Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2023, № 1, стр. 69-80

1. КОНВЕКТИВНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ

В экспериментах использовалась установка в виде двух вертикальных параллельных каналов квадратного сечения размером 2d = 3.2 мм и высотой h = 50 мм. Каналы вырезаны вдоль латунной пластины 70 × 6.2 × 21 мм³, расстояние по горизонтали между центрами каналов 6 мм. Каналы вверху и внизу соединялись друг с другом перемычками того же профиля, т.е. образовывался замкнутый гидравлический контур. Вертикальный градиент температуры создавался при помощи электрического нагревателя внизу и обдуваемого радиатора в верхней части пластины. Терморегулятор “Термодат 16E3” измерял дифференциальной медь-константановой термопарой заданную вертикальную разность температур ΔT и поддерживал ее с точностью ±0.2 K. На стенках каналов и в жидкости, находящейся в равновесии, возникало линейное по высоте распределение температуры с градиентом A = ΔT/h. При достижении критических условий подогрева возникало конвективное течение: в одном канале восходящий теплый поток с температурой в центре, равной θ, а в другом – нисходящее холодное течение с температурой в центре, равной –θ, здесь θ – отклонение температуры по горизонтали на оси канала от температуры стенки.

Интенсивность течения определяется разностью температур 2θ между центрами каналов, которая измерялась при помощи медь-константановой термопары из проводов диаметром 0.1 мм. Спаи дифференциальной термопары были установлены на высоте h/2 на осях каналов, а ее сигнал измерялся цифровым прибором “Термодат 29БМ1” с разрешением 0.01°C. Приборы подключались к USB порту компьютера, показания термопарных датчиков снимались программой TermodatNet и сохранялись в виде термограмм.

Эксперименты проводились с магнетитовыми магнитными жидкостями, стабилизированными олеиновой кислотой. В качестве жидкой основы использовался либо керосин, либо ундекан. Приведем параметры одного из образцов МЖ, применявшихся в экспериментах. Плотность жидкости ρ = ρ_u + C(ρ_m – ρ_u) связана с объемной концентрацией частиц C, плотностью ундекана ρ_u = 0.74 г/см³ и магнетита ρ_m = 5.2 г/см³. Концентрационный коэффициент плотности определялся как

Числовое значение β_с получено для МЖ на основе ундекана ρ = 1.46 г/см³ и С_o = 0.16. Другие свойства этого образца: радиус частиц r = 6 нм, теплопроводность жидкости 0.25 Вт · м^–1 · K^–1, температурный коэффициент плотности β_t = 1.0 × 10^–3 K^–1, температуропроводность χ = 1.1 × 10^–7 м² · с^–1, вязкость ν = 5.8 × 10^–6 м² · с^-1. Частица покрыта защитной оболочкой толщиной 2 нм и плотностью ρ_z = 0.9 г/см³. Скорость седиментации частиц с учетом защитной оболочки найдена по формуле Стокса ${{{v}}_{s}}$ = 3.2 × 10^–11 м/c, а коэффициент диффузии при вязкости η = 0.0085 Па · с оценен формулой Эйнштейна D = 3.2 × 10^–12 м² · с^–1.

Приведем также безразмерные параметры образца МЖ для использования в численных расчетах термодиффузионный параметр ε = S_tС_o(1 – С_o)β_c/β_t = 83, где S_t = 0.2 K^–1 – коэффициент Соре, числа Шмидта S = ν/D = 1.8 × 10⁶ и Прандтля P = ν/χ = 53.

Чтобы понять поведение такой сложной среды, как магнитная жидкость, полезно рассмотреть ее конвективную устойчивость в однородном по концентрации состоянии при С = С_о. Рассмотрим конвективную неустойчивость равновесия однородной жидкости в каналах, взяв за основу уравнения и исследования [6]. Сечение каналов показано на фрагменте 1 рис. 1. Каналы бесконечно длинные, подогреваются снизу и в равновесии задан вертикальный линейный профиль T_o = –A · z + const, здесь A – градиент температуры. Возмущения температуры Т и скорости $v$ для однородной жидкости являются монотонными ~exp(–λt) и справедливо условие замкнутости потока ${{{v}}_{1}} = --{{{v}}_{2}}$, т.е. жидкость поднимается в одном канале и опускается в другом. Линейные уравнения для безразмерных амплитуд возмущений равновесия таковы:

Символом Δ обозначен плоский лапласиан в сечении каналов. Число Рэлея определено через параметры жидкости следующим образом:

в качестве единиц выбраны: размер – d; время – ${{d}^{2}}{\text{/}}{v}$; скорость – $d{\text{/}}{v}$ и температура Ad. Граничные условия V = T = 0, при x = ±2 и y = ±1, т.е. стенки каналов высокотеплопроводные, что для обсуждаемых экспериментов с каналами, вырезанными в латуни, выполняется очень хорошо.

Решение уравнений (1.1) имеет вид гармонических профилей скорости и температуры в сечении каналов. Наиболее опасные возмущения для устойчивости равновесия таковы

Подставляя (1.3) в (1.1), получаем критическое число Рэлея – порог конвекции

Течения с более сложным профилем скорости и температуры не рассматриваются, т.к. соответствующие критические числа Рэлея на порядки превышают Ra_o.

Так называемый конвективный параметр для описанного выше образца магнитной жидкости на основе ундекана с концентрацией С_o = 0.16 равен $g{{\beta }_{t}}{{{v}}^{{--1}}}{{\chi }^{{--1}}}$ = 1.5 × 10¹⁰ К^–1 · м^–3, критическая разность температур измерена в опытах и равна ΔT_o = 9.0 К, что соответствует критическому числу Рэлея в эксперименте Ra_e = 18. Другие образцы с другой концентрацией частиц давали в эксперименте приблизительно такое же критическое число Рэлея.

Монотонное возбуждение конвекции МЖ в экспериментах можно было наблюдать только после весьма тщательного перемешивания жидкости. Обычно в опытах наблюдалась колебательная неустойчивость равновесия. Это означает, что к моменту начала эксперимента в каналах имеется начальная устойчивая стратификация плотности.

Наличие коллоидных частиц в МЖ качественно меняет картину устойчивости механического равновесия и картину конвективных течений. В частности, конвективное течение МЖ наблюдалось даже в области ниже критического числа Рэлея (1.4), где однокомпонентная жидкость должна находиться в состоянии механического равновесия.

2. ПОДКРИТИЧЕСКИЕ КОНВЕКТИВНЫЕ ВСПЛЕСКИ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛЛОИДНЫХ ЧАСТИЦ ПО ВЫСОТЕ КАНАЛОВ

На рис. 2 показана термограмма 2θ(t), полученная в подкритической области при ΔT = 7.0 К в экспериментах с магнитной жидкостью С_o = 0.12 на основе керосина. В этом образце скорость седиментации частиц ${{{v}}_{s}}$ = 4.1 × 10^–11 м/c, коэффициент диффузии D = 4.2 × 10^–12 м² · с^–1, число Прандтля P = 42, число Шмидта S = 9 × 10⁵ и конвективный параметр $g{{\beta }_{t}}{{{v}}^{{--1}}}{{\chi }^{{--1}}}$ = 2.3 × 10¹⁰ К^–1 · м^–3. Критическая разность температур у этого образца ΔT_o = 7.7 К. На термограмме видно, что конвекция прекратилась через затухающие колебания, так, что после 06:00 жидкость находится ниже порога конвекции в состоянии механического равновесия, но под влиянием вертикального температурного градиента, направленного вниз. На графике видно, как периодически самопроизвольно и кратковременно равновесие нарушается и вспыхивает конвективное течение. Такие кратковременные всплески конвекции наблюдались более суток, а их период был стабильным и равным τ = (2.7 ± 0.1) × 10² мин.

Для объяснения наблюдаемого явления рассмотрим распределение коллоидных частиц по высоте каналов, возникающее благодаря седиментации и термодиффузии. В условиях отсутствия конвекции в вертикальных каналах коллоидные частицы движутся под действием силы тяжести, силы Архимеда и силы Соре, которую можно формально ввести как причину термофореза частиц ${{{\mathbf{F}}}_{s}} = - 6\pi \eta r{{S}_{t}}D{\mathbf{A}}$.

Скорость частицы устанавливается в результате баланса этих сил и силы трения Стокса и складывается из термодиффузионного дрейфа ${{{v}}_{{\text{t}}}}$ и скорости седиментации ${{{v}}_{{\text{s}}}}$:

Эксперименты [1, 2] показывают, что для МЖ, стабилизированных поверхностно-активным веществом, коэффициент Соре S_t, является положительным, поэтому при подогреве снизу мы имеем дрейф частиц вверх за счет термофореза, а седиментация двигает частицы вниз. Итоговое направление потока определяется тем, какой из процессов сильнее. Уравнение, определяющее кинетику числовой плотности частиц n, остается таким же, как и при действии только седиментации [7] без термофореза

Стационарное решение (2.1) выглядит как обычное распределение Больцмана

однако теперь характерная длина $l = - D{\text{/}}v$ зависит не только от скорости Стокса, но и от скорости термодиффузионного дрейфа частиц, содержит коэффициент Соре и может быть отрицательной:

При отсутствии нагрева (A = 0) мы получаем из (2.3) обычную седиментационную длину l_s. В нашем случае для керосинового образца МЖ с концентрацией С_o = 0.12 эта длина равна l_s = 12 см.

В случае слабой седиментации из (2.2) получается термодиффузионный профиль

и можно ввести понятие термодиффузионной длины l_t = (S_tA)^–1.

Формула (2.4) годится для любого образца в условиях невесомости и пригодна для нашего образца при величине нагрева чуть ниже, чем порог устойчивости равновесия (1.4). Действительно, при нагреве каналов снизу с градиентом A = –1.5 К/см и коэффициенте Соре S_t = 0.2 K^–1 эта длина равна l_t = –3.2 см, т.е. скорость термодиффузионного дрейфа частиц вверх в четыре раза больше скорости седиментации, и мы должны наблюдать накопление частиц в верхней части каналов. При этом в нашем случае стационарное распределение частиц (2.4) характеризуется пятикратной разницей концентрации между верхом и низом каналов, что соответствует неустойчивой стратификации плотности с концентрационным числом Рэлея Ra_c ~ 3 × 10⁷

Для возникновения концентрационной конвекции в каналах достаточно превысить критическое концентрационное число Рэлея Ra_co = π⁴/4 = 24 (использована аналогия с тепловой конвекцией). Сравнивая последние два числа, легко согласиться, что стационарное распределение частиц (2.4) при положительной термодиффузии не может быть достигнуто, т.к. является неустойчивым для концентрационной конвекции и “обрушится” задолго до установления стационарного профиля.

Описанное явление было впервые замечено в численных экспериментах [8], где при изучении конвекции бинарной смеси в каналах ниже порога возбуждения конвекции (1.4) наблюдались так называемые “пикообразные выбросы”. В расчетах использовался термодиффузионный параметр бинарной смеси ε на порядок меньше, чем у раствора сульфата натрия в воде, однако в лабораторных опытах с этим раствором также удалось зафиксировать кратковременные всплески конвекции ниже порога неустойчивости равновесия.

Механизм явления следующий, величина температурного градиента близка к критическому значению и термофорез по вертикали способствует переходу через эту критическую точку, так как увеличивает уже имеющийся градиент плотности, направленный вверх. Жидкость начинает конвективное течение, концентрационный градиент за счет концентрационной конвекции инвертируется-опрокидывается в устойчивое положение, более концентрированные элементы оказываются внизу. Система вновь попадает в устойчивую подкритическую область, и процесс повторяется.

Критический перепад температуры для обсуждаемого образца ΔT_o = 7.7 К, т.е. система на рис. 2 находится в 10% от кризиса. Чтобы равновесие потеряло устойчивость, термофорез должен увеличить градиент плотности, направленный вверх на эти же 10%. Концентрационное число Рэлея должно увеличиться на ΔRa_c = 0.1π⁴/4 ~ 2. Проверим это следующей оценкой – термодиффузионный поток частиц вверх увеличивает C в верхней части каналов и уменьшает в нижней. За время τ верхняя половина канала увеличит концентрацию на $\Delta C\sim {\text{ }}2{{С}_{0}}{{{v}}_{t}}\tau {\text{/}}h\sim {\text{ }}{{10}^{{--5}}}$ и эта добавка будет сосредоточена в слое толщиной $\sim {\kern 1pt} {{v}_{t}}\tau $ в самом верху канала. В нижней части канала в таком же слое $\sim {\kern 1pt} {{v}_{t}}\tau $ концентрация уменьшится на величину ΔC. Концентрационная конвекция определяется неоднородностями концентрации поэтому, чтобы оценить эффективный концентрационный градиент В_e, запишем линейную зависимость концентрации с высотой С = С₀(1 + В_ez). Далее определим среднюю неоднородность концентрации в канале для такого мысленного линейного распределения δС₁= С₀B_eh/2. Аналогично найдем реальную неоднородность, используя оценки ΔC и их локализацию δС₂ = $2\Delta C{{{v}}_{t}}\tau {\text{/}}h$ = $4{{С}_{0}}{{({{{v}}_{t}}\tau {\text{/}}h)}^{2}}$. Приравнивая неоднородности δС₁ = δС₂, можно оценить эффективный градиент величиной B_e = $8{{({{v}_{t}}\tau )}^{2}}{\text{/}}{{h}^{3}}$ ~ 4 × 10^–7 м^–1. В итоге получаем ожидаемый прирост концентрационного числа Рэлея ΔRa_c ~ 3. В оценках использован конвективный параметр МЖ для концентрационной конвекции $g{{\beta }_{c}}{{{v}}^{{--1}}}{{D}^{{--1}}}$ = 1.4 × 10¹⁸ м^–3.

3. КОЛЕБАТЕЛЬНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ МАГНИТНОЙ ЖИДКОСТИ В ДЛИННЫХ КАНАЛАХ

В экспериментах механическое равновесие почти всегда нарушалось через колебательные возмущения, что говорит о том, что в каналах к моменту начала конвекции имелся вертикальный концентрационный градиент с устойчивой стратификацией плотности. Соответствующее концентрационное число Рэлея определяется формулой (2.5).

В магнитной жидкости число Прандтля много меньше, чем число Шмидта. Для такого предельного случая в каналах тепловое критическое число Рэлея и частоту колебаний можно записать по аналогии с выражением, полученным в [6] для конвекции бинарной смеси в вертикальном слое. При $S \gg P$ для каналов получаем нейтральную кривую колебательной неустойчивости и частоту колебаний

Начальные градиенты концентрации образуются случайным образом за счет седиментации или оседания уже имеющихся, наведенных конвекцией неоднородностей. Время жизни (диффузионного рассасывания) такого неравновесного распределения частиц сравнимо со временем образования распределения Больцмана τ_D ~ h²/D/π² и в нашем случае это время порядка года. Имеющийся к началу любого опыта случайный концентрационный градиент можно оценить через частоту переходного процесса f, происходящего при перепаде температур ΔT

В результате случайные, полученные в опытах критические перепады температур и случайные частоты переходного процесса укладываются на вполне регулярную зависимость рис. 3. По оси абсцисс отложена величина (μ – 1)/μ, где μ = Ra/Ra_o = ΔT/ΔT_o относительное число Рэлея, при котором наступила колебательная неустойчивость. Сплошная линия на рис. 3 соответствует теоретической формуле

которую можно получить из (3.1) и (3.2), используя концентрационное число Рэлея (2.5) и критическое число Рэлея (1.2), взятое при критической разности температур ΔT_o.

Чтобы дать представление о величине концентрационных градиентов и о соответствующих числах Рэлея Ra_c, оценим их для наибольшей частоты f  ² = 4.3 × 10^–4 c^–2 , наблюдавшейся при ΔT = 9.8 K в керосиновой МЖ с критическим перепадом ΔT_o = 5.9 K. Используя (3.2), находим градиент концентрации ~2 × 10^–2 м^–1 и число Рэлея Ra_c ~ 2 × 10⁵. Наличие концентрационных градиентов увеличивает тепловое число Рэлея для наступления кризиса механического равновесия (3.1) на величину Ra_cP/S, поэтому критический перепад температуры, при котором возникала колебательная неустойчивость равновесия, также меняется в меру этих градиентов. Для обсуждаемой точки Ra_cP/S ~ 10, что соответствует μ = 1.4, т.е. критическая ΔT должна была вырасти на 40%, а в опыте получилось 60%.

Cлучайные градиенты концентрации в наших экспериментах на порядки меньше равновесного градиента в распределении Больцмана ~1 м^–1, но их достаточно, чтобы обеспечить колебательное возбуждение конвекции МЖ в каналах.

Отметим, что частота переходных колебаний не зависит от диффузионных и термодиффузионных свойств МЖ, а определяется шириной каналов d и температуропроводностью жидкости χ (3.3), т.е. обсуждаемые колебания имеют качественно иную природу, чем периодические процессы, описанные ниже.

4. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ КОНВЕКТИВНОГО ТЕЧЕНИЯ В КАНАЛАХ КОНЕЧНОЙ ВЫСОТЫ

Еще одна особенность конвективного течения коллоида показана на рис. 4, где приведена термограмма 2θ(t), полученная в надкритической области при ΔT = 18 К в экспериментах с ундекановой МЖ концентрацией С_o = 0.16. Свойства этого образца были подробно описаны в разделе 1. В отличие от однокомпонентной жидкости, где мы в опытах наблюдаем стационарное конвективное течение, в коллоидной жидкости мы видим периодическую смену направления конвекции. Причина этого явления также связана с термофорезом, но с термофорезом частиц нормально стенкам каналов, за счет горизонтальных температурных градиентов, наведенных конвекцией.

В линейной теории возмущения равновесия (1.3) в бесконечно высоких каналах неограниченно растут со временем экспоненциальным образом. В экспериментах это не так, в однокомпонентной жидкости рост возмущений всегда завершается стационарным течением. Реальные лабораторные каналы хотя и достаточно длинные, но имеют конечную высоту h (фрагмент 2 рис. 1). На стыках каналов вверху и внизу следует согласовать температуру горячего поднимающегося потока и холодного опускного течения. В результате линейный температурный профиль вблизи стыков каналов искажается, движущая подъемная сила замедляет свой рост и возникает стационарное течение.

В каналах 1 (левый) и 2 (правый) безразмерной высотой H = h/d, на стыках следует задать условие непрерывности температуры Θ₁(0) = Θ₂(0) и Θ₁(H) = Θ₂(H). При этом профили скорости и температуры в сечении каналов остаются прежними (1.3), а вертикальный профиль температуры выглядит иначе [9]

Вид распределений температуры Θ_1,2(z) по вертикали, а также зависимость скорости течения V от числа Рэлея для однокомпонентной жидкости получены в названной работе и совпали с экспериментально наблюдаемыми вертикальными распределениями температуры и измерениями скорости конвекции.

Вблизи стыков профиль температуры искривляется, соединяясь с распределением температуры для противоположного канала. При этом для вертикальных распределений выполняется условие симметрии Θ₁(z) = –Θ₂(H – z).

Критическое число Рэлея Ra_o теперь зависит от высоты каналов H Ra_o = π⁴(1 – $ - \,\,\operatorname{th} (\pi H{\text{/}}2\sqrt 2 ){\text{/}}(\pi H{\text{/}}2\sqrt 2 ){{)}^{{ - 1}}}{\text{/}}4$. При H = 31.2 критическое число Ra_o = 23.7. Для малых надкритичностей при $\mu {\text{ }}--1 \ll 1$ (μ = Ra/Ra_o = ΔT/ΔT_o) из [9] получаются формулы зависимости скорости и температуры в центре каналов от числа Рэлея

Характерная особенность распределения температуры Θ(z), состоит в том, что, при небольших надкритичностях (в нашем случае до μ = 1.2) температура Θ однородна вдоль большей части длины каналов и совпадает с (4.2). Знак задает направление конвективного течения, которое в опытах с однокомпонентными жидкостями реализуется случайным образом.

На большей части сечения каналов скорость конвекции υ значительно превышает скорость термодиффузионного дрейфа ${{{v}}_{t}}$. Только вблизи стенок каналов скорости ${{{v}}_{t}}$ могут сравниться со скоростью конвекции ${v}$. Эксперименты с МЖ в каналах проводятся с предварительно перемешанной жидкостью С = С_o = const. Термодиффузионные потоки появляются сразу вслед за установлением температурного профиля (4.1), (4.2) и можно отследить их начальную динамику.

Характерная особенность наблюдавшихся колебаний видна на рис. 4. На каждом из полупериодов имеется почти линейный во времени процесс уменьшения интенсивности течения, прежде чем произойдет резкий быстрый переход на противоположную конвективную ветвь. Коллоидные частицы участвуют в двух движениях, они перемещаются вертикально вверх вдоль канала вместе с жидкой частицей и одновременно дрейфуют горизонтально в более медленные и более холодные слои благодаря положительной термодиффузии. В канале с течением вниз картина обратная, частицы дрейфуют от горячей стенки в направлении холодной оси канала.

Найдем выражения для средней скорости конвекции и среднего градиента температуры вблизи боковых стенок каналов в размерном виде. Например, вблизи стенки с координатой x = 0 можно записать скорость конвекции на расстоянии δ от стенки и горизонтальный температурный градиент непосредственно около стенки

Усредняя распределения вдоль y на интервале от –d до d, выражаем скорость дрейфа частиц по горизонтали через средний температурный градиент вблизи стенки канала θ/d

Скорость конвекции по вертикали на расстоянии δ от стенки

Обе последние формулы применимы около любой из восьми боковых стенок каналов. Расчетная траектория броуновской частицы, в отличие от траектории жидкой частицы, не является прямолинейной. Качественно картина искривления траекторий изображена на рис. 5. Коллоидная частица отклоняется в сторону стенки в канале с восходящим потоком (θ > 0, ${{{v}}_{o}}$ > 0), а в другом канале (θ < 0, ${{{v}}_{o}}$ < 0) треки частиц отклоняются в сторону центра. Искривления треков в центральной части канала весьма малы, т.к. скорость конвекции ${v}$ и скорость дрейфа ${{{v}}_{t}}$ отличаются на много порядков. Только вблизи стенки скорость конвекции становится сравнимой со скоростью термодиффузионного дрейфа.

Траектории коллоидных частиц, которые входят в канал достаточно близко к стенке, в конце своего пути утыкаются в стенку, т.е. частицы оказываются закрыты в тонком пограничном слое. Именно эти частицы делают жидкость в восходящем потоке в среднем более концентрированной и тяжелой. В канале с течением вниз пограничный слой обедняется частицами, и жидкость в среднем становится легче. Эта растущая со временем разность концентраций между каналами создает силу, которая постепенно компенсирует температурную подъемную силу, скорость конвекции уменьшается и это проявляется на термограммах рис. 4.

Приравнивая время подъема жидкой частицы вдоль канала $h{\text{/}}{v}\left( \delta \right)$ и время термодиффузионного дрейфа по горизонтали $\delta {\text{/}}{{{v}}_{t}}$ до стенки получаем предельную, граничную траекторию твердой частицы (жирная линия на рис. 5), которая утыкается в стенку в самом верху канала при z = h. Этот граничный трек задает толщину пограничного слоя в начале канала

При получении последней формулы использовался размерный вид скорости и температуры (4.2). Все частицы, входящие в нижнюю часть канала на расстоянии менее δ от стенки, попадают в своеобразную ловушку – пристеночный пограничный слой и участвуют в торможении конвективного потока. Это позволяет рассчитать скорость роста концентрационной подъемной силы и сравнить расчетную скорость с наблюдаемым в эксперименте убыванием подъемной силы. Числовое значение толщины пограничного слоя δ весьма мало, в нашем случае речь идет о сотых и тысячных долях миллиметра.

Частицы, входящие в канал на расстоянии от стенки большем, чем δ практически не участвуют в торможении потока, т.к. их траектории искривляются слабо, частицы проходят мимо диффузного пограничного слоя и не участвуют в увеличении веса жидкости в канале. Так, при μ = 1.15 скорость конвекции обсуждаемого образца МЖ в центре канала составляет 1 мм/c, т.е. жидкая частица на оси канала за половину периода колебаний (рис. 4) совершает ~10 полных оборотов по замкнутому контуру.

Рассчитаем скорость роста концентрации в канале за счет твердых частиц, попадающих в “ловушку” пограничного слоя через пристеночную полоску площадью 8δd. Скорость жидкости в пределах этой узкой полосы меняется линейно от 0 до ${v}\left( \delta \right)$, т.е. в среднем равна ${v}\left( \delta \right){\text{/}}2$. Тогда рост количества частиц в объеме пограничного слоя со временем таков ΔN = ${{n}_{o}}{v}(\delta )4\delta dt$. Разделим его на объем канала, чтобы найти прирост средней числовой плотности частиц Δn = ΔN/(4hd²) и прирост средней концентрации ΔC

Далее находим скорость роста средней концентрации в канале

В соседнем канале процесс идет в обратном направлении, пограничный слой теряет частицы и скорость их убыли также может быть найдена по формуле (4.3). Фактически частицы перетекают из пограничного слоя канала с течением вниз в пограничный слой канала с течением вверх. Приравнивая скорости роста концентрационной силы Архимеда и скорость убыли температурной силы плавучести, получаем уравнение

Его решение выглядит так

где τ_o характерное время разделения частиц между каналами

Выражение (4.5) совпадает с формулой, полученной в [1] из других соображений, но τ_o теперь имеет совсем иной смысл. Фактически получен результат исследования устойчивости конвективного течения коллоида в каналах. Конвективное течение магнитной жидкости в вертикальных каналах неустойчиво. Возмущения скорости и температуры растут с инкрементом λ = 1/τ_o и это связано с генерацией концентрационных неоднородностей между каналами за счет термофореза (4.3).

Рост возмущений заканчивается сменой направления конвективного течения. Конвективная система переходит в новое состояние, и оно вновь оказывается неустойчивым. Процесс повторяется периодически. Отметим, что сгенерированная конвекцией за половину периода средняя неоднородность концентрации между каналами ΔC/C_o невелика и в нашем образце составляет ~10^–4.

Для обсуждаемого образца магнитной жидкости при S_t = 0.2 K^–1 характерное время τ_o = 3.3 × 10³ c, поэтому при t < τ_o, разложением в ряд можно из (4.4) получить линейное изменение показаний θ, соответствующее эксперименту

Из последней формулы можно выразить коэффициент Соре, через экспериментальную скорость изменения температурного сигнала

Скорость изменения температурного сигнала в пределах каждого полупериода (рис. 4) определялась методом наименьших квадратов при обработке термограмм, полученных в длительных многосуточных экспериментах. Для обсуждаемого образца коэффициент Соре получился равным S_t = 0.2 К^–1 с неопределенностью ~10%.

5. РЕЖИМЫ КОНВЕКЦИИ КОЛЛОИДА, НАБЛЮДАВШИЕСЯ В ПОДОГРЕВАЕМЫХ СНИЗУ ВЕРТИКАЛЬНЫХ КАНАЛАХ

На рис. 6 показана диаграмма, на которой собраны все наблюдавшиеся режимы течения и неустойчивого механического равновесия для одного из образцов магнитной жидкости. По оси ординат отложена мера интенсивности конвективного течения – разность температур 2θ между центрами каналов, измеренная дифференциальной медь-константановой термопарой. По горизонтальной оси отложена заданная разность температур ΔT, пропорциональная тепловому числу Рэлея (1.2). В области I, при Ra < Ra_o (ΔT < ΔT_o), пока перепад температур для данного образца МЖ меньше критического значения ΔT_o = 9.0 К в жидкости реализуется механическое равновесие, устойчивость которого может периодически нарушаться всплесками концентрационной конвекции (рис. 2). Это связано с тем, что термофорез частиц в этих условиях и для данного образца сильнее седиментации. Термофорез за счет приложенного и направленного вниз градиента температур направляет поток частиц вверх, создавая неустойчивую стратификацию плотности, “обрушение” которой мы можем наблюдать периодически.

В области II рис. 6 в зависимости от предыстории мы можем наблюдать механическое равновесие, устойчивость которого может нарушиться колебательным образом (рис. 3). В результате роста возмущений возникает конвективное течение (рис. 4), которое само является неустойчивым и периодически меняет направление конвективного потока. Причина неустойчивости течения также термофорез, но термофорез, направляющий поток частиц по нормали к стенкам из-за неоднородности температуры в сечении каналов.

В области III также возможно механическое равновесие, устойчивость которого нарушается колебательным образом. Процесс завершается замкнутым стационарным конвективным течением, когда жидкость в одном из каналов поднимается, а в другом опускается. Конвективное течение становится слишком быстрым, и генерация неоднородностей за счет термофореза больше не может нарушить устойчивость течения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Термофорез коллоидных частиц является определяющим фактором в слабонадкритической и в подкритической конвекции магнитной жидкости в узких связанных каналах при подогреве снизу.

В подкритической области при отсутствии конвекции положительная термодиффузия за счет приложенного вертикального температурного градиента генерирует неустойчивую по плотности стратификацию, которая периодически теряет устойчивость – “обрушается” и такие всплески концентрационной конвекции наблюдались в эксперименте.

Сгенерированные неоднородности, быстро (минуты) перераспределяются по вертикали вдоль каналов за счет концентрационной конвекции в устойчивую по плотности стратификацию. Конвекция прекращается, а диффузионная релаксация таких структур весьма медленная (годы). Поэтому экспериментаторы почти всегда имеют дело с возникновением конвекции на фоне случайного неравновесного концентрационного градиента, а конвекция в эксперименте возникает колебательным образом, несмотря на положительный знак коэффициента Соре.

В слабонадкритической области генерация неоднородностей происходит на фоне конвективного течения за счет горизонтального термодиффузионного дрейфа частиц нормально к стенкам каналов. Перераспределение частиц между каналами происходит за счет “ловушки” для частиц в виде узкого пограничного слоя у стенок. Разность концентрации между каналами растет, конвективное течение теряет устойчивость и направление течения меняется на противоположное. Процесс повторяется периодически. Измеряя декремент температурного сигнала в эксперименте и используя формулу для характерного времени разделения частиц между каналами, удалось оценить коэффициент Соре магнитной жидкости, и он совпал по порядку величины с измерениями других авторов [2].

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (№ 20-01-00491).