1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Известия РАН. Механика жидкости и газа
  4. № 4, 2023

Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2023, № 4, стр. 5-13

РАСЧЕТЫ СЖАТИЯ СФЕРИЧЕСКОЙ СЛОИСТОЙ СИСТЕМЫ УДАРНЫМИ ВОЛНАМИ С УЧЕТОМ ПЕРЕНОСА ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В КИНЕТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

С. А. Грабовенская a, В. В. Завьялов a, *, А. А. Шестаков a

a Российский федеральный ядерный центр – Всероссийский научно-исследовательский институт технической физики им. акад. Е.И. Забабахина
Снежинск, Россия

* E-mail: zvv68@vk.com

Поступила в редакцию 25.10.2022
После доработки 28.02.2023
Принята к публикации 28.02.2023

Полный текст (PDF)

Аннотация

В настоящее время численное моделирование является основным, а зачастую и единственным инструментом для детального описания некоторых физических явлений при исследовании процессов сжатия веществ ударными волнами. Изучение поведения ударных волн и волн разряжения на простейших модельных тестах помогает при анализе более сложных расчетов, например, задач инерциального термоядерного синтеза на лазерных установках. В работе рассмотрены сравнительные расчеты тестовой задачи, моделирующей сжатие ударными волнами сферической слоистой системы, состоящей из двух веществ.

Ключевые слова: слоистые системы, ударные волны, лучистый перенос

Одним из направлений работ при исследовании процессов имплозии на лазерных установках является развитие технологии проведения численного моделирования мишеней для оптимизации постановки экспериментов с целью достижения условий термоядерного зажигания мишеней и получения новых экспериментальных данных. Так как аналитическое описание нелинейных процессов взаимодействия лазерного излучения с плазмой в большинстве задач затруднено, большую роль в изучении этих процессов играет математическое моделирование процессов имплозии. Особое место в теории нелинейных процессов занимают режимы с обострением – задачи, допускающие неограниченные решения в течение конечного промежутка времени. Такие режимы рассматривались отдельно для теплопроводности или газодинамики и использовались для изучения поведения экстремальных решений [1]. К ним относятся безударное сжатие в газовой динамике, задачи теплового взрыва, процессы кумуляции ударных волн и др. Моделирование совместной системы переноса излучения с газодинамикой может существенно влиять на поведение решений таких задач, в частности, сделать неограниченные решения ограниченными, но с дельтаобразным поведением основных величин. Поэтому возникает интерес к процессам, близким к режимам с обострением, но с одновременным учетом переноса излучения и газодинамики.

В работе [2] для тестирования многомерных программ, описывающих процессы радиационной газовой динамики (РГД), была предложена задача, моделирующая сжатие простейшей сферической слоистой системы, состоящей из двух веществ, и названная в дальнейшем “пульсар”. Особенностью задачи является резкое возрастание плотности при сжатии ударными волнами вещества в центре. При этом максимальная плотность достигается после прохождения третьей ударной волны. Такие режимы, когда средние плотности веществ вырастают на несколько порядков, по-видимому, можно отнести к задачам с обострением [1]. Задачи на сверхсильное сжатие, когда плотность вещества возрастает под воздействием ударных волн, называют сжатием с усилением [3], в отличие от задач, где максимальное сжатие вещества достигается после прохождения первой ударной волны с последующим затуханием амплитуды максимальной плотности.

Задача о сходящейся сферической ударной волне (УВ) была впервые решена немецким ученым Гудерлеем, работавшим в Лос-Аламосе в 1942 г. [4], и независимо от него Л.Д. Ландау и К.П. Станюковичем в 1944 г. [5]. В общей форме описание сферической УВ есть в книгах [6, 7]. В момент прихода УВ в центр происходит ее фокусировка и отражение от центра. При учете теплопереноса вблизи фокусировки сходящейся УВ растут температурные градиенты, поэтому теплопроводность и излучение становятся ведущими механизмами диссипации энергии. Задача о сходящейся сферической УВ с учетом лучистой теплопроводности была решена Е.И. Забабахиным и В.А. Симоненко в 1965 г. [8], которые показали, что теплопроводность видоизменяет характер движения: вместо конечной плотности и бесконечной температуры возникают бесконечная плотность и конечная температура. За счет теплопроводности перед УВ появляется зона прогрева, в которой газ не только нагревается, но и начинает двигаться и уплотняться. Фронт этой зоны называют тепловым предвестником. Результаты этой работы были подтверждены численными расчетами, проведенными в работе [9], для сильной сходящейся сферической ударной волны с учетом нелинейной теплопроводности.”

Неограниченную кумуляцию можно получить и другими способами. В работе [10] показано, что в слоистой системе из чередующихся легких и тяжелых плоских слоев можно получить возрастание плотности и давления. Описание движения УВ в слоистой системе намного сложнее, чем в однородной среде, поэтому моделирование таких систем проводится, в основном, численными методами. В сферической слойке степень кумуляции значительно выше, чем в плоской, поскольку УВ усиливается за счет суммы двух факторов: сферичности и слоистости.

В работе [3] рассмотрены задачи, моделирующие сжатие ударными волнами сферической слоистой системы, состоящей из нескольких веществ, при совместном счете лучистой теплопроводности и газодинамики. До выхода на стационарный режим основные газодинамические величины (температура, плотность, давление и скорости границ веществ) являются осциллирующими функциями. Возникающие под воздействием сильных ударных волн осцилляции всех величин очень резкие и для их качественного воспроизведения требуются достаточно прецизионные методы. В работе [3] приведены различные варианты задач с усилением при подвижной и неподвижной внешней границе, а также с вариацией граничных давлений и температур.

Данная статья посвящена решению одной из задач на сжатие с усилением из работы [3]. В отличие от [3], где она решалась в приближении лучистой теплопроводности, перенос излучения рассматривается в кинетической модели. Достоинством решаемой задачи является то, что при выходе на стационарный режим она имеет точное решение, а это позволяет сравнивать различные методики, моделирующие процессы РГД. Однако нестационарное точное решение данной задачи авторам не известно, поэтому вызывают интерес нахождение времен прихода ударной (SW – shock wave) и тепловой (HW – heat wave) волн в центр сферы и определение максимумов плотности и температуры, достигаемых при сверхсильном сжатии. Для нахождения максимальных значений плотности и температуры проведены расчеты на сгущающихся сетках.

Для сравнения в настоящей работе приведены результаты расчетов теста “пульсар” по трем схемам TVDR (Total Variation Diminishing Reconstruction), DDAD/St (Diamond Difference with the Artificial Dissipation) и St (Step). Хотя используемые разностные схемы построены на принципиально разных подходах, они, оставаясь в рамках Sn-метода, позволяют использовать экономичный алгоритм бегущего счета.

St-схема [11] является линейной положительной монотонной схемой первого порядка аппроксимации.

В TVDR-схеме [12, 13] методология TVD применяется для построения нелинейной реконструкции повышенного порядка аппроксимации (выше первого) по пространству искомой функции с сохранением положительности решения.

В DDAD/St-схеме предлагается улучшить монотонность схемы второго порядка аппроксимации по пространству за счет искусственной диссипации [14, 15]. Результаты по схеме DDAD/St для краткости в дальнейшем будем обозначать как DDAD.

Схемы повышенного порядка аппроксимации по пространству TVDR и DDAD позволяют получать удовлетворительные результаты на более грубых сетках, однако на осциллирующих решениях это может приводить к плохой сходимости итераций. Монотонные схемы первого порядка аппроксимации типа St-схемы, как правило, позволяют сделать итерационные процессы более устойчивыми. Для организации итерационного процесса применяется метод ВДЭПФ [15]. Аппроксимация по времени в применяемых схемах осуществляется с первым порядком точности.

Целями работы являются

1. нахождение максимальных значений плотностей и температур как в центре сферы, так и их средних значений по областям;

2. определение времен прихода ударной и тепловой волн в центр;

3. сравнение температуры вещества и радиационной температуры в центре.

1. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ РГД

Система уравнений РГД [7, 16] расщепляется по физическим процессам и на каждом шаге по времени моделируется в два этапа. На первом этапе решаются уравнения газовой динамики

$\begin{gathered} \frac{{d\rho }}{{dt}} + \rho \nabla \cdot {\mathbf{u}} = 0, \hfill \\ \rho \frac{{d{\mathbf{u}}}}{{dt}} + \nabla P = 0, \hfill \\ \rho \frac{{dE}}{{dt}} + P\nabla \cdot {\mathbf{u}} = 0. \hfill \\ \end{gathered} $

Здесь $t$ – время, $\rho $ – плотность, ${\mathbf{u}}$ – вектор газодинамической скорости, $E\left( {\rho ,T} \right)$ – удельная внутренняя энергия, T – температура вещества, $P = p + {{p}_{r}}$ – полное давление, $p\left( {\rho ,T} \right)$ – газодинамическое давление, ${{p}_{r}} = \frac{{{{\sigma }}T_{r}^{4}}}{3}$ – давление излучения, ${{T}_{r}} = \sqrt[4]{{\frac{1}{{с{{\sigma }}}}\int\limits_{{\Omega }} {Id{{\Omega }}} }}$ – радиационная температура, ${{\sigma }}$ – постоянная Стефана-Больцмана, c – скорость света, $I\left( {{\mathbf{r}},{\mathbf{\Omega }},t} \right)$ – интенсивность излучения в момент времени t в направлении ${{\Omega }}$.

Газодинамическое движение рассчитывается в эйлерово-лагранжевой системе координат по методике [17].

На втором этапе решается система уравнений переноса теплового излучения для поглощающей и рассеивающей среды

$\begin{gathered} \frac{{{{\rho }}d}}{{cdt}}\left( {\frac{I}{\rho }} \right) + {\mathbf{\Omega }}\nabla I + \left( {{{{{\alpha }}}_{c}} + {{\alpha }_{s}}} \right)I = \frac{{{{{{\alpha }}}_{c}}}}{{4\pi }}B + \frac{{{{{{\alpha }}}_{s}}}}{{4\pi }}\int\limits_{\mathbf{\Omega }} {Id{\mathbf{\Omega }}} , \\ \,{{\rho }}\frac{{dE}}{{dt}} = {{{{\alpha }}}_{c}}\left( {\int\limits_{\mathbf{\Omega }} {Id{\mathbf{\Omega }}} - B} \right). \\ \end{gathered} $

Здесь ${{\alpha }_{c}}\left( {\rho ,T} \right)$ – коэффициент поглощения, ${{\alpha }_{s}}\left( {\rho ,T} \right)$ – коэффициент рассеивания, B(T) = = $с{{\sigma }}{{T}^{4}}$.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Шар радиусом $0 \leqslant r \leqslant {{R}_{2}} = 0.6$ cм состоит из 2 физических областей (табл. 1). Внутренняя область 1 $\left( {0 \leqslant r \leqslant {{R}_{1}} = 0.5} \right)$ состоит из вещества с плотностью $\rho _{1}^{{}} = 0.02$ г/см3, внешняя область 2 $\left( {{{R}_{1}} \leqslant r \leqslant {{R}_{2}}} \right)$ из вещества с плотностью $\rho _{2}^{{}} = 1$ г/см3. Уравнение состояния вещества $Е = 0.81\;Т$ и $P = 0.54\rho Т$. Начальная температура всей системы $Т = 0.00001$ кэВ, начальные скорости ${\mathbf{u}} = 0$. На внешней границе задано давление P = 107 Бар и температура T = 0.1 кэВ. В обоих областях – ${{\alpha }_{c}} = \frac{\rho }{5}\left[ {{{{\left( {1 + \frac{{8.65}}{{{{\rho }^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}{{T}^{2}}}}} \right)}}^{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}} - 1} \right]{\text{с}}{{{\text{м}}}^{{ - 1}}}$, ${{\alpha }_{s}} = \frac{\rho }{5}{\text{с}}{{{\text{м}}}^{{ - 1}}}$.

Таблица 1.

Состав системы

Номер области 1 2
Начальная плотность ρ0 0.02 1
Конечная плотность ${{\rho }_{{st}}}$ 1.851 1.851
Начальные радиусы ${{R}_{{1,2}}}$ 0.5 0.6
Конечные радиусы ${{R}_{{1,2,st}}}$ 0.11 0.37
Число ячеек на сетке N 25 × 8 100 × 8
Число ячеек на сетке 2N 50 × 15 200 × 15
Число ячеек на сетке 4N 100 × 30 400 × 30

До выхода на стационарный режим все величины являются осциллирующими функциями, и при $t \to \infty $ решение задачи выходит на постоянные значения

${\mathbf{u}} = 0,\quad P = {{10}^{7}}\,\,{\text{Бар,}}\quad Т = 0.1\,\,{\text{кэВ}},\quad {{R}_{{1,st}}} = R_{1}^{{}}\sqrt[3]{{\frac{{\rho _{1}^{0}}}{{{{\rho }_{{st}}}}}}} \approx 0.11\,\,{\text{см,}}$
${{R}_{{2,st}}} = \sqrt[3]{{\frac{1}{{{{\rho }_{{st}}}}}[R_{1}^{3}\rho _{1}^{0} + (R_{2}^{3} - R_{1}^{3})\rho _{2}^{0}]}} \approx 0.37\,{\text{см,}}\quad {{\rho }_{{1,2}}} = {{\rho }_{{st}}} = \frac{{299.868}}{{162}} \approx 1.851\,{\text{г/с}}{{{\text{м}}}^{{\text{3}}}}.$

3. РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Расчеты проводились по двумерной программе в цилиндрических координатах на сгущающихся по обоим направлениям сетках до времени достижения максимальной средней плотности в первой области t = 0.12 мкс. Константа сходимости итераций по температуре полагалась равной 10–6, квадратура по направлениям полета частиц – ES16. Шаг по времени варьировался, исходя из поведения решения, но не превышал 1 пс.

С момента прихода первой ударной волны в центр сферы после лагранжева этапа на каждом временном шаге в области 1 строилась равномерная по радиусу сетка, на которую пересчитывались все термодинамические величины.

Максимальные значения основных газодинамических величин (температуры, давления и плотности) достигаются в центре области 1. Так как система является оптически плотной, температуры вещества и радиационной температуры по областям совпадают и их отличие наблюдается только в центре в моменты максимального сжатия.

Результаты расчетов, а именно, времена достижения максимумов ${{t}_{{\max }}}$ для средней температуры ${{T}_{{{\text{max}}}}}$ и средней плотности ${{\rho }_{{{\text{max}}}}}$ в области 1, времена прихода тепловой ${{t}_{{HW}}}$ и ударной волн ${{t}_{{SW}}}$ в центр сферы и их отличия $\Delta $ в процентах от результатов по схеме TVDR на сетке 4N приведены в табл. 2. Средняя плотность и температура вещества вычисляются по формулам ρ = = $\sum\limits_{i = 1}^N {{{\rho }_{i}}} {{V}_{i}}{\text{/}}\sum\limits_{i = 1}^N {{{V}_{i}}} $, $T = \sum\limits_{i = 1}^N {{{T}_{i}}} {{M}_{i}}{\text{/}}\sum\limits_{i = 1}^N {{{M}_{i}}} $, где N – число ячеек разностной сетки, ${{\rho }_{i}},{{T}_{i}}$ – величины в центре ячейки, ${{V}_{i}},{{М}_{i}}$ – объем и масса ячейки.

Таблица 2.

Результаты расчетов

Схема Сетка ${{T}_{{{\text{max}}}}}\left( {{{t}_{{{\text{max}}}}}} \right)$ $\Delta {{T}_{{{\text{max}}}}}$ ${{\rho }_{{{\text{max}}}}}\left( {{{t}_{{{\text{max}}}}}} \right)$ $\Delta {{\rho }_{{{\text{max}}}}}$ ${{t}_{{HW}}}$ $\Delta {{t}_{{HW}}}$ ${{t}_{{SW}}}$ $\Delta {{t}_{{SW}}}$
St N 0.361 (1.105) –11.3% 57.47 (1.171) –40.9% 0.425 –34.4% 0.840 2.8%
St 2N 0.386 (1.143) –5.2% 74.41 (1.175) –7.5% 0.466 –28.1% 0.837 2.4%
St 4N 0.403 (1.137) –0.93% 80.91 (1.175) 0.6% 0.490 –24.4% 0.825 0.98%
DDAD N 0.409 (1.136) 0.49% 79.72 (1.171) –0.9% 0.585 –12.8% 0.761 –6.9%
DDAD 2N 0.406 (1.133) –0.25% 78.14 (1.170) –1.7% 0.633 –2.3% 0.818 0.1%
DDAD 4N 0.407 (1.129) 0 79.69 (1.165) –0.9% 0.651 0.46% 0.816 –0.1%
TVDR N 0.408 (1.137) 0.25% 78.46 (1.172) –2.4% 0.528 –18.5% 0.802 –1.8%
TVDR 2N 0.407 (1.132) 0 79.51 (1.168) –1.1% 0.610 –5.9% 0.819 0.2%
TVDR 4N 0.407 (1.129) 0 80.42 (1.165) 0 0.648 0 0.817 0

Из таблицы видно, что расчеты на сетке 4N показали достаточно хорошее согласие (менее 1%) по максимумам средних величин в схемах St, TVDR и DDAD. На этой же сетке времена прихода тепловой и ударной волн в схемах TVDR и DDAD дают отличие менее 0.5%. Наибольшие отличия наблюдаются во временах прихода тепловой волны в расчетах по St схеме. Даже на сетке 4N эти расчеты дают отличие более 20%.

На рис. 1, 2 приведены зависимости от времени средних по областям плотности и температуры. Результаты по схеме DDAD на этих рисунках не приводятся, так как они визуально не различимы со схемой TVDR.

Рис. 1.

Средняя температура по схемам St и TVDR на сетке 4N; 1 область: штрихпунктирная – St, сплошная – TVDR; 2 область: точечная – St, штриховая – TVDR.

Рис. 2.

Средняя плотность по схемам St и TVDR на сетке 4N; 1 область: штрихпунктирная – St, сплошная – TVDR; 2 область: точечная – St, штриховая – TVDR.

Из рис. 1 видно, что наибольшее отличие наблюдается при прогреве первой области, где разница между схемами St и TVDR в момент времени $t = 0.07$ мкс достигает 20%. Однако в момент достижения максимума средней температуры разница уменьшается до 1%.

Из рис. 2 следует, что наибольшее отличие между схемами наблюдается в момент первого пика по плотности в первой области $t = 0.1$ мкс и достигает 30%. Максимальные температуры отличаются менее 1%.

Как показано в работе [3] рассматриваемая система является оптически плотной, поэтому средние по областям температуры вещества и излучения не отличаются на протяжении всего времени счета. Однако в отдельных точках, в частности, в центральной точке температуры могут отличаться очень сильно, т.е. происходит “отрыв” температур. “Отрыв” наблюдается во всех схемах в моменты прихода ударных волн в центр и представлен на рис. 3.

Рис. 3.

Температура вещества и радиационная температура в центре на сетке 4N по схеме TVDR: точечная – температура вещества, сплошная – радиационная температура.

Из рис. 3 вытекает, что температура вещества практически мгновенно за время $\Delta t \approx 0.3$ нc вырастает на первом пике в центральной точке более чем в 10 раз c $T \approx 0.2$ кэВ до $T \approx 2.5$ кэВ и превышает радиационную температуру ${{T}_{r}} \approx 0.6$ кэВ более чем в 4 раза. Так как “отрыв” температур происходит в центре в нескольких точках и за очень короткий промежуток времени, он практически не сказывается на общий характер движения и средние по веществам величины.

Наиболее чувствительными к порядку аппроксимации схем являются времена прихода первых тепловой и ударной волн в центр системы. На рис. 4, 5 представлены зависимости от времени температуры и плотности вещества в центральной точке для сравнения времен прихода первых тепловой и ударной волн по схемам St, TVDR и DDAD.

Рис. 4.

Температура вещества и радиационная температура в центре на сетке 4N по схемам St, TVDR и DDAD: сплошная – St, штриховая – TVDR, точечная – DDAD.

Рис. 5.

Плотность вещества в центре на сетке 4N по схемам St, TVDR и DDAD: сплошная – St, штриховая – TVDR, точечная – DDAD.

Из рис. 4 видно, что тепловые волны, полученные по схемам TVDR и DDAD, немного отличаются (примерно на 0.1%), и тепловая волна, описываемая St-схемой, значительно опережает волны, полученные по схемам повышенного порядка аппроксимации. Для получения времени прихода по St-схеме, совпадающим с временем по схемам TVDR и DDAD, необходима разностная сетка на два порядка подробнее.

Из рис. 5 видно, что плотность вещества за время ${{\Delta }}t \approx 1$ нc вырастает в центральной точке более чем в 104 раз c $\rho \approx 0.02$ г/см3 до $\rho \approx 350$ г/см3, и ударная волна, полученная с использованием St схемы, демонстрирует значительное отставание. Для получения удовлетворительного результата по St схеме необходима более подробная разностная сетка.

На рис. 4, 5 можно наблюдать, что максимальные плотности и температуры в центре значительно более чувствительны к разностной сетке и точности схемы, чем их средние величины. Для примера на рис. 6, 7 приведены зависимости от времени радиационных температур в центре и средних по первой области на сгущающихся сетках по схеме TVDR.

Рис. 6.

Средние по первой области радиационные температуры на сетках N, 2N, 4N по схеме TVDR: штриховая – сетка N, точечная – сетка 2N, сплошная – сетка 4N.

Рис. 7.

Радиационные температуры в центре на сетках N, 2N, 4N по схеме TVDR: штриховая – сетка N, точечная – сетка 2N, сплошная – сетка 4N.

Рисунок 6 демонстрирует, что средние температуры на сгущающихся сетках близки между собой, и дальнейшее увеличение числа ячеек разностной сетки не требуется.

Из рис. 7 можно сделать вывод, что температуры в центральной точке отличаются сильнее, чем средние величины больше всего в моменты прихода тепловой и ударных волн в центр сферы. Для их описания желательно использовать схемы повышенного порядка аппроксимации. При увеличении числа ячеек разностной сетки наступает сходимость по времени прихода и амплитудам тепловых и ударных волн во всех рассмотренных схемах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе рассмотрена задача, моделирующая сжатие ударными волнами с учетом излучения сферической системы, состоящей из двух веществ. Приведены результаты расчетов по трем схемам на нахождение максимальных значений плотностей и температур как в центре сферы, так и их средних значений по областям, а также определение времен прихода ударной и тепловой волн в центр.

В данной задаче плотность вещества за промежуток времени $\Delta t \approx 1$ нc возрастает в центральной точке более чем в 104 раз, а температура вещества за промежуток времени $\Delta t \approx 0.3$ нc увеличивается более чем в 10 раз, и превышает в точке максимума радиационную температуру примерно в 4 раза, т.е. происходит “отрыв” температур. Такие режимы с обострением, когда плотности веществ вырастают на несколько порядков, предъявляют к численным методикам очень высокие требования. В подобных задачах даже, если средние по веществам плотности и температуры достаточно близки между собой, плотности и температуры в отдельных точках при имплозии могут существенно отличаться, особенно в моменты прихода тепловой и ударных волн.

В работе приведены результаты сравнительных расчетов по схемам повышенного порядка аппроксимации TVDR и DDAD, а также монотонной St-схеме первого порядка. Из представленных расчетов следует, что схемы повышенного порядка аппроксимации по пространству TVDR и DDAD показали достаточно хорошее согласие на сгущающихся сетках по максимумам средних величин (менее 1%). Данные по времени прихода тепловой и ударной волн в схемах TVDR и DDAD дают отличие менее 0.5%. Существенно большие отличия наблюдаются во временах прихода тепловой волны в расчетах по St схеме. Для получения времени прихода тепловой волны в St схеме, согласованного со схемами TVDR и DDAD, необходима сетка на два порядка подробнее, что приводит к существенному увеличению времени счета и затрат по памяти на ЭВМ.

Несмотря на то что рассматриваемая сиcтема является оптически плотной, модель лучистой теплопроводности дает заметно отличающиеся результаты. Так для сетки 4N в момент максимального сжатия отличие средней плотности в области 1 в приближении лучистой теплопроводности достигает 9.5%, максимальной средней температуры – 1.8%. Отличие времени прихода тепловой волны от кинетической модели примерно 2 нс, по времени прихода ударной волны – примерно 0.7 нс.

Рассмотренная задача и ее модификации могут быть использованы для исследования процессов сжатия веществ ударными волнами и тестирования методик РГД.

Список литературы

  1. Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов В.П., Михайлов В.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987. С. 477.

  2. Шестаков А.А. Об одной тестовой задаче сжатия слоистой системы с учетом переноса излучения в различных приближениях // ВАНТ. Сер. Математическое моделирование физических процессов. 2017. Вып. 4. С. 25–31.

  3. Шестаков А.А. Тестовые задачи на сжатие сферических слоистых систем ударными волнами // Математическое моделирование. 2020. Т. 32. № 12. С. 29–42.

  4. Guderley K.G. Strake kugelige und zylindrische Verdichtutungsstosse in der Nane des Kugelmittelpunktes bzw. der Zylinderachse // Luftfahrtforschung. 1942. B. 19. Lfg 9. P. 302–312.

  5. Ландау Л.Д., Станюкович К.П. Об изучении детонации конденсированных ВВ // ДАН СССР. 1945. Т. 46. № 9. С. 399–402.

  6. Станюкович К.П. Неустановившиеся движения сплошной среды. М.: Гостехиздат, 1955. 804 с.

  7. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Наука, 1966. 686 с.

  8. Забабахин Е.И., Симоненко В.А. Сходящаяся ударная волна в теплопроводном газе // ПММ. 1965. Т. 29. Вып. 2. С. 334–336.

  9. Махмудов А.А., Попов С.П. Влияние теплопроводности на сходящуюся к центру симметрии сильную ударную волну // ИЗВ.РАН. Механика жидкости и газа. 1980. № 2. С. 167–170.

  10. Забабахин Е.И., Забабахин И.Е. Явления неограниченной кумуляции. М.: Наука, 1988, 173 с.

  11. Карлсон Б. Численное решение задачи кинетической теории нейтронов. В кн.: Теория ядерных реакторов. М.: Атомиздат, 1963. С. 243–258.

  12. Гаджиев А.Д., Завьялов В.В., Шестаков А.А. Применение TVD-подхода к DSn-методу решения уравнения переноса теплового излучения // ВАНТ. Сер. Математическое моделирование физических процессов. 2009. Вып. 2. С. 37–48.

  13. Шестаков А.А. TVDR-схемы для решения системы уравнений переноса теплового излучения // ВАНТ. Сер. Математическое моделирование физических процессов. 2019. Вып. 2. С. 17–36.

  14. Гаджиев А.Д., Кондаков И.А., Писарев В.Н., Стародумов О.И., Шестаков А.А. Метод дискретных ординат с искусственной диссипацией (DDAD-схема) для численного решения уравнения переноса нейтронов// ВАНТ. Сер. Математическое моделирование физических процессов. 2003. Вып. 4. С. 13–24.

  15. Гаджиев А.Д., Селезнев В.Н., Шестаков А.А. DSn-метод с искусственной диссипацией и ВДМ-метод ускорения итераций для численного решения двумерного уравнения переноса теплового излучения в кинетической модели нейтронов // ВАНТ. Сер. Математическое моделирование физических процессов. 2003. Вып. 4. С. 33–46.

  16. Суржиков С.Т. Тепловое излучение газов и плазмы. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 544 с.

  17. Биcяpин A.Ю., Гpибoв B.M., Зубoв A.Д., Heувaжaeв B.E., Пepвинeнкo H.B., Фpoлoв B.Д. Koмплeкc TИГP для pacчeтa двумepныx зaдaч мaтeмaтичecкoй физики // ВАНТ. Сер. Математическое моделирование физических процессов.1984. Вып. 3. С. 34–41.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Механика жидкости и газа

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал