Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2020, T. 494, № 1, стр. 21-25

Настоящая работа посвящена описанию гомеоморфизмов контролируемым образом изменяющих емкость конденсаторов, т.е. таких гомеоморфизмов, когда емкость конденсатора в образе может быть оценена весовой емкостью конденсатора в прообразе. Другими словами, с одной стороны, мы находим аналитическое описание гомеоморфизмов $\varphi {\kern 1pt} :\;D \to D{\kern 1pt} '$, индуцирующих ограниченный оператор композиции φ*: $L_{p}^{1}(D{\kern 1pt} ';\omega ) \cap {\text{Li}}{{{\text{p}}}_{l}}(D{\kern 1pt} ') \to L_{p}^{1}(D)$, $1 \leqslant p < \infty $, а с другой – при $1 < p < \infty $ устанавливаем его геометрическое описание через неравенства на емкости подходящих конденсаторов. Принципиально новым сравнительно с предыдущими работами является вызванное спецификой весового пространства Соболева получение интегральной оценки для функции искажения из соотношений на емкости конденсаторов. Мы также находим аналитическое свойство гомеоморфизма, обратного к φ: $D \to D{\kern 1pt} '$. Эта часть работы основана нa предыдущих работах автора [1–4], в которых исследованы классические пространства Соболева. В качестве приложения мы приводим аналитическое описание так называемых Q-гомеоморфизмов, активно исследуемых в работах ряда авторов в последние десятилетия (см. монографию [5] и библиографию к ней), а затем – применения функционального подхода к некоторым задачам теории Q-гомеоморфизмов.

Фиксируем две области $D,D{\kern 1pt} ' \subset {{\mathbb{R}}^{n}}$. Локально-суммируемая функция $\omega {\kern 1pt} :\;D{\kern 1pt} ' \to \mathbb{R}$ называется весовой, если $0 < \omega (y) < \infty $ для п.вс. $y \in D{\kern 1pt} '$.

Напомним, что функция $u{\kern 1pt} :\;D{\kern 1pt} ' \to \mathbb{R}$ принадлежит весовому классу Соболева $L_{p}^{1}(D{\kern 1pt} ';\omega )$, $p \in [1,\infty )$, если u локально суммируема в $D{\kern 1pt} '$, а обобщенные производные $\tfrac{{\partial u}}{{\partial {{y}_{j}}}}$ принадлежат ${{L}_{p}}(D{\kern 1pt} ';\omega )$ для любого $j = 1, \ldots ,n$. (Определение обобщенных производных предполагает, что $\tfrac{{\partial u}}{{d{{y}_{j}}}} \in {{L}_{{1,{\text{loc}}}}}(D{\kern 1pt} ')$.) Полунорма функции $u \in L_{p}^{1}(D{\kern 1pt} ';\omega )$ равна

Если в (1) вместо $u{\kern 1pt} :\;D{\kern 1pt} ' \to R$ рассмотреть функцию $v{\kern 1pt} :\;D \to \mathbb{R}$ и вес, тождественно равный единице, то получится полунорма в классическом пространстве Соболева $L_{p}^{1}(D)$.

Отображение $\varphi = ({{\varphi }_{1}}, \ldots ,{{\varphi }_{n}})$ принадлежит классу Соболева $W_{{p,{\text{loc}}}}^{1}(D)$, если и ${{\varphi }_{j}}(x) \in {{L}_{{p,~loc}}}(D)$, и обобщенные производные $\tfrac{{\partial {{\varphi }_{j}}}}{{d{{x}_{i}}}} \in {{L}_{{p,loc}}}(D)$ для любых $j,i = 1, \ldots ,n$.

Определение 1. Конденсатором в области $D \subset {{\mathbb{R}}^{n}}$ называется пара E = $(F,U)$, где F – связный компакт (континуум) в U, а $U \Subset D$ – открытое связное компактно вложенное в D множество. Непрерывная функция u: $D \to \mathbb{R}$ класса $W_{{1,loc}}^{1}(D)$ называется допустимой для конденсатора $E = (F,U)$, если $u \equiv 1$ на F и $u \equiv 0$ вне U. Совокупность допустимых для конденсатора $E = (F,U)$ функций будем обозначать символом $\mathcal{A}(E)$.

Емкость конденсатора $E = (F,U)$ в пространстве $L_{p}^{1}(D)$ определим как величину

где инфимум берется по семейству $\mathcal{A}(E)$ всех допустимых для конденсатора $E = (F,U)$ функций класса $L_{p}^{1}(D)$. Таким образом, $\mathcal{A}(E;L_{p}^{1}(D))$ = = $\mathcal{A}(E) \cap L_{p}^{1}(D)$.

Определение весовой емкости конденсатора $E = (F,U)$ в пространстве $L_{p}^{1}(D{\kern 1pt} ';\omega )$, расположенного в области $D{\kern 1pt} '$, отличается от вышеприведенного лишь некоторым сужением класса допустимых для емкости функций:

где $\mathcal{A}(E;{\text{Li}}{{{\text{p}}}_{l}}(D{\kern 1pt} ')) = \mathcal{A}(E) \cap {\text{Li}}{{{\text{p}}}_{l}}(D{\kern 1pt} ')$. Здесь и далее ${\text{Li}}{{{\text{p}}}_{l}}(D{\kern 1pt} ') = W_{{\infty ,{\text{loc}}}}^{1}(D{\kern 1pt} ') \cap C(D{\kern 1pt} ')$.

Сформулируем теперь основной результат настоящей работы.

Теорема 1. Пусть заданы гомеоморфизм φ: $D \to D{\kern 1pt} '$ областей $D,D{\kern 1pt} ' \subset {{\mathbb{R}}^{n}}$ и весовая локально-суммируемая функция $\omega {\kern 1pt} :\;D{\kern 1pt} ' \to (0,\infty )$. Следующие условия эквивалентны:

1) оператор композиции φ*: $L_{p}^{1}(D{\kern 1pt} ';\omega )\, \cap \,{\text{Li}}{{{\text{p}}}_{l}}(D{\kern 1pt} ')$ → → $L_{p}^{1}(D)$, $1 \leqslant p < \infty $, действующий по правилу (φ*u)(x) = u(φ(x)), ограничен;

2) для любого конденсатора $E = (F,U)$ в $D{\kern 1pt} '$ с прообразом ${{\varphi }^{{ - 1}}}(E) = ({{\varphi }^{{ - 1}}}(F),{{\varphi }^{{ - 1}}}(U))$ в $D$ выполняется неравенство

3) гомеоморфизм $\varphi {\kern 1pt} :\;D \to D{\kern 1pt} '$ принадлежит классу $W_{{p,{\text{loc}}}}^{1}(D)$, $1 \leqslant p < \infty $, и для п. вс. x ∈ D справедливо неравенство

где $K_{{p,p}}^{{1,\omega }}(\varphi )$ – наименьшая постоянная, с которой выполняется неравенство (3).

Кроме того,

${{2}^{{ - \tfrac{n}{p}}}}{{\left( {\tfrac{{3n}}{2}} \right)}^{{ - 1}}}K_{{p,p}}^{{1,\omega }}(\varphi )$ ≤ ||φ*|| ≤ $K_{{p,p}}^{{1,\omega }}(\varphi )$ ≤ $3 \cdot {{2}^{{\tfrac{{n - p}}{p}}}}n{{K}_{p}}$.

Здесь $D\varphi (x) = \left( {\tfrac{{\partial {{\varphi }_{j}}}}{{\partial {{x}_{i}}}}(x)} \right)$ – матрица Якоби отображения φ в точке $x \in D$, ${\text{|}}D\varphi (x){\text{|}}$ – ее евклидова операторная норма, а $detD\varphi (x)$ – ее определитель (якобиан).

При ω ≡ 1 поточечное неравенство

теоремы получено В.Г. Мазьей в [6] (автором в [1–3]) при описании C¹-диффеоморфизмов (гомеоморфизмов) $\varphi {\kern 1pt} :\;D \to D{\kern 1pt} '$ евклидовых областей D, $D{\kern 1pt} ' \subset {{\mathbb{R}}^{n}}$, n ≥ 2, порождающих ограниченный оператор композиции φ*: $L_{p}^{1}(D{\kern 1pt} ') \to L_{p}^{1}(D)$, $1 \leqslant p < \infty $. В работах [2, 3] установлена также эквивалентность второго условия теоремы (для более широкого набора конденсаторов) оставшимся двум.

Замечание 1. При $p \in [1,n)$ условие (4) записано в работе [1, теорема 8.7] в эквивалентной форме: ${\text{|}}D\varphi (x){\text{|}} \leqslant {{K}_{p}}{{({{J}_{{{{\varphi }^{{ - 1}}}}}}(\varphi (x)))}^{{ - \tfrac{1}{p}}}}$, где

есть производная функции множества $\mathcal{B}(D{\kern 1pt} ')$ $ \ni $ $ \ni $ $A \mapsto {\text{|}}{{\varphi }^{{ - 1}}}(A){\text{|}}$, определенной на σ-алгебре $\mathcal{B}(D{\kern 1pt} ')$ борелевских множеств области $D{\kern 1pt} '$ (см. [7]).

Существенное отличие результатов работ [6] и [1–3] проявляется с учетом свойств исходного отображения φ. В работе [6] φ – диффеоморфизм, и поэтому его якобиан отличен от нуля во всех точках области определения. В работе [1] φ – гомеоморфизм класса Соболева, и мера множества $Z = \{ x \in D{\kern 1pt} :\;\det D\varphi (x) = 0\} $ нулей его якобиана может быть положительной (см. примеры в [8]). Более того, из условий (3) и (4) вытекает, что $D\varphi (x)$ = 0 п.вс. на множестве $Z = \{ x \in D{\kern 1pt} :\;\det D\varphi (x) = 0\} $. Отображения с таким свойством называют отображениями с конечным искажением.

В работе [1, теорема 8.7] показано также, что распространение по непрерывности оператора $\varphi {\kern 1pt} *{\kern 1pt} :\;L_{p}^{1}(D{\kern 1pt} ') \cap {\text{Li}}{{{\text{p}}}_{l}}(D{\kern 1pt} ') \to L_{p}^{1}(D)$, $1 \leqslant p < \infty $, на пространство $L_{p}^{1}(D{\kern 1pt} ')$ совпадает с оператором композиции в следующем смысле: $L_{p}^{1}(D{\kern 1pt} ') \ni u \mapsto \varphi {\kern 1pt} {\text{*}}u$ = = $u \circ \varphi $, где u – непрерывный представитель $u \in L_{p}^{1}(D{\kern 1pt} ')$ при $p \in (n,\infty )$, и $\varphi {\kern 1pt} *u = u \circ \varphi $, где u – произвольный представитель $u \in L_{p}^{1}(D{\kern 1pt} ')$ при $p \in [1,n]$.

Упомянутые результаты работ [1–3] в эквивалентной форме представлены в [9].

Принципиально новым в доказательстве теоремы 1 является импликация $2 \Rightarrow 3$. Переход от емкостного неравенства (2) к соболевским отображениям основан на двух леммах.

Лемма 1. Пусть заданы гомеоморфизм φ: $D \to D{\kern 1pt} '$ областей $D,D{\kern 1pt} ' \subset {{\mathbb{R}}^{n}}$ и весовая локально-суммируемая функция $\omega {\kern 1pt} :\;D{\kern 1pt} ' \to (0,\infty )$. Если для гомеоморфизма $\varphi {\kern 1pt} :\;D \to D{\kern 1pt} '$ выполнены емкостные соотношения (2) с некоторой постоянной ${{K}_{p}}$, то $\varphi \in W_{{p,{\text{loc}}}}^{1}(D)$.

Наша следующая цель – показать, что $\varphi \in W_{{p,{\text{loc}}}}^{1}(D)$ имеет конечное искажение.

Лемма 2. Пусть заданы гомеоморфизм φ: $D \to D{\kern 1pt} '$ областей $D,D{\kern 1pt} ' \subset {{\mathbb{R}}^{n}}$, и весовая локально-суммируемая функция $\omega {\kern 1pt} :\;D{\kern 1pt} ' \to (0,\infty )$. Если для гомеоморфизма $\varphi {\kern 1pt} :\;D \to D{\kern 1pt} '$ выполнены соотношения (2), то

1) функция множества

определенная на σ-алгебре борелевских множеств $\mathcal{B}(\Omega )$ открытого множества $\Omega \Subset D{\kern 1pt} '$, удовлетворяет оценкегде величина $M$ зависит только от размерности $n$, а

2) функция множества $\mathcal{B}(D{\kern 1pt} ') \ni T \mapsto \Lambda (T)$ абсолютно непрерывна;

3) отображение $\varphi {\kern 1pt} :\;D \to D{\kern 1pt} '$ имеет конечное искажение;

4) для п.вс. точек $y \in D{\kern 1pt} '$ производная функции множества $\Lambda (T)$ равна

Здесь

$Z{\kern 1pt} ' = \varphi (\Sigma )$, $\Sigma {\kern 1pt} ' = \varphi (Z)$,

где Z = $\{ x \in D$ | detDφ(x) = 0}, а Σ – сингулярное множество меры нуль, вне которого φ обладает $\mathcal{N}$-свойством Лузина.

Свойства обратного к φ отображения описаны в следующем утверждении.

Теорема 2. Пусть даны области $D,D{\kern 1pt} ' \subset {{\mathbb{R}}^{n}}$, $n \geqslant 2$, и весовая локально суммируемая функция $\omega {\kern 1pt} :\;D{\kern 1pt} ' \to (0,\infty )$. Пусть еще гомеоморфизм $\varphi {\kern 1pt} :\;D \to D{\kern 1pt} '$ обладает одним из следующих свойств:

I. $\varphi \in W_{{p,{\text{loc}}}}^{1}(D)$, $n - 1 < p < \infty $, и для п.вс. $x \in D$ справедливо неравенство

где $K_{{p,p}}^{{1,\omega }}(\varphi )$ – наименьшая постоянная, с которой выполняется неравенство (5); или

II. $\varphi \in W_{{n - 1,{\text{loc}}}}^{1}(D)$, отображение φ имеет конечное коискажение¹¹: ${\text{adj}}Df(x) = 0$ п.вс. на множестве $Z = \{ x \in D\,{\text{|}}\,detD\varphi (x) = 0\} ,$ и для п.вс. $x \in D$ справедливо неравенство

$n - 1 < p < \infty $, где $\mathcal{K}_{{p,p}}^{{1,\omega }}(\varphi )$ – наименьшая постоянная, с которой выполняется неравенство (6).

Тогда

1) $f = {{\varphi }^{{ - 1}}} \in W_{{{\text{1,loc}}}}^{{\text{1}}}(D{\kern 1pt} ')$, отображение f имеет конечное искажение: $Df(y) = 0$ п.в. на множестве $Z{\kern 1pt} ' = \{ y \in D{\kern 1pt} '\,{\text{|}}\,detDf(y) = 0\} $, и для п.вс. $y \in D{\kern 1pt} '$ справедливо неравенство

где $\theta (y) = {{\omega }^{{ - \tfrac{{n - 1}}{{p - (n - 1)}}}}}(y)$ – измеримая функция, p' = = $\tfrac{p}{{p - (n - 1)}}$, а $K_{{p{\kern 1pt} ',p{\kern 1pt} '}}^{{\theta ,1}}(f)$ – наименьшая постоянная, с которой выполняется неравенство (7),

2) гомеоморфизм f индуцирует по правилу замены переменной ограниченный оператор

3) гомеоморфизм f дифференцируем п.в. в области $D{\kern 1pt} '$;

4) для любого открытого множества $U \subset D{\kern 1pt} '$ справедлива оценка

с постоянной c₁, зависящей от размерности $n$ и p.

Более того, справедливы соотношения

${{\beta }_{{p,p}}}K_{{p{\kern 1pt} ',p{\kern 1pt} '}}^{{\theta ,1}}(f)$ ≤ ||  f  *|| ≤ $K_{{p{\kern 1pt} ',p{\kern 1pt} '}}^{{\theta ,1}}(f)$ = = $\mathcal{K}_{{p,p}}^{{1,\omega }}(\varphi )$ ≤ ${\text{||}}K_{{p,p}}^{{1,\omega }}( \cdot ,\varphi )\,{\text{|}}\,{{L}_{\infty }}(D){\text{|}}{{{\text{|}}}^{{n - 1}}}$

с некоторой постоянной ${{\beta }_{{p,p}}}$.

Введем в рассмотрение следующий специальный класс отображений.

Определение 2. Скажем, что гомеоморфизм $f{\kern 1pt} :\;D{\kern 1pt} ' \to D$ принадлежит классу ${{\mathcal{Q}}_{p}}(D{\kern 1pt} ',\omega )$, где $1 < p < \infty $, а $\omega \in {{L}_{{1,{\text{loc}}}}}(D{\kern 1pt} ')$ – весовая функция, если существует постоянная K_p такая, что для всякого конденсатора $E = (F,U)$, расположенного в $D{\kern 1pt} '$, и образа $f(E) = (f(F),f(U))$, расположенного в D, выполняется неравенство

Результаты, сформулированные выше, позволяют получить полное аналитическое описание класса ${{\mathcal{Q}}_{p}}(D)$.

Теорема 3. Гомеоморфизм $f{\kern 1pt} :\;D{\kern 1pt} ' \to D$ принадлежит классу ${{\mathcal{Q}}_{p}}(D{\kern 1pt} ',\omega )$, $1 < p < \infty $, тогда и только тогда, когда обратный гомеоморфизм φ = f ^–1: $D \to D{\kern 1pt} '$ обладает одним из следующих свойств 1) или 2):

1) оператор композиции

φ*: $L_{p}^{1}(D{\kern 1pt} ';\omega )$ $ \cap $ ${\text{Li}}{{{\text{p}}}_{l}}(D{\kern 1pt} ') \to L_{p}^{1}(D)$, $1 < p < \infty $,

ограничен;

2) гомеоморфизм $\varphi {\kern 1pt} :\;D \to D{\kern 1pt} '$ принадлежит классу $W_{{p,{\text{loc}}}}^{1}(D)$, $1 < p < \infty $, и для п.вс. $x \in D$ справедливо неравенство (3).

Более того, при $n - 1 < p < \infty $ гомеоморфизм f обладает свойствами 1)–4) теоремы 2.

Доказательство. Нетрудно заметить, что условие $f \in {{\mathcal{Q}}_{p}}(D{\kern 1pt} ',\omega )$, $1 < p < \infty $, для гомеоморфизма $f{\kern 1pt} :\;D{\kern 1pt} ' \to D$ эквивалентно выполнению условия (2) в теореме 1 для обратного гомеоморфизма $\varphi = {{f}^{{ - 1}}}:D \to D{\kern 1pt} '$. Следовательно, для отображения $\varphi {\kern 1pt} :\;D \to D{\kern 1pt} '$ выполнены утверждения 1) и 2) теоремы 1 (а вместе с ними условия и утверждения теоремы 2). Так как приведенные рассуждения обратимы, теорема 3 доказана.

Следствие 1. Если соотношение (8) выполняется для конденсаторов указанного в определении 1 вида, то оно выполняется и для произвольных в области $D{\kern 1pt} '$ конденсаторов $E = ({{F}_{1}},{{F}_{0}})$ с постоянной $3n \cdot {{2}^{{\tfrac{{n - p}}{p}}}}{{K}_{p}}$ вместо K_p.

В случае p = n класс ${{\mathcal{Q}}_{n}}$-гомеоморфизмов содержит семейство так называемых $Q$-гомеоморфизмов (см. [5]). Пусть $D{\kern 1pt} ',\;D$ – области в ${{\mathbb{R}}^{n}}$, $n \geqslant 2$, и пусть $Q{\kern 1pt} :\;D{\kern 1pt} ' \to [1,\infty )$ – функция класса ${{L}_{{1,{\text{loc}}}}}$. Гомеоморфизм $f{\kern 1pt} :\;D{\kern 1pt} ' \to D$ называется Q-гомеоморфизмом, если

для каждого семейства Γ путей в $D{\kern 1pt} '$ и любой допустимой функции ρ для Γ.

Очевидно, что семейства кривых Γ можно специализировать, например, рассматривать только такие семейства Γ, кривые которых начинаются в одном компактном множестве, а заканчиваются в другом. То есть для данного конденсатора $E\, = \,(F,U)$ в области $D{\kern 1pt} '$ кривая $\gamma {\kern 1pt} :\;[a,b] \to \overline U $ принадлежит семейству Γ тогда и только тогда, когда $\gamma (a) \in F$, а $\gamma (b) \in \partial U$. Для таких семейств условие (9) можно интерпретировать на языке емкости:

Здесь равенство между модулем и емкостью обеспечено теоремой работы [10], поскольку $f(\Gamma )$ – семейство всех кривых с концевыми точками во множествах $f({{F}_{1}})$ и $f({{F}_{0}})$. Правое неравенство вытекает из наблюдения, что норма градиента ${\text{|}}\nabla u(x){\text{|}}$ любой функции, допустимой для емкости (E; $L_{n}^{1}(D{\kern 1pt} '$; Q)), будет допустимой функцией для весового модуля $\mathop {inf}\limits_\rho \int\limits_{D{\kern 1pt} '} \,Q(x) \cdot {{\rho }^{n}}(x)dx$ (см. первую часть доказательства теоремы 5.5 из [10], где такое рассуждение приводится для безвесовых величин).

Следовательно, всякий Q-гомеоморфизм f : $D{\kern 1pt} ' \to D$ удовлетворяет более слабому соотношению (8), и поэтому для Q-гомеоморфизма выполняются все утверждения сформулированных в работе теорем. Например, результаты монографии [5, Ch. 4, § 4.3, 4.4] – это утверждения 1 и 3 теоремы 2 при p = n (доказательство ACL новое).

Заметим, что семейство Q-гомеоморфизмов в случае Q ≡ 1 совпадает с классом квазиконформных отображений [11–14].