Геомагнетизм и аэрономия, 2020, T. 60, № 3, стр. 305-307

Определение ориентации искусственного спутника по данным измерения магнитного поля на орбите

П. М. Ахметьев¹, А. Ю. Смирнов^1, *

¹ Институт земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн им. Н.В. Пушкова РАН (ИЗМИРАН)
г. Москва, г. Троицк, Россия

^* E-mail: Smirnoff.alexandr@gmail.com

Поступила в редакцию 15.07.2019
После доработки 12.08.2019
Принята к публикации 26.09.2019

DOI: 10.31857/S0016794020020030

Полный текст (PDF)

Аннотация

В настоящее время одной из актуальных задач является определение положения осей спутника по данным измерения магнитного поля на орбите. Важность этой задачи обусловлена тем, что аппаратура спутника с одной стороны – минимальна, а с другой – всегда включает в себя магнитометры. Вообще говоря, определение положения спутника исходя только лишь из магнитных измерений невозможно – легко рассмотреть случай вращения спутника вокруг вектора магнитного поля. С другой стороны, такое движение является весьма специальным; в реальной ситуации неуправляемого спутника оно не осуществляется. Ниже предложен комбинированный метод, позволяющий определять углы и угловые скорости объекта, исходя из измерений только лишь магнитного поля.

1. ВВЕДЕНИЕ

Подобная задача рассматривалась в работах [Трубецков и др., 1991], [Головков и Смирнов, 2010], [Абрашкин и др., 2019], где использовались различные подходы к этой задаче. Так, в работе [Трубецков и др., 1991] был предложен весьма продуктивный метод определения угловых скоростей спутника, исходя только лишь из орбитальных данных и общих соображений о характере магнитного поля на орбите. Этот подход применялся для спутника Фобос-2, вращающегося вокруг Марса. Для определения угловых скоростей использовались два магнитометра, предоставляющие данные измерений магнитного поля с различной периодичностью.

В работе [Головков и Смирнов, 2010] была рассмотрена возможность определения углов Эйлера движущейся системы координат, исходя из измерения двух независимых полей на орбите (например – магнитного и поля направлений на Солнце) и сравнения их с соответствующими модельными полями. В частности, приведены конкретные формулы для определения ориентации свободно вращающегося спутника, если известно его начальное положение.

В работе [Абрашкин и др., 2019] рассмотрена близкая задача, в которой динамика спутника определяется, исходя из измерений на двух магнитометрах и датчика угловых скоростей. Здесь авторы рассматривали спутник АИСТ-2Д и реконструировали его вращательное движение с учетом микроускорений спутника в результате внешних воздействий.

В настоящей статье мы рассмотрим идеализированный случай спутника, который движется по заданной орбите и не испытывает дополнительных воздействий. Вместе с тем, сама идеология метода может быть применена к реальному спутнику, с условием, что такие внешние воздействия рассчитаны или измерены.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматривается магнитометр, движущийся произвольным образом в известном магнитном поле. Требуется определить ориентацию осей магнитометра в пространстве в каждый момент времени, исходя из измерений поля, известных значений поля в неподвижной системе координат и координат центра масс магнитометра в каждый момент времени. (Значения магнитного поля на орбите мы берем из данных IGRF). Ориентацию магнитометра будем описывать с помощью углов Эйлера (см. [Ландау и Лифшиц, 2001]). Для нашего рассмотрения не имеет значения, в каких координатах задается распределение вектора Н на орбите; будем лишь считать для удобства, что оно задано в ортонормированном базисе.

Измерения магнитометра дают нам значения компонент магнитного поля a, b, c. Они связаны с известными компонентами в неподвижной системе координат A, B, C через углы Эйлера (Ψ, Θ, Φ) с помощью следующей системы уравнений:

(1)

$\begin{gathered} a = A(\cos {\Psi }\cos {\Phi } - \sin {\Psi }\cos \Theta \sin \Phi ) + \\ + \,\,B( - {\kern 1pt} \cos \Psi \sin \Phi - \sin \Psi \cos \Theta \cos \Phi ) + \\ + \,\,C\sin \Psi \sin \Theta , \\ b = A(\sin \Psi \cos \Phi + \cos \Psi \cos \Theta \sin \Phi ) + \\ + \,\,B( - {\kern 1pt} \sin \Psi \sin \Phi + \cos \Psi \cos \Theta \cos \Phi ) - \\ - \,\,C\cos \Psi \sin \Theta , \\ c = A\sin \Theta \sin \Phi + B\sin \Theta \cos \Phi + C\cos \Theta . \\ \end{gathered} $

Основным вопросом работы является определение углов Эйлера в неподвижной системе координат, связанной с Землей.

3. СВЯЗЬ МЕЖДУ УГЛАМИ ЭЙЛЕРА В РАЗНЫХ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА

Магнитное поле Земли на орбите спутника определяется из коэффициентов ряда Гаусса в системе координат, связанных Землей. Мы хотим менять систему отсчета на более удобную в каждый момент измерения поля на орбите по следующей процедуре. Рассмотрим некоторую неподвижную систему отсчета I, связанную с исходной системой матрицей перехода $G = {{g}_{{ij}}}$. В этой новой системе координат углы Эйлера мы обозначим (ψ, θ, φ). (Поясним, что “измеряемые” компоненты поля a, b, c будут одинаковыми в разных СО, а “модельные” компоненты A, B, C будут меняться.) Нам необходимо установить связь между углами Эйлера в этих двух системах отсчета.

Эта связь определяется из простого соотношения:

$GQ = P,$

где Q и P – матрицы перехода к системе отсчета, связанной с телом, из системы I и из исходной системы, соответственно. Естественно, эти матрицы имеют одинаковый вид (1), записанные каждая относительно “своих” углов Эйлера.

Сравнивая матричные элементы, получим следующие формулы (2)–(4):

${\text{tg}}\Psi = - \frac{{{{P}_{{13}}}}}{{{{P}_{{23}}}}} = - \frac{{({{g}_{{11}}}\sin \psi \sin \theta - {{g}_{{12}}}\cos \psi \sin \theta + {{g}_{{13}}}\cos \theta )}}{{({{g}_{{21}}}\sin \psi \sin \theta - {{g}_{{22}}}\cos \psi \sin \theta + {{g}_{{23}}}\cos \theta )}},$

$\cos \Theta = {{g}_{{31}}}\sin \psi \sin \theta - {{g}_{{32}}}\cos \psi \sin \theta + {{g}_{{33}}}\cos \theta ,$

${\text{tg}}\Phi = \frac{{{{P}_{{31}}}}}{{{{P}_{{32}}}}} = \frac{{{{g}_{{31}}}(\cos \psi \cos \varphi - \sin \psi \cos \theta \sin \varphi ) + {{g}_{{32}}}(\sin \psi \cos \varphi + \cos \psi \cos \theta \sin \varphi ) + {{g}_{{33}}}\sin \theta \sin \varphi }}{{{{g}_{{31}}}( - \cos \psi \sin \varphi - \sin \psi \cos \theta \cos \varphi ) + {{g}_{{32}}}( - \sin \psi \sin \varphi + \cos \psi \cos \theta \cos \varphi ) + {{g}_{{33}}}\cos \theta }}.$

Заметим, что углы Ψ и Θ исходной системы отсчета зависят только лишь от углов ψ и θ системы I. Как и в работе [Головков и Смирнов, 2010], выберем систему отсчета I таким образом, чтобы вектор магнитного поля совпадал с одной из осей координат (а именно – с третьей осью, т.е. A = = B = 0). Тогда система уравнений для углов Эйлера ψ, θ, φ примет вид:

$a = {{C}_{I}}\sin \psi \sin \theta ,\,\,\,\,b = {{C}_{I}}\cos \psi \sin \theta ,\,\,\,\,c = {{C}_{I}}\cos \theta ,$

где C_I – модуль напряженности магнитного поля.

Отсюда $\psi = {\text{arctg}}\frac{a}{b}$, а θ определяется по двум параметрам:

$\sin \theta = \frac{b}{{{{C}_{I}}\cos \psi }},\,\,\,\,\,$$\cos \theta = \frac{c}{{{{C}_{I}}}}.$

Матрица G перехода к такой системе отсчета выглядит следующим образом:

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {BAY - {{B}^{2}}X - {{C}^{2}}X + CAZ;}&{\,\,\,CBZ - {{C}^{2}}Y - {{A}^{2}}Y + ABX;}&{\,\,\,ACX - {{A}^{2}}Z - {{B}^{2}}Z + BCY} \\ {A;}&{B;}&{C;} \\ {BZ - CY;}&{CX - AZ;}&{AY - BX;} \end{array}} \right),$

где X, Y, Z – числа такие, что сумма квадратов матричных элементов в каждом столбце равна 1.

Теперь угол Ψ у нас оказывается определен однозначно, т.к. принимает значения лишь от 0 до π, формулы ((2), (3)) примут вид:

${\text{tg}}\Psi = {{ - {\text{(}}{{g}_{{11}}}a - {{g}_{{12}}}b + {{g}_{{13}}}c)} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - {\text{(}}{{g}_{{11}}}a - {{g}_{{12}}}b + {{g}_{{13}}}c)} {({{g}_{{21}}}a - {{g}_{{22}}}b + {{g}_{{23}}}c),}}} \right. \kern-0em} {({{g}_{{21}}}a - {{g}_{{22}}}b + {{g}_{{23}}}c),}}$

$\cos \Theta = {{({{g}_{{31}}}a - {{g}_{{32}}}b + {{g}_{{33}}}c)} \mathord{\left/ {\vphantom {{({{g}_{{31}}}a - {{g}_{{32}}}b + {{g}_{{33}}}c)} {{{C}_{I}}}}} \right. \kern-0em} {{{C}_{I}}}}$

мы не приводим третью формулу, поскольку в нее входит неизвестный угол φ и она не понадобится нам в дальнейшем.

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УГЛОВ ОБЪЕКТА В ИСХОДНОЙ СИСТЕМЕ ОТСЧЕТА

Угол Θ не может быть определен однозначно, поскольку он принимает значения от 0 до 2π. Однако, имеется два случая, когда из одного лишь значения косинуса мы можем определить точное значение угла Θ, а именно Θ = 0 и Θ = π. Ясно, что условием этого должно быть

$\cos \Theta = {{({{g}_{{31}}}a - {{g}_{{32}}}b + {{g}_{{33}}}c)} \mathord{\left/ {\vphantom {{({{g}_{{31}}}a - {{g}_{{32}}}b + {{g}_{{33}}}c)} {{{C}_{I}} = 1}}} \right. \kern-0em} {{{C}_{I}} = 1}}$

или, соответственно

$\cos \Theta = {{({{g}_{{31}}}a - {{g}_{{32}}}b + {{g}_{{33}}}c)} \mathord{\left/ {\vphantom {{({{g}_{{31}}}a - {{g}_{{32}}}b + {{g}_{{33}}}c)} {{{C}_{I}} = - 1}}} \right. \kern-0em} {{{C}_{I}} = - 1}}.$

Подробно рассмотрим первый случай, когда cos Θ = 1, sin Θ = 0. (Рассмотрение второго случая будет полностью аналогично.) Исходная система приобретает вид:

$\begin{gathered} a = A(\cos \Psi \cos \Phi - \sin \Psi \sin \Phi ) + \\ + \,\,B( - {\kern 1pt} \cos \Psi \sin \Phi - \sin \Psi \cos \Phi ), \\ b = A(\sin \Psi \cos \Phi + \cos \Psi \sin \Phi ) + \\ + \,\,B( - {\kern 1pt} \sin \Psi \sin \Phi + \cos \Psi \cos \Phi ),\,\,\,\,c = C. \\ \end{gathered} $

Эта система легко разрешима относительно неизвестных углов:

$\begin{gathered} \Phi = \arccos \frac{a}{{\sqrt {{{a}^{2}} + {{b}^{2}}} }},\,\,\,\,\sin \Phi = \frac{b}{{\sqrt {{{a}^{2}} + {{b}^{2}}} }}, \\ \Psi = \pi - \arccos \frac{A}{{\sqrt {{{A}^{2}} + {{B}^{2}}} }},\,\,\,\,\sin \Psi = - \frac{B}{{\sqrt {{{A}^{2}} + {{B}^{2}}} }}. \\ \end{gathered} $

Подчеркнем, что нахождение момента времени, когда Θ = 0, осуществимо с должной точностью, по-видимому, только в случае непрерывного измерения компонент магнитного поля на спутнике.

Однако есть возможность предсказания момента времени, когда угол Θ = 0, исходя из механических свойств объекта.

Если, например, два из трех моментов инерции спутника равны между собой, то равны и соответствующие угловые скорости.

Скорость ${{\Omega }_{1}} = {{d\Psi } \mathord{\left/ {\vphantom {{d\Psi } {dt}}} \right. \kern-0em} {dt}}$ получим из измерений в различные моменты времени. Пусть cos Θ = R известен из формулы (2б). Тогда Θ может принимать всего два значения: arccos R и 2π – arccos R.

Если ${{\Omega }_{2}} = {{\Omega }_{1}},$ то интересующий нас момент времени наступит либо через промежуток времени ${{t}_{1}} = {{\arccos R} \mathord{\left/ {\vphantom {{\arccos R} {{{\Omega }_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{\Omega }_{1}}}}$, либо через ${{t}_{2}} = {{(2\pi - \arccos R)} \mathord{\left/ {\vphantom {{(2\pi - \arccos R)} {{{\Omega }_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{\Omega }_{1}}}}{\text{.}}$

5. ВЫВОДЫ

Показана возможность определения углов Эйлера объекта на орбите, исходя из измерений только лишь компонент вектора напряженности магнитного поля.

Список литературы

– Абрашкин В.И., Воронов К.Е., Дорофеев А.С., Пияков А.В., Пузин Ю.Я., Сазонов В.В., Семкин Н.Д., Филиппов А.С., Чебуков С.Ю. Определение вращательного движения малого космического аппарата АИСТ-2Д по данным магнитных измерений// Космич. исслед. Т. 57. № 1. С. 61‒73, 2019.https://doi.org/10.1134/S0023420619010011
– Головков В.П., Смирнов А. Ю. Задача восстановления движения объекта по магнитным измерениям. // Геомагнетизм и аэрономия. Т. 50. № 4. С. 567–569. 2010. https://doi.org/10.1134/S0016793210040171
– Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Курс теоретической физики. Т. 1. М. : Физматлит, 499с. 2001г.
– Трубецков М.К., Ерошенко Е.Г., Лянная И.П., Рузмайкин А.А., Соколов Д.Д., Стяжкин В.А., Шуршаков А.М. Измерение вектора магнитного поля с вращающегося космического аппарата. // Космич. исслед. Т. 29. № 4. С. 507‒603. 1991.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Геомагнетизм и аэрономия

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал