Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2020, № 3, стр. 12-25
КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРА В ЖИДКОСТИ ПОД ЛЕДЯНЫМ ПОКРОВОМ ВБЛИЗИ ВЕРТИКАЛЬНОЙ СТЕНКИ
Л. А. Ткачева *
Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН
Новосибирск, Россия
* E-mail: tkacheva@hydro.nsc.ru
Поступила в редакцию 11.12.2019
После доработки 17.12.2019
Принята к публикации 17.12.2019
Аннотация
Получено решение задачи о колебаниях кругового цилиндра в жидкости конечной глубины под ледяным покровом вблизи вертикальной стенки. Ледяной покров моделируется тонкой упругой полубесконечной пластиной постоянной толщины. Рассмотрены различные граничные условия на кромке пластины: свободный край и защемленный. Исследованы коэффициенты присоединенных масс и демпфирования, амплитуды прогиба и деформаций ледяного покрова, сил, действующих на стенку, в зависимости от частоты колебаний и входных параметров задачи.
Исследованию взаимодействия волн в жидкости с плавающими телами и конструкциями посвящено большое количество работ. Широкий круг математических методов решения таких задач содержится в [1]. В последнее время в связи с освоением полярных районов интерес вызывают задачи о взаимодействии волн с погруженными телами при наличии ледяного покрова. Методы, изложенные в [1], применимы и к этим задачам. Достаточно хорошо изучены задачи о колебаниях тел цилиндрической или сферической формы под бесконечным ледяным покровом. Обзор полученных результатов можно найти в работе [2]. Позднее появились работы [3–10]. В [3–6] для построения решения использован метод разложения потенциала по мультиполям – потенциалам, удовлетворяющим уравнению Лапласа и всем граничным условиям, кроме условий на теле. Ранее аналогичные мультиполи были введены для случая жидкости со свободной поверхностью [7]. В работах [8, 9] изучено движение диполя в жидкости под ледяным покровом, моделирующего движение тела. Движение подводной лодки в жидкости под ледяным покровом моделировалось с помощью системы источников и стоков в [10].
Однако в действительности ледяной покров может быть неоднородным. Он может покрывать не всю поверхность жидкости, могут быть трещины, полыньи. Влияние таких неоднородных условий на верхней границе изучалось в работах [11–19] для цилиндрического тела. В [11–14] использовался метод граничных интегральных уравнений, при этом в [11–13] функция Грина строилась методом сращивания разложений по собственным функциям, а в [14] методом Винера–Хопфа. Метод сращивания разложений по собственным функциям использован в [15] для построения решения о колебаниях цилиндрического прямоугольного тела в полынье между двумя полубесконечными ледяными пластинами. Решение задачи о колебаниях в полынье цилиндрического тела произвольной формы сечения приведено в [16] с помощью гибридного метода сращивания разложений и граничных элементов. В работе [17] в приближении широкой полыньи получено решение той же задачи на основе решений для полыньи без тела и плавающего тела без льда. Для кругового цилиндра под ледяным покровом с трещиной решение найдено в [18] с помощью мультипольных разложений. В этой работе построена функция Грина, удовлетворяющая краевым условиям на верхней и нижней границах жидкости в виде интеграла, и мультиполи получены дифференцированием функции Грина. В работе [19] приведено решение задачи о колебаниях тела в жидкости под ледяным покровом с многими трещинами, произвольно расположенными. Получена функция Грина, удовлетворяющая всем краевым условиям на верхней и нижней границах, условие на теле выполняется с помощью метода граничных интегральных уравнений. Нелинейный эффект движения тела в полынье изучался в [20] с помощью мультипольных разложений.
Взаимодействие изгибно-гравитационных волн в ледяном покрове с вертикальной стенкой (без погруженного тела) при различных краевых условиях на кромке, для неподвижной и колеблющейся стенки, изучалось в работах [21–23] с помощью преобразования Фурье. В [21] решение получено двумя методами, во втором методе используется интегральное уравнение первого рода.
В настоящей работе приведено решение задачи о колебаниях кругового цилиндра в жидкости под ледяным покровом при наличии неподвижной вертикальной стенки. Используются метод мультипольных разложений, метод отражения. Для выполнения условий в кромке ледяного покрова используется преобразование Фурье, однако способ получения решения отличается от предложенных в [21–23].
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Ледяной покров моделируется упругой полубесконечной пластиной постоянной толщины $h$. Жидкость полагается идеальной несжимаемой, имеющей глубину H. Рассматриваются колебания жидкости и пластины при заданных колебаниях погруженного цилиндра с заданной частотой $\omega $. Задача решается в линейном приближении и двумерной постановке. Введем декартову систему координат $Oxy$ с центром $O$ на верхней границе жидкости, осью $Ox$, перпендикулярной стенке, осью $Oy$, направленной вдоль стенки вертикально вниз. Пластина занимает область x > 0. Цилиндр радиуса $a$ с центром в точке $({{x}_{0}},{{y}_{0}})$, $a < {{x}_{0}},a < {{y}_{0}}$ совершает поступательные колебания с амплитудами ${{A}_{j}}$, $j = 1,2$ вдоль декартовых осей. Введем также цилиндрические координаты $(r,\theta )$
Потенциал течения жидкости $\varphi (x,y,t)$ удовлетворяет уравнению Лапласа
(1.1)
$\frac{{{{\partial }^{2}}\varphi }}{{\partial {{x}^{2}}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}\varphi }}{{\partial {{y}^{2}}}} = 0$Колебания пластины описываются уравнениями изгиба тонких упругих пластин Кирхгофа–Лява
(1.2)
$D\frac{{{{\partial }^{4}}w}}{{\partial {{x}^{4}}}} + {{\rho }_{0}}h\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial {{t}^{2}}}} = - p,\quad D = \frac{{E{{h}^{3}}}}{{12(1 - {{\nu }^{2}})}}$Осадка пластины в воду не учитывается. Граничные условия на верхней границе жидкости сносятся на плоскость $y = 0$. Предполагается, что вся нижняя поверхность пластины находится в контакте с жидкостью, отрыва не происходит. Тогда выполнено кинематическое соотношение
Потенциал течения жидкости можно представить в виде суммы по степеням свободы
Штрихи далее будем опускать. Из (1.2)–(1.4) получаем для каждого потенциала ${{\varphi }_{j}}$ условие на верхней границе в виде
(1.5)
$\left( {\beta \frac{{{{\partial }^{4}}}}{{\partial {{x}^{4}}}} + 1 - \delta } \right)\frac{{\partial {{\varphi }_{j}}}}{{\partial y}} + {{\lambda }^{2}}{{\varphi }_{j}} = 0$На дне, на стенке и цилиндре ставятся условия непротекания
(1.6)
$\partial {{\varphi }_{j}}{\text{/}}\partial y = 0\quad (y = H),\quad \partial {{\varphi }_{j}}{\text{/}}\partial x = 0\quad (x = 0)$(1.8)
$\frac{{{{\partial }^{3}}{{\varphi }_{j}}}}{{\partial {{x}^{2}}\partial y}}(0,0) = \frac{{{{\partial }^{4}}{{\varphi }_{j}}}}{{\partial {{x}^{3}}\partial y}}(0,0) = 0$(1.9)
$\frac{{\partial {{\varphi }_{j}}}}{{\partial y}}(0,0) = \frac{{{{\partial }^{2}}{{\varphi }_{j}}}}{{\partial x\partial y}}(0,0) = 0$На бесконечности ставится условие излучения (условие отсутствия приходящих волн).
2. МЕТОД РЕШЕНИЯ
Для построения решения будем использовать метод отражения. Вводим еще один цилиндр с центром в точке $( - {{x}_{0}},{{y}_{0}})$, который колеблется таким образом, что его центр находится на одинаковом расстоянии от стенки, что и исходный цилиндр. Таким образом, отраженный цилиндр колеблется с амплитудами $ - {{A}_{1}}$, ${{A}_{2}}$ по осям x, y. Вводим цилиндрические координаты $({{r}_{1}},{{\theta }_{1}})$, связанные с этим цилиндром,
Используя результаты работ [1, 7, 24], каждый из потенциалов ${{\phi }_{j}}$ можно записать в виде разложения по мультиполям – функциям, которые удовлетворяют уравнению Лапласа и всем граничным условиям, кроме условия (1.7) на поверхности цилиндра. Для кругового цилиндра с центром в точке $({{x}_{0}},{{y}_{0}})$ в жидкости под бесконечным ледяным покровом в отсутствие стенки мультиполи имеют вид
Функции $\phi _{n}^{c}$, $\phi _{n}^{s}$ удовлетворяют уравнению (1.1), условию (1.5) и первому из условий (1.6). Второе из условий (1.6) будет удовлетворяться с помощью метода отражения. Для удовлетворения условий на кромке пластины нужно к этим потенциалам добавить дополнительные потенциалы $\psi _{n}^{c}$, $\psi _{n}^{s}$. Используя симметрию относительно оси $Ox$, представим каждый из потенциалов ${{\varphi }_{j}}$ в виде
Здесь ${{a}_{n}}$, ${{b}_{n}}$ – коэффициенты разложения, которые необходимо найти из условия (1.7).
Потенциалы $\psi _{n}^{c}$, $\psi _{n}^{s}$ должны удовлетворять уравнению (1.1), условиям (1.5), (1.6) и вместе с функциями $\varphi _{n}^{c}$, $\varphi _{n}^{s}$ условиям в кромке пластины (1.8) или (1.9). Приведем далее построение дополнительных потенциалов, опуская для краткости индексы. Применяем преобразование Фурье
Из уравнения (1.1) и первого условия (1.6) следует
Для функции
справедливо уравнение(2.2)
$\left( {\beta \frac{{{{\partial }^{4}}}}{{\partial {{x}^{4}}}} + 1 - \delta } \right)u = - {{\lambda }^{2}}\psi (x,0)$Общее решение этого уравнения имеет вид
Здесь первые два члена представляют решение однородного уравнения, ${{\kappa }_{1}}$ и ${{\kappa }_{2}}$ являются корнями уравнения
лежащими в верхней полуплоскости, ${{\kappa }_{2}} = - {{\bar {\kappa }}_{1}}$, ${{u}_{0}}(x)$ – частное решение уравнения (2.2). Для образа Фурье ${{U}_{0}}(k)$ функции ${{u}_{0}}(x)$ из уравнения (2.2) получаем(2.4)
$(\beta {{k}^{4}} + 1 - \delta ){{U}_{0}}(k) = - {{\lambda }^{2}}C(k),\quad {{U}_{0}}(k) = - \frac{{{{\lambda }^{2}}C(k)}}{{\beta {{k}^{4}} + 1 - \delta }}$Из уравнений (2.1), (2.3), (2.4) находим
Отсюда
Известно, что она имеет два действительных корня $ \pm {{k}_{0}}$, четыре комплексных корня $ \pm {{k}_{{ - 1}}}$, $ \pm {{k}_{{ - 2}}}$, ${{k}_{{ - 2}}} = - {{\bar {k}}_{{ - 1}}}$ и счетное множество мнимых корней $ \pm {{k}_{j}}$, $j = 1,2,...$ . Применяя обратное преобразование Фурье, находим с помощью метода вычетов
(2.5)
$\begin{gathered} {{u}_{0}}(x) = 2{{\lambda }^{2}}\sum\limits_{j = - 2}^\infty \,\frac{{exp(i{{k}_{j}}x)}}{{K{\kern 1pt} {\text{'}}({{k}_{j}})}}\left( {{{C}_{1}}\frac{{{{\kappa }_{1}}}}{{k_{j}^{2} - \kappa _{1}^{2}}} + {{C}_{2}}\frac{{{{\kappa }_{2}}}}{{k_{j}^{2} - \kappa _{2}^{2}}}} \right) - {{C}_{1}}exp(i{{\kappa }_{1}}x) - {{C}_{2}}exp(i{{\kappa }_{2}}x) \\ u(x) = 2{{\lambda }^{2}}\sum\limits_{j = - 2}^\infty \,\frac{{exp(i{{k}_{j}}x)}}{{K{\kern 1pt} {\text{'}}({{k}_{j}})}}\left( {{{C}_{1}}\frac{{{{\kappa }_{1}}}}{{k_{j}^{2} - \kappa _{1}^{2}}} + {{C}_{2}}\frac{{{{\kappa }_{2}}}}{{k_{j}^{2} - \kappa _{2}^{2}}}} \right) \\ \end{gathered} $Подставляем выражение (2.5) в условия на кромке и получаем систему уравнений для определения коэффициентов C1, C2
В случае закрепленного края коэффициенты матрицы системы и правой части имеют вид
Для пластины со свободным краем
Коэффициенты A21 и A22 можно вычислить точно, применяя прием, который использовался ранее в работе [25]. Используя теорию вычетов, запишем ряд в виде интеграла. Затем замыкая его сначала в верхней, затем в нижней полуплоскости, преобразуем ряд через вычеты в точках, соответствующих корням полинома, стоящего в знаменателе. В случае закрепленной пластины
Отсюда находим
Таким образом, система (2.6) решается явно. После преобразований находим
В случае пластины со свободным краем находим
Из первого уравнения системы получаем
В силу симметрии на стенке при $x = 0$, $y = 0$ имеем
Чтобы удовлетворить условию (1.7), необходимо все функции выразить в цилиндрических координатах исходного цилиндра. Имеем
Аналогично тому, как изложено в [1], преобразуем выражения и раскладываем в ряд Тейлора
Введем комплексную переменную $z = x + iy$
Рассмотрим аналитическую функцию
Представим ее в виде разложения в ряд Тейлора в окрестности точки z0
Отсюда находим
Таким образом, для каждого из потенциалов ${{\varphi }_{j}}$ получаем выражение
(2.7)
$\begin{gathered} \, - \frac{1}{{2(n - 1)!}}\sum\limits_{m = 0}^\infty \,\frac{{{{r}^{m}}cosm\theta }}{{m!}}\int\limits_0^\infty \,sin2k{{x}_{0}}[A(k)(exp(k{{y}_{0}}) - {{( - 1)}^{m}}exp( - k{{y}_{0}})) + \\ \left. {\left. {\mathop {\, + {{B}_{s}}(k)(exp(k({{y}_{0}} - H)) + {{{( - 1)}}^{m}}exp(k(H - {{y}_{0}})))]{{k}^{{n + m - 1}}}dk + \psi _{n}^{s}}\limits_{}^{} } \right]} \right\} \\ \end{gathered} $В случае закрепленной пластины (опуская верхние индексы)
(2.8)
$\begin{gathered} {{\psi }_{n}} = \frac{{\partial {{\varphi }_{n}}}}{{\partial y}}(0,0)\frac{1}{{2Q{{\lambda }^{2}}}}\sum\limits_{j = - 2}^\infty \,\frac{{exp(i{{k}_{j}}{{x}_{0}})}}{{K{\text{'}}({{k}_{j}}){\text{ch}}{{k}_{j}}H}}\left[ {exp({{k}_{j}}(H - {{y}_{0}}))\sum\limits_{m = 0}^\infty \,\frac{{{{{( - {{k}_{j}}r)}}^{m}}exp( - im\theta )}}{{m!}}} \right. + \\ \,\left. { + exp({{k}_{j}}({{y}_{0}} - H))\sum\limits_{m = 0}^\infty \,\frac{{{{{({{k}_{j}}r)}}^{m}}exp(im\theta )}}{{m!}}} \right] \\ \end{gathered} $В случае пластины со свободным краем
(2.9)
$\begin{gathered} {{\psi }_{n}} = - \frac{{{{\partial }^{3}}{{\varphi }_{n}}}}{{\partial {{x}^{2}}\partial y}}(0,0)\frac{1}{{2{{Q}_{1}}{{\lambda }^{2}}}}\sum\limits_{j = - 2}^\infty \,\frac{{k_{j}^{2}exp(i{{k}_{j}}{{x}_{0}})}}{{K{\kern 1pt} {\text{'}}({{k}_{j}}){\text{ch}}{{k}_{j}}H}}\left[ {exp({{k}_{j}}(H - {{y}_{0}}))\sum\limits_{m = 0}^\infty \,\frac{{{{{( - {{k}_{j}}r)}}^{m}}exp( - im\theta )}}{{m!}} + } \right. \\ \left. {\, + exp({{k}_{j}}({{y}_{0}} - H))\sum\limits_{m = 0}^\infty \,\frac{{{{{({{k}_{j}}r)}}^{m}}exp(im\theta )}}{{m!}}} \right] \\ \end{gathered} $Подставляем выражения (2.7)–(2.9) в уравнение (1.7), умножая на функции $cos(l\theta )$, $sin(l\theta )$ и интегрируя по $\theta $, получим бесконечную систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов an, bn. Для случаев вертикальных и горизонтальных колебаний цилиндра матрица системы одна и та же, отличается только правая часть. Система решалась методом редукции.
После решения системы находим гидродинамические силы, действующие на колеблющийся цилиндр
(2.10)
$\begin{gathered} {{F}_{i}} = \int\limits_S \,p{{n}_{i}}ds = - \rho \int\limits_S \,{{\varphi }_{t}}{{n}_{i}}ds = \rho {{\omega }^{2}}{{a}^{2}}\sum\limits_{j = 1}^2 \,{{\tau }_{{ij}}}{{A}_{j}},\quad i = 1,2 \\ {{\tau }_{{ij}}} = \int\limits_0^{2\pi } \,{{\varphi }_{j}}{{n}_{i}}d\theta = {{\mu }_{{ij}}} + \frac{i}{\omega }{{\sigma }_{{ij}}} \\ \end{gathered} $Для коэффициентов демпфирования справедливы соотношения эквивалентности, связывающие их с амплитудами генерируемых волн в дальнем поле. Имеем в силу условий (1.7)
(2.11)
${{\tau }_{{ij}}} - {{\tau }_{{ji}}} = \int\limits_S \,\left( {{{\varphi }_{j}}\frac{{\partial {{\varphi }_{i}}}}{{\partial n}} - {{\varphi }_{i}}\frac{{\partial {{\varphi }_{j}}}}{{\partial n}}} \right)ds$(2.12)
$\mathop {lim}\limits_{x \to \infty } {{\varphi }_{j}} = {{R}_{j}}exp(i{{k}_{0}}x)\frac{{{\text{ch}}{{k}_{0}}(H - y)}}{{{\text{ch}}{{k}_{0}}H}}$(2.13)
$\begin{gathered} {{R}_{j}} = \frac{{2i\pi {{\lambda }^{2}}}}{{{\text{sh}}({{k}_{0}}H)K{\kern 1pt} {\text{'}}({{k}_{0}})}}\sum\limits_{n = 1}^\infty \,\frac{{k_{0}^{{n - 1}}}}{{(n - 1)!}}[{{a}_{n}}cos({{k}_{0}}{{x}_{0}})(exp({{k}_{0}}({{y}_{0}} - H)) + {{( - 1)}^{n}}exp({{k}_{0}}(H - {{y}_{0}}))) - \\ \, - {{b}_{n}}sin({{k}_{0}}{{x}_{0}})(exp({{k}_{0}}({{y}_{0}} - H)) - {{( - 1)}^{n}}exp({{k}_{0}}(H - {{y}_{0}})))] + {{R}_{{j1}}},\quad j = 1,2 \\ \end{gathered} $В случае закрепленной пластины
(2.14)
${{R}_{{j1}}} = \frac{1}{{Q{{\lambda }^{2}}K{\kern 1pt} {\text{'}}({{k}_{0}})}}\sum\limits_{n = 1}^\infty \,\frac{1}{{(n - 1)!}}\left( {{{a}_{n}}\frac{{\partial \varphi _{n}^{c}}}{{\partial y}}(0,0) + {{b}_{n}}\frac{{\partial \varphi _{n}^{s}}}{{\partial y}}(0,0)} \right)$(2.15)
${{R}_{{j1}}} = - \frac{{k_{0}^{2}}}{{{{Q}_{1}}{{\lambda }^{2}}K{\kern 1pt} {\text{'}}({{k}_{0}})}}\sum\limits_{n = 1}^\infty \,\frac{1}{{(n - 1)!}}\left( {{{a}_{n}}\frac{{{{\partial }^{3}}\varphi _{n}^{c}}}{{\partial {{x}^{2}}\partial y}}(0,0) + {{b}_{n}}\frac{{\partial \varphi _{n}^{s}}}{{\partial {{x}^{2}}\partial y}}(0,0)} \right)$В формулах (2.13)–(2.15) коэффициенты ${{a}_{n}}$ и ${{b}_{n}}$ получены при правой части, соответствующей моде колебаний с номером j. Интегралы (2.11) по вертикальным линиям $x = {\text{const}}$ обращаются в нуль при $x \to \infty $ в силу формул (2.12). Отсюда следует, что
Для коэффициентов демпфирования из (2.10) получаем
(2.16)
$2i\frac{{{{\sigma }_{{ij}}}}}{\omega } = \int\limits_0^\infty \,\left( {{{{\bar {\varphi }}}_{i}}\frac{{\partial {{\varphi }_{j}}}}{{\partial y}} - {{\varphi }_{j}}\frac{{\partial {{{\bar {\varphi }}}_{i}}}}{{\partial y}}} \right)dx - \mathop {lim}\limits_{x \to \infty } \int\limits_0^H \,\left( {{{\varphi }_{j}}\frac{{\partial {{{\bar {\varphi }}}_{i}}}}{{\partial x}} - {{{\bar {\varphi }}}_{i}}\frac{{\partial {{\varphi }_{j}}}}{{\partial x}}} \right)dy$Первый интеграл в (2.16) вычисляем по частям, с учетом формулы (2.12) находим
(2.17)
$2\frac{{{{\sigma }_{{ij}}}}}{\omega } = {{R}_{j}}{{\bar {R}}_{i}}{{k}_{0}}\left[ {\frac{{4\beta k_{0}^{4}{\text{t}}{{{\text{h}}}^{2}}{{k}_{0}}H}}{{{{\lambda }^{2}}}} + \frac{1}{{{\text{c}}{{{\text{h}}}^{2}}{{k}_{0}}H}}\left( {1 + \frac{{{\text{sh}}2{{k}_{0}}H}}{{2{{k}_{0}}}}} \right)} \right]$Эта формула может служить проверкой правильности проведенных вычислений.
Прогиб ледяной пластины определяется формулой (1.4). Деформации пластины имеют вид
В линейной теории упругости напряжения и деформации связаны линейной зависимостью. Необходимо, чтобы деформации и напряжения не превышали предельных значений, при которых начинаются пластические деформации и разрушение. Экспериментально полученные в работе [26] критические значения максимальных деформаций для льда составляют $4.4 \times {{10}^{{ - 5}}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 8.5$ × × 10–5. В работе [22] использовалось критическое значение максимальных деформаций ${{\varepsilon }_{*}} = 8$ × × 10–5. В данной работе также использyетcя это значение.
На стенку действует горизонтальная сила со стороны жидкости
Первый член в последней формуле представляет гидростатическую силу, а второй член – динамическую составляющую. В случае закрепленной пластины на стенку действует также вертикальная сила, равная перерезывающей силе в кромке, которая определяется формулой
3. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ
Проводились численные расчеты для ледяного покрова и цилиндра при следующих входных параметрах: E = 5 ГПа, $\rho = 1025$ кг/м3, ${{\rho }_{0}} = 922.5$ кг/м3, $\nu = 0.3$, $a = 5$ м, H = 100 м. Толщина пластины менялась в диапазоне $h = 0.5 \div 2$ м, глубина погружения цилиндра ${{y}_{0}} = 6{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 10$ м, менялись также частота колебаний $\omega $ и расстояние ${{x}_{0}}$ от центра цилиндра до стенки.
На рис. 1 представлены графики зависимости безразмерных коэффициентов присоединенных масс ${{\mu }_{{ij}}}$ и демпфирования ${{\sigma }_{{ij}}}$ от безразмерной частоты $\lambda $ для случаев закрепленной пластины и со свободным краем при h = 1 м, ${{x}_{0}} = 50$ м, ${{y}_{0}} = 6$ м вблизи вертикальной стенки, а также для цилиндра под бесконечным ледяным покровом в отсутствие стенки. Видно, что наличие стенки приводит к тому, что коэффициенты присоединенных масс и демпфирования осциллируют относительно кривых, которые соответствуют колебаниям цилиндра под бесконечным ледяным покровом в отсутствие стенки. При этом коэффициенты демпфирования обращаются в нуль при некоторых значениях частоты. Из формулы (2.17) следует, что при этих значениях частоты соответствующие амплитуды потенциала на бесконечности ${{R}_{j}}$ равны нулю, т.е. нет излучения волн на бесконечность. Коэффициенты ${{\mu }_{{ij}}}$ и ${{\sigma }_{{ij}}}$ для случаев закрепленной пластины и со свободным краем сдвинуты по фазе: если в случае закрепленной пластины достигается максимум при некоторой частоте, то в случае пластины со свободным краем этот коэффициент близок к минимуму и наоборот. Аналогичный эффект наблюдается для вертикальных и горизонтальных колебаний: если коэффициенты ${{\mu }_{{11}}}$ или ${{\sigma }_{{11}}}$ достигают максимума, то коэффициенты ${{\mu }_{{22}}}$ или ${{\sigma }_{{22}}}$ близки к минимуму.
В работе [5] показано, что в случае цилиндра под бесконечным ледяным покровом в отсутствие стенки при увеличении толщины ледяного покрова при малых частотах коэффициенты присоединенных масс и демпфирования уменьшаются, а при высоких частотах увеличиваются. Аналогичный эффект влияния толщины ледяного покрова наблюдается и при наличии стенки. На рис. 2 приведены для сравнения зависимости коэффициентов ${{\mu }_{{11}}}$ и ${{\sigma }_{{11}}}$ от безразмерной частоты $\lambda $ для случаев толщины пластины $h = 0.5$, 1 и 2 м, ${{x}_{0}} = 100$ м, ${{y}_{0}} = 6$ м. Такое же влияние толщины ледяного покрова проявляется на остальные коэффициенты присоединенных масс и демпфирования.
При уменьшении расстояния цилиндра от стенки период осцилляции коэффициентов ${{\mu }_{{ij}}}$ и ${{\sigma }_{{ij}}}$ увеличивается. Это можно увидеть из сравнения графиков на рис. 1 и 2. Из формулы (2.13) следует, что амплитуда потенциала ${{R}_{j}}$ складывается из членов, периодических по параметру ${{x}_{0}}$, и членов, убывающих при ${{x}_{0}} \to \infty $. На рис. 3 изображены зависимости коэффициентов присоединенных масс и демпфирования ${{\mu }_{{22}}}$, ${{\sigma }_{{22}}}$ от произведения ${{k}_{0}}{{x}_{0}}$ в случаях закрепленной пластины толщиной h = 1 м и со свободным краем при ${{\lambda }^{2}} = 0.5$, ${{y}_{0}} = 6$ м. Видно, что в случае свободного края достаточно быстро при ${{k}_{0}}{{x}_{0}} > 4$ достигается периодическая зависимость, а в случае закрепленной пластины гораздо позже, при ${{k}_{0}}{{x}_{0}} > 11$. Остальные коэффициенты присоединенных масс и демпфирования зависят от расстояния от стенки аналогичным образом, а также при других значениях частоты колебаний.
На рис. 4 представлены распределения по координате $x$ амплитуд безразмерного прогиба пластины ${\text{|}}w{\text{|/}}A$, отнесенных к амплитуде колебаний цилиндра A, и деформаций, вычисленных при значении A = 0.05 м и отнесенных к критическому значению ${{\varepsilon }_{ * }}$, при вертикальных колебаниях цилиндра в случаях закрепленной пластины и со свободным краем при значениях ${{\lambda }^{2}} = 0.5$ и 1, $h = 1$ м, ${{x}_{0}} = 100$ м, ${{y}_{0}} = 6$ м. Видно, что при ${{\lambda }^{2}} = 0.5$ в случае закрепленной пластины при $x \to \infty $ амплитуды прогиба пластины и деформаций стремятся к нулю, а при λ2 = 1 близки к максимальным. В случае пластины со свободным краем, наоборот, при λ2 = 0.5 амплитуды прогиба и деформаций максимальны при $x \to \infty $, а при λ2 = 1 значительно меньше. В случае закрепленной пластины максимальные деформации достигаются в кромке и при λ2 = 1 превышают критическое значение, ожидается разрушение пластины вблизи кромки. Однако если амплитуда колебаний цилиндра меньше, например $A = 0.03$ м, то максимальные деформации не превышают критическое значение, разрушение пластины не ожидается.
На рис. 5 показана зависимость амплитуды максимальных деформаций в кромке от частоты для закрепленных пластин толщиной h = 1 и 2 м при вертикальных и горизонтальных колебаниях при ${{x}_{0}} = 100$ м и $A = 0.01$ м. Видно, что деформации тонкой пластины значительно больше, однако изгибающий момент для толстой пластины больше, чем для тонкой. В силу линейности задачи по этому графику можно оценить применимость данной модели, найти параметры, при которых разрушение ледяного покрова не ожидается.
На рис. 6 приведены зависимости от частоты амплитуды вертикальной силы, действующей на стенку, при горизонтальных и вертикальных колебаниях цилиндра для закрепленной пластины толщиной h = 1 и 2 м, ${{x}_{0}} = 100$ м, ${{y}_{0}} = 6$ м, $A = 0.05$ м. Кривые для горизонтальных и вертикальных колебаний цилиндра практически сливаются, только при больших частотах в случае пластины толщиной h = 2 м заметно различие.
На рис. 7 показаны зависимости от частоты амплитуды динамической составляющей горизонтальной силы, действующей на стенку, при горизонтальных и вертикальных колебаниях цилиндра для закрепленной пластины и со свободным краем с толщиной h = 1 и 2 м, ${{x}_{0}} = 100$ м, ${{y}_{0}} = 6$ м. Видно, что в случае закрепленной пластины значение силы значительно выше, чем в случае свободного края. В случае закрепленной пластины увеличение толщины приводит к увеличению силы при больших частотах.
При увеличении глубины погружения цилиндра все исследованные характеристики: коэффициенты присоединенных масс и демпфирования, прогиб и деформации ледяного покрова, действующие на стенку силы уменьшаются.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Построено решение задачи о колебаниях цилиндра в жидкости под ледяным покровом вблизи вертикальной стенки. Исследованы зависимости присоединенных масс и коэффициентов демпфирования, прогиба и деформаций пластины, вертикальных и горизонтальных сил, действующих на стенку, от частоты и входных параметров задачи: толщины ледяного покрова, расстояния цилиндра от стенки и глубины его погружения.
Наличие стенки приводит к тому, что кривые зависимости коэффициентов присоединенных масс и демпфирования от частоты осциллируют относительно кривых, которые соответствуют колебаниям цилиндра под бесконечным ледяным покровом в отсутствие стенки. При уменьшении расстояния цилиндра от стенки период их осцилляции увеличивается. Коэффициенты демпфирования обращаются в нуль при некоторых значениях частоты, что означает отсутствие излучения волн на бесконечность. При увеличении толщины ледяного покрова при малых частотах коэффициенты присоединенных масс и демпфирования уменьшаются, а при больших частотах увеличиваются. Амплитуда вертикальной силы, действующей на стенку в случае примороженного края ледяного покрова, увеличивается при увеличении толщины льда. Амплитуда динамической составляющей горизонтальной силы при больших частотах значительно больше в случае закрепленной пластины, чем в случае свободного края.
Автор выражает благодарность И.В. Стуровой за внимание к работе и полезное обсуждение результатов.
Список литературы
Linton C.M., McIver P. Handbook of mathematical techniques for wave/structure interactions. 2001. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton.
Sturova I.V. Unsteady three-dimensional sources in deep water with an elastic cover and their applications // J. Fluid Mech. 2013. V. 730. P. 794–418. https://doi.org/10.1017/jfm.2013.303
Das D., Thakur N. Water wave scattering by a sphere submerged in uniform finite depth water with an ice-cover // J. Mar. Struct. 2013. V. 30. P. 63–73.
Das D., Thakur N. Wave scattering by a sphere submerged in a two-layer fluid with an ice-cover // Int. J. Appl. Math. Eng. Sci. 2014. V. 8. P. 45–632.
Das D., Sahu M. Wave radiation by a horizontal circular cylinder submerged in deep water with ice-cover // J. of Ocean Engng and Science. 2019. V.4. P. 49–54.
Thakur N., Das D. Hydrodynamic forces on a submerged horizontal circular cylinder in water with an ice cover // Iran J. Sci. Technol. Trans. Sci. 2017. V. 41. P. 837–842.
Thorne R.C. Multipole expansions in the theory of surface waves // Proc. Camb. Philos. Soc. 1953. V. 49. P. 707–716.
Савин А.А., Савин А.С. Пространственная задача о возмущении ледяного покрова движущимся в жидкости диполем // Изв. РАН. МЖГ. 2015. № 5. С. 16–23.
Ильичев А.Т., Савин А.С. Процесс установления системы плоских волн на ледовом покрове над диполем, равномерно движущимся в толще идеальной жидкости // Теор. и матем. физика. 2017. Т. 193. № 3. С. 455–465.
Pogorelova A.V., Zemlyak V.L., Kozin V.M. Moving of a submarine under an ice cover in fluid of finite depth // J. Hydrodynamics. 2018. doi.org/https://doi.org/10.1007/s42241-018-0143-1
Стурова И.В. Генерация волн колеблющимся погруженным цилиндром при наличии плавающей полубесконечной упругой пластины // Изв. РАН, МЖГ. 2014. № 4. С. 98–108.
Стурова И.В. Влияние трещины в ледяном покрове на гидродинамические характеристики погруженного колеблющегося цилиндра // ПММ. 2015. Т. 79. Вып. 2. С. 251–263.
Sturova I.V. Radiation of waves by a cylinder submerged in water with ice floe or polynya // J. Fluid Mech. 2015. V. 784. P. 373–395.
Ткачева Л.А. Колебания цилиндрического тела, погруженного в жидкость, при наличии ледяного покрова // ПМТФ. 2015. Т. 56. № 6. С. 173–186.
Ren K., Wu G.X., Thomas G.A. Wave excited motion of a body floating on water confined between two semi-infinite ice sheets // Phys. Fluids. 2016. V. 28. P. 127101.
Li Z.F., Shi Y.Y., Wu G.X. Interaction of waves with a body floating on polynya between two semi-infinite ice sheets // J. Fluids and Structures. 2018. V. 78. P. 86–108.
Li Z.F., Shi Y.Y., Wu G.X. Interaction of wave with a body floating on a wide polynya // Phys. Fluids. 2017. V. 29(9). P. 097104.
Li Z.F., Wu G.X., Ji C.Y. Wave radiation and diffraction by a circular cylinder submerged below an ice sheet with a crack // J. Fluid Mech. 2018. V. 845. P. 682–712.
Li Z.F., Wu G.X., Ji C.Y. Interaction of wave with a body submerged below an ice sheet with multiple arbitrary spaced cracks // Phys. Fluids. 2018. V.30. P. 057107.
Li Z.F., Shi Y.Y., Wu G.X. Large amplitude motions of a submerged circular cylinder in water with an ice cover // Eur. J. Mech. (B/Fluids) 2017. V. 65. P. 141–159.
Chakrabarti A., Ahluwalia D.S., Manam S.R. Surface water waves involving a vertical barrier in the presence of an ice-cover // Intern. J. of Engng Science. 2003. V. 41. P. 1145–1162.
Brocklehurst P., Korobkin A., Parau E. Interaction of hydro-elastic waves with a vertical wall // J. Eng. Math., 2010. V. 68. P. 215–231.
Bhattacharjee J., Guedes Soares C. Flexural gravity wave over a floating ice sheet near a vertical wall // J. Engng Math. 2012. V. 75. P. 29–48. https://doi.org/10.1007/s10665-011-9511-3
Das D., Mandal B.N. Oblique wave scattering by a circular cylinder submerged beneath an ice-cover. Intl J. Engng Sci. 2006. 44 (3–4), 166–179.
Ткачева Л.А. Поведение полубесконечного ледяного покрова при периодическом динамическом воздействии // ПМТФ. 2017. Т. 58. № 4. С. 82–94.
Squire V., Martin S. A field study of the physical properties, response to swell, and subsequent fracture of a single ice floe in the winter Bering sea: Tech. report/ Univ. of Washington; Washington, N 18. 1980.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Известия РАН. Механика жидкости и газа