Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 499, № 1, стр. 31-34

О КОРРЕКТНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ПОЛОСЕ

В. А. Костин^1, *, Д. В. Костин^1, 2, **, А. В. Костин¹

¹ Воронежский государственный университет
Воронеж, Россия

² Воронежский государственный педагогический университет
Воронеж, Россия

^* E-mail: vlkostin@mail.ru
^** E-mail: dvk605@mail.ru

Поступила в редакцию 27.04.2021
После доработки 04.06.2021
Принята к публикации 15.06.2021

DOI: 10.31857/S2686954321040093

Полный текст (PDF)

Аннотация

В рамках теории операторных косинус-функций и ее приложения находится решение и устанавливается корректная разрешимость граничной задачи Дирихле для обобщенного уравнения Гельмгольца в полосе. Устанавливается критическая ширина полосы в зависимости от граничных условий. Применение этого результата к задаче по распространению тепла в двугранном углу позволяет определить угол корректности этой задачи и указать закон распространения тепла в рассматриваемой области.

Ключевые слова: сильно непрерывные косинус-функции и полугруппы преобразований, краевые задачи, корректная разрешимость

Как известно [1–3], уравнение

(1)

$\frac{{{{\partial }^{2}}u(x,t)}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}u(x,t)}}{{\partial {{x}^{2}}}} + \beta u(x,t) = 0,$

$\beta \in R = ( - \infty ,\infty )$, $x,t \in R \times R$, называется в математической физике уравнением Гельмгольца.

Уравнение (1) занимает важное место в изучении физических процессов, причем в их описании существенную роль играет знак параметра $\beta $. Так, диффузии с реакцией распада молекул газа соответствует $\beta < 0$. Случаю $\beta > 0$ соответствует процесс с наличием размножения диффузионных частиц.

С математической точки зрения свойства решения уравнений (1) также существенно зависят от знака $\beta $ при постановке краевых задач. Так, при $\beta \leqslant 0$ имеет место однозначная разрешимость уравнения (1) в классе непрерывных в замкнутой области $\Omega + \Sigma $ функций, принимающих на границе Σ заданное значение ${{\left. u \right|}_{\Sigma }} = {{u}_{\Sigma }}$. Если же $\beta > 0$, то единственности может не быть. Этот факт приводит к задаче определения размеров области $\Omega $ (см. [1, с. 462]).

В настоящем сообщении исследуется корректная разрешимость задачи Дирихле для обобщенного уравнения Гельмгольца, с применением результатов к задаче (1), в интервале $t \in [0,l]$.

1. ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА

Рассматривается уравнение

(2)

$\frac{{{{\partial }^{2}}u(t)}}{{\partial {{t}^{2}}}} + Au(t) + \beta u(t) = 0,\quad t \in [0,l] \subset [0,\infty ),$

где A – линейный замкнутый оператор, действующий в банаховом пространстве E, с областью определения $D(A)$, плотной в E.

Ставится задача отыскания функции $u(t)$, со значениями в $D(A)$, дважды непрерывно дифференцируемой, удовлетворяющей уравнению (2) на отрезке [0, l] и условиям

(3)

$u(0) = \varphi ,\quad u(l) = \psi ,\quad \varphi ,\psi \in D(A).$

Определение 1 [4–6]. Задача (2)–(3) называется корректной, если она однозначно разрешима для любых $\varphi ,\psi \in D(A)$ и существует константа $M > 0$, такая, что для всех решений уравнения (1) справедливо неравенство

(4)

$\mathop {sup}\limits_{t \in [0,l]} {{\left\| {u(t)} \right\|}_{E}} \leqslant M\left( {{{{\left\| \varphi \right\|}}_{E}} + {{{\left\| \psi \right\|}}_{E}}} \right).$

Для $\beta = 0$ в [7] показано, что если оператор $A$ является генератором сильно непрерывной косинус-функции $C(A,t)$, удовлетворяющей условиям

(5)

$\left\| {C(t,A)} \right\| \leqslant M{{e}^{{\omega |t|}}},$

то задача (2)–(3) корректно разрешима в интервале $[0,l]$

(6)

$0 \leqslant l < \frac{\pi }{\omega }.$

В настоящем сообщении рассматривается случай $\beta \ne 0$ и доказывается

Теорема 1. Если в уравнении (1) оператор A является генератором ${{C}_{0}}$-косинус-функции с оценкой (5), то на интервале $[0,l]$, где $l$ задается условиями

(7)

$0 \leqslant l < \left\{ \begin{gathered} \frac{\pi }{{\omega + \sqrt \beta }},\quad если\quad \beta \geqslant 0, \hfill \\ \frac{\pi }{\omega },\quad если\quad \beta < 0, \hfill \\ \end{gathered} \right.$

задача (2)–(3) корректно разрешима и ее решение имеет вид

(8)

$\begin{gathered} u(t) = \\ = \frac{1}{l}{\text{sin}}\frac{{\pi t}}{l}\left[ {\int\limits_0^\infty {\frac{{C(y,{{A}_{\beta }})\varphi dy}}{{{\text{ch}}\left( {\tfrac{{\pi y}}{l}} \right)\, - \,{\text{cos}}\left( {\tfrac{{\pi t}}{l}} \right)}}} \, + \,\int\limits_0^\infty {\frac{{C(y,{{A}_{\beta }})\psi dy}}{{{\text{ch}}\left( {\tfrac{{\pi y}}{l}} \right)\, + \,cos\left( {\tfrac{{\pi t}}{l}} \right)}}} } \right], \\ \end{gathered} $

где ${{A}_{\beta }} = A + \beta I$, I – тождественный оператор в E,

(9)

$\begin{gathered} C(t,{{A}_{\beta }})f = C(t,A)f + \\ + \;\sqrt \beta t\int\limits_0^t {\frac{{{{I}_{1}}(\sqrt \beta \sqrt {{{t}^{2}} - {{s}^{2}}} )C(s,A)fds}}{{\sqrt {{{t}^{2}} - {{s}^{2}}} }}} , \\ \end{gathered} $

${{I}_{1}}(z) = \frac{z}{\pi }\int\limits_0^1 {{{{(1 - {{\xi }^{2}})}}^{{\frac{1}{2}}}}} z\xi d\xi $ – модифицированная функция Бесселя 1-го рода.

2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ

Для доказательства теоремы достаточно получить представление (9).

Так как A – генератор сильно непрерывной косинус–функции, то для его резольвенты справедливо представление через преобразование Лапласа $L$ ([8, с. 177])

(10)

$\begin{gathered} R({{\lambda }^{2}},A)f = \frac{1}{\lambda }\int\limits_0^\infty {{{e}^{{ - \lambda t}}}} C(t,A)fdt = \\ = \;\frac{1}{\lambda }L[C(t,A)f](\lambda ),\quad ({\text{Re}}\lambda > \omega ). \\ \end{gathered} $

Из (10) следует равенство

(11)

$C(t,A)f = [{{L}^{{ - 1}}}(\lambda R({{\lambda }^{2}},A))f](t),$

где $[{{L}^{{ - 1}}}(h)](t)$ – обратное преобразование Лапласа.

Применяя (11) к $C({{A}_{\beta }})$, получаем

$\begin{gathered} C(t,{{A}_{\beta }})f = {{L}^{{ - 1}}}[\lambda R({{\lambda }^{2}},A\beta )f](t) = \\ = \;{{L}^{{ - 1}}}\left[ {\frac{{\lambda R({{\lambda }^{2}} - \beta ,A)}}{{\sqrt {{{\lambda }^{2}} - \beta } }}f} \right](t) = \\ = \;\frac{d}{{dt}}\left\{ {{{L}^{{ - 1}}}\left[ {\frac{{R({{\lambda }^{2}} - \beta ,A)}}{{\sqrt {{{\lambda }^{2}} - \beta } }}f} \right](t)} \right\} = \\ = \;\frac{d}{{dt}}\left\{ {{{L}^{{ - 1}}}\left[ {\int\limits_0^\infty {\frac{{{{e}^{{ - \sqrt {{{\lambda }^{2}} - \beta } s}}}}}{{\sqrt {{{\lambda }^{2}} - \beta } }}} C(\xi ,A)f} \right]} \right\}(t) = \\ = \;\frac{d}{{dt}}\left[ {\int\limits_0^\infty {{{L}^{{ - 1}}}} \frac{{{{e}^{{ - \sqrt {{{\lambda }^{2}} - \beta } s}}}}}{{\sqrt {{{\lambda }^{2}} - \beta } }}C(s,A)fds} \right](t). \\ \end{gathered} $

