Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 499, № 1, стр. 20-25

1. ОПЕРАТОР КУПМАНА

Пусть (M, μ) – пространство с конечной счетно-аддитивной мерой μ, а $T{\kern 1pt} :\;M \to M$ – обратимое сохраняющее меру преобразование. Пусть ${{L}_{2}}(M,\mu )$ – гильбертово пространство вещественных функций на M, интегрируемых по мере μ со своим квадратом. Скалярное произведение функций f, $g$ определяется по обычному правилу

Оператор Купмана $U{\kern 1pt} :\;{{L}_{2}} \to {{L}_{2}}$ переводит функцию $x \mapsto f(x)$ в функцию

Как известно, этот оператор ортогональный:

или, что то же самое, ${{U}^{{ - 1}}} = U{\kern 1pt} *$. Ясно, что λ = 1 всегда будет его собственным значением. Ненулевые постоянные функции на M будут соответствующими собственными векторами.

Для нас существенное значение имеет следствие (1): оператор $U$ допускает квадратичный инвариант $F = (f,f)$. Другими словами,

Далее в качестве иллюстрации будут рассматриваться два примера. Пусть $M$ – $n$-мерный тор ${{\mathbb{T}}^{n}} = \{ {{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{n}}mod2\pi \} $, а $\mu $ – стандартная мера Лебега на ${{\mathbb{T}}^{n}}$.

Пример 1. $T{\kern 1pt} :\;x \mapsto x + \alpha $, $\alpha \in {{\mathbb{R}}^{n}}$. В нерезонансном случае (когда соотношение $(m,\alpha ) = k$, $m \in {{\mathbb{Z}}^{n}}$, $k \in \mathbb{Z}$ влечет $m = 0$, $k = 0$) отображение T эргодично (теорема Г. Вейля). Соответствующую дискретную динамическую систему часто называют каскадом Кронекера–Вейля.

Пример 2. $T{\kern 1pt} :\;x \mapsto Ax$, где $A$ – унимодулярная матрица с целочисленными элементами. Если ни одно из собственных значений A не лежит на единичной окружности комплексной плоскости, то отображение T заведомо будет перемешиванием. Классический пример: n = 2 и

Следует иметь в виду, что для преобразований из примера 2 эргодичность эквивалентна перемешиванию.

В примере 1 функции ${{\varphi }_{m}} = exp[i(m,x)]$, $m \in {{\mathbb{Z}}^{n}}$, являются собственными для соответствующего оператора Купмана:

Они составляют ортогональный базис в ${{L}_{2}}({{\mathbb{T}}^{n}})$. Это простое наблюдение подразумевает рассмотрение пространства квадратично интегрируемых функций с комплексными значениями. В вещественном случае оператор Купмана имеет двумерные инвариантные плоскости, натянутые на векторы sin(m, x) и $cos(m,x)$ ($m \ne 0$).

Если отображение T является перемешиванием (или даже слабым перемешиванием), то спектр оператора Купмана “непрерывный” (более точно, единственным собственным значением является $\lambda = 1$ и это собственное значение простое).

Основные факты спектральной теории оператора Купмана содержатся, например, в [1, 2].

2. СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА

Перейдем к рассмотрению более общей ситуации. Пусть $\mathcal{H}$ – вещественное гильбертово пространство (случай $dim\mathcal{H} < \infty $ не исключается) со скалярным произведением ( , ) и $U{\kern 1pt} :\;\mathcal{H} \to \mathcal{H}$ – ортогональный оператор. Отображение $x \mapsto Ux$, очевидно, допускает квадратичный инвариант $F(x)$ = = (x, x).

Введем оператор

С учетом условий ортогональности (1)

Следовательно, $\Omega $ – кососамосопряженный оператор. Ввиду (1) его также можно представить в виде

Оператору (2) отвечает билинейная кососимметрическая форма

Напомним, что эта форма называется невырожденной, если из $[x,y] = 0$ для всех $y \in \mathcal{H}$ вытекает, что x = 0. При условии невырожденности 2-форма (4) задает симплектическую структуру в $\mathcal{H}$ (ее саму обычно называют симплектической структурой).

Как известно, спектр ортогонального преобразования лежит на единичной окружности. Из (2) и (3) вытекает вырожденность оператора $\Omega $, если $\lambda = \pm 1$ является собственным значением оператора U. Отметим простое

Предложение 1. Если оператор U²не имеет ненулевых собственных векторов с единичным собственным значением, то 2-форма [ , ] невырождена.

Действительно, пусть [ , ] вырождена и пусть $(\Omega x,y) = 0$ для всех $y \in \mathcal{H}$. Тогда $\Omega x = 0$ хотя бы для одного $x \ne 0$. Это означает, что $Ux = {{U}^{{ - 1}}}x$. Но это эквивалентно равенству ${{U}^{2}}x = x$.

Теорема 1. Оператор U сохраняет 2-форму [ , ].

Надо доказать, что

С учетом (1) левая часть равна

Что и требовалось.

Таким образом, если 2-форма [ , ] невырождена, то $(\mathcal{H},[\,,])$ – симплектическое пространство и (по теореме 1) оператор $U$ будет симплектическим. В конечномерном случае этот факт отмечен в [3]. В частности, $dim\mathcal{H}$ четно.

Если $U$ – оператор Купмана из п. 1, то 2-форма [ , ] вырождена: оператор $U$ оставляет на месте постоянные функции. Чтобы поправить дело, надо рассмотреть гильбертово пространство ${{\hat {L}}_{2}} \subset {{L}_{2}}$, ортогональное одномерному подпространству, состоящему из постоянных функций. Другими словами, ${{\hat {L}}_{2}}$ составляют квадратично суммируемые функции с нулевым средним значением. Ясно, что оператор $U$ отображает ${{\hat {L}}_{2}}$ в ${{\hat {L}}_{2}}$.

В частности, справедливо

Предложение 2. Пусть отображение ${{T}^{2}}{\kern 1pt} :\;M \to M$ эргодично. Тогда 2-форма [ , ] невырождена на ${{\hat {L}}_{2}}$.

Действительно, тогда λ = 1 является простым собственным значением соответствующего оператора Купмана ${{U}^{2}}{\kern 1pt} :\;{{L}_{2}} \to {{L}_{2}}$. Значит, оператор U² в ${{\hat {L}}_{2}}$ не имеет ненулевых собственных векторов с собственным значением λ = 1. Остается воспользоваться предложением 1.

Не стоит думать, что квадрат эргодического преобразования всегда эргодичен. Однако в двух примерах из п. 1 это заведомо так.

Итак, в общем случае (для каскадов с эргодическим квадратом) оператор Купмана ${{U}^{2}}{\kern 1pt} :\;{{\hat {L}}_{2}} \to {{\hat {L}}_{2}}$ будет симплектическим оператором. Правда, инвариантная симплектическая структура зависит от этого оператора.

Хорошо известно, что вещественный ортогональный оператор, который одновременно является симплектическим преобразованием, будет унитарным оператором. Это означает, что в вещественном ${{\hat {L}}_{2}}$ можно ввести комплексную структуру так, что действие U будет эквивалентно действию унитарного оператора в комплексном пространстве ${{\hat {L}}_{2}}$. Такая конструкция особенно просто выглядит для операторов с дискретным спектром. Этот круг вопросов обсуждается в [4] для вещественных линейных систем дифференциальных уравнений с квадратичным инвариантом в гильбертовом пространстве с целью их представления в виде уравнения Шрёдингера.

3. КВАДРАТИЧНЫЕ ИНВАРИАНТЫ

Квадратичная форма $(Bx,x)$, $B{\kern 1pt} * = B$ – инвариант линейного отображения $x \mapsto Ux$ тогда и только тогда, когда

Оказывается, кроме исходного квадратичного инварианта (когда $B = I$), это отображение допускает целую серию квадратичных инвариантов, которые находятся попарно в инволюции относительно симплектической структуры из п. 2.

Невырожденная кососимметрическая 2-форма $[\,,]$ позволяет ввести скобку Пуассона на векторном пространстве непрерывных квадратичных форм. Пусть

суть две такие формы (самосопряженные операторы $F$ и $G$ ограничены). Их скобкой Пуассона $\{ f,g\} $ называется квадратичная форма

Оператор $H$ (как и операторы $F$ и $G$) самосопряженный (симметрический и ограниченный). В частности, квадратичная форма $h$ также будет непрерывной.

Скобка { ,  } билинейна, кососимметрична и удовлетворяет тождеству Якоби. В работах [5, 6] скобка Пуассона определяется при более общих предположениях.

Введем самосопряженные операторы

Теорема 2. Непрерывные квадратичные формы

суть инварианты отображения $x \mapsto Ux$, причемдля всех $k,l \geqslant 0$.

Для доказательства инвариантности F_n надо проверить равенство $U{\kern 1pt} {\text{*}}{{B}_{n}}U = {{B}_{n}}$, или

Действительно, ввиду ортогональности $U$,

Следовательно, левая часть (8) равна

Для доказательства инволютивности этих инвариантов надо проверить равенство

Так как операторы $U{\kern 1pt} * + \;I$, $U + I$ и $U - I$ коммутируют между собой, то обе части равенства (9) симметричны относительно $k$ и $l$. Что доказывает равенства (7).

Квадратичные инварианты F_n могут оказаться зависимыми. Вот простой пример: если U = I, то все они пропорциональны $(x,x)$.

Пусть $N = dim\mathcal{H}$ конечна и ортогональный оператор U не имеет собственных значений $\lambda = \pm 1$. Тогда $N$ четно. Кроме того, как отмечено в [3], если среди собственных чисел оператора $U$ нет кратных, то квадратичные формы ${{F}_{1}}, \ldots ,{{F}_{{N/2}}}$ функционально независимы. Поскольку они находятся попарно в инволюции, то их непустые совместные уровни

для почти всех значений ${{c}_{1}}, \ldots ,{{c}_{{N/2}}}$ будут торами размерности N/2, инвариантными относительно действия оператора U. Далее, на этих торах можно так ввести угловые координаты что действие оператора $U$ сводится к отображению Кронекера–Вейля

В силу линейности оператора $U$ числа {α_j} не меняются от тора к тору.

Отметим, что полная интегрируемость линейного симплектического отображения имеет место и без предположения о простоте спектра. Этот результат выводится из теории нормальных форм Вильямсона [7]. Однако в случае простого спектра полный набор инволютивных инвариантов предъявляется без предварительного решения алгебраической задачи о собственных значениях и собственных векторах симплектического оператора.

В бесконечномерном случае ситуация более сложная. Мы рассмотрим два (в определенном смысле противоположных) случая, когда оператор U имеет простой дискретный спектр и когда его спектр непрерывный.

4. ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР

Хорошо известно, что спектр ортогонального оператора лежит на единичной окружности комплексной плоскости. Мы исключаем возможность наличия двух вещественных точек спектра $\lambda = \pm 1$.

Итак, пусть

где $\xi $, $\eta $ – векторы из вещественного гильбертова пространства $\mathcal{H}$, а ${{\alpha }^{2}} + {{\beta }^{2}} = 1$. Равенство (10) эквивалентно двум вещественным соотношениям

Следовательно, вещественная плоскость $\pi $, натянутая на векторы $\xi $, $\eta $, будет инвариантной относительно действия ортогонального оператора U. Легко показать, что при этом

Так что можно считать векторы $\xi $ и $\eta $ единичной длины; они составляют ортонормированный базис на плоскости $\pi $.

Пусть

суть точки инвариантной плоскости $\pi $ и x' = Ux = = $p{\kern 1pt} '\xi + q{\kern 1pt} '\eta $. Тогда суть ортогональное преобразование плоскости $\pi $; это поворот на угол

Ясно, что линейное преобразование допускает квадратичный инвариант

Последнему наблюдению можно придать инвариантный смысл, если ввести оператор ортогонального проектирования P гильбертова пространства на плоскость $\pi $. Это ограниченный самосопряженный оператор: $P{\kern 1pt} * = P$ и ${{P}^{2}} = P$. Инвариант (12) представляется в следующем виде:

Предположим теперь, что оператор U имеет бесконечно много различных собственных значений

с собственными векторами

Двумерные плоскости

снова будут инвариантными для оператора $U$. Можно показать, что плоскости ${{\pi }_{k}}$ и ${{\pi }_{l}}$ ортогональны, если, конечно, $k \ne l$ (см., например, [6]).

Таким образом, в $\mathcal{H}$ имеется ортонормированная система векторов

Кроме того, оператор U допускает бесконечно много квадратичных инвариантов

где ${{P}_{n}}$ – оператор ортогонального проектирования на ${{\pi }_{n}}$.

С другой стороны, плоскости ${{\pi }_{n}}$ инвариантны также относительно действия кососамосопряженного оператора $\Omega $. На инвариантной плоскости ${{\pi }_{n}}$ он представляется кососимметрической матрицей

Все эти матрицы невырождены, поскольку ${{\beta }_{n}} \ne 0$. В противном случае оператор $U$ будет иметь собственные значения ±1.

Теорема 3. Предположим, что ортонормированная система векторов (13) полна. Тогда

a) квадратичные формы (14) составляют полный набор независимых квадратичных инвариантов оператора $U$, находящихся попарно в инволюции относительно симплектической структуры в $\mathcal{H}$, которая задается кососамосопряженным оператором $\Omega $,

б) совместные уровни этих инвариантов

будут бесконечномерными торами

в) на этих торах можно выбрать угловые переменные ${{\varphi }_{1}},{{\varphi }_{2}}, \ldots mod2\pi $ так, что в этих переменных действие оператора U на $\mathbb{T}_{c}^{\infty }$ задается формулами

Это утверждение указывает на свойство полной интегрируемости отображения $x \mapsto Ux$ (как и в конечномерном случае, о котором упоминалось в п. 3). Полнота семейства инволютивных инвариантов (14) означает, что к этому набору нельзя добавить еще одну квадратичную форму, которая была бы независима от набора (14) и находилась бы с ними в инволюции. Отображение (15) – это бесконечномерный вариант отображения Кронекера–Вейля. Его свойства вполне аналогичны эргодическим свойствам непрерывных потоков Кронекера–Вейля на бесконечномерных торах (они обсуждаются в [8, 9]; там же можно найти дальнейшие ссылки).

5. ЛЕБЕГОВСКИЙ СПЕКТР

Случай непрерывного спектра более сложный. Ограничимся рассмотрением каскадов с так называемым лебеговским спектром. Сюда, в частности, относятся автоморфизмы тора из примера 2 (п. 1). Такие системы заведомо обладают перемешиванием. Для простоты ограничимся случаем однократного лебеговского спектра.

В этом случае в $\mathcal{H} = {{\hat {L}}_{2}}$ имеется полный ортонормированный базис $\{ {{e}_{j}}\} $, $j \in \mathbb{Z}$ такой, что

В определенном смысле общий случай сводится к этому частному (см., например, [2]).

Пусть $x = \sum {{{p}_{j}}{{e}_{j}}} $, $\sum {p_{j}^{2} < \infty } $. Тогда

Таким образом, если отождествить $\mathcal{H}$ с l₂ (пространство бесконечных в обе стороны последовательностей $\{ {{p}_{j}}\} $ с условием $\sum {p_{j}^{2} < \infty } $), то действие оператора U сводится к сдвигу элементов на единицу влево. При таком сдвиге, конечно, сохраняется скалярный квадрат $F = \sum {p_{j}^{2}} $. Теорема 2 дает бесконечный набор квадратичных инвариантов:

Более точно, инварианты (6) сводятся к конечным линейным комбинациям квадратичных форм (17).

Далее, $\Omega {{e}_{j}} = {{e}_{{j + 1}}} - {{e}_{{j - 1}}}$, $j \in \mathbb{Z}$. Значит,

Соответствующая 2-форма $[x,y] = (\Omega x,y)$ будет невырожденной. Действительно, пусть $(\Omega x,y) = 0$ для всех $y$. Положим $y = {{e}_{j}}$. Тогда из (18) вытекает, что ${{p}_{{j - 1}}} = {{p}_{{j + 1}}}$. Следовательно, элементы вектора x с четными (нечетными) номерами равны между собой. Но тогда они все равны нулю, иначе будет расходиться ряд $\sum {p_{j}^{2}} $. Поэтому $x = 0$.

Значит, кососамосопряженный оператор Ω задает симплектическую структуру в $\mathcal{H} = {{\hat {L}}_{2}}$. Из формулы (18) вытекает инвариантность этой структуры относительно преобразования U. Из теоремы 2 также следует инволютивность квадратичных инвариантов (17) относительно скобки Пуассона, порожденной этой симплектической структурой.

Нетрудно показать, что квадратичные формы ${{F}_{0}},{{F}_{1}},{{F}_{2}}, \ldots $ независимы: их градиенты (как векторы из $\mathcal{H}$) линейно независимы (хотя бы в одной точке $\mathcal{H}$). Далее, можно показать, что любая непрерывная квадратичная форма на $\mathcal{H}$, инвариантная относительно действия оператора U, представляется в виде

с некоторыми постоянными ${{\alpha }_{n}}$, $n \geqslant 0$. Все это свидетельствует о свойстве полной интегрируемости оператора Купмана для систем с лебеговским спектром. Однако вопрос о строении совместных уровней квадратичных инвариантов (17) остается открытым. Сводится ли действие оператора Купмана на этих бесконечномерных многообразиях к отображению Кронекера–Вейля?