Известия РАН. Механика твердого тела, 2019, № 3, стр. 100-107
О ПОДХОДЕ К ОПРЕДЕЛЕНИЮ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ ГИРОСКОПИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ТРЕНИЕМ В ОБЩЕМ ВИДЕ
А. Н. Брысин a, А. Н. Никифоров a, *
a Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН
Москва, Россия
* E-mail: n.andre@mail.ru
Поступила в редакцию 10.07.2018
После доработки 10.07.2018
Принята к публикации 19.11.2018
Аннотация
Работа о приложении методов теории возмущений, приведения массы и теории сопротивления материалов к аналитическому решению задачи о зависимости собственных частот реального ротора от скорости вращения. Полученное приближенное решение сопоставляется с численным.
Различные задачи механики твердого тела по праву решаются все чаще численными методами. Их достоинства, в частности лидера по использованию – метода конечных элементов: универсальность (любая система по геометрии и физике), точность и качество конечных результатов (при необходимости в каждой точке системы), получение и/или выявление новых эффектов взаимодействия и переходных процессов. Тем не менее, их совокупный “минус” в математической непрозрачности системы и невозможности получения обозримого решения для быстрого и простого понимания сути происходящего относительно интересующего системного параметра. Отсюда по-прежнему развиваются аналитические методы, в т.ч. для анализа динамики вращающегося тела.
Частоты вращения в машинах и механизмах редко когда превышают вторые собственные частоты роторов. Пусть реальный ротор сведен к безинерционному упруго-гистерезисному валу с массивным диском, т.е. к гироскопической системе с частотно-независимым трением, характеристическое уравнение которой имеет вид [1]:
(1)
$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - m{{\Omega }^{2}} + {{k}_{{11}}} + {i\eta }{{k}_{{11}}}}&{{{k}_{{12}}} + {i\eta }{{k}_{{12}}}} \\ {{{k}_{{21}}} + {i\eta }{{k}_{{21}}}}&{ - I{{\Omega }^{2}} + {{I}_{0}}\omega \Omega + {{k}_{{22}}} + {i\eta }{{k}_{{22}}}} \end{array}} \right| = 0$В развернутой форме:
(2)
$mI{{\Omega }^{4}} - m{{I}_{0}}\omega {{\Omega }^{3}} - (1 + {i\eta })(m{{k}_{{22}}} + I{{k}_{{11}}}){{\Omega }^{2}} + (1 + {i\eta }){{k}_{{11}}}{{I}_{0}}\omega \Omega + {{(1 + {i\eta })}^{2}}({{k}_{{11}}}{{k}_{{22}}} - k_{{12}}^{2}) = 0$Данное уравнение дает две положительные и две отрицательные частоты:
${{\Omega }_{{1,2}}} = {{L}_{{1,2}}} + i{{D}_{{1,2}}},{{\Omega }_{{3,4}}} = --{{L}_{{3,4}}}--i{{D}_{{3,4}}}$, где Di – точная диссипативная (пропорциональная η) добавка к точной круговой собственной частоте ротора Li.
Положительные частоты собственных колебаний не что иное, как угловые скорости прямой затухающей собственной (невынужденной) прецессии ротора, отрицательные – соответствуют его обратной затухающей собственной прецессии.
Вычисление корней характеристического уравнения вращающейся системы с трением представляет собой нетривиальную задачу. Четвертая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует решение общего вида, т.е. для любых значений коэффициентов при Ω и свободного члена. В то же время члены, содержащие ω, делают аналитическое решение весьма громоздким. Для получения “обозримых” частот допустимо пренебречь явлениями, связанными с трением и вращением, т.е. диссипативными и гироскопическим.
Пусть Λi – i-й корень частотного уравнения вращающейся системы без трения:
(3)
$mI\Lambda _{i}^{4} - m{{I}_{0}}\omega \Lambda _{i}^{3} - \left( {m{{k}_{{22}}} + I{{k}_{{11}}}} \right)\Lambda _{i}^{2} + {{k}_{{11}}}{{I}_{0}}\omega {{\Lambda }_{i}} + {{k}_{{11}}}{{k}_{{22}}} - k_{{12}}^{2} = 0$(4)
$mI\lambda _{i}^{4} - \left( {m{{k}_{{22}}} + I{{k}_{{11}}}} \right)\lambda _{i}^{2} + {{k}_{{11}}}{{k}_{{22}}} - k_{{12}}^{2} = 0$Для пользования методом теории возмущений [2, 3] возможно представление:
где Δωi – некоторая гироскопическая добавка (пропорциональная ω) к точной круговой собственной частоте невращающегося ротора λi, или:Вследствие малости εωi допустимы приближения:
Вставляя эти равенства в (3), приравнивая к нулю сумму членов, содержащих εωi и ω, а также сумму оставшихся членов, можно получить порождающее уравнение (4) и малую гироскопическую добавку к λi:
(5)
${{\varepsilon }_{{\omega i}}} = {{I}_{0}}\omega {{\lambda }_{i}}\frac{{m\lambda _{i}^{2} - {{k}_{{11}}}}}{{{\text{4}}mI\lambda _{i}^{4} - {\text{3}}m{{I}_{0}}\omega \lambda _{i}^{3} - {\text{2}}\left( {m{{k}_{{22}}} + I{{k}_{{11}}}} \right)\lambda _{i}^{2} + {{k}_{{11}}}{{I}_{0}}\omega {{\lambda }_{i}}}}$По аналогии:
Здесь и далее Λi – приближенная круговая собственная частота вращающегося ротора с трением, Δi и εηi = Δi/Λi – приближенная и малая диссипативные добавки к ней.
Подставляя эти выражения в характеристическое уравнение (1), отбрасывая члены, содержащие квадраты малых величин и разделяя действительную и мнимую части, можно выразить малую диссипативную добавку:
(6)
${{\varepsilon }_{{\eta i}}} = \eta \frac{{(m{{k}_{{22}}} + I{{k}_{{11}}})\Lambda _{i}^{2} - {{k}_{{11}}}{{I}_{0}}\omega {{\Lambda }_{i}} - 2({{k}_{{11}}}{{k}_{{22}}} - k_{{12}}^{2})}}{{4mI\Lambda _{i}^{4} - 3m{{I}_{0}}\omega \Lambda _{i}^{3} - 2\left( {m{{k}_{{22}}} + I{{k}_{{11}}}} \right)\Lambda _{i}^{2} + {{k}_{{11}}}{{I}_{0}}\omega {{\Lambda }_{i}}}}$На числовых примерах можно убедиться, что входящая в формулу (5) дробь всегда положительна, в т.ч. при отрицательных λi и значениях ω > λ2, а дробь формулы (6) положительна, пока ω не превышает некоторого достаточно значительного предела. В результате знак εωi зависит только от знака λi, поэтому произведение εωiλi неизменно положительно, а знак εηi фактически – от знака η, по которому может быть сделан вывод об устойчивости (о затухании или нарастании) собственной прецессии ротора. Прямая – устойчива, пока η > 0, т.е. затухает, пока ω < ReΩ. Обратная – устойчива, если η < 0, т.е. затухает при любой скорости вращения.
Искомые комплексные собственные частоты ротора:
Погрешность предложенного аналитического решения задачи о зависимости частот собственных колебаний гироскопической системы с трением от скорости вращения оценена графически на примере материализованного вала с диском (табл. 1).
Таблица 1.
Данные экспериментальной роторной системы | Обозначение и значение |
---|---|
Диаметр вала | 8 мм |
Длина вала | l = 645 мм |
Погонная масса вала | m0 = 0.4 кг/м |
Изгибная жесткость вала | EJ = 40 Нм2 |
Радиус диска | R = 42 мм |
Масса диска | m1 = 270 г |
Осевой момент инерции диска | I0 = 2.38 · 10–4 кгм2 |
Расстояние между защемленным концом и диском | l1 = 1/4l |
Результаты модального анализа невращающегося опытного ротора в зависимости от условий опирания на одном из концов вала иллюстрируют фиг. 1 и фиг. 2. Первая иллюстрация охватывает две низшие частоты и формы собственных колебаний консольного ротора (с защемленным и свободным концами), а вторая – две низшие собственные частоты и формы ротора с опорами на концах (с защемленным и свободно опертым концами).
Приведенные инерционно-упругие характеристики экспериментальной системы (для точки симметрии диска) получены с использованием методов конечных элементов, а именно в программе Ansys [4, 5], приведения массы [6, 7] и теории сопротивления материалов [7–9].
Как известно, коэффициенты жесткости балки с закрепленным и свободным концами на расстоянии l1 от конца-заделки:
Значения kij для опытного консольного ротора (таблица, фиг. 1):
(7)
${{k}_{{11}}} = {\text{11}}{\text{.51}} \cdot {\text{1}}{{{\text{0}}}^{4}}{\text{Н /м }},\quad {{k}_{{12}}} = {{k}_{{21}}} = - 9.28 \cdot {\text{1}}{{{\text{0}}}^{3}}{\text{Н }},\quad {{k}_{{22}}} = {\text{1}}{{{\text{0}}}^{3}}{\text{Н м ,}}\quad {{K}_{{11}}} = {\text{2}}{\text{.88}} \cdot {\text{1}}{{{\text{0}}}^{4}}{\text{Н /м }}$Вместе с тем в одноименном методе исходят из того, что приведенная масса – это такая сосредоточенная масса, которая, двигаясь со скоростью центра приведения, имеет такую же кинетическую энергию W, какой обладают все движущиеся массы системы:
Этому тождеству умножением и делением правой его части на общую массу M системы, а также на квадрат скорости ${{v}_{0}}$ заранее выбранной в ней точки (приведения) придают вид:
Произведение ${\kappa }M$ = m называют приведенной массой, а безразмерную величину ${\kappa }$ – коэффициентом приведения массы. Отношение скоростей равно отношению перемещений точек системы при движении, поэтому:
В приложении к роторной системе dm = m0dz, где dz – элемент длины l вала:
Так как x(z) это функция, описывающая вид осевой линии ротора при его колебаниях по собственной форме, x0 – значение функции x(z) в точке приведения, xi – значение функции x(z) в центре прикрепления i-го диска, то в качестве функции x(z) может быть выбрано уравнение упругой линии балки (вала) со статически приложенной к ней (к нему) в точке приведения силой.
Согласно теории сопротивления материалов прогибы консольной балки при действии сосредоточенной поперечной силы Fx на расстоянии l1 от заделанного конца:
Если распределенная и сосредоточенная массы консольного ротора приводятся к точке z = l1, т.е. к точке симметрии насаженного на вал диска, то: ${{x}_{0}} = {{x}_{1}} = \frac{{{{F}_{x}}l_{1}^{3}}}{{3EJ}}$ и
Приведенный поперечный момент инерции ротора (относительно перпендикуляра к его оси в точке приведения) может быть выражен из порождающего уравнения (4):
Соответствующие значения для экспериментального консольного ротора (табл. 1, фиг. 1):
(8)
$m = 2.62\;{\text{к г ,}}\quad I = 86 \cdot {\text{1}}{{0}^{{ - {\text{4}}}}}\;{\text{к г }}{{{\text{м }}}^{{\text{2}}}}$Коэффициент демпфирования η для экспериментального консольного (η) и опертого (${\tilde {\eta }}$) на статор обоими концами вала с диском найден опытным путем – измерением затухающих собственных колебаний ротора в результате ударного их возбуждения с последующим определением логарифмического их декремента:
где Ai – амплитуда i-го колебания, Ai +n – амплитуда i + n-го колебания, n – общее число отслеженных колебаний.Для минимизации влияния на результаты опытов случайных ошибок и факторов ударное испытание “каждого” ротора проводилось четыре раза. За окончательные значения η и ${\tilde {\eta }}$ принимались средние арифметические, вычисленные после всех испытаний:
По данным (7–9) определены как точные Ωi = Li + iDi непосредственно из (1), так и приближенные Ωi = Λi + iΔi, где Λi = λi(1 + εωi), Δi = εηiΛi, с помощью (3), (4). Различие значений по действительной части получилось менее 2%, по мнимой – менее 5%. Сопоставимая с погрешностями аналитического округления точность, конечно, во многом обусловлена отношением I0/I, много меньшим единицы.
Приняв за приемлемую точность 5%-е несовпадение Λi с Li и 15%-е несовпадение Δi с Di при скоростях вращения ω вплоть до второй критической частоты невращающегося ротора λ2, установлен предел применимости разработанного подхода, т.е. предельное значение для показателя гироскопического действия в случае консольной роторной системы:
По (7–9) и при I0 = 4 ⋅ 10–4 кгм2 построены зависимости Li(ω), Λi(ω) и Di(ω), Δi(ω), представленные на фиг. 3 и фиг. 4. Ввиду кососимметричного расположения кривых используется не правая полуплоскость с осью абсцисс ω (диаграмма Кэмпбелла), а верхняя полуплоскость с осью абсцисс от –ω до +ω (отвечающая положительным значениям Ω), что несколько удобнее. Сплошными кривыми показаны точные, а пунктирными – приближенные вещественные и мнимые части круговых собственных частот экспериментального консольного ротора. Также посредством обозначений “◻” и “○” указаны критические частоты соответственно невращающегося ротора и в случае его обратной прецессии.
Как видно, все частоты и их мнимые составляющие хорошо согласуются, пока скорость вращения ω локализуется в окрестности первой критической частоты невращающегося ротора λ1. Это вполне ожидаемо от “первого приближения”. В то же время нетривиально, что и когда ω близка к λ2, лишь действительная и мнимая части второй точной частоты прямой прецессии (L2 и D2) существенно расходятся с соответствующими компонентами приближенной (Λ2 и Δ2).
Когда вал с дисками имеет опоры в концевых сечениях, влияние гироскопических моментов дисков на амплитудно-частотную характеристику обычно оказывается слабее, чем в случае консольного ротора. Данный факт должен сопровождаться расширением пределов применимости разработанного подхода в приложении к роторным системам без консольных свесов. Однако в случае ухода от схем с консольными вылетами низшие собственные частоты роторов обычно повышаются, и при близких к ним скоростях вращения гироскопические члены (с множителем I0ω) будут больше, а пределы применимости – уже. Для понимания результирующей тенденции на практике, выполнен соответствующий расчет.
В работе [9] показано, что коэффициенты жесткости невращающегося вала с защемленным и свободно опертым концами на расстоянии l1 от защемленного конца:
В случае приведения роторных масс к точке z = l1:
Величина приведенной массы ротора с защемленным и свободно опертым концами определяется по формуле:
Интегрируя и переписывая соответствующим образом формулу для приведенного поперечного момента инерции, получится:
При рассматриваемых условиях опирания концов экспериментального ротора на статор (табл. 1, фиг. 2) значения его приведенных характеристик:
(10)
$\begin{gathered} {{{\tilde {k}}}_{{11}}} = {\text{11}}{\text{.62}} \cdot {\text{1}}{{{\text{0}}}^{4}}\;{\text{Н /м }},\quad {{{\tilde {k}}}_{{12}}} = {{{\tilde {k}}}_{{21}}} = - 8.76 \cdot {\text{1}}{{{\text{0}}}^{3}}\;{\text{Н }},\quad {{{\tilde {k}}}_{{22}}} = 1.25 \cdot {\text{1}}{{{\text{0}}}^{3}}\;{\text{Н м ,}} \\ {{{\tilde {K}}}_{{11}}} = 5.46 \cdot {\text{1}}{{{\text{0}}}^{4}}\;{\text{Н /м ,}}\quad \tilde {m} = 0.53\;{\text{к г ,}}\quad \tilde {I} = 26 \cdot {\text{1}}{{0}^{{ - {\text{4}}}}}\;{\text{к г }}{{{\text{м }}}^{{\text{2}}}} \\ \end{gathered} $В то же время условия опирания не влияют на осевой момент инерции ротора I0 и практически не сказываются на коэффициенте трения ${\eta } \approx {\tilde {\eta }} \approx 0.03$.
Отвечающие параметрам (10), точные и приближенные комплексные частоты Ω показали, что расхождение между Li и Λi менее чем на 5%, а также между Di и Δi менее чем на 15% в диапазоне 0 < ω < ${{\tilde {\lambda }}_{2}}$ будет, если “гироскопическое число”:
Таким образом, в случае переноса больших инерционных масс с консоли в пролет между опорами и наоборот, ни первая тенденция, связанная с уменьшением гироскопических моментов и получением увеличившихся собственных частот и гироскопических членов, ни вторая (противоположная), обусловленная бóльшими гироскопическими моментами и меньшими собственными частотами и гироскопическими членами, не является превалирующей, т.е. вкупе предел применимости предлагаемого подхода для роторов без консолей такой же, как для валов с консольным расположением дисков.
В общем можно заключить, что представлен полностью аналитический подход с его возможностями по отысканию собственных частот гироскопической системы с трением. Полученные приближенные зависимости частот от скорости вращения удовлетворительно согласуются с точными. Особенно хорошо определяются критические скорости обратной прецессии (погрешность не превысит 5% пока гироскопическое число меньше 0.09). Все это выгодно использовать, например, в задаче обкатки ротором статора.
Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки России в рамках Федеральной целевой программы “Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2014–2020 годы”, Соглашение о предоставлении субсидии № 14.607.21.0191 от 26.09.2017 г., проект RFMEFI60717X0191.
Список литературы
Крестниковский К.В., Никифоров А.Н. Частота обкатки ротором статора в зависимости от зазоров между ними (часть I: статическая сторона задачи) // Приводы и компоненты машин. 2017. № 3–4. С. 12–16.
Nayfeh Ali H. Perturbation Methods. NY: Wiley, 1973. 425 p. = Найфэ А. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. 456 с.
Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущений. М.: Наука, 1988. 312 с.
Moaveni S. Finite Element Analysis: Theory and Application with ANSYS. Pearson Education. 3rd Edition, 2008. 868 p.
Огородникова О.М. Расчет конструкций в ANSYS. Сборник учебных материалов. Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2009. 454 с.
Шиманский Ю.А. Динамический расчет судовых конструкций. Л.: Судпромгиз, 1963. 444 с.
Заславский Б.В. Краткий курс сопротивления материалов. Учебник для авиационных специальностей вузов. М.: Машиностроение, 1986. 328 с.
Биргер И.А., Мавлютов Р.Р. Сопротивление материалов: Учебное пособие. М.: Наука, 1986. 560 с.
Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1970. 544 с.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Известия РАН. Механика твердого тела