Пользуясь таблицей преобразования Лапласа, получаем соотношение

$\begin{gathered} C(t,{{A}_{\beta }})f = \frac{d}{{dt}}\left\{ {\int\limits_0^t {{{I}_{0}}} {{{[ - \beta ({{t}^{2}} - {{s}^{2}})]}}^{{\frac{1}{2}}}}C(s,A)fds} \right\} = \\ = \;\frac{d}{{dt}}\left\{ {\int\limits_0^t {{{J}_{0}}} {{{[\beta ({{t}^{2}} - {{s}^{2}})]}}^{{\frac{1}{2}}}}C(s,A)fds} \right\}. \\ \end{gathered} $

После дифференцирования получаем соотношение (9).

Для определения порядка роста $C(t,{{A}_{\beta }})$ сделаем замену $\tfrac{s}{t} = \tau $ под знаком интеграла в (9) и оценим

(12)

$\begin{gathered} \left\| {F(t)f} \right\| = \left\| {\int\limits_0^t {\frac{{{{I}_{1}}{{{[\beta ({{t}^{2}} - {{s}^{2}})]}}^{{\frac{1}{2}}}}C(s,A)fds}}{{\sqrt {{{t}^{2}} - {{s}^{2}}} }}} } \right\| \leqslant \\ \leqslant \;M{{e}^{{\omega |t|}}}\int\limits_0^t {\frac{{{\text{|}}{{I}_{1}}{{{[\beta ({{t}^{2}} - {{s}^{2}})]}}^{{\frac{1}{2}}}}\,{\text{|}}}}{{\sqrt {{{t}^{2}} - {{s}^{2}}} }}} ds\left\| f \right\| = \\ = \;M{{e}^{{\omega |t|}}}\int\limits_0^1 {\frac{{{\text{|}}{{I}_{1}}[t\sqrt {\beta (1 - {{\tau }^{2}})} ]{\text{|}}}}{{\sqrt {1 - {{\tau }^{2}}} }}} d\tau \left\| f \right\|. \\ \end{gathered} $

Если $\beta > 0$, то из (12) следует неравенство

(13)

$\begin{gathered} \left\| {F(t)f} \right\| \leqslant \frac{{2\sqrt \beta t}}{\pi }{{e}^{{\omega t}}}\int\limits_0^1 {\int\limits_0^1 {\sqrt {(1 - {{\xi }^{2}})} \,{\text{ch}}} } \text{[}t\xi \sqrt {\beta (1 - {{\tau }^{2}})} ]\,d\xi \left\| f \right\| \leqslant \\ \leqslant \;\frac{{2\sqrt \beta t}}{\pi }{{e}^{{\omega t}}}\int\limits_0^1 {{\text{ch}}[t\xi \sqrt \beta ]\,} d\xi \left\| f \right\| \leqslant \frac{{{{e}^{{(\omega + \sqrt \beta )t}}}}}{\pi }\left\| f \right\|. \\ \end{gathered} $

Если $\beta < 0$, то очевидна оценка

(14)

$\begin{gathered} \left\| {F(t)} \right\| \leqslant \frac{{2{{e}^{{\omega t}}}\sqrt {\left| \beta \right|} t}}{\pi }\int\limits_0^1 {\int\limits_0^1 {{{{(1 - {{\xi }^{2}})}}^{{\frac{1}{2}}}}} } \times \\ \times \;{\text{|}}cost\xi \sqrt {\beta (1 - {{\tau }^{2}})} {\text{|}}d\xi d\tau \left\| f \right\| \leqslant \frac{{\sqrt {\left| \beta \right|} {{e}^{{\omega t}}}t}}{2}. \\ \end{gathered} $

Применение неравенства (5), (13), (14) в представлении (9) дает оценку

(15)

$\begin{gathered} \left\| {C(t,A\beta )} \right\| \leqslant M[{{e}^{{\omega |t|}}} + \sqrt {\left| \beta \right|} t{{e}^{{\omega + \sqrt \beta |t|}}}] \leqslant \\ \leqslant \;{{M}_{1}}(1 + \sqrt {\left| \beta \right|} \left| t \right|){{e}^{{(\omega + \sqrt \beta )|t|}}}. \\ \end{gathered} $

Таким образом, порядок роста косинус-функции $C(t,{{A}_{\beta }})$ равен $\omega + \sqrt \beta $. И, следовательно, пользуясь (13), (14) для оператора ${{A}_{\beta }}$, получаем оценку (15) в случае $\beta \geqslant 0$.

Соответствующая оценка для $\beta < 0$ получается аналогично, с учетом неравенства $({{I}_{1}}(\sqrt \beta t\sqrt {1\, - \,{{\tau }^{2}}} ))\, \leqslant \,1$. Это завершает доказательство теоремы.

Замечание 1. Для частного случая $\beta > 0$ и оператора $A = {{B}^{2}}$, где $B$ порождает сильно непрерывную группу операторов $T(t)$, представление (9) получено в [8] другим способом.

3. ПРИМЕНЕНИЕ К УРАВНЕНИЯМ ГЕЛЬМГОЛЬЦА

Рассмотрим граничную задачу Дирихле для уравнения Гельмгольца в следующей постановке.

Ищется решение уравнения

(16)

$\frac{{{{\partial }^{2}}u(t,x)}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}u(t,x)}}{{\partial {{x}^{2}}}} + \beta u(x,t) = 0,$

$x \in R = ( - \infty ,\infty )$, $t \in [0,l] \in {{R}^{ + }} = [0,\infty )$, $\beta = {\text{const}}$, удовлетворяющее граничным условиям

(17)

$u(x,0) = \varphi (x),\quad u(l,x) = \psi (x),$

$\varphi $ и $\psi $ являются элементами банахова пространства ${{C}_{p}}(\bar {R})$ равномерно непрерывных и ограниченных с весом ${{e}^{{ - \sigma x}}}$ $(\sigma > 0)$ функций с нормой

(18)

${{\left\| f \right\|}_{\sigma }} = \mathop {sup}\limits_{x \in R} {{e}^{{ - \sigma x}}}\left| {f(x)} \right|.$

Зададим оператор A дифференциальным выражением $\tfrac{{{{d}^{2}}}}{{d{{x}^{2}}}}$ с областью определения D(A) = = $\left\{ {f{\text{:}}\,\,f \in {{C}_{\sigma }},\tfrac{{{{d}^{2}}f}}{{d{{x}^{2}}}} \in {{C}_{\sigma }}} \right\}$ и приведем задачу (16)–(17) к виду (3)–(4).

Так, определенный оператор A является генератором косинус-функции

(19)

$C(t,A)f(x) = \frac{1}{2}\left[ {f(x + t) + f(x - t)} \right],$

с оценкой

(20)

$\begin{gathered} \left| {{{e}^{{ - \sigma x}}}C(t)f(x)} \right| \leqslant \\ \leqslant \;{{e}^{{ - \sigma x}}}\left| {f(x + t) + f(x - t)} \right| \leqslant \left( {\frac{{{{e}^{{\sigma t}}} + {{e}^{{ - \sigma t}}}}}{2}} \right){{\left\| f \right\|}_{\sigma }}, \\ \end{gathered} $

показывающий выполнение условия (5) с порядком роста $C(t)$, равным $\sigma $.

Следовательно, задача (16)–(17) корректно разрешима в пространствах $E = {{C}_{\sigma }}(\bar {R})$ на интервале $[0,l]$,

(21)

$0 < l < \left\{ \begin{gathered} \frac{\pi }{{\sigma + \sqrt \beta }},\quad {\text{если}}\quad \beta > 0, \hfill \\ \frac{\pi }{\sigma },\quad {\text{если}}\quad \beta \leqslant 0. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Замечание 2.

1. Если $\beta > 0$, $\sigma = 0$, то (21) совпадает с аналогичным неравенством в [1, с. 462].

2. Если $\beta < 0$, $\sigma \ne 0$, то интервал корректности сужается в зависимости от увеличения концентрации вещества на границе.

3. Если $\beta < 0$, $\sigma = 0$, то интервал корректности может быть неограниченным, что совпадает с известными результатами.

4. О СТАЦИОНАРНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ТЕМПЕРАТУРЫ ВНУТРИ ДВУГРАННОГО УГЛА. УГОЛ КОРРЕКТНОСТИ

Применим полученные результаты к задаче о распределении тепла внутри двугранного угла ([9, с. 133]), нахождения функции $V(r,u)$, $0 < r < \infty $, $0 \leqslant \varphi \leqslant {{\varphi }_{0}} < \infty $, являющейся решением уравнения

(22)

$\frac{{{{\partial }^{2}}V(r,\varphi )}}{{\partial {{\phi }^{2}}}} + r\frac{\partial }{{{{\partial }^{2}}}}\left( {r\frac{{\partial V}}{{\partial r}}} \right) = 0,$

удовлетворяющей граничным условиям

(23)

${v}(r,0) = {{w}_{1}}(r) = A{{r}^{\sigma }},\quad V(r,{{\varphi }_{0}}) = {{w}_{2}}(r) = B{{r}^{\sigma }},$

$A$, $B$, $\sigma $ – действительные константы.

Замена $r = lnx$, $\varphi = t$ приводит (22)–(23) к виду

(24)

$\frac{{{{\partial }^{2}}u(x,t)}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}u(x,t)}}{{\partial {{x}^{2}}}} = 0,$

(25)

$\begin{gathered} u(x,0) = A{{e}^{{\sigma x}}},\quad u(x,{{\varphi }_{0}}) = B{{e}^{{\sigma x}}}, \\ x \in ( - \infty ,\infty ),\quad t \in [0,{{\varphi }_{0}}]. \\ \end{gathered} $

Применяя соотношение (8) к (24)–(25) и возвращаясь к переменным r, $\varphi $ с ограничениями

(26)

$0 \leqslant \varphi \leqslant {{\varphi }_{0}} < \frac{\pi }{\sigma },$

получаем решение задачи (22)–(23) в виде

(27)

$V(r,\varphi ) = \left[ {Asin\sigma \varphi + Bsin\sigma ({{\varphi }_{0}} - \varphi )} \right]\frac{{{{r}^{\sigma }}}}{{sin\sigma {{\varphi }_{0}}}}.$

В силу теоремы 1, отсюда следует, что задача (24)–(25), а вместе с ней и задача (22)–(23) корректны на интервале $[0,{{\varphi }_{0}}]$, который удовлетворяют условиям (26).

Назовем его углом корректности. Интересно, что увеличение параметра σ на границе влечет уменьшение угла корректности. Так, при σ = 2 угол корректности не должен превосходить ${{\varphi }_{0}} = \tfrac{\pi }{4}$.

Далее заметим, что если $A \geqslant 0$, $B \geqslant 0$, то имеют место оценки

(28)

$\begin{gathered} 0 \leqslant V(r,\varphi ) \leqslant \frac{{(A + B)sin\frac{{\sigma {{\varphi }_{0}}}}{2}}}{{sin\sigma {{\varphi }_{0}}}}{{r}^{\sigma }} = \\ = \;\frac{{(A + B)}}{2} \cdot \frac{{{{r}^{\sigma }}}}{{cos\tfrac{{\sigma {{\varphi }_{0}}}}{2}}} = V\left( {r,\frac{{{{\varphi }_{0}}}}{2}} \right). \\ \end{gathered} $

Таким образом, угол между гранями должен удовлетворять условиям корректности, зависящим от граничных данных. В этом случае максимум температуры аккумулируется на середине угла корректности и изменяется в зависимости от расстояния $r$ в соответствии с формулой (28), показывающей, что при возрастании $\sigma $ угол между гранями уменьшается.

Список литературы

Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.
Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964. 488 с.
Маслов В.П., Данилов В.Г., Волосов К.А. Математическое моделирование процессов тепло-массопереноса. М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва “Наука”, 1987. 352 с.
Горбачук В.И., Князюк А.И. Граничные значения решений дифференциально-операторных уравнений // Успехи мат. наук. 1989. Т. 44. № 3. С. 55–91.
Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. 464 с.
Kurepa S. Semigroups and cosine functions. Lecture Notes in Math. B.: Springer, 1982. V. 948. P. 47–72.
Костин В.А., Костин Д.В., Костин А.В. Операторные косинус-функции и граничные задачи // ДАН. 2019. Т. 486. № 5. С. 531–536.
Голдстейн Дж. Полугруппы линейных операторов и их приложения. Киев: Выща школа, 1989. 347 с.
Волков И.К. Интегральные преобразования и операторное исчисление // Волков И.К., Канатников А.Н. Изд-во МГТУ им. Баумана, 1999. 227 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал