$ $X_{0}^{ - } = - 120.8,$ ${{X}_{1}} = 68.65$ и координаты волновых фронтов также показаны вертикальными стрелками. Рис. 4б подтверждает вывод работы [7] о том, что приповерхностный сдвиговой поток обладает свойствами волногасителя.

Рисунок 5 показывает смещения свободной поверхности жидкости в зависимости от времени $\bar {t} = t\sqrt {g{\text{/}}h} $ в двух фиксированных точках $\bar {x} = - 50$ (рис. 5а,в) и $\bar {x} = 50$ (рис. 5б,г) для ${{\bar {U}}_{0}} = 0.1$ (рис. 5а,б) и ${{\bar {U}}_{0}} = 0.5$ (рис. 5в,г). Можно определить время прохождения волновых фронтов в рассматриваемых точках свободной поверхности. По аналогии с рис. 4 обозначим время прохождения фронта длинноволновых возмущений $T_{0}^{ \pm }$ и время прохождения второго фронта ${{T}_{{1,3}}}$. Эти моменты времени показаны на рис. 5 вертикальными стрелками: для рис. 5а $T_{0}^{ - } = 27.62,$ ${{T}_{3}} = 153.85$, для рис. 5б $T_{0}^{ + } = 27.17,$ ${{T}_{1}} = 86.75$, для рис. 5в $T_{0}^{ - } = 28.41$ и для рис. 5г $T_{0}^{ + } = 26.04,$ ${{T}_{1}} = 50$.

Рис. 5.

Возвышения свободной поверхности в зависимости от времени в фиксированных точках: $\bar {x} = - 50$ (а, в) и $\bar {x} = 50$ (б, г) для ${{\bar {U}}_{0}} = 0.1$ (а, б) и ${{\bar {U}}_{0}} = 0.5$ (в, г). Вертикальные стрелки показывают время прохождения волновых фронтов для различных мод.

4.2. Нижний сдвиговой слой

Для случая 2 расчеты выполнены при значениях исходных параметров (4.1), толщине придонного сдвигового слоя $h = H - {{H}_{1}} = 0.3$ м и отстоянии пульсирующего источника от свободной поверхности $l = 0.5$ м. На рис. 6 представлены дисперсионные зависимости и значения групповых скоростей для двух скоростей ${{\bar {U}}_{0}} = 0.5,\;2.5$. Кривые 1–3 соответствуют номеру волновой моды. На рис. 6а,б показаны зависимости ${{\bar {\omega }}_{n}}(\bar {k})$ $(n = 1{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 3)$, определяемые как корни полинома в (3.4), а на рис. 6в,г – значения групповых скоростей для каждой волновой моды согласно (3.5). Рисунок 6а,в соответствует скорости ${{\bar {U}}_{0}} = 0.5$, а рис. 6б,г – скорости ${{\bar {U}}_{0}} = 2.5$. Интересно отметить, что в рассматриваемом случае все возбуждаемые волновые моды являются устойчивыми, так как значение величины Q для полинома в (3.4) при рассматриваемых параметрах остается отрицательным для всех значений волнового числа k. Другой интересной особенностью рассматриваемого случая является то, что вторая волновая мода, которая при малых скоростях ${{U}_{0}}$ была значительно меньше двух других мод, с ростом этой скорости становится сопоставимой с двумя другими волновыми модами.

Рис. 6.

Дисперсионные зависимости ${{\bar {\omega }}_{n}}(\bar {k})$ (а, б) и групповые скорости $\bar {c}_{g}^{{(n)}}(\bar {k})$ (в, г) для волновых мод в случае придонного сдвигового слоя при ${{\bar {U}}_{0}} = 0.5$ (а, в) и ${{\bar {U}}_{0}} = 2.5$ (б, г). Номер кривой соответствует номеру волновой моды.

Поведение вертикальных смещений свободной поверхности, полученных в результате численного интегрирования (2.15), представлено на рис. 7 при фиксированном значении времени t = 12 с ($\bar {t} = 68.62$) и на рис. 8 при фиксированном значении продольной координаты $\bar {x} = - 50$, 50. Использовано два значения скорости ${{\bar {U}}_{0}} = 0.5$ (рис. 7а, 8а,б) и ${{\bar {U}}_{0}} = 2.5$ (рис. 7б, 8в,г).

Рис. 7.

Возвышения свободной поверхности при t = 12 с: (а,б) – ${{\bar {U}}_{0}} = 0.5,2.5$. Вертикальные стрелки указывают положения волновых фронтов для различных мод.

Рис. 8.

Возвышения свободной поверхности в зависимости от времени в фиксированных точках: $\bar {x} = - 50$ (а, в) и $\bar {x} = 50$ (б, г) для ${{\bar {U}}_{0}} = 0.5$ (а, б) и ${{\bar {U}}_{0}} = 2.5$ (в, г). Вертикальные стрелки показывают время прохождения волновых фронтов для различных мод.

Вертикальными стрелками показаны значения волновых фронтов аналогично рис. 4 и 5 . Для значения скорости ${{\bar {U}}_{0}} = 0.5$ согласно рис. 6а,в $\bar {c}_{g}^{{(1)}}(0)\, = \,1.92,$ $\bar {c}_{g}^{{(3)}}(0)\, = \, - {\kern 1pt} 1.76,$ ${{\bar {k}}_{1}}\, = \,1.21,$ $\bar {c}_{g}^{{(1)}}({{\bar {k}}_{1}})\, = \,0.453,$ ${{\bar {k}}_{3}} = 1.21,$ $\bar {c}_{g}^{{(3)}}({{\bar {k}}_{3}}) = - 0.459$. Для заданного момента времени координаты волновых фронтов показаны вертикальными стрелками на рис. 7а: $X_{0}^{ + } = 131.7,$ $X_{0}^{ - } = - 121.0,$ ${{X}_{1}} = 31.12,$ ${{X}_{3}} = - 31.53$.

Для значения скорости ${{\bar {U}}_{0}} = 2.5$ согласно рис. 6б,г $\bar {c}_{g}^{{(1)}}(0) = 2.96,$ $\bar {c}_{g}^{{(3)}}(0) = - 1.65,$ ${{\bar {k}}_{1}} = 0.822,$ $\bar {c}_{g}^{{(1)}}({{\bar {k}}_{1}}) = 0.308,$ ${{\bar {k}}_{2}} = 1.31,$ $\bar {c}_{g}^{{(2)}}({{\bar {k}}_{2}}) = 0.430,$ ${{\bar {k}}_{3}} = 1.21,$ $\bar {c}_{g}^{{(3)}}({{\bar {k}}_{3}}) = - 0.464$. Для заданного момента времени $\bar {t}$ = 68.62 координаты волновых фронтов на рис. 7б равны: $X_{0}^{ + }$ = 203.1 (находится за пределами графика), $X_{0}^{ - } = - 113.4,$ ${{X}_{1}} = 21.13,$ ${{X}_{2}} = 29.52,$ ${{X}_{3}} = - 31.82$.

На рис. 8 по аналогии с рис. 5 обозначены время прохождения фронта длинноволновых возмущений $T_{0}^{ \pm }$ и время прохождения фронтов T_{1, 2, 3}. Эти моменты времени показаны на рис. 8 вертикальными стрелками: для рис. 8а $T_{0}^{ - } = 28.3,$ ${{T}_{3}} = 108.8$, для рис. 8б $T_{0}^{ + } = 26.05,$ ${{T}_{1}} = 110.3$, для рис. 8в $T_{0}^{ - } = 30.26,$ ${{T}_{3}} = 107.8$ и для рис. 8г $T_{0}^{ + } = 16.9,$ ${{T}_{1}} = 162.4,$ ${{T}_{2}} = 116.2$. На рис. 8г заметна модуляция волновых возмущений, так как вторая волновая мода становится сопоставимой с первой модой, что приводит к суперпозиции колебаний с различной длиной волны.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследовано волновое движение, возникающее при включении пульсирующего источника в жидкости при наличии сдвиговых слоев. В рамках линейной теории волн построено интегральное представление решения, описывающего вертикальные смещения свободной поверхности. Показано, что, как в случае приповерхностного сдвигового слоя, так и в случае придонного слоя, колебания свободной поверхности существенно отличаются от тех, которые имели место при пульсациях источника в изначально покоящейся жидкости [10, 11]. В случае приповерхностного сдвигового слоя волновое движение становится неустойчивым с ростом скорости сдвигового потока. Для придонного сдвигового потока возникает суперпозиция колебаний с различными длинами волн. Это свидетельствует о том, что даже в простых случаях взаимодействие волн и течений приводит к большому разнообразию явлений.

Список литературы

Wehausen J.V., Laitone E.V. Surface waves. Handbuch der Physik. 1960. V. 9. P. 446–778.
Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1977. 815 с.
Черкесов Л.В. Гидродинамика волн. Киев: Наук.думка, 1980. 259 с.
Peregrine D.H. Interaction of water waves and currents // Adv. Appl. Mech. 1976. V. 16. P. 9–117.
Jonsson I.G. Wave-current interactions. The Sea. 1990. V. 9. P. 65–120.
Букатов А.Е., Власенко В.И., Пухтяр Л.Д., Суворов А.М. и др. Динамика поверхностных и внутренних волн. Киев: Наук. думка. 1988. 192 с.
Taylor G. The action of a surface current used as a breakwater // Proc. Royal Soc. Lond. A. 1955. V. 231. P. 466–478.
Brevik I. The stopping of linear gravity waves in currents of uniform vorticity // Phys. Norv. 1976. V. 8. № 3. P. 157–162.
Brevik I., Sollie R. Stable and unstable modes in a wave-current system having uniform vorticity // Phys. Scr. 1997. V. 55. P. 639–643.
Павельева Е.Б., Савин А.С. Установление волн от пульсирующего источника в жидкости конечной глубины // Изв. РАН. МЖГ. 2018. № 4. С. 12–22.
Ильичев А.Т., Савин А.С. Эволюция возмущений свободной поверхности от пульсирующего заглубленного источника в жидкости конечной глубины // Изв. РАН. МЖГ. 2021. № 6. С. 19–24.
Стурова И.В. Задача Коши–Пуассона для жидкости с ледяным покровом при наличии сдвигового течения (двумерный случай) // Изв. РАН. МЖГ. 2022. № 1. С. 47–56.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1968. 720 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Механика жидкости и газа

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал