Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2021, № 5, стр. 3-13

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим бесконечный плоский горизонтальный слой вязкой несжимаемой слабопроводящей жидкости в вертикальном постоянном электрическом поле и поле тяжести с ускорением свободного падения g. Ось x направлена вдоль нижней границы слоя, ось z – перпендикулярна границам слоя. Два плоских электрода лежат в плоскостях z = 0 и z = h (рис. 1), h – толщина слоя.

Идеально тепло- и электропроводные пластины конденсатора нагреты до разной температуры – T(0) = Θ, T(h) = 0. Здесь T – температура, отсчитываемая от температуры верхнего электрода, Θ – характерная разность температур. Случай Θ > 0 соответствует нагреву снизу. На катоде (нижнем электроде) потенциал равен нулю $\varphi \left( 0 \right) = 0$, на аноде (верхнем электроде) – $\varphi \left( h \right) = U$. Здесь U – напряжение электрического поля.

Под действием электрического поля в узком слое вблизи катода в результате электрохимических реакций образуется заряд. Плотность свободных зарядов у катода пропорциональна нормальной составляющей вектора напряженности поля ${{\rho }_{e}} = a{{E}_{z}}$, где a – коэффициент, характеризующий степень инжекции. Инжектированный заряд под действием поля движется в глубь жидкости. Двигаясь к аноду, заряд может увлекать за собой жидкость, вызывая электроконвективное течение. Движение жидкости и свободных зарядов в слое описывается системой уравнений электрогидродинамики

где $\rho $ – массовая плотность жидкости; ${\mathbf{v}}$ – вектор скорости жидкости; p – давление; ${{\nu }_{0}}$ – коэффициент кинематической вязкости; ${{\rho }_{e}}$ – плотность свободных зарядов; $\chi $ – коэффициент температуропроводности; $\beta $ – коэффициент теплового расширения жидкости; $\varepsilon $ – диэлектрическая проницаемость среды; ${{\varepsilon }_{0}}$ – электрическая постоянная; b – подвижность зарядов; E и $\varphi $ – напряженность и потенциал электрического поля.

Границы слоя считаются твердыми, непроницаемыми, на них выполняются условия прилипания – скорость равна нулю

Используем безразмерные переменные на основе масштабов: времени – время вязкой диссипации $\left[ t \right] = {{h}^{2}}{\text{/}}{{\nu }_{0}}$, расстояния – расстояние между электродами ${\text{[}}{\mathbf{r}}{\text{]}} = h$, скорости – [v] = ${{\nu }_{0}}$/h, потенциала – $[\varphi ] = U$, давления – $\left[ p \right] = \rho \nu _{0}^{2}{\text{/}}{{h}^{2}}$, температуры – $[T] = \Theta $, плотности заряда – [ρ_e] = $\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}U{\text{/}}{{h}^{2}}$.

После обезразмеривания система уравнений (1.1) с граничными условиями (1.2) приводится к виду:

где ${\mathbf{\gamma }} = (0,0,1)$, p – превышение давления над его гидростатическим значением. Граничные условия перепишутся так

Здесь введены безразмерные параметры – тепловое число Рэлея Ra, электрические параметры ${{T}_{e}}$ и M, число Прандтля Pr и параметр инжекции A

В работе [13] были использованы другие безразмерные параметры – электрическое число Грасгофа ${\text{G}}{{{\text{r}}}_{{\text{e}}}} = {{\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}{{U}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}{{U}^{2}}} {\rho \nu _{0}^{2}}}} \right. \kern-0em} {\rho \nu _{0}^{2}}}$, параметр подвижности зарядов ${\text{B}} = {{bU} \mathord{\left/ {\vphantom {{bU} {{{\nu }_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{\nu }_{0}}}}$. Они связаны с нашими параметрами следующим образом: ${\text{G}}{{{\text{r}}}_{e}} = {{T_{e}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{T_{e}^{2}} {{{{\text{M}}}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{{\text{M}}}^{2}}}}$, ${\text{B}} = {{{{T}_{e}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{T}_{e}}} {{{{\text{M}}}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{{\text{M}}}^{2}}}}$. В работе [13] безразмерные параметры варьировались с учетом их зависимости от безразмерного напряжения F  так: ${\text{G}}{{{\text{r}}}_{e}}$ = = 5000F  ², B = 5F (F пропорционален размерной величине напряжения U). В соответствии с этими соотношениями электрические параметры ${{T}_{e}}$ и M будут равны: ${{T}_{e}} = {{10}^{3}}F$, ${\text{M}} = 14.14$ (M² = 200).

Связь безразмерного напряжения F с размерной величиной напряжения U можно описать следующим образом: $U = F \times {{10}^{4}}В = F \times 10$ кВ ($F = {U \mathord{\left/ {\vphantom {U {10}}} \right. \kern-0em} {10}}$ кВ). То есть F является долей от 10 кВ. Для оценки параметров возьмем трансформаторное масло с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon = 2.2$, плотностью $\rho = 883$ кг/м³, вязкостью ${{\nu }_{0}} = 22.5 \times {{10}^{{ - 6}}}$ м²/с², ${{\varepsilon }_{0}} = 8.85 \times {{10}^{{ - 12}}}$ Кл²/Нм², подвижность зарядов возьмем равной $b = {{10}^{{ - 8}}}$ м²/Вс [3]. Тогда получим, что Gr_e = 4.4 × 10^–5U ² = = $4.4 \times {{10}^{3}}{{F}^{2}}$, $B = 4.4 \times {{10}^{{ - 4}}}U = 4.4F$, или в новых параметрах ${{T}_{e}} = 0.98 \times {{10}^{3}}F$, ${\text{M}} = \sqrt {2.2} \times 10$ = = 14.85. Эти величины близки к величинам, которые были использованы в работе [13]. Если поварьировать значениями диэлектрической проницаемости, плотности, вязкости жидкости и подвижности зарядов или рассмотреть другую связь F с U, то можно получить полное соответствие полученных соотношений для ${\text{G}}{{{\text{r}}}_{e}}$ и B со значениями, использованными в статье [13].

Далее рассмотрим плоские возмущения ${\mathbf{v}} = (u,0,w)$ и ${\partial \mathord{\left/ {\vphantom {\partial {\partial y = 0}}} \right. \kern-0em} {\partial y = 0}}$. Для исследования нелинейных режимов электроконвекции вводятся функция тока ψ и вихрь скорости Φ

Вследствие слабой инжекции нелинейную задачу можно решать в безындукционном приближении, в котором предполагается, что изменение распределения заряда, возникающее в результате появления электроконвективных структур, по сравнению с равновесным его значением, не вызывает заметного изменения потенциала электрического поля [13, 14]. Система (1.3) в безындукционном приближении примет вид

со следующими граничными условиями:

На боковых границах для всех искомых функций выполняются условия периодичности.

2. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЖИМЫ КОНВЕКЦИИ ПРИ НАГРЕВЕ СНИЗУ

Система (1.7)–(1.8) аппроксимировалась конечно-разностными отношениями. Эволюционные уравнения решались по явной схеме, конвективные слагаемые в уравнении для заряда и температуры аппроксимировались разностями “против потока” [14]. Для уравнения переноса тепла использовались центральные разности. Для удобства работы с условиями периодичности к сетке добавлялись два вертикальных ряда. Вихрь скорости на горизонтальных границах вычислялся по формуле Тома. Для решения уравнения Пуассона использовался метод последовательной верхней релаксации.

Для вычислений выбиралась прямоугольная ячейка с пространственными размерами L_z = 1, L_x = 2. Горизонтальная ячейка соответствует волновому числу k = 3.14. Размер сетки брался 21 × × 41 узел. Число Прандтля Pr = 10, электрический параметр M = 14.14, параметр инжекции заряда А = 0.25. Вычислялись зависимости максимальной функции тока от параметра T_e для разных нагревов снизу – теплового числа Рэлея Ra. При рассмотренных параметрах наблюдались два режима стационарной конвекции разной интенсивности – режим с малой интенсивностью вихрей (режим 1) и режим с большой интенсивностью вихрей (режим 2), между которыми происходили гистерезисные переходы.

Для более детальной характеристики установившихся конвективных режимов были проведены вычисления безразмерного теплопотока – числа Нуссельта, и исследованы пространственные распределения полей функций.

Для анализа интенсивности теплопереноса через конденсатор вычислялся усредненный по длине ячейки безразмерный тепловой поток на границе слоя (число Нуссельта) следующим образом:

Случай Nu = 1 соответствует процессу молекулярного теплопереноса, превышение числа Нуссельта над единицей Nu > 1 свидетельствует о возникновении конвекции. Полный заряд определялся как сумма зарядов по всем узлам сетки: $Q = \sum\nolimits_{i,j} {{{\rho }_{{{{e}_{{i,j}}}}}}} $.

Разложение полей в ряд Фурье по пространственным гармоникам несет информацию о характере течения жидкости в слое. В нашем случае, как и в предыдущих исследованиях электроконвекции [11, 12, 14], мы ограничимся разложением искомых функций лишь в горизонтальном направлении, в сечении, соответствующем середине слоя (z = 0.5)

где ${{F}_{n}}\left( t \right)$ – амплитуда n-й пространственной гармоники.

В исследованной области параметров наблюдаются двухвихревые движения, поэтому ограничимся при рассмотрении пространственных характеристик структур первой ${{F}_{1}}\left( t \right)$, второй ${{F}_{2}}\left( t \right)$ и третьей ${{F}_{3}}\left( t \right)$ модами разложения.

На основе данных статьи [16] была выявлена следующая закономерность: с уменьшением значения числа Рэлея уменьшается интервал существования режима 1 с малой интенсивностью вихрей. В настоящей работе эта закономерность была продолжена. Для этого были проведены расчеты при значениях числа Рэлея меньше Ra = 400.

На рис. 2 представлена зависимость максимальной функции тока от электрического параметра T_e для Ra = 400. Крестом на рисунке отмечена точка возникновения режима 1 с малой интенсивностью, стрелками обозначено направление гистерезиса. Интенсивность режима с большой интенсивностью вихрей – режима 2 – растет с увеличением Т_е. При расчете с постоянными начальными условиями было обнаружено, что электроконвекция возникает мягким образом при значении T_e = 4.8 × 10³, наблюдается режим с малой интенсивностью вихрей (режим 1). При T_e = 5.8 × 10³ происходит переход к режиму с большой интенсивностью вихрей (режим 2). Методом продолжения по параметру найдена точка возникновения режима 2: T_e = 1.5 × 10³.

В интервале электрического параметра 1.5 × 10³ ≤ T_e ≤ 4.7 × 10³ в зависимости от начальных условий реализуется либо равновесное распределение, либо стационарный режим 2 с большой интенсивностью, при большем поле 4.8 × 10³ ≤ T_e ≤ 5.7 × 10³ может реализоваться как режим 1, так и режим 2. При T_e ≥ 5.8 × 10³ сколь угодно малые возмущения приводят систему после переходных процессов к стационарному режиму 2 с большой интенсивностью.

На рис. 3 представлены изолинии полей функции тока (а, б), температуры (в, г) и плотности заряда (д, е) электроконвективного течения для Ra = 400. Опишем различия найденных режимов: режима 1 при T_e = 5.7 × 10³ (изолинии а, в, д на рис. 3) и режима 2 при T_e = 5.8 × 10³ (изолинии б, г, е на рис. 3).

Поток тепла в режиме 2 превосходит по интенсивности поток тепла в режиме 1 более чем 5 раз: в слабоинтенсивном режиме число Нуссельта Nu = 2.14, в режиме большой интенсивности Nu = 11.7. Максимальное значение функции тока в режиме 1 ${{\psi }_{{\max }}}$ = 0.59, в режиме 2 ${{\psi }_{{\max }}}$ = 21.8, что представляет собой скачок почти в 37 раз.

Заряды в обоих режимах мало различаются: в режиме 1 средний заряд ${{\bar {\rho }}_{e}}$ = –0.21, в режиме 2 ${{\bar {\rho }}_{e}}$ = –0.19; полные заряды в слое соответственно равны: ${{Q}_{1}} = - 178$ и ${{Q}_{2}} = - 162$. Но в режиме 2 заряд имеет более сложное поведение – разброс между его максимальным и минимальным значениями (${{\rho }_{e}}_{{\max }} = - 0.09$, ${{\rho }_{e}}_{{\min }} = - 0.23$) больше, чем в слабоинтенсивном режиме (${{\rho }_{e}}_{{\max }} = - 0.18$, ${{\rho }_{e}}_{{\min }} = - 0.22$).

Далее были рассмотрены пространственные характеристики режимов. Был проведен пространственный фурье-анализ (2.2) – вычислены абсолютные значения первых трех мод разложения в ряд фурье-функции тока ($\left| {{{\psi }_{1}}} \right|$, $\left| {{{\psi }_{2}}} \right|$, $\left| {{{\psi }_{3}}} \right|$), температуры ($\left| {{{T}_{1}}} \right|$, $\left| {{{T}_{2}}} \right|$, $\left| {{{T}_{3}}} \right|$) и плотности заряда ($\left| {{{\rho }_{e}}_{1}} \right|$, $\left| {{{\rho }_{e}}_{2}} \right|$, $\left| {{{\rho }_{e}}_{3}} \right|$). Для каждого режима эти моды были нормированы на соответствующую режиму величину первой моды.

В слабоинтенсивном режиме для функции тока отношение модулей второй моды к первой получилось равным ${{\left| {{{\psi }_{2}}} \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| {{{\psi }_{2}}} \right|} {\left| {{{\psi }_{1}}} \right|}}} \right. \kern-0em} {\left| {{{\psi }_{1}}} \right|}} = 0.12$, третьей моды к первой: ${{\left| {{{\psi }_{3}}} \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| {{{\psi }_{3}}} \right|} {\left| {{{\psi }_{1}}} \right|}}} \right. \kern-0em} {\left| {{{\psi }_{1}}} \right|}} = 0.009$. В режиме большой интенсивности соответственно: ${{\left| {{{\psi }_{2}}} \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| {{{\psi }_{2}}} \right|} {\left| {{{\psi }_{1}}} \right|}}} \right. \kern-0em} {\left| {{{\psi }_{1}}} \right|}} = 0.095$, ${{\left| {{{\psi }_{3}}} \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| {{{\psi }_{3}}} \right|} {\left| {{{\psi }_{1}}} \right|}}} \right. \kern-0em} {\left| {{{\psi }_{1}}} \right|}} = 0.035$. Относительные значения вторых мод у режимов мало отличаются, но нормированная третья мода в режиме 2 почти в 4 раза больше, чем в режиме 1.

В слабоинтенсивном режиме для температуры отношение модулей второй моды к первой получилось равным ${{\left| {{{T}_{2}}} \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| {{{T}_{2}}} \right|} {\left| {{{T}_{1}}} \right|}}} \right. \kern-0em} {\left| {{{T}_{1}}} \right|}} = 0.017$, третьей моды к первой: ${{\left| {{{T}_{3}}} \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| {{{T}_{3}}} \right|} {\left| {{{T}_{1}}} \right|}}} \right. \kern-0em} {\left| {{{T}_{1}}} \right|}} = 0.095$. В режиме большой интенсивности соответственно: ${{\left| {{{T}_{2}}} \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| {{{T}_{2}}} \right|} {\left| {{{T}_{1}}} \right|}}} \right. \kern-0em} {\left| {{{T}_{1}}} \right|}} = 0.29$, ${{\left| {{{T}_{3}}} \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| {{{T}_{3}}} \right|} {\left| {{{T}_{1}}} \right|}}} \right. \kern-0em} {\left| {{{T}_{1}}} \right|}} = 1.13$. Относительное значение второй моды для температуры у режима большой интенсивности по сравнению с режимом слабой интенсивности больше в 17 раз, третьей моды – почти в 12 раз.

В режиме 1 для плотности заряда отношение модулей плотности заряда второй моды к первой получилось равным ${{\left| {{{\rho }_{e}}_{2}} \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| {{{\rho }_{e}}_{2}} \right|} {\left| {{{\rho }_{e}}_{1}} \right|}}} \right. \kern-0em} {\left| {{{\rho }_{e}}_{1}} \right|}} = 0.23$, третьей моды к первой: ${{\left| {{{\rho }_{e}}_{3}} \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| {{{\rho }_{e}}_{3}} \right|} {\left| {{{\rho }_{e}}_{1}} \right|}}} \right. \kern-0em} {\left| {{{\rho }_{e}}_{1}} \right|}} = 0.022$. В режиме 2 соответственно: ${{\left| {{{\rho }_{e}}_{2}} \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| {{{\rho }_{e}}_{2}} \right|} {\left| {{{\rho }_{e}}_{1}} \right|}}} \right. \kern-0em} {\left| {{{\rho }_{e}}_{1}} \right|}} = 0.516$, ${{\left| {{{\rho }_{e}}_{3}} \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| {{{\rho }_{e}}_{3}} \right|} {\left| {{{\rho }_{e}}_{1}} \right|}}} \right. \kern-0em} {\left| {{{\rho }_{e}}_{1}} \right|}} = 0.177$. Относительное значение второй моды заряда увеличилось более чем в 2 раза, третьей моды – почти в 8 раз. Пространственное распределение заряда в режиме 2 имеет более сложную структуру.

Пороги переходов между режимами электроконвекции для разных чисел Ra представлены на рис. 4. Как видно из него, с уменьшением числа Рэлея интервал существования режима 1 сужается, и режим исчезает.

При Ra = 51 режим 1 с малой интенсивностью еще существует. Вычисления показали, что при таком нагреве при Т_е = 6.1 × 10³ мягко возникающий режим с малой интенсивностью вихрей наблюдается. При Т_е = 6.2 × 10³ происходит скачкообразный переход к режиму 2 с большой интенсивностью вихрей. При движении в пространстве параметров справа налево режим 2 существует до Т_е = 1.5 × 10³. При меньшей напряженности поля Т_е < 1.5 × 10³ в системе независимо от начальных условий затухают все возмущения, и устанавливается равновесие.

При Ra = 50 режим 1 с малой интенсивностью не наблюдается. При Т_е = 6.1 × 10³ после длительного переходного процесса устанавливается равновесие. При Т_е = 6.2 × 10³ происходит скачкообразный переход к режиму 2 с большой интенсивностью. При меньшем числе Ra присутствует только режим 2 с большой интенсивностью. Точка перехода к режиму 2 продолжает расти, в невесомости (Ra = 0) этот переход происходит при Т_е = 6.3 × 10³.

Проведем оценки, соответствующие реальной ситуации. Определим число Рэлея. Для трансформаторного масла $\chi = 7.56 \times {{10}^{{ - 8}}}$ м²/с, $\beta = 6.9 \times {{10}^{{ - 4}}}$ 1/°C, толщину конденсатора возьмем h = = 1 см, тогда число Рэлея будет равно ${\text{Ra}} = 4 \times {{10}^{3}}\Theta $. Для Ra = 400 нагрев между пластинами конденсатора получится небольшим: $\Theta = 0.1$°C. Для меньших чисел Рэлея нагрев будет еще меньше.

Определим напряжение в конденсаторе. В нашей задаче для рассматриваемых режимов $F = {{T}_{e}} \times {{10}^{{ - 3}}}$ меняется примерно до 6.3. Если $U = {\text{F}} \times 10$ кВ, то напряжение в реальной ситуации будет в пределах 63 кВ.

3. РЕЖИМЫ ЭЛЕКТРОКОНВЕКЦИИ ПРИ РАЗНЫХ СТЕПЕНЯХ ИНЖЕКЦИИ

При фиксированном нагреве (Ra = 400) производились расчеты по вычислению зависимости максимальной функции тока от параметра Т_е при различных степенях инжекции заряда с катода – параметра А. Приведем данные вычислений для А = 0.15. Зависимость максимальной функции тока от электрического параметра T_e в этом случае аналогична зависимости, представленной на рис. 2.

Было обнаружено, что электроконвекция возникает мягким образом при Т_е = 11.6 × 10³, наблюдается режим с малой интенсивностью вихрей (режим 1). При Т_е = 14.1 × 10³ происходит скачкообразный переход к режиму с большой интенсивностью вихрей (режим 2). Интенсивность этого режима растет с ростом Т_е. В интервале $2.6 \times {{10}^{3}} \leqslant {{Т}_{е}} \leqslant 11.2 \times {{10}^{3}}$ в зависимости от начальных условий реализуется либо равновесное распределение, либо стационарный режим 2, при $11.3 \times {{10}^{3}} \leqslant {{Т}_{е}} \leqslant 14.0 \times {{10}^{3}}$ может реализоваться как режим 1, так и режим 2. При ${{Т}_{е}} \geqslant 14.1$ × 10³ сколь угодно малые возмущения приводят систему после переходных процессов к стационарному режиму 2 с большой интенсивностью вихрей.

Опишем различия найденных режимов: режима 1 при T_e = 14 × 10³ и режима 2 при T_e = 14.1 × 10³. Поток тепла в режиме 2 превосходит по интенсивности поток тепла в режиме 1 почти в 5 раз: в слабоинтенсивном режиме число Нуссельта Nu = 2.4, в режиме большой интенсивности Nu = = 11.6. Максимальное значение функции тока в режиме 1 ${{\psi }_{{\max }}}$ = 0.9, в режиме 2 ${{\psi }_{{\max }}}$ = 53.

Заряды в обоих режимах мало различаются: в режиме 1 средний заряд ${{\bar {\rho }}_{e}}$ = –0.13, в режиме 2 ${{\bar {\rho }}_{e}}$ = –0.15; полные заряды в слое соответственно равны: ${{Q}_{1}} = - 115$ и ${{Q}_{2}} = - 99$. Но в режиме 2 заряд имеет более сложное поведение – разброс между максимальным и минимальным значениями заряда в нем больше (${{\rho }_{e}}_{{\max }} = - 0.002$, ${{\rho }_{e}}_{{\min }} = - 0.15$), чем в слабоинтенсивном режиме (${{\rho }_{e}}_{{\max }}$ = = –0.12, ${{\rho }_{e}}_{{\min }} = - 0.14$).

В слабоинтенсивном режиме для функции тока отношение модулей функции тока второй моды разложения в ряд Фурье к первой моде получилось равным ${{\left| {{{\psi }_{2}}} \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| {{{\psi }_{2}}} \right|} {\left| {{{\psi }_{1}}} \right|}}} \right. \kern-0em} {\left| {{{\psi }_{1}}} \right|}} = 0.2$, третьей моды к первой: ${{\left| {{{\psi }_{3}}} \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| {{{\psi }_{3}}} \right|} {\left| {{{\psi }_{1}}} \right|}}} \right. \kern-0em} {\left| {{{\psi }_{1}}} \right|}} = 0.01$. В режиме большой интенсивности соответственно: ${{\left| {{{\psi }_{2}}} \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| {{{\psi }_{2}}} \right|} {\left| {{{\psi }_{1}}} \right|}}} \right. \kern-0em} {\left| {{{\psi }_{1}}} \right|}} = 0.1$, ${{\left| {{{\psi }_{3}}} \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| {{{\psi }_{3}}} \right|} {\left| {{{\psi }_{1}}} \right|}}} \right. \kern-0em} {\left| {{{\psi }_{1}}} \right|}}$ = = 0.04. Относительное значение второй моды функции тока уменьшилось, а третьей моды – увеличилось.

В слабоинтенсивном режиме для температуры отношение модулей температуры второй и третьей мод к первой получилось равным соответственно ${{\left| {{{T}_{2}}} \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| {{{T}_{2}}} \right|} {\left| {{{T}_{1}}} \right|}}} \right. \kern-0em} {\left| {{{T}_{1}}} \right|}} = 0.09$, ${{\left| {{{T}_{3}}} \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| {{{T}_{3}}} \right|} {\left| {{{T}_{1}}} \right|}}} \right. \kern-0em} {\left| {{{T}_{1}}} \right|}} = 0.17$. В режиме большой интенсивности соответственно: ${{\left| {{{T}_{2}}} \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| {{{T}_{2}}} \right|} {\left| {{{T}_{1}}} \right|}}} \right. \kern-0em} {\left| {{{T}_{1}}} \right|}} = 0.35$, ${{\left| {{{T}_{3}}} \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| {{{T}_{3}}} \right|} {\left| {{{T}_{1}}} \right|}}} \right. \kern-0em} {\left| {{{T}_{1}}} \right|}} = 1.03$. Относительные значения второй и третьих мод температуры увеличились.

В режиме 1 для плотности заряда отношение модулей плотности заряда второй моды к первой получилось равным ${{\left| {{{\rho }_{e}}_{2}} \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| {{{\rho }_{e}}_{2}} \right|} {\left| {{{\rho }_{e}}_{1}} \right|}}} \right. \kern-0em} {\left| {{{\rho }_{e}}_{1}} \right|}} = 0.36$, третьей моды к первой: ${{\left| {{{\rho }_{e}}_{3}} \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| {{{\rho }_{e}}_{3}} \right|} {\left| {{{\rho }_{e}}_{1}} \right|}}} \right. \kern-0em} {\left| {{{\rho }_{e}}_{1}} \right|}} = 0.03$. В режиме 2 соответственно: ${{\left| {{{\rho }_{e}}_{2}} \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| {{{\rho }_{e}}_{2}} \right|} {\left| {{{\rho }_{e}}_{1}} \right|}}} \right. \kern-0em} {\left| {{{\rho }_{e}}_{1}} \right|}} = 0.43$, ${{\left| {{{\rho }_{e}}_{3}} \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| {{{\rho }_{e}}_{3}} \right|} {\left| {{{\rho }_{e}}_{1}} \right|}}} \right. \kern-0em} {\left| {{{\rho }_{e}}_{1}} \right|}} = 0.36$. Относительные значения мод заряда увеличились.

В целом можно сделать вывод, что пространственные распределения функции тока, температуры и заряда в более интенсивном режиме имеют более сложную структуру, чем в слабоинтенсивном режиме.

Вычисления для разных значений параметра А были систематизированы и по ним построен график изменения значений порогов возникновения режимов и переходов между режимами в зависимости от параметра инжекции (рис. 5). Параметр инжекции А существенно изменяет плотность распределения заряда в слое. Как видно из рис. 5, с увеличением инжекции заряда интервал существования режима 1 с малой интенсивностью вихрей (расстояние между кривыми 2 и 3) уменьшается и пороги режимов понижаются.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведено исследование нелинейных режимов электроконвекции неизотермической слабопроводящей жидкости, находящейся в горизонтальном конденсаторе в гравитационном и постоянном электрическом поле при униполярной инжекции заряда. Рассмотрен нагрев снизу и различные значения инжекции. Использована модель, в которой плотность инжектируемых с катода зарядов пропорциональна напряженности электрического поля в конденсаторе. Изучены нелинейные режимы электроконвекции. Обнаружены и исследованы два нелинейных стационарных режима со значительно отличающейся интенсивностью течения и гистерезисные переходы между ними. Изучено их различие по теплопотоку, заряду и пространственным фурье-спектрам. Найдены пороги возникновения режимов электроконвекции в зависимости от степени нагрева и степени инжекции заряда. Пространственные распределения полей в более интенсивном режиме имеют более сложную структуру, чем в слабоинтенсивном режиме.

Выявлено, что при уменьшении нагрева жидкости режим с малой интенсивностью течения исчезает, остается только режим с большой интенсивностью течения. С увеличением степени инжекции заряда пороги режимов уменьшаются, поскольку заряда в жидкости становится больше, электрическое поле эффективнее действует на движение жидкости, и оно возникает при меньших напряжениях.

Слабоинтенсивный режим возникает мягко. Более интенсивный режим, возникающий жестко, не определяется при линейном анализе, но был обнаружен при нелинейном анализе. В зависимости от параметров задачи возможно разное ветвление режимов, например, в работе [11] электроконвекция возникает мягко, в [12] описано жесткое возбуждение электроконвекции. Переход от мягкого ветвления к жесткому определяется коэффициентами в уравнении Ландау [18]. В дальнейшем планируется продолжить работу и произвести исследование по определению коэффициентов Ландау, из которого будут определены условия жесткого или мягкого ветвлений.