Геомагнетизм и аэрономия, 2022, T. 62, № 6, стр. 693-701

1. ВВЕДЕНИЕ

Изучение корреляционных свойств чисел Вольфа W преследует преимущественно прогностические цели, например, [Витинский, 1973; Ишков и Шибаев, 2006; Abdel-Rahman and Marzouk, 2018; Petrovay, 2020; McIntosh et al., 2020]. Поэтому корреляции, а фактически – автокорреляции, прежде всего, ищут между оригинальными или преобразованными фрагментами рядов W, разделенными временны́ми интервалами. Таким образом исследуется и форма солнечного цикла, которая изучалась ранее, например, Ivanov [2020]. Применяемое нами простейшее преобразование ряда W в соответствующий ряд производных W ' = dW/dt также уже исследовалось, см., например, [Наговицын и Кулешова, 2012]. Однако в предлагаемой работе мы исследуем производные и исходный ряд с помощью нашей оригинальной методики вычисления корреляции сдвинутых во времени рядов. Вместе с тем, можно частично увязать проявления подобных производных с известным эффектом Вальдмайера (антикорреляция между временами нарастания цикла солнечных пятен и их амплитуд) и его модификациями, например, [Petrovay, 2020; Takalo and Mursula, 2018; Dmitrieva et al., 2000].

Первоочередная задача этой работы – выявление базовых корреляционных зависимостей между сдвигаемыми по времени относительно друг друга рядами чисел Вольфа и их производными (W и W '). Работа в первую очередь нацелена на прояснение физической и статистической сути, а частично и прогностического потенциала временны́х и фазовых сдвигов, получаемых при наиболее значимых корреляциях.

2. ДИНАМИКА 1700–2021 гг.

Мы используем среднегодовые числа Вольфа W с 1700 по 2021 гг. в версии v2 из (http://sidc.oma.be/ silso/datafiles). Временны́е производные dW/dt ≡ W ' получены на ту же середину года, что и W, посредством взятия среднего от производной слева и справа. Это простейшее усреднение производной, вероятно, несколько сглаживает изначальные ошибки, проистекающие из наблюдательного и договорного определения W.

На рисунке 1 представлена эволюция чисел Вольфа и их производных с вычетом соответствующих средних значений за рассматриваемый интервал 1700–2021 гг. Числа Вольфа за вычетом среднего (далее средние всякий раз определяются именно по рассматриваемым интервалам) обозначаем строчной буквой w, а их производную за вычетом средней же производной соответственно w'. Эти, фактически, отклонения от среднего мы по-прежнему будем называть числами Вольфа и их производными для краткости. Такие отклонения используется нами для более четкого проявления вариативности, ведущей к более значимым корреляциям.

Почти повсеместно на рис. 1 максимум в производной проявляется примерно за два-три года до максимума в числах Вольфа w, а минимум в производных w' – за примерно два-три года до минимума в числах. При этом относительные значения w близки к сдвинутым на те же два–три года вперед относительным значениям w'. Эти обстоятельства очевидным образом предвосхищают наиболее значимые корреляции.

3. КОРРЕЛЯЦИИ СДВИНУТЫХ РЯДОВ

Для нашего (насколько нам известно – оригинального) “сдвигового” корреляционного анализа мы используем как базовый ряд – ряд чисел Вольфа w(t), относительно которого сдвигаем ряд производных w'(t) по времени на Z лет. При положительном Z w' сдвигается вперед в будущее, а при отрицательном – назад в прошлое. Таким образом, мы сопоставляем w(t) с w'(t – Z). При положительных значениях Z предшествующее w' соотносится с последующим (через Z лет) w, и появляется возможность (при значимой корреляции) грубо предсказывать будущие w по предшествующим w'. Когда Z < 0, наоборот, по прошлым w потенциально представляется возможность предсказать динамику будущих w'.

При непосредственных расчетах мы выделяли ведущий фрагмент ряда (w' при Z > 0 и w при Z < 0), начиная от его современного значения до момента, который отстоит на I + |Z| лет в прошлое. Затем мы сдвигали соответствующий дополняющий (w при Z > 0 и w' при Z < 0) ряд длиной I на |Z | назад и вычисляли коэффициент корреляции Κ(Z) по самоочевидной формуле:

Здесь i отсчитывается (из прошлого к настоящему) от I-го значения в прошлое для дополняющего ряда и от (I + |Z|)-го – для ведущего ряда.

Результирующие коэффициенты корреляции Κ представлены в табл. 1 для фрагментов рядов длиной I = 22, 44, 88, 176 (лет) и всего доступного ряда с I = 322 (года). Наиболее значимые корреляции/антикорреляции выделены жирным шрифтом. Очевидна наивысшая значимость сдвигов производных w' как в будущее, так и в прошлое на 2–3 года. Следующие по значимости – сдвиги на 8–9 лет в будущее, а в прошлое значимы сдвиги только на 8 лет.

Абсолютные величины значимых коэффициентов не совсем монотонно и довольно незначительно, но регулярно уменьшаются с увеличением длины выбранных фрагментов рядов. Это, возможно, – следствие несколько уменьшающейся связанности недалеких от современных значений с все более и более отдаленными прошлыми значениями и/или просто – с увеличивающейся недостоверностью исходных данных по мере погружения в прошлое.

Проиллюстрируем графически наиболее значимые коэффициенты Κ из табл. 1.

В качестве примера на рисунках 2а, 2б представлены графики смещения w относительно w' для разных Z на основе расчетов по XVI–XXIV солнечным циклам (I = 88). Значения w’ не смещены и соответствуют рис. 1в. При этом ряд значений w смещен относительно ряда w влево (что эквивалентно смещению ряда w' вправо) по оси абсцисс на величину Z = 2, Z = 3 и Z = 8 соответственно. Из рисунка 2а видно, что корреляция максимумов и минимумов w и w' не одинаково идеальна для разных циклов, но, в целом, достаточно очевидна. То же самое можно сказать и об антикорреляции на рис. 2б.

Аналогичное выявление корреляции и антикорреляции было проведено на основе расчетов по всему достоверному ряду относительных чисел солнечных пятен [Ишков, 2013] на временнóй шкале в 176 лет. При этом не привлекались к исследованию восстановленные ряды (1755–1848 гг.), так как “достоверный и восстановленный ряды чисел Вольфа имеют совершенно разные спектральные характеристики и значимо отличаются по статистическим параметрам” [Ишков и Шибаев, 2006]. На рисунках 2в, 2г представлены графики смещения w относительно w' для разных Z на интервале 1845–1920 гг. (X–XV солнечные циклы) как часть этого полного ряда (I = 176). Очевидно, что корреляция и антикорреляция максимумов и минимумов w и w' на этом интервале также имеют место, хотя и менее ярко выражены, чем для последних циклов, изображенных на рис. 2а, 2б, что подтверждается также меньшим значением коэффициента корреляции в таблице. Принимая во внимание перспективу дальнейшего развития исследования в направлении прогнозирования времени наступления максимума солнечной активности, наибольшее значение приобретают последние два цикла с I = 22.

На рисунке 3а, 3б представлены графики смещения w' относительно w для разных Z на основе расчетов по последним примерно четырем магнитным солнечным циклам или I = 88 (лет). В этом случае, наоборот, ряд w остается закрепленным относительно оси абсцисс, а ряд w' смещен относительно него влево на 2, 3 и 8 лет, что соответствует Z = –2, Z = –3 и Z = –8. На рис. 3в, 3г представлены аналогичные графики для более ранних циклов X–XV.

4. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗНАЧИМЫХ СДВИГОВ

Самая простая и вместе с тем достаточно реалистическая физическая модель изменения магнитного поля (в относительных единицах, связанных со средней величиной амплитуды) во время солнечного цикла – это синусоида: $\sin ({{\pi t} \mathord{\left/ {\vphantom {{\pi t} {{{T}_{c}}}}} \right. \kern-0em} {{{T}_{c}}}}),$ где T_c – период цикла солнечной активности (~11 лет). Если предположить, что динамика исходных чисел Вольфа W связана с магнитной энергией, то тогда $W = {{[\sin ({{\pi t} \mathord{\left/ {\vphantom {{\pi t} {{{T}_{c}}}}} \right. \kern-0em} {{{T}_{c}}}})]}^{2}},$ а рассматриваемые здесь числа Вольфа за вычетом среднего

При этом временны́е производные W ' и w' совпадают:

Введя фазовую переменную $x = {{\pi t} \mathord{\left/ {\vphantom {{\pi t} {{{T}_{c}},}}} \right. \kern-0em} {{{T}_{c}},}}$ умножим (2) и (3) на соответствующие коэффициенты, позволяющие эффективно сравнивать (аналогичная процедура необходима и для прогнозных оценок) эти выражения (2) и (3). В результате сравниваем нормированные функции w_n = –cos(2x) и $w_{n}^{'}$ = sin(2x). Очевидно, что фазовые сдвиги (для достижения полного совпадения) соответствуют 1/4 и 3/4 величины периода T_c, что очень хорошо согласуется со всеми изложенными выше исследованиями.

Разумеется, профиль реального цикла магнитной активности отличается от синусоиды, но его неизбежной чертой является наличие отрицательной и положительной составляющей магнитного поля, которые проявляются на полном периоде 2T_c. Соответствующую активность пятен простейшим образом можно увязать с квадратом величины магнитного поля, который в свою очередь согласуется с магнитной энергией. При этом естественным образом, происходит удвоение частоты и уменьшение в два раза (с π/2 для магнитного цикла до π/4 для цикла пятен) фазового сдвига между производной и исходной величиной, которые и проявляются в максимальных корреляциях и антикорреляциях при соответствующих сдвигах.

Альтернативно можно рассматривать модуль магнитного поля, но он неизбежно приведет к таким разрывам производных (в минимумах), которые представляются нам неприемлемыми. При этом, возможно, некоторую роль в проявлениях солнечной активности играют четвертая, шестая и более высокие четные степени модуля магнитного поля. Выявление относительных ролей всех этих степеней требует проведения отдельных работ, а пока мы гипотетически примем, что доминирует вторая степень или квадратичная зависимость.

5. ОБСУЖДЕНИЕ И РЕЗУЛЬТАТЫ

Наша работа, безусловно, во многих аспектах может быть продолжена и намного улучшена, поскольку в рамках предлагаемых нами концепций можно провести множество других исследований, весьма существенно дополняющих, уточняющих и даже, возможно, несколько пересматривающих полученные нами результаты. Основная предлагаемая нами концепция заключается в выделении корреляций между сдвинутыми по времени относительно друг друга фрагментами рядов чисел Вольфа и их производных. Мы не исключаем, что что-то подобное уже было сделано, но нам это представляется маловероятным, поскольку аналогичные исследования должны были бы породить немало работ, которые не смогли бы ускользнуть от нашего и уважаемых рецензентов поиска. Мы надеемся, что эта краткая работа будет далее существенно развита как нами, так и многими другими исследователями не только и не столько в плане доминирующих ныне прогностических оценок, но и в плане проявления вероятностных, физических и статистических основ различных периодических линейных и нелинейных процессов.

Для потенциальных прогностических оценок просим обратить Ваше внимание на рис. 2 и 3, на которых есть сдвинутые назад в прошлое графики. Для соответствующих величин можно сделать прогноз по “опережающим” их графикам. Также можно привлечь для прогнозов и другие значимые “сдвиговые” корреляции. Это потребует отдельных работ, множество которых нами еще очерчено не вполне, и мы будем рады, если наши коллеги помогут нам.

В любом случае мы, прежде всего, выделяем именно нашу, как нам представляется, простую идею о “сдвиговой” корреляции, которая, естественным образом, может быть весьма существенно дополнена и использована на больших и детальных массивах данных (вплоть до Big Data). Ее полезность для прогностических оценок (к которым мы, признаться, относимся с некоторой осторожностью из-за наличия большой и бесспорной случайной составляющей в солнечной активности) мы не ставим во главу угла, а надеемся, что она в большей степени будет полезна для выявления вероятностной, статистической и физической сути рассматриваемой магнитной активности Солнца.

Сформулируем основные результаты представленной работы.

1. Исследованы корреляции среднегодовых чисел Вольфа W и их производных по времени W' при временны́х сдвигах фрагментов рядов W и W' относительно друг друга. При этом для достижения значимых корреляций актуально исследуются отклонения от средних значений для этих рядов.

2. Наиболее значимые (до 0.88 и –0.85) коэффициенты корреляции и антикорреляции получаются при сдвигах на два-три года для фрагментов, охватывающих полный магнитный цикл (22 года).

3. Исследованы фрагменты длиной 44, 88, 176 и 322 (весь ряд) года. При этом коэффициенты остаются значимыми (на уровнях около ±0.8) для таких же сдвигов на 2–3 года.

4. Получен главный сдвиг по фазе π/4 между числами Вольфа и их производными, который составляет примерно четверть солнечного цикла, что статистически и физически хорошо соответствует преимущественной связи пятен с магнитной энергией.

5. При этом также значимы сдвиги на 8–9 лет, которым соответствуют коэффициенты корреляции на уровнях около ±0.75 и фазовый сдвиг на 3π/4 или на 3/4 длины цикла солнечной активности. Такой сдвиг также естественным образом увязывается с простейшей вариативностью магнитной энергии.