Известия РАН. Механика твердого тела, 2021, № 6, стр. 23-32

1. Введение – классическое решение задачи о трещине. Рассмотрим неограниченную ортотропную пластину с трещиной длиной 2c, находящуюся в условиях одноосного растяжения напряжением σ₀ (рис. 1). Напряженно-деформированное состояние пластины определяется классическим решением, полученным методом комплексных потенциалов [1]. Напряжения определяются равенствами

Здесь A и B – некоторые постоянные коэффициенты, ${{w}_{1}} = x + ipy$, ${{w}_{2}} = x + iqy$, $p = 1{\text{/}}\sqrt {{{k}_{1}}} $, $q = 1{\text{/}}\sqrt {{{k}_{2}}} $ и k_{1, 2} связаны с корнями характеристического уравнения, соответствующего обобщенному бигармоническому уравнению плоской задачи, и выражаются через упругие постоянные ортотропного материала следующим образом:

Примем y = 0 и рассмотрим интервал $ - с < x < c$, соответствующий границам трещины (рис. 1). Из равенств (1.1), (1.2) следует, что на этом интервале ${{\sigma }_{x}} = {{\sigma }_{y}} = 0$. Выражение (1.3) позволяет заключить, что условие ${{\tau }_{{xy}}} = 0$ на границе трещины выполняется если

При $\left| x \right| \to \infty $ напряжение ${{\sigma }_{у}}$ должно стремиться к ${{\sigma }_{0}}$ (рис. 1). Можно показать, что в пределе для любого луча $y = kx$ имеют место предельные соотношения

В результате из условия ${{\sigma }_{y}}\left( {\left| x \right| \to \infty } \right) \to {{\sigma }_{0}}$ получим $А + В = {{\sigma }_{0}}$. Это условие совместно с уравнением (1.4) дает

Однако из равенства (1.1) следует, что при этих значениях коэффициентов σ_x также стремится не к нулю, а к σ₀ при $\left| x \right| \to \infty .$ Для устранения этого эффекта на напряженное состояние пластины, соответствующее рис. 1, следует наложить сжатие в направлении оси x напряжением σ₀ [1]. Окончательно, из равенств (1.1)–(1.3) и (1.5) получим

На действительной оси при $y = 0$ и $x > c$ имеем

2. Уравнения плоской задачи обобщенной теории упругости. Обобщенная теория упругости позволяет получить регулярное решение задач, имеющих в рамках классической упругости сингулярное решение [2]. Для вывода соответствующих уравнений рассмотрим показанный на рис. 2 элемент, обладающий малыми, но конечными размерами a и b. Введем локальные координаты $\alpha $ и $\beta $ такие, что $ - a{\text{/}}2 \leqslant \alpha \leqslant a{\text{/}}2$, $ - b{\text{/}}2 \leqslant \beta \leqslant b{\text{/}}2$. Симметричный тензор напряжений $t({{t}_{x}},{{t}_{y}},{{t}_{{xy}}} = {{t}_{{yx}}})$ представим рядом Тейлора в окрестности точки (x, y), т.е.

Ограничимся членами представленными в равенстве (2.1) и найдем равнодействующие напряжений, действующих на гранях 1-2 и 3-4 элемента, показанного на рис. 2. Принимая $\alpha = \pm a{\text{/}}2$ и подставляя разложение (2.1), получим

Здесь $t = t({{t}_{x}},{{t}_{{xy}}})$ и символ $(x,y)$ означает, что равнодействующие сил, действующих по граням 2-3 и 1-4 элемента получаются если взаимно заменить x, y; $\alpha $, $\beta $ и a, b. Уравнения равновесия элемента имеют вид

Подставляя сюда равнодействующие R, можно получить дифференциальные уравнения равновесия плоской задачи. Опуская дальнейшие преобразования, описанные в работе [2] для случая a = b, запишем уравнения равновесия в окончательной форме

где

Здесь $T$ – обобщенное напряжение, выражающееся через традиционное напряжение по формулам (2.3), а s и r – структурные параметры выражающиеся через размеры элемента a и b [2].

По аналогии с обобщенными напряжениями введем обобщенные деформации (рис. 2)

Здесь $u$ – перемещение точки (x, y) (рис. 2). Предположим, что перемещения можно представить в окрестности точки (x, y) разложениями аналогичными равенству (2.1). Тогда обобщенные деформации (2.4) принимают следующую окончательную форму:

где – обобщенное перемещение и L – оператор, определяемый вторым равенством (2.3).

Для ортотропного материала обобщенные напряжения связаны с обобщенными деформациями следующим образом:

При r = s = 0 соотношения (2.7) вырождаются в традиционный закон Гука. Упругие постоянные E, $\nu $, G определятся из опытов, в которых напряженно-деформированное состояние материала является однородным. В этом случае оператор $L(f) = 0$ и обобщенные напряжения и деформации совпадают с традиционными. Таким образом, соотношения упругости (2.7) включают традиционные упругие постоянные. Кроме этого полученные соотношения содержат два структурных параметра s и r, которые определяются экспериментально применительно к рассматриваемой задаче.

Уравнения (2.2), (2.5) и (2.7) по форме совпадают с соответствующими уравнениями классической теории упругости, только вместо традиционных напряжений и перемещений $t$ и $u$ включают обобщенные характеристики T и $U.$ В качестве решения системы (2.2), (2.5) и (2.7) можно использовать решение, соответствующее классической теории упругости, определяющее обобщенные напряжения и перемещения T, U. Традиционные напряжения и перемещения t, u находятся в результате интегрирования уравнений Гельмгольца (2.3) и (2.6). Если классическое решение не имеет особенностей и согласуется с экспериментом, то s = r = 0 и обобщенное решение вырождается в классическое. Если классическое решение имеет особенность, то решение дополнительного уравнения Гельмгольца позволяет ее устранить.

3. Обобщенное решение задачи о трещине. Как следует из равенств (1.6), сингулярность решения проявляется на оси трещины при x = c. В связи с этим воспользуемся частной формой уравнений обобщенной теории упругости, полученных в предыдущем разделе, приняв $b = dy$, т.е. предположим, что размер элемента, показанного на рис. 2, является конечным в направлении оси $x$ и бесконечно малым – в направлении оси y. Тогда в полученных выше соотношениях необходимо принять r = 0. Как показано в работе [3] для изотропного материала, такой подход обладает удовлетворительной точностью по отношению к эксперименту и решению двумерной задачи [4]. Таким образом, уравнение (2.3) для напряжений ${{t}_{x}} = {{\sigma }_{x}}$ и ${{t}_{y}} = {{\sigma }_{y}}$ принимает вид

где в соответствие с равенствами (1.7) и (1.8)

Рассмотрим напряжение ${{\sigma }_{y}}.$ Это напряжение не включает упругих постоянных, поэтому уравнение

аналогично соответствующему уравнению для изотропной пластины и его общее решение имеет вид [3]

Здесь $\bar {\sigma } = \sigma {\text{/}}{{\sigma }_{0}},$ $\lambda = c{\text{/}}s$ и $\bar {x} = x{\text{/}}c.$ Условие регулярности решения при $\bar {x} \to \infty $ выполняется если принять

Определяя постоянную C₁ из условия на конце трещины ${{\bar {\sigma }}_{у}}(\bar {x} = 1) = 0$, окончательно получим следующее выражение для напряжения на оси $\bar {x}$ при $\bar {x} \geqslant 1:$

Решение первого уравнения (3.1) для ${{\sigma }_{x}}$ имеет вид

Решения (3.3) и (3.4), в отличие от классических решений (1.7) и (1.8), не являются сингулярными. Зависимости напряжений ${{\bar {\sigma }}_{{x,y}}}$от координаты $\bar {x} \geqslant 1$ при λ = 50 и показаны на рис. 3 сплошными линиями. Штриховые линии соответствуют классическому решению (1.7) и (1.8).

4. Экспериментальное исследование. Эксперимент проводился на пластинах из стеклотекстолита и углепластика, в которых направления армирования совпадают с осями x и y (рис. 1).

Упругие постоянные стеклотекстолита – ${{E}_{x}} = 23.6$ ГПа, ${{E}_{y}} = 27.5$ ГПа, ${{G}_{{xy}}}$ = 5.8 ГПа, ${{\nu }_{{xy}}}\, = \,0.1$, ${{\nu }_{{yx}}}\, = \,0.116$. Пределы прочности при растяжении – ${{s}_{x}}\, = \,340$ МПа и ${{s}_{у}}$ = 416 МПа. Испытываемые пластины имели длину 250 мм, ширину 40 мм и толщину 1.12 мм. В середине продольного края растягиваемых пластин прорезались трещины с длиной 5, 10, 15 и 20 мм. Следует отметить, что эксперимент с боковой трещиной описывается здесь с помощью решения задачи о центральной трещине (рис. 1). Возможность такого подхода основана на асимптотическом анализе напряженного состояния вблизи конца трещины [5], согласно которому это состояние слабо зависит от условий нагружения вдали от трещины и формы трещины. На рис. 4 представлены диаграммы деформирования при растяжении пластин с трещинами различной длины в направлении оси $у$. Номера на кривых соответствуют длинам трещин в мм. Напряжение σ₀ измеряется в МПа, а величина $\Delta $ на горизонтальной оси определяет взаимное смещение в мм захватов испытательной машины на базе 175 мм. Максимальные напряжения, действующие в пластине вблизи трещины, представим следующим образом: $\sigma _{x}^{m} = {{k}_{x}}{{\sigma }_{o}}$ и $\sigma _{y}^{m}$ = k_yσ₀, где k_x и k_y – коэффициенты концентрации напряжений в окрестности трещины. Используя решение (3.3) и (3.4) для экспериментальной пластины, можно построить зависимости k_x и k_y от параметра $\lambda ,$ показанные на рис. 5. Для оценки прочности пластины с трещиной используем квадратичный критерий прочности [6]

где ${{s}_{{x,y}}}$ – пределы прочности материала. Предельная кривая, соответствующая критерию (4.1), хорошо согласуется с экспериментом для стеклотекстолита (рис. 6). Выражая напряжения через коэффициенты концентрации и используя критерий (4.1), можно получить следующую зависимость для предельного напряжения, растягивающего пластину:

Зависимость ${{\bar {\sigma }}_{0}}$, измеряемого в МПа, от параметра $\lambda ,$ построенная с помощью кривых, показанных на рис. 5, представлена на рис. 7.

Определение разрушающего напряжения ${{\bar {\sigma }}_{0}}$ осуществляется следующим образом. Для пластины с трещиной длиной 5 мм (кривая 5 на рис. 4) экспериментальное разрушающее напряжение составляет ${{\bar {\sigma }}_{0}} = 179$ МПа. По графику на рис. 7 находим соответствующее значение параметра $\lambda = 20$ и масштабный коэффициент $s = c{\text{/}}\lambda = 0.25$ мм. Основная идея дальнейшего расчета заключается в том, что параметр s считается не зависящем от длины трещины. Тогда для пластины с трещиной длиной 10 мм получим $\lambda = c{\text{/}}s = 40$ и из рис. 7 следует ${{\bar {\sigma }}_{0}} = 114$ МПа. Соответствующий экспериментальный результат (кривая 10 на рис. 4) – ${{\bar {\sigma }}_{0}} = 118$ МПа. Результаты расчета представлены в табл. 1.

Как следует из табл. 1, предлагаемый метод удовлетворительно предсказывает разрушающее напряжение для пластин с трещинами. Следует заметить, что в последней пластине, для которой погрешность достигает 10%, длина трещины составляет половину ширины пластины.

Пластины из углепластика имели специальную гибридную структуру – они были образованы из однонаправленного углепластика, прошитого в поперечном направлении стеклянными нитями. Упругие постоянные материала необходимые для расчета – ${{E}_{x}} = 14$ ГПа, ${{E}_{y}} = 75.2$ ГПа. Пределы прочности при растяжении – ${{s}_{x}} = 170.5$ МПа, ${{s}_{y}} = 1150$ МПа. Ширина образцов – 30 мм, толщина – 1.5 мм. На продольных кромках растягиваемых образцов наносились трещины длиной 3, 6, 9 и 12 мм. Поскольку прочность и жесткость пластин при растяжении в продольном направлении (y, рис. 1) намного больше соответствующих характеристик для поперечного направления (x), для оценки прочности пластин из рассматриваемого материала может быть использован критерий максимальных напряжений. В этом случае для определения коэффициента концентрации напряжения может быть использована кривая для k_y на рис. 5. Расчет осуществляется методом, описанным выше. Для пластины с трещиной длиной 3 мм экспериментально получено предельное напряжение ${{\bar {\sigma }}_{0}} = 690$ МПа, что соответствует коэффициенту концентрации напряжения ${{k}_{y}} = {{s}_{y}}{\text{/}}{{\bar {\sigma }}_{0}} = 1.67$. По графику на рис. 5 находим λ = 11 и параметр $s = c{\text{/}}\lambda = 0.27$. Для пластины с длиной трещины 6 мм при найденной величине параметра $s$ имеем $\lambda = c{\text{/}}s = 22.2$, что соответствует ${{k}_{y}} = 2.2$ и предельному напряжению ${{\bar {\sigma }}_{0}} = 523$ МПа. Соответствующее экспериментальное значение – ${{\bar {\sigma }}_{0}} = 549$ МПа. Результаты расчетов представлены в табл. 2.

Таблица 2 подтверждает удовлетворительную точность метода.

5. Заключение. Таким образом, согласно предлагаемому методу, задача расчета пластины с трещиной сводится к традиционной задаче о концентрации напряжений. Для пластины с заданными упругими характеристиками и длиной трещины экспериментально определяется масштабный параметр s, который считается независимым от длины трещины и определяет коэффициент концентрации напряжений в окрестности конца трещины.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант 19-01-00355